1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DOBLES y ÁNGULOS MITAD’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
ÁNGULOS DOBLES
Sen2x = 2SenxCosx
Cos2x = Cos2
x − Sen2
x
Tan2x =
2Tanx
1 − Tan2x
También:
Cos2x = 1 − 2Sen2
x
Cos2x = 2Cos2
x − 1
Fórmulas de degradación:
2Sen2
x = 1 − Cos2x
2Cos2
x = 1 + Cos2x
8Sen4
x = 3 − 4Cos2x + Cos4x
8Cos4
x = 3 + 4Cos2x + Cos4x
Propiedades:
I.
Cotx + Tanx = 2Csc2x
Cotx − Tanx = 2Cot2x
Sec2
x + Csc2
x = 4Csc2
2x
II.
(Senx + Cosx)2
= 1 + Sen2x
(Senx − Cosx)2
= 1 − Sen2x
III.
Tan2xTanx = Sex2x − 1
Tan2x
Tanx
= Sec2x + 1
Triángulo del ángulo doble
1+Tan2x
1-Tan2x
2Tanx
2x
Sen2x =
2Tanx
1 + Tan2x
Cos2x =
1 − Tan2
x
1 + Tan2x
ÁNGULOS MITAD
Sen
x
2
= ±√
1−Cosx
2
Cos
x
2
= ±√
1+Cosx
2
Tan
x
2
= ±√
1−Cosx
1+Cosx
Donde el signo (±) dependerá del
cuadrante donde se ubique el ángulo
𝑥
2
.
Tan
x
2
= Cscx − Cotx
Cot
x
2
= Cscx + Cotx
Semana Nº 9

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
PROBLEMAS PROPUESTOS
EXAMEN SUMATIVO
1. Para qué valor de “n” se cumple que:
𝑆𝑒𝑛 (
𝜋
2 𝑛) = {
1
2
−
1
2
[
1
2
+
1
2
〈
1
2
+
1
2
(
1
2
+
√2
4
)
1
2
〉
1
2]
1
2
}
1
2
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6
EXAMEN SUMATIVO
2. Si 𝑇𝑔 (
𝑥
2
) = 𝑛 , donde 𝑥 ≠ ±𝑛 ,
entonces las expresiones correctas
para las funciones senx, cosx, son :
A) 𝑆𝑒𝑛𝑥 =
1−𝑛2
1+𝑛2 , 𝐶𝑜𝑠𝑥 =
2𝑛
1+𝑛2
B) 𝑆𝑒𝑛𝑥 =
1−𝑛
1+𝑛2 , 𝐶𝑜𝑠𝑥 =
1−𝑛2
1+𝑛2
C) 𝑆𝑒𝑛𝑥 =
2𝑛
1+𝑛2 , 𝐶𝑜𝑠𝑥 =
1−𝑛2
1+𝑛2
D) 𝑆𝑒𝑛𝑥 =
2𝑛
1+𝑛2 , 𝐶𝑜𝑠𝑥 =
𝑛
1+𝑛2
E) 𝑆𝑒𝑛𝑥 =
1−𝑛
1+𝑛2 , 𝐶𝑜𝑠𝑥 =
2𝑛
1+𝑛2
EXAMEN SUMATIVO
3. En un triángulo rectángulo ABC
(∡𝐴 = 90º) Expresar: Sec 2B + Tg 2B
en términos de los catetos b y c del
triángulo.
a)
𝑐−𝑏
𝑏+𝑐
b)
𝑏+𝑐
𝑐−𝑏
c)
𝑏+𝑐
𝑏−𝑐
d)
𝑏−𝑐
𝑏+𝑐
e)
𝑏+𝑐
𝑏−2𝑐
EXAMEN SUMATIVO
4. En la figura, AP = PC. Calcular
𝐸 = 𝑆𝑒𝑐2𝛼– 𝑡𝑔 2𝛼 . 𝐶𝑡𝑔𝛼
a) ½ b) -1 c) 0 d) -½ e) 1
EXAMEN SUMATIVO
5. Si: tg) = 2 y tg() = 3,
calcular:  2cos27  senK
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
EXAMEN SUMATIVO
6. Al escribir en función de “𝑆𝑒𝑛2𝛼” , la
expresión 1 −
𝑆𝑒𝑛2 𝛼
1+𝐶𝑡𝑔𝛼
−
𝐶𝑜𝑠2 𝛼
1+𝑇𝑔𝛼
es
equivalente a:
a) 𝑆𝑒𝑛2𝛼 b) 2𝑆𝑒𝑛2𝛼 c) 𝑆𝑒𝑛2𝛼 − 1
d) 𝑆𝑒𝑛2𝛼 + 1 e)
𝑆𝑒𝑛2𝛼
2
EXAMEN SUMATIVO
7. Si 𝑚. 𝑇𝑔2
𝛼 + 𝑛. 𝐶𝑡𝑔2
𝛼 = 𝑚 + 𝑛,
entonces el valor de 𝐶𝑜𝑠 2𝛼 , en
términos de n y m, es:
a)
𝑚+𝑛
𝑚𝑛
b)
𝑚−𝑛
𝑚+𝑛
c)
1−𝑚2
𝑚𝑛
d)
𝑚
𝑚𝑛
e)
𝑚+𝑛
𝑚−𝑛
EXAMEN SUMATIVO
8. Calcule 𝑆𝑒𝑛
𝛼
2
si:
a) √37 b) 37 c)
2
√37
d)
√37
37
e)1
EXAMEN SUMATIVO
9. Si 𝑥𝜖 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉 , reduce la siguiente
expresión :
𝐸 = |
𝑆𝑒𝑛𝑥+𝐶𝑜𝑠𝑥+1
𝑆𝑒𝑛𝑥−𝐶𝑜𝑠𝑥+1
|
a) Tgx b) Ctgx c) −𝑇𝑔
𝑥
2
d) −𝐶𝑡𝑔
𝑥
2
e) 𝑇𝑔 (𝑥 +
3𝜋
4
)


3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
10. Reducir:
16sen3x. cos3x. cos6x. cos12x. cos24x. csc16x − 1
a) 2cos16x b) 2cos32x c) 2sen16x
d)4sen32x e) 2cos24x
11. Si: sen4
θ − cos4
θ =
1
3
Determine. sec4θ
a)-13/7 b) -8/7 c) -1 d) -9/7 e) -10/7
12. Reducir: M = 2(cos4
x − sen4
x)2
− 1
a)cos4x b) cos2x c) cos2
2x
d)cos2
4x e) 2cos4x
13. Reducir:
E = cos3
x. senx − sen3
x. cosx
a)
sen4x
2
b)
sen4x
4
c) cos4x
d)sen4x e) 0
14. Si tanx + cotx = 2n
Calcular: sen2x
a)n−2
b) n−1
c) n d) 2n e) n2
15. Reducir:
H = (tanx + cotx)sen2x
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 3/2
16. Reducir:
M =
sen3
x + cos3
x
senx + cosx
+
1
2
sen2x
a)0 b) 1 c) 0,5 d)-1 e) 1/4
17. Simplifique:
W = (
1 + cos2x
1 − cos4x
) 𝑆𝑒𝑛2
𝑥
a)0 b) 1 c) 0,5 d)-1 e) ¼
18. Sabiendo que:
3Sen2
x + 7Cos2
x = a + bCos2x
Hallar el valor de: M = 3a − 2b
a)9 b) 15 c) 13 d)11 e) 7
19. Calcular el valor de:
E = Cos4
22°30′
− Sen4
22°30′
a)-1 b) √2 c) 2 d)
√2
2
e) ½
20. Calcular el valor simplificado de:
E = √1 + Sen60° − Cos30°
a) 2 b) ½ c) 4 d) -1 e) √3
21. Simplificar la expresión:
E = √1 − Sen20° + Sen10°
a) Cos10° b) 0 c) Sen10°
d) −Cos10° e) 2Sen10° − Cos10°
22. Si Tanx =
m
n
; Entonces el valor de
nCos2x + mSen2x , es:
a)m + n b) 2m + n c) 2m - n
d)m e) n
23. Del grafico mostrado calcular ‘‘cos2x’’
x
x
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d)1/5 e) 2
24. Si A, B y C son los ángulos internos
de un triángulo y
Sen(A + B)Cos(A + B) = −
1
2
¿Cuánto vale 1 + TanC?
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) ½
25. Si Senx − Cosx =
1
√3
, calcular: Sen2x
a) 2/3 b) ½ c) 1/3 d) 3 e) 1
26. Si: 2sen2x – 3cos2x = 3 ; calcular el
valor de
  0;2sec52csc62  CosxxxP
A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1
27. Si: a = sen  – cos  , b= cos2 ;
entonces, se puede afirmar que:

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
A) 02 224
 baa B) 03 224
 baa
C) 0224
 baa D) 0224
 baa
E) 022 224
 baa
28. Si: x ε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 ,
Calcular Tg7x + Ctg7x
A) 737 B) 742 C) 763
D) 791 E) 794
29. Si:
31
96
  ; Calcular
16842

 CscCscCscCscCsc 
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E)4
30. Si: x, y ε R+ y x + y = 1,
Determine el máximo valor de M si
M
yx













1
1
1
1
Sugerencia: utilice identidades
trigonométricas.
A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
31. Si:
3
1
Senx ; Calcular 






24
2 x
Tg

A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9
EXAMEN SUMATIVO
32. El valor de:
1−4.𝑆𝑒𝑛10º.𝑆𝑒𝑛70º
2𝑆𝑒𝑛10º
es:
A) 0 B) 1 C) -1 D) ½ E) – ½
EXAMEN SUMATIVO
33. Del grafico mostrado, Hallar “x”
a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10
d) x = 12 e) x = 14
34. Si:


2
2.2.4
Csc
SecCtgSen
K 
donde:
28
3 



; se afirma que:
a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4
d) K = 0 e) K = Cos2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
35. Simplificar: W =
1+cos2x
1−cos4x
a)
1
4
csc2
x b)
1
4
sec2
x c)
1
4
cot2
x
d)
1
4
sen2
x e) 1/4
36. Si:
1−cos(
x
2
)
1−cos(
x
4
)
= Acosn
(
x
8
)
Calcular el valor de: √A
n
a) 2 b) 1 c) 0,5 d) 1,5 e) 4
37. Si Tan(45° + x) = 3
Calcular el valor de: Cot2x
a) ¾ b) 4/3 c) - ¾ d) -4/3 e) 1
38. Si se sabe que:
cos2x = 1 − 8cos2
x
2
+ 8cos4
x
4
Calcular: M = cos2x + 3
a) 0 b) 0,5 c) 1 d) 3 e) 2
39. El valor de “x” al simplificar la
expresión:
x = (
1 + Tanα
1 − Tanα
)
2
(
1 − Sen2α
1 + Sen2α
)
a) 1 + Sen2α b) 1 − Sen2α c) 1
d) −1 e) Sen2α
40. Calcular el valor de k que satisface la
igualdad:
cot21° − ksec6° = tan21° − 2tan42°
a) 2 b) 4 c) 6
d) ½ e) ¼