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Calculo superior para ingenieros Gamma Beta
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Jair Ospino Ardila
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Calculo superior para ingenieros Gamma Beta
1.
Calculo superior para
ingenieros ∞ 𝑥 𝑝−1 ln 𝑥 𝑑𝑥 0 1+ 𝑥 𝑦= 𝑥𝑝 ln 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 𝑝 ln 𝑦 = 𝑝 𝑙𝑛𝑥 𝑒 𝑙𝑛𝑝 = 𝑒 𝑝 𝑙𝑛𝑝 𝑦= 𝑒𝑝 𝑙𝑛𝑝 𝑑𝑦 = 𝑒𝑝 𝑙𝑛𝑝 ∗ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑝 = 𝑥 𝑝 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑝 Reemplazamos ∞ 𝑥 𝑝 ln 𝑥 𝑑𝑥 0 𝑥 1+ 𝑥 ∞ 1 𝑑 𝑥𝑝 𝑑𝑥 0 𝑥 1+ 𝑥 𝑑𝑝 ∞ 𝑑 𝑥𝑝 𝑑𝑥 0 𝑑𝑝 𝑥 1+ 𝑥 ∞ 𝑑 𝑥𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑝 0 𝑥 1+ 𝑥 ∞ 𝑑 𝑥 𝑝−1 𝑑𝑥 𝑑𝑝 0 (1 + 𝑥) Comparado con 𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑢 𝑥+𝑦 𝑦−1= 𝑝−1 → 𝑦= 𝑝 𝑥+ 𝑦 =1 → 𝑥 =1− 𝑦
2.
Γ 1−y Γ
p 𝛽 𝑥, 𝑦 = Γ 1−y+y Como y=p Γ 1−p Γ p 𝛽 𝑥, 𝑦 = Γ 1−p+p Γ 1−p Γ p 𝛽 𝑥, 𝑦 = Γ 1 𝛽 𝑥, 𝑦 = Γ 1 − p Γ p Por teorema de gamma tenemos que 𝜋 Γ x Γ 1−x = 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 Por lo tanto ∞ 𝑑 𝑥 𝑝−1 𝑑𝑥 𝑑𝑝 0 1+ 𝑥 𝑑 𝜋 = 𝑑𝑝 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋 𝑑 = 𝜋 csc 𝑝𝜋 𝑑𝑝 = 𝜋 ∗ 𝜋 (− csc 𝑝𝜋 ∗ cot 𝑝𝜋) = − 𝜋 2 csc 𝑝𝜋 ∗ cot 𝑝𝜋
3.
∞
𝑑𝑥 −∞ 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 2 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 2 + 𝑎2 − 𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑎2 2 𝑥+ 𝑎 + 𝑏 2 − 𝑎2 ∞ 𝑑𝑥 −∞ 𝑥 + 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑎2 Hacemos 1 𝑏 2 − 𝑎2 2 𝑦= 𝑥+ 𝑎 𝑏 2 − 𝑎2 1/2 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 Reemplazamos ∞ 𝑏2 − 𝑎2 1/2 𝑑𝑦 −∞ 𝑏 2 − 𝑎2 𝑦 2 + 𝑏 2 − 𝑎2 1 ∞ 𝑏2 − 𝑎2 2 𝑑𝑦 −∞ 𝑏 2 − 𝑎2 𝑦 2 + 1 ∞ 1 𝑑𝑦 𝑏 2 − 𝑎2 1/2 −∞ (𝑦 2 + 1) Hacemos un corrimiento hacia la derecha para hacer un traslado a la función beta ∞ 2 𝑑𝑦 𝑏 2 − 𝑎2 1/2 0 𝑦2 + 1 1 Sustituimos 𝑤 = 𝑦 2 → 𝑤 1/2 = 𝑦 𝑤 −1/2 𝑑𝑤 = 𝑑𝑦 2 ∞ 2 1 𝑤 − 1/2 1 ∗ 𝑑𝑤 2 𝑤+1 𝑏 2 − 𝑎2 2 0 Por definición tenemos que
4.
𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢 𝛽
𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑢 𝑥+𝑦 Hacemos la analogía y: 1 𝑥−1= − 𝑥+ 𝑦=1 2 1 1 𝑥= 𝑦= 2 2 Luego entonces 1 1 1 1 𝛽 , 2 2 𝑏 2 − 𝑎2 2 1 1 1 Γ Γ 2 2 1 1 1 𝑏 2 − 𝑎2 2 Γ + 2 2 1 1 1 1 Γ Γ 2 2 𝑏 2 − 𝑎2 2 1 1 𝜋∗ 𝜋 𝑏2 − 𝑎2 2 𝜋 = 1 𝑏2 − 𝑎2 2 …Rta
5.
∞
𝑒 𝑛𝑥 𝑛+1 𝑥 𝑑𝑥 −∞ 𝑎𝑒 + 𝑏 𝑢 = 𝑒 (𝑛+1)𝑥 ln 𝑢 = ln 𝑒 (𝑛 +1)𝑥 ln 𝑢 1 𝑑𝑢 ln 𝑢 = 𝑛+1 𝑥 → = 𝑥 → 𝑑𝑥 = 𝑛+1 𝑛+1 𝑢 Reemplazamos los nuevos valores en la integral y los limites correspondientes ln 𝑢 ∞ 𝑛 𝑒 𝑛 +1 1 𝑑𝑢 0 𝑎𝑢 + 𝑏 𝑛+1 𝑢 𝑛 ln 𝑢 1 ∞ 𝑒 𝑛 +1 ∗ 𝑢 −1 0 𝑑𝑢 𝑛 +1 𝑎𝑢 +𝑏 Por propiedades de los logaritmos y euler 𝑛 1 −1 = − 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 ∞ 1 𝑢 𝑛+1 ∗ 𝑢−1 𝑑𝑢 𝑛+1 0 𝑎𝑢 + 𝑏 −1 ∞ 1 𝑢 𝑛+1 𝑑𝑢 𝑛+1 0 𝑎𝑢 + 𝑏 Realizamos otra sustitución de tal manera que 𝑗𝑏 𝑏 𝑗𝑏 = 𝑎𝑢 → = 𝑢 → 𝑑𝑗 = 𝑑𝑢 𝑎 𝑎 −1 𝑗𝑏 𝑛+1 ∞ 1 𝑎 𝑏 ∗ 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑗𝑏 + 𝑏 𝑎 −1 𝑗𝑏 𝑛+1 −1 ∞ 1 𝑎 𝑏𝑛+1 ∗ 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 𝑎
6.
−1
−1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 𝑏 −1 ∗ ∞ 𝑎 1 𝑎 𝑛+1 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 −1 −1 +1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 −1 ∞ +1 1 𝑎 𝑛+1 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 −1 𝑛 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 𝑛 ∞ 1 𝑎 𝑛+1 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 Trasponemos términos −1 𝑛 ∞ 1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 𝑛 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 ∗ 𝑎 𝑛+1 −1 𝑛 ∞ –1 1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 𝑛 𝑑𝑗 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 0 𝑗+1 −1 1 ∞ − 1 𝑗 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛 +1 𝑛 𝑑𝑗 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 0 𝑗+1 −1 ∞ 1 𝑗 𝑛+1 𝑛 1 𝑑𝑗 0 𝑗+1 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) Si comparamos con 𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢 𝛽 𝑥, 𝑦 = 𝑢 + 1 𝑥+𝑦 1 1 𝑛 𝑦−1=− → 𝑦=− +1 → 𝑦 = 𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1
7.
𝑛
1 𝑥+ 𝑦=1 → 𝑥 =1− 𝑦 → 𝑥 =1− → 𝑥= 𝑛+1 𝑛+1 1 1 𝑛 𝑛 1 𝛽 , 𝑛+1 𝑛+1 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) 1 𝑛 1 Γ Γ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 1 1 𝑛 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) Γ 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1 1 𝑛 1 Γ Γ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 1 𝑛+1 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 Γ 𝑛+1 1 1 𝑛 𝑛 1 Γ Γ 𝑛+1 𝑛+1 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ 𝑛+1 1 1 1 𝑛 1 Γ Γ 1− 𝑛+1 𝑛+1 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) Aplicamos ahora el teorema de gamma de tal manera que 𝜋 Γ x Γ 1−x = 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 1 𝜋 𝑛 1 ∗ 𝜋 𝑅𝑡𝑎 … 𝑎 𝑛+1 ∗ 𝑏 𝑛+1 ∗ (𝑛 + 1) 𝑠𝑒𝑛 𝑛+1
8.
1
𝑚 𝑛 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 0 −𝑢 = ln 𝑥 𝑒 −𝑢 = 𝑥 −𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑒 −𝑚𝑢 = 𝑥 𝑚 𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑢 = ∞ 𝑠𝑖 𝑥 = 1 → 𝑢=0 0 𝑒 −𝑚𝑢 – 𝑢 𝑛 – 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 ∞ 0 − 𝑒 −𝑢(𝑚 +1) ∗ 𝑢 𝑛 𝑑𝑢 ∞ 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑢 𝑚+1 → 𝑑𝑡 = 𝑚 + 1 𝑑𝑢 → = 𝑑𝑢 𝑚+1 𝑡 𝑛 𝑡𝑛 = 𝑢 → 𝑢 = 𝑚+1 (𝑚 + 1) 𝑛 ∞ −𝑡 𝑡𝑛 𝑑𝑡 − 𝑒 ∗ 𝑛 ∗ 0 𝑚+1 𝑚+1 ∞ 1 − 𝑒 −𝑡 ∗ 𝑡 𝑛 𝑑𝑡 (𝑚 + 1)(𝑚 + 1) 𝑛 0 ∞ 1 − 𝑒 −𝑡 ∗ 𝑡 𝑛 𝑑𝑡 (𝑚 + 1) 𝑛+1 0 𝑥−1= 𝑛 → 𝑥 = 𝑛+1 1 − 𝑛+1 Γ 𝑛+1 𝑚+1 −1 𝑛 𝑛! = 𝑅𝑡𝑎 … God bless (𝑚 +1) 𝑛 +1
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