1. Problemas de
Distribución de
probabilidad
Yadira Azpilcueta

2. Ejemplos:
De Problemas:
Distribución de Bernoulli.
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál
es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =
0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para
así poder darles un premio, pero la maestra los
seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.9375

3. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,
al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay
para que pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =
1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =
341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:
el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso
(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen
en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles:
0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

4. Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

8. En un examen formado por 20 preguntas,
cada una de las cuales se responde
declarando
“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,
históricamente, en el 75% de los casos la
respuesta correcta es “verdadero” y decide
responder al examen tirando dos monedas,
pone
“falso” si ambas monedas muestran una
cara y “verdadero” si al menos hay una
cruz. Se
desea saber qué probabilidad hay de que
tenga al menos 14 aciertos.
Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los
parámetros de la distribución y el punto k a
partir
del cual se calculará la probabilidad. En
este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.

9. Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones
discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20
p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga
más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.

10. Distribución poisson
Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo
el 3% de los alumnos de contabilidad son
muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad
de que si tomamos 100 alumnos al azar 5
de ellos sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
Ejemplo2.- La producción de
televisores en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma
un lote o muestra de 85 televisores,
obtener la probabilidad que existan 4
televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4

11. =1.7
Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos
15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar
3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-
8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
Ejemplo4.-El 8% de los registros
contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra
de 40 registros ¿Calcular probabilidad de
que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2
X=5

12. Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el
20% de las personas tienen defecto de la
vista si tomamos una muestra de 50
personas al azar ¿Calcular Probabilidad
que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10

13. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
1.-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar
de 14.0
µ = 80
σ = 14z
a) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
Probabilidad μ
acumulada.
z = 0.7611
z = 0.3594
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389
z = 0.0367
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55
μ
70 80

14. 2.-Los montos de dinero que se piden en las
solicitudes de préstamos en Down River
Federal Savings tiene una distribución
normal, una media de $70,000 y una
desviación estándar de $20,000. Esta
mañana se recibió una solicitud de
préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o
superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
–
z =
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre
$65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
0.4013

15. –
z =
–
z =
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 =
0.2902
c)El monto solicitado sea de $65,000 o
superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
0.4013
–
z =
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
65000 70000
μ

16. 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos
con una población de más de 250,000
habitantes, la media del tiempo de viaje
de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El
tiempo de viaje más largo pertenece a la
ciudad de Nueva York, donde el tiempo
medio es de 38.3 minutos. Suponga que la
distribución de los tiempos de viaje en la
ciudad de Nueva York tiene una
distribución de probabilidad normal y la
desviación estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la
ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30) Probabilidad
acumulada.
0.1335
–
z =
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% μ
30 38.3

17. b) ¿Qué porcentaje de viajes
consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad
acumulada.
0.3300
–
z 0.1335 =
–
z =
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 =
19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre
30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada.
0.5910
–
z =
0.1335

18. –
z =
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) =
0.5910 – µ = 1,200
σ = 225
0.1335
= 0.4575 Probabilidad
z
=
acumulada.
45.75% 5% = .0500
4.- Las ventas
mensuales de
silenciadores en el
área de Richmond,
Virginia, tiene una
distribución normal, con una media de
$1,200 y una desviación estándar de $225.
Al fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que solo
haya 5% de probabilidad de que se agoten
las existencias. ¿Dónde se deben
establecer los niveles de inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
5% ó 0.0500

19. –
z
1.65
X=
1,571.25
x = 1,571.25
5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual
para asistir a una
universidad privada en
Estados Unidos era de $20,082. Suponga
que la distribución de los costos anuales
se rigen por una distribución de
probabilidad normal y que la desviación
µ = 20,082 z
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =
estándar es de $4,500. El 95% de los
estudiantes de universidades privadas
paga menos de ¿Qué cantidad?

20. z
– 95% ó 0.9500
1.64
x = 27,462. X=
27,462
75

21. Distribución de gamma.
El número de pacientes que llegan a la
consulta de un médico sigue una distribución
de Poisson de media 3 pacientes por hora.
Calcular la probabilidad de que transcurra
menos de una hora hasta la llegada del
segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable
aleatoria “tiempo que transcurre hasta la
llegada del segundo paciente” sigue una
distribución Gamma (6, 2).
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones
continuas
Gamma (a, p)
a : Escala 6,0000
p : Forma 2,0000
Punto X 1,0000
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556

22. Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de
una hora hasta que llegue el segundo paciente
es 0,98.
Ejercicio 2-
Suponiendo que el tiempo de
supervivencia, en años, de pacientes
que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital
sigue una distribución Gamma con
parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.

23. 2. Los años a partir de los cuales la
probabilidad de supervivencia es menor
que 0,1.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades.
Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es
de, aproximadamente, 10 años.

24. Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de una
pieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma es
de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuanto
debemos cobrar la hora de reparación para obtener un
beneficio medio de 3 mil euros?
Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio
medio, E(B), sea 3.
El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) =
4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce que
K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3
mil euros.

26. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.
Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado
cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
El profesor Pérez olvida poner su despertador
3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el
despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada
10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.

27. (a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?
Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en
base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan
en el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O}es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la
formulas de la probabilidadtotal, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,
sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir
como:P(T¯) = + =0.69
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen
media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de
tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

28. P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que
sigue una distribución t de n-1 grados
de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media
de la muestra de 25 tornillos sea
inferior a 20.5 mm es del 99.02%
Ejemplo-4

29. Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en
cada uno de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3
grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30
grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel
número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de
la distribución t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los
grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la
probabilidad acumulada, en nuestro
caso: 0=95=

30. - ) Movernos horizontal y verticalmente
desde las posiciones anteriores hasta
cruzarnos en el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-
Student con 3 grados de libertad será el
valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos
movemos horizontalmente hasta la
primera columna, llegaremos al valor 3
(grados de libertad), y si lo hacemos
verticalmente hacia la primera fila la
llegaremos al valor 0.95 (probabilidad
acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos
tabulada la t-Student para colas
probabilísticas que van desde 0=75
hasta 0=999, para calcular el percentil

31. w0=25, tendremos que realizar la
siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es
simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W ·
w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los
datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad
actuaremos de modo similar al caso

32. anterior, pero buscando en la fila 30 de
la tabla. Resultando:
ejemplo5
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y
I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor
el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener
en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última
columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos
datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840