1.
SEMANA 1
)
TEORÍA DE EXPONENTES
ECUACIÓN DE 1º GRADO
1.
E=
( 0, 125 )


3
Efectuar:
E = 27
−3−1
A) 3
D) 1
+ 36
−2−1
A) 8
D) 2
−1
4
+  ÷ − 2−2
3
B) 6
E) 0
1
⇒E=
1
4
∴E = 1 = 1
2
Simplificar:
2
5
−
−
−4 

E = ( −27 ) 3 + ( −27 ) 3 + 2 ( 3) 


2
3
A)
B)
C) 2
3
2
D) 3
−0,2
* ( −27 )
* ( −27 )
−
5
3
* ( 3)
−4
=
− 4− 2
1
+ ÷
9
−1
−1
+ 0,25−0,5
B) 22
E) 25
 1 
 625 ÷


4
C) 23
1
4
−
1
+ ÷
9
1
2
−2
1
+ ÷
4
625 + 9 + 4²
5 + 3 + 16 = 24
RPTA.: D
−0,2
 27 − 1 + 6 
=

 243 
0,2
 243 
=
÷
 32 
−0,2
2
 3 5  10
=  ÷ 
 2  


3
2
Calcule:
Efectuar:
−
RPTA.: B
3.
4.
RESOLUCIÓN
1
81
1
2
1
⇒E =  −
+

 9 243 81 
E =
= 3 82 = 4
RPTA.: C
A) 21
D) 24
1
=
=
2
3
9
−27
1
1
=
=
5
3
−243
−27
 32 
E=

 243 
2
E= 8
 1 
 625 ÷


1
−0,2
1
23 g2 3
0,5
RESOLUCIÓN
2
3
1
8÷
 
3
 1 
−
÷
 16 
E) 1
−
23 g ( −2 ) 3
3
RPTA.: D
2.
C) 4
6 2
=
9 3
−1
* 2−2 =



B) 6
E) 5
0, º6 =
RESOLUCIÓN
−1
1
1
* 36−2 =
* 27 −3 =
6
3
3
4
* ÷ =
4
3
2
RESOLUCIÓN
C) 2
−1
3
−20 ,6

2.
5.
Para n ∈ ¥ ; n ≥ 2
el equivalente de la expresión
 n² a ga² ga³...an


será:
A) a
D) a
n
n
n+ 3
a ga³ ga5...a2n−1 
÷

B) a²
E) n a
7.
 n n+ 3
⇒ a 2


C) 0
x
n
n
 n +3
 n2 n( n+1)
 n +3
÷ ⇒  a 2 gan ÷
÷

÷



48
644 factores 8
4
7444
3
x g3 x g3 x...3 x
x g 4g x... 3
x
x
144 2444
x
20x g20
=
4x g 2 + 4x g 1
4
4
A) x6
D) x−7
B) x9
E) x7
a
A=
48
x
A=
A=
20x g
20
x
4 g
20
Si:
−1
 a−2 − b −2 
P =  −1
−1 ÷
a +b 
44
÷
−1
 a−1 − b−1 
y Q =  −2
−2 ÷
 a gb 
Halle P . Q, siendo b > a > 0
x −3
;( x ≠ 0)
x −1
A)
C) x−4
÷
C)
x
x3
1
b−a
a+b
( a − b)
E)
B)
D)
2
1
a−b
a−b
( a + b)
2
1
( b − a)
2
RESOLUCIÓN
P=
16
x
gx2
x11
ab
1
y Q=
b−a
ab ( b − a)
∴ PQ =
18
x
x11
⇒A=x
x
RPTA.: D
8.
RESOLUCIÓN
x
C) 4
5x = 5
44 factores
3
B) 3
E) 6
n
 n+ 3
1
÷
⇒ a2 =
÷

Efectuar:
A=
20x +1
4x + 2 + 22x + 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
6.
x
A) 2
D) 5
RESOLUCIÓN
 n² n( n+1)
2
 a 2 gn an


Efectuar:
PQ =
7
RPTA.: E
ab
1
g
b − a ab ( b − a)
1
( b − a)
2
RPTA.: E

3.
9.
⇒
Simplificar:
14a + 14b
M=
2b 14a + 2 a 14b
A) 14a+b
14
D)
2
1
; si: a + b = ab
B) 14
 x 2
∴ ÷ ⇒
y
RPTA.: A
a+b
E) 7a+b
11.
a
(
b
14 + 14
a−1
2 14
b −1
+ 14
)
=
a
14 + 14
(
2 g 14−1 14a + 14b
)
A)
1
5
D)
RPTA.: C
1 1
−
a b
a
a
1+
b
2a
5
=
5 e indicar
C) −
B) 5
E)
5
1
5
1
5
Cambio de variable:
x gb y
⇒
a
1+
b
x g y
2b
x −1
RESOLUCIÓN
Si: a+b = 2ab ; {a;b} ⊂ ¡ -{0;1}
Reducir:
Resolver x−1 1
x
el valor de: x−1
b
1
M=
1
7
⇒M = 7
10.
x
y
C) 7
RESOLUCIÓN
M=
1 1
2
1

− = 2 − = 2 1 − ÷
a b
b
b

y
y
⇒y
y
y
y
5
=
1
=y
x
5
=
5
5
=
5
5⇒
1
x
y
A)
D)
B)
y
x
y
x
x
C)
y
1 1
−
a b
y
y
y =
5
5
∴y = 5
x −1 = 5
E) 1
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
1 1
−
a b
⇒y
1
a
x gy
x1 gy1
1
1−
b
x
1−
y
1
b
12.
1
b
−2
=2
Calcule:
1
1
1 −  2 1 − 1 


÷
b
 x    b 
=  ÷
 y  




(*) a + b = 2ab ⇒
Si: x − x
1 1
+ =2
a b
E = x 4x
1
2
B)
A)
D) 4
1
4
C) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
Elevando
m. a.m.
2 x +1
al
cuadrado
el dato

4.
(
⇒ x −2
)
x−2
⇒x=2
−
1
2
Luego: E = x 4x
(
2x
⇒ E = xx
( )
⇒ E = xx
)
4x
4x
33
x = 93
1
→x=
27
⇒x=
= 22 ⇒ x −2 = 2
RPTA.: C
2
2 x
14.
gx

⇒  xx

2g
1
2
Reducir:
4x

÷

2
= x4x ⇒ E = x
3
5
3
4
x² x
x
7
÷
1
4 ÷
2
3
A) x
⇒ E = x²
1
7
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
21 + 2 x
3
21 + 2 3 x
A) 27
B)
3
9
D)
E)
3
=x
x54 ÷ 60 x −51 →
⇒
N
xx
4
60
x105
x7
7
∴ x4
20
3
21
C)
x27 ÷ 60 x −51
60
Calcule “x” en:
N
21+ 2 3 x
C) x 4
E) x 4
30
13.
5
B) x 4
D) x 2
2
1
 1 
∴E = 
÷ = 2
 2
1
x6
x
x²
5
4
9
3
RPTA.: E
15.
RESOLUCIÓN
Trabajando con cada miembro.
Si: 52x = 2(10x) − 4x
( x − 2 ) −1
E=
Calcule:
( x − 2)
x−4
xN
x x n ⇒ xn = n ⇒ x = n n.......(α)
Luego:
2 x
3
21 + 2 3 x
⇒2 x
3
N
= n − 21
21 + n − 21
= n − 21
A) 236
D) 128
C) 512
RESOLUCIÓN
5 ) + (2
− 2 ( 5 g2
(14444)244444) = 0
4
3
x
2
x
(5
x
n
3
B) 256
E) 0
⇒ 2 x = n − 21.............(β)
2
x
x
)
−2x =0 ⇒ 5x = 2x
∴x=0
(α) en (β):
n
2 3 n n = n − 21
Reemplazando:
Solo se verifica para: n = 27
( −2) −1
E=
⇒ 2 n = n − 21
3
E=
−
1
2
( −2 )
1
16
−4
−2
1
E= ÷
 16 

5.
∴ E = 16² = 256
16.
Cs = {a − b}
RPTA.: B
Resolver:
18.
3
2
5
D)
2
B)
2
5
C)
Resolver en “x”; {a; b; c; d} ⊂ R+
d − ax d − bx d − cx
−d
+
+
=
+ 4x
b+c
a+c
a+b
a+b +c
A) 1
B) d
1
3
2
2
3
1
−
+
+
−
+
=0
x x −1 x − 2 x − 3 x − 4 x − 5
A)
RPTA.: E
2
3
C)
E) 4,5
d
a+b+c
D)
a + 2b + 3c
d
E) φ
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
1
3
2
1
3
3
−
+
+
=
+
x E555555555 x − 5 x − 1 x − 4
x −1 x −F
3
E5555555555555555555
F
d − ax
d − bx
d − cx
−x+
−x+
−x+
b+c
a+c
a+b
d
−x=0
a+b+c
2 ( 2x − 5 )
3 ( 2x − 5 )
2x − 5
+ 2
= 2
2
x − 5x x − 5x + 6 x − 5x + 4


 1

2
3

+
−
( 2x − 5)  2
=0
x − 5x x2 − 5x + 6  x2 − 5x + 4 


14444444 244444444
4
3


≠0
⇒ 2x − 5 = 0
5
x=
2
d − ax − bx − cx d − bx − ax − cx
+
+
b+c
a+c
d − cx − ax − bx d − ax − bx − cx
+
=0
a+b
a+b+c


1
1
1
 1
÷
⇒ d − ( a + b + c ) x  
+
+
+

 b + c a+ c a+b a +b + c÷= 0
4
3
 1444444 24444444 ÷


≠0
RPTA.: D
⇒ d = (a + b + c) x
17.
Halle el conjunto de solución de la
ecuación en “x”.
a
b
( x − a ) + ( x + b ) = −x ; a ≠ 0 ;
b
a
A) φ
B) {a}
D) {a + b} E) {a − b}
∴ x=
d
a+b+c
b≠0
C) {b}
RESOLUCIÓN
Multiplicando por “ab”.
a² (x − a) + b² (x + b) = −ab x
⇒ a²x − a³ + b²x + b³ = −ab x
⇒ (a² + ab + b²)x = a³ − b³
⇒ (a²+ab+b²)x = (a−b)(a²−ab+b²)
∴
x=a−b
19.
RPTA.: C
Calcule a + b sabiendo que la
ecuación
en
“x”
ax + 1 x − 2
−
=x+2
b
4
admite
infinitas soluciones.
A)
1
4
D) 3
B)
3
2
E) 1
C)
2
3

6.
RESOLUCIÓN
x− 2
Recordando que:
3+ 5
ax + b = 0 tiene
soluciones, si y solo si:
∧
a=0
infinitas
2+ 3
b=0
(x −
⇒
a
1 x 1
x+ − + −x−2=0
b
b 4 2
⇒
a 1

1 1

 b − 4 − 1÷x +  b + 2 − 2 ÷ = 0




⇒
a 1
= +1
b 4
⇒
a 5
=
b 4
⇒
b=
∴a+b =
⇒
a=
3+ 5
+
2 + 5
x− 5
2+ 3
=3
luego indique el valor de:
(x −
(x −
3−
3−
) + (x −
5)
2
2
5−
2
)
4
+
6
A) 22
B) 25
D) 5 3
E) 7 5
RESOLUCIÓN
2+ 3+ 5
4
6
=
= 22
RPTA.: A
5
6
+
x =
5 + 9 + 8
9
3
=
6
2
x− 3
)


1
1
1
2− 3− 5 
+
+
=0
2 24444444
+ 5
2 + 3
 3+ 5
1444444
4
3
2
Resolver la ecuación
x− 2
−1+
−1 = 0
( 5) + ( 3) + ( 2)
RPTA.: B
20.
2+ 5
Pero nos piden:
1
3
=
b 2
∧
x− 3
≠0
1
1
=2−
b
2
∧
∧
2
3
x− 5
−1+
C) 3 2

7.
RESOLUCIÓN
x− 2
Recordando que:
3+ 5
ax + b = 0 tiene
soluciones, si y solo si:
∧
a=0
infinitas
2+ 3
b=0
(x −
⇒
a
1 x 1
x+ − + −x−2=0
b
b 4 2
⇒
a 1

1 1

 b − 4 − 1÷x +  b + 2 − 2 ÷ = 0




⇒
a 1
= +1
b 4
⇒
a 5
=
b 4
⇒
b=
∴a+b =
⇒
a=
3+ 5
+
2 + 5
x− 5
2+ 3
=3
luego indique el valor de:
(x −
(x −
3−
3−
) + (x −
5)
2
2
5−
2
)
4
+
6
A) 22
B) 25
D) 5 3
E) 7 5
RESOLUCIÓN
2+ 3+ 5
4
6
=
= 22
RPTA.: A
5
6
+
x =
5 + 9 + 8
9
3
=
6
2
x− 3
)


1
1
1
2− 3− 5 
+
+
=0
2 24444444
+ 5
2 + 3
 3+ 5
1444444
4
3
2
Resolver la ecuación
x− 2
−1+
−1 = 0
( 5) + ( 3) + ( 2)
RPTA.: B
20.
2+ 5
Pero nos piden:
1
3
=
b 2
∧
x− 3
≠0
1
1
=2−
b
2
∧
∧
2
3
x− 5
−1+
C) 3 2