conceptos basicos limites

1. LÍMITES
DOCENTE:YADISNEY CAMPOS C.

2. Limite de Una
sucesión
01
Indice de contenidos
Noción Intuitiva del
límite
02
Límites
Laterales
03
Cálculo de
Límites
04
06
05
Límites al
Infinito
Noción intuitiva
de continuidad

3. ¿Qué es un
Límite?
Se entiende por límite la línea divisoria
entre dos entidades o territorios, sea esta
línea real o imaginaria. El término proviene
del latín limis, que quiere decir 'frontera' o
'borde'. ...

4. Limite de Una
sucesión
01

5. Limite de una sucesión
En la siguiente sucesión {
𝑛−1
2𝑛
} ɳ {0,
1
4
,
1
3
,
3
8
,
2
5
,
5
12
,
3
7
,
7
16
, … . }:
0
1
4
1
3
3
8
2
5
5
12
1
2
1
Cuando ɳ toma un valor grande, el término
𝑛−1
2𝑛
se acerca al punto
1
2
; este punto seria el centro de la vecindad de radio ⋸ >0 (La vecindad es el
centro del punto del radio, y este siempre debe ser positivo) entonces a
partir de algún n ⋸ 𝑍+
, entonces todos los téminos de la forma
n−1
2n
que van
dentro de la vecindad V ⋸ (
1
2
)

6. Dada una sucesión de nímeros reales 𝑥𝑛 𝑛 , se dice que el número real L es el Límite
de la sucesión . Lo cual se escribe lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝐿 , si dado cualquier radio positivo (⋸>0)
entonces existe un 𝑁 ⋸ 𝑍+
, tal que para todo 𝑛 > N (𝑛 ⋸ ℤ+
)se cumple que 𝑥𝑛 ⋸V ⋸ (L)
Ejemplo
Si 𝜖 =
1
8
entonces a partir de N=5 los términos
2
5
,
5
12
,
3
7
,
7
16
, ,
3
7
, ,
4
9
…. Etc. Quedan en el interior de la vecindad
𝑣1
8
1
2
{
𝑛−1
2𝑛
} n > 5
1
2
1
8
1
8
Esta idea geométrica se expresa con la escritura lim
𝑛1→∞
𝑛−1
2𝑛
=
1
2
que se lee: “el límite de
{
𝑛−1
2𝑛
} cuando 𝑛 tiende al infinito n→ ∞ es igual a un medio.
Realmente el limite de una sucesión es el valor al cual se acercan todos los términos de
la sucesión; la escritura 𝑛 → ∞ , solo nos quiere decir que 𝑛 toma todos los valores del
conjunto infinito 𝑍+
.

7. Escribe los cinco primeros terminos de cada
sucesión y encuentra una vecindad de radio ⋸ tal
que 𝑥𝑛 ∈ 𝑉 ∈ 𝐿 , para 𝑛 ≥6.
1. lim
𝑛→∞
1
𝑛2 = 0
2. lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛+1
= 1
3. lim
𝑛→∞
𝑛−2
2𝑛
=
1
2

8. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA
DE LIMITES
El límite de una sucesión es único. Es decir, si
una sucesión converge, converge a un único
punto. Una sucesión es divergente cuando no
tiene límite. Es decir, cuando no existe ningún
número finito al cual se aproxima.

9. Convergencia
Una sucesión a(𝑛) es convergente cuando tiene límite finito. El límite L de una sucesión a(𝑛) es el
número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión a(𝑛) converge a su
límite L y se expresa por lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 ≠ ±∞ O bien, por a(𝑛)→L.
Ejemplo 1: La sucesión a(𝑛)=1/ 𝑛 es convergente a 0. Sus primeros términos son
𝑎1 = 1
𝑎2 = 0,5
𝑎3 = 0,333
𝑎4 = 0,25
𝑎5 = 0,2
𝑎6 = 0,166
0,7 = 0,142
Cada término de la sucesión es menor que el anterior y cada vez se aproxima más a 0.
El límite de la sucesión es L=0. Representación de la sucesión (𝑛 ≤50):

10. Ejemplo 1
Calcular el límite {
1
𝑛
} 𝑛
Cuando n recorre todos los enteros positivos, es decir hallemos
lim
𝑛→∞
1
𝑛
: {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
1
7
,……} cuando n es muy grande, entonces el
valor
1
𝑛
es un número positivo pequeño.
Si n=1.000, entonces
1
𝑛
= 0,001
Si n=1.000.000,
1
𝑛
= 0,000 001
Cuando n tiende a infinito entonces
1
𝑛
tiende a 0; luego podemos
escribir: lim
𝑛→∞
1
𝑛
=0

11. Ejemplo 2
Calcular: lim
𝑛→∞
3
𝑛
: como {
3
𝑛
} 𝑛 = { 3,
3
2
, 1,
3
4
,
3
5
,
1
2
,
3
7
,
3
8
,……..};
Siendo 3 un número fijo y ɳ un valor cada vez más grande
, entonces el valor de la fracción
3
𝑛
se hace más pequeño,
por ejemplo si n=1000 (Grande) entonces
3
1000
es
pequeño.
Si 𝑛 tiende al infinito, entonces el valor de
3
𝑛
es positivo y
se acerca a 0; por lo tanto escribimos lim
𝑛→∞
3
𝑛
=0 de acuerdo
con estos dos ejemplos podemos decir que si k es un
numero real fijo; entonces lim
𝑛→∞
𝑘
𝑛
=0

12. Ejemplo 3
Hallar: lim
𝑛→∞
1
√𝑛
= como {
1
√𝑛
} ɳ = { 1,
1
√2
,
1
√3
,
1
2
,
1
√5
,……..}; El
denominador √ 𝑛 aumenta a medida que 𝑛 recorre el conjunto
infinito ℤ+; entonces, el valor
1
√𝑛
disminuye y por ser fracción
positiva, debe acercarse a 0; luego escribimos lim
𝑛→∞
1
√𝑛
=0

13. Ejemplo 4
Calcular: lim
𝑛→∞
𝑛²= como {n²} ɳ = { 1,4,9,16,25,……..}; sus
términos se hacen cada vez mayores cuando 𝑛, tiende al
infinito, entonces es imposible determinar el valor de su límite;
como 𝑛 ² también tiende al infinito, escribimos lim
𝑛→∞
𝑛²=∞

14. EJERCICIOS
Analiza las siguientes sucesiones para determinar
cuales de ellas son convergentes, en tales casos
determinar cada límite:
1.
3
𝑛
2. 1 + −1 𝑛
𝑛
3.
𝑘
𝑛
4.
1
ⅈ
𝑛 𝑛
, i es natural fijo

15. Nocion Intuitiva del limite
02

16. Noción Intituitiva del límite
Cada rama de las matematicas tiene conceptos que resultan centrales para el
desarrollo de la misma.
Los límites son utlizados frecuentemente, pero no los reconocemos como tales,
simplente estamos acostumbrados a ellos.
Ejemplos. Como medimos la velocidad de un coche Supongamos que la
velocidad es de 60 km/h podemos calcular la velocidad promedio dividiendo la
distancia recorrida entre el tiempo, en un punto la diStancia es 0
Cuando tienes que llenar un vaso de agua, abres la llave y esta sale a razon de
30 ml x Seg sabiendo que la la capacidad del vaso es 300 ml cuando tiempo
requieres para llenarlo? Por cada segundo se vierten 30 ml. 10 Seg entre más el
tiempo se acerca a 10, los ml se acercan a 300

17. 1. Considera la función f(x) =
𝑥2−1
𝑥−1
2. Elaborar una tabla de datos, en el punto x=1 ¿Cuánto vale f(x)
3. Buscar valores cercanos a x=1. Determina hacia que valor se
aproxima f(x)
VALORES A LA IZQUIERDA DE 1
Ejemplo 1 .
X 0 0,5 0,7 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,999
F(X
)
1 1,5 1,7 1,9 1,95 1,98 1,99
9
1,995 1,999
A medida que se toman valores para x cercanos
a 1 se observa que f(x) se va acercando a 2, esta
es la primera idea que tenderemos de límite de
una función en un punto dado, Se puede deducir
que cuando x tiende a 1, entonces f(x) tiende a 2

18. 1. Considera la función f(x) =
𝑥−1
𝑥²−1
2. Elaborar una tabla de datos, en el punto x=1 ¿Cuánto vale f(x)
3. Buscar valores cercanos a x=1. Determina hacia que valor se
aproxima f(x)
VALORES A LA DERECHA DE 1
Ejemplo 2.
X 1,5 1,2 1,1 1,01 1,01 1,00 1,00
F(X) 2,5 2,2 2,1 2,01
5
2,01 2,00
8
2,00
5
x→1, entonces f(x) →2 o Lím f(x) =2
x →3

19. 1. Considera la función h(x) =
1
𝑥−1
2. x=1 ¿Cuánto vale f(x)
3. Buscar valores cercanos a x=1 tanto para la derecha como
para la izquierda Determina hacia que valor se aproxima f(x)
VALORES A LA DERECHA
VALORES A LA IZQUIERDA
Ejemplo 3 .
X 4 3 2 1,8 1,4 1,3 1,2 1, 1,05
h(x) 0,33 0,5 1 1,25
2,5
3,3 5 10 20
X -2 -1 0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95
h(x) -
0,33
-0.5 -1 -2 -2,5 -
3,33
-5 -
10
-20
Límites
Laterales

20. Ejemplo 3 .
A medida que se toman valores para x a
la derecha h(x) toma valores más
grandes , teniendo a ∞ podemos afirmar
que Lím h(x) no existe x→1

21. Ejercicios: Haz una gráfica de la función
para valores cercanos a xₒ
1. f)x)= 2x²*3, xₒ=1
2. f(x)=
𝑥+1
𝑥2−1
, xₒ=-1
3. f(x)=
16
𝑥−4
, xₒ= 4
4. f)x)= sen x, xₒ=0 )x radianes)

22. 04
Calculo de limites

23. “Para calcular límites
se utilizan las
propiedades de los
límites y algebra para
calcular el valor del
limite”

24. PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Las propiedades de los límites de las sucesiones conducen a propiedades
similares de los límites de estas funciones. Estas propiedades facilitan el
calculo de los límites reduciendo a funciones muy sencillas.
Si f y g son dos funciones, tales que el lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿1 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿2
(el valor de a es el mismo en el límite de las dos funciones)
entonces:
1. lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + lím 𝑔 𝑥 = 𝐿1 + 𝐿2
2. lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − lím 𝑔 𝑥 = 𝐿1 − 𝐿2
3. lím
𝑥→𝑎
𝑛𝑓 𝑥 = 𝑛lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑛𝐿1
4. lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 = lím
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∗ lím 𝑔 𝑥 = 𝐿1 ∗ 𝐿2

25. PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Las propiedades de los límites de las sucesiones conducen a propiedades
similares de los límites de estas funciones. Estas propiedaes facilitan el
calculo de los límites reduciendo a funciones muy sencillas.
5. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
9 𝑥
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
=
𝐿1
𝐿2
, 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐿2 ≠ 0
6. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑘
= (lim 𝑓 𝑥 ]) 𝑘
= 𝐿1
𝑘
, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝐾 ⋸ 𝑅

26. ALFABETO GRIEGO

27. Limite de una Función Constante
Si f es la función constante
definida por f (x) =c, entonces su
límite en cualquier punto a es c,
lim
𝑥→𝑎
c=c
Para cualquier ϵ >0 existe un δ>0, tal que: ⎜f(x) –f(a)⎜= ⎜ c-c ⎜=0< ϵ, siempre que 0< ⎜x-a ⎜< δ

28. El límite de la función identica f(x)=x,
en cualquier punto a es a
lim
𝑥→𝑎
a=a
Limite de función identica
Calcular 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟕
9 ;como f(x)=9 tenemos que el 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟕
9
=
9
⎜f(x) –a⎜< ϵ equivale a ⎜ x-a ⎜< ϵ, entonces al tomar δ= ϵ se cumple la afirmación

29. Ejercicios
1. Lím x=2
2. Lím x= π
3. Lím x=0
4. Lím x=-3

30. Limite de función Líneal
El límite de la función
lineal f(x) =mx + b,
cuando x tiende a “a”
es f(a) =m a+b
Simbolicamente : lim
𝑥→𝑎
(mx+b)=ma+b=f(a).
f(x)= mx + b
lim
𝑥→𝑎
(mx + b)= lim
𝑥→𝑎
mx + lim
𝑥→𝑎
b=m lim
𝑥→𝑎
x + lim
𝑥→𝑎
b =m a +b=f(a)
lim
𝑥→3
(2X-7)= 2(3)-7=-1

31. EJERCICIOS
f(x)= mx + b
1. lim
𝑥→2
(3x+1)
2. lim
𝑥→6
(4x-11)
3. lim
𝑥→12
(20x-9)

32. Limite de función cuadratica
Al aplicar la propiedad
del límite de un
producto de funciones
y el límite de la función
idéntica tenemos:
El limite de la funcion f(x)=x² en cualquier punto a=2
lim
𝑥→𝑎
x²= lim
𝑥→𝑎
𝑥. 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑥 . lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎. 𝑎 = 𝑎²
lim
𝑥→−2
x²=(-2)²=4
lim
𝑥→3
4x²=4(3)²=36

33. EJERCICIOS
1. lim
𝑥→2
(3x² -x+4)
2. lim
𝑥→6
(x²-36) (x-7)
2. lim
𝑥→−1
𝑥2 − 1

34. Limite de la Función Monomica
En general el límite de la función monomica de grado n , es igual al
producto de sus coeficientes por la potencia n-ésima del valor que
entiende la variable, simbolicamente
lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑥𝑛
= 𝑘𝑎𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑥𝑛
=K lim
𝑥→𝑎
(x.x.x….x)=k )lim 𝑥
𝑥→𝑎
). (lim
𝑥→𝑎
x)…. )lim 𝑥)
𝑥→𝑎
n- veces n- veces
lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑥𝑛
=k.a.a.a……..a=k.𝑎𝑛
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒌𝒙𝒏
= 𝒌𝒂𝒏

35. Limite de la Función Monomica
lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑥𝑛
= 𝑘𝑎𝑛
lim
𝑥→3
𝑥4
= 34
= 81
lim
𝑥→−1
3𝑥5 = (3)(−1)5= −3
lim2/3
𝑥→1/2
𝑥2 = 2/3
1
2
2
= 1/6

36. Limite de la Función POLINOMICA
El limite de la funcion p(x) =𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
cuando x tiende a cualquier valor b, es: p(b)
lim
𝑥→𝑎
(𝑎𝑛𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
+ ⋯ 𝑎0)= lim𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
+ ⋯ . +lim
𝑥→𝑏
𝑎0
𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑏
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑏
lim
𝑥→𝑏
(𝑎𝑛. lim
𝑥→𝑏
𝑥𝑛
+ lim
𝑥→𝑏
𝑎𝑛−1. lim
𝑥→𝑏
𝑥𝑛−1
+ ⋯ lim
𝑥→𝑏
𝑎0=Propiedad =3
lim
𝑥→𝑏
p(x)= 𝑎𝑛𝑏𝑛
+ 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛 … + 𝑎0=p(b)

37. Limite de la Función Polinomica
lim
𝑥→−1
3𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 2
= 3 −1 3 − 2 −1 2 + 5 −1 − 2 = −3 − 2 − 5 − 2
= −12
lim
𝑥→𝑏
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑏

38. Limite de la Función
𝑓 𝑥 =
𝑛
𝑝 𝑥 = 𝑝 𝑏
El limite de la función raíz n-ésima de una función
polinómica en cualquier punto b es
𝑛
𝑝 𝑏
lim
𝑥→𝑏
𝑛
𝑃 𝑥 = lim
𝑥→𝑏
[𝑃(𝑥)]1/𝑛
= lim
𝑥→𝑏
𝜌 𝑥 1/𝑛
= 𝑝 𝑏 1/𝑛
=
𝑛
𝑝(𝑏)

39. Limite de la Función
lim
𝑥→3
𝑥3 − 9 = 27 − 9 =
18
lim
𝑥→2
5
2𝑥2 + 𝑥 + 31 = 2
1
2
2
+
1
2
+ 31 = 2

40. Limite de la Función RACIONAL
Si f(a) y g(a) no son “cero” simultáneamente ,el límite
de la función q(x) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
g 𝑥
=
𝜖 𝑎
g 𝑎
*Si f(a) =0 y g(a) ≠ o, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
g 𝑥
=0
*Si f(a) ≠ 0 y g(a) = o, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
g 𝑥
=∞ (no existe)

41. Limite de la Función Racional
lim
𝑥→2
𝑥2+4
𝑥2−4
=
lim
𝑥→2
(𝑥2+4)
lim
𝑥→2
(𝑥2−4)
=
8
0
= no existe
lim
𝑥→3
𝑥2+5𝑥−24
𝑥2−2𝑥+7
=
lim
𝑥→3
(𝑥2+5𝑥−24)
lim
𝑥→3
(𝑥2−2𝑥+7)
=
0
10
=0
lim
𝑥→5
2𝑥2−3
𝑥2−1
=
lim
𝑥→5
(2𝑥2−3)
lim
𝑥→5
(𝑥2−1|)
=
47
24
=

42. EJERCICIOS
1. lim
𝑥→2
(3x²-x+4)
2. lim
𝑥→3
(2x³-x)
3. lim
𝑥→0
(x+4)(x-5)
4. lim
𝑥→−1
(2x³+2x²-3x+1)
5. lim
𝑥→3
𝑥3−27
𝑥+3
6. lim
𝑥→1
3 𝑥3 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
7. lim
𝑥→1
𝑥2 − 5𝑥 + 14
𝑥2 − 3𝑥 + 4

43. Limites al
Infinito
05

44. En El estudio de los límites de las funciones
frecuentemente surgen expresiones
indeterminadas que en la notación convencional
se escriben así:
0
0
, )0,∞); )∞- ∞); o˚; ∞ ˚,
0
0

45. lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
Si remplazamos x por 2 obtendremos una expresión
indeterminada de la forma
0
0
por lo tanto, antes de calcular el límite
debemos determinar la forma determinada con métodos algebraicos:
Ejemplo 1
lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+2)
𝑥−2
cancelando obtendremos
x-2 obtendremos
lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(x+2) = 2+2=4
En este ejemplo factorizamos el numerador y
evitamos la indeterminación cancelando x-2

46. lim
𝑥→3
𝑥2
+𝑥−12
𝑥2−5𝑥+6
al calcular f(3) obtendremos un indeterminación de la forma
0
0
que es necesario evitar. En este caso factorizamos
Ejemplo 2
lim
𝑥→3
𝑥2
+𝑥−12
𝑥2−5𝑥+6
= lim
𝑥→3
𝑥−3) (𝑥+4)
𝑥−2 (𝑥−3)
lim
𝑥→3
𝑥+4
𝑥−2
=
3+4
3−2
=
7
1
= 7

47. lim
𝑥→1
𝑥−1
√𝑥2+3−2
el resultado será
0
0
, pero en este caso no podemos
factorizar esto hace que debamos multiplicar numerador por
denominador y el denominador por el conjugado del denominador así:
Ejemplo: el conjugado de a+b es a-b y el conjugado de √𝑥2
+3-2 es
√𝑥2
+3+2
Entonces queda así
Ejemplo 3
lim
𝑥→1
𝑥−1
√𝑥2+3−2
= lim
𝑥→1
(x−1)(√𝑥2+3+2)
√𝑥2+3−2 √𝑥2+3+2)
=lim
𝑥→1
(x−1)(√𝑥2+3+2)
(𝑥2+3)−4
=
lim
𝑥→1
(x−1)(√𝑥2+3+2)
𝑥2−1 pero aun sigue indeterminado por lo tanto ahora
factorizamos el denominador y simplificamos
lim
𝑥→1
(x−1)(√𝑥2+3+2)
(x+1) (x−1)
= lim
𝑥→1
𝑥2+3+2
x+1
=2

48. lim
𝑥→1
(
2𝑥
𝑥2−1
-
1
𝑥−1
) si replazamos a x por 1 obtendremos (∞ − ∞), cuyo limite es
indeterminado, por lo tanto efectuamos sustracción de fracciones para
tratar de suprimirla
Ejemplo 4
lim
𝑥→1
(
2𝑥
𝑥2−1
-
1
𝑥−1
)= lim
𝑥→1
2𝑥 𝑥−1 −
(𝑥2−1)
(𝑥2−1)
(𝑥−1)
= lim
𝑥→1
2𝑥 −2𝑥−𝑥2+1
(𝑥2−1) (𝑥−1)
=
lim
𝑥→1
𝑥2−2𝑥+1
(𝑥2−1) (𝑥−1)
ahora el limite es indeterminado de la forma
0
0
por lo tanto ahora suprimimos al factorizar y simplificar
lim
𝑥→1
𝑥2−2𝑥+1
(𝑥2−1) (𝑥−1)
= lim
𝑥→1
(𝑥+1)²
(𝑥2−1) (𝑥−1)
= lim
𝑥→1
(𝑥−1) (𝑥−1)
(𝑥−1) (𝑥+1)(𝑥−1)
= lim
𝑥→1
1
𝑥+1
=
1
2

49. lim
𝑥→2
⎜𝑥2
− 4⎜
𝑥 − 2
para calcular expresamos la funcion
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
𝑆𝐼 𝑥 ≥ 2
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
𝑆𝐼 𝑥 < 2
Ejemplo 5
lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑋−2) (𝑋+2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑋−2) (𝑋+2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(x+2)=4
lim
𝑥→2
−(𝑋²−4)
𝑥−2
lim
𝑥→2
(𝑋−2) (𝑋+2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
− 𝑥 + 2 = −4
Como el limite por la izquierda es diferente del limite de la
derecha entonces el limite lim
𝑥→2
⎜𝑥2−4⎜
𝑥−2
no existe

50. Ejercicios….

51. 1. lim
𝑥→1
𝑥2+2𝑥−𝟑
𝑥2−𝟓𝒙+𝟒
2. lim
𝑥→𝟑
𝑥³−𝟐𝟕
𝒙−𝟑
3. lim
𝑥→𝒂
𝑥2−𝒂²
𝑥2−𝟐𝒂𝒙+𝒂²
a ≠ 0
4. lim
𝑥→𝟓
𝟏−√𝒙−𝟒
𝒙−𝟓
5. lim
𝑥→𝒂
(
𝟐𝒙
𝒙2−𝒂²
-
−𝟏
𝒙−𝒂
)
6-lim
𝑥→𝟏
⎜𝒙2−𝟏⎜
𝒙−𝟏

52. Bibliografia
https://es.slideshare.net/memevalentin/nocin-intuitiva-de-lmites-58685553
Matemática Practica 11 Ed. Voluntad
Matemática Ed Media. Nova 11. Ed Voluntad
Algebra Lineal y sus aplicaciones 3ra edición
Precálculos , mathe for cálculos

53. CRÉDITOS: Esta plantilla de presentación fue creada por Slidesgo, que incluye
iconos de Flaticon, infografía e imágenes de Freepik
¡Gracias..!
Nos veremos cuando el
destino quiera volvernos a
encontrar. Muchos éxitos.
Ahora es tu momento de
escribir historia
Hasta pronto chicos...