Plano de aula sobre Progressões

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Esta aula foi preparada dentro de um contexto histórico, visando criar um ambiente dinâmico e colaborativo, onde alunos e professores possam interagir de forma produtiva, utilizando-se também de recursos tecnológicos.

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Plano de aula sobre Progressões

  1. 1. Nome: Anderson Santos de Mattos Pólo...: Nova Iguaçu - Grupo: 4 Plano de Aula Progressões Introdução A cada 76 anos, o cometa Halley pode ser visto da terra. Ele passou por aqui, pela última vez, em 1986 e deverá reaparecer no ano de 2062. Depois, em 2138, 2214, 2290,..., nessa ordem, representam uma seqüência numérica, objeto de estudo desta unidade. Podemos encontrar a matemática em todo o nosso cotidiano, como as seqüências com que ocorrem alguns fatos como, por exemplo, as estações do ano, que se repetem obedecendo a um padrão, os números das placas dos veículos também são exemplos de seqüências ou progressões. Esse plano de aula tem a intenção de, com o apoio de diversas técnicas, atividades, problemas e inclusive, da parte histórica, ajudar as pessoas a compreender as progressões. Estudando inicialmente, os processos geniais que ao longo da história tantos homens encontraram para enfrentar os problemas do dia-a-dia, tendo em vista o que ela, a história, pode oferecer como contribuição ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática, verificando que esses conceitos surgiram das necessidades dos antigos povos babilônicos e egípcios, se estendendo até os dias de hoje. Num segundo momento, estão dispostos os conceitos, fórmulas e suas demonstrações, sendo de grande valia ressaltar que elas partem de pressupostos reais, e que não são inventadas. Objetivos Conteúdos Objetivos 1- Sucessão ou seqüência numérica Perceber o que é uma seqüência numérica; 2- Progressão aritmética Identificar regularidades em uma seqüência; 3- Progressão geométrica Conceituar progressão aritmética; Expressar e Calcular o termo geral de uma PA e a soma dos seus termos; Conceituar progressão geométrica; Expressar e calcular o termo geral de uma PG e a soma dos seus termos; Utilizar os conceitos de PA e PG na resolução de problemas. 1
  2. 2. Com esta aula o aluno deverá: - Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam adquirir uma formação científica geral e avançar em estudos posteriores; - Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades cotidianas, na atividade tecnológica e na interpretação da ciência; - Desenvolver a capacidade de raciocínio, de resolver problemas, de comunicação, bem como seu espírito crítico e sua criatividade; - Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas do currículo; - Expressar-se em linguagem oral, escrita e gráfica diante de situações matemáticas; - Usar e reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito; - Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas de conhecimento e do cotidiano; - Desenvolver atitudes positivas em relação à matemática, como autonomia, confiança quanto às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho cooperativo; - Desenvolver o gosto pela matemática e o prazer em “fazer matemática”. Metodologias e apresentações de materiais A História das Progressões As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos. Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse acontecimento. Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da colheita. 2
  3. 3. Rio Nilo Tableta Babilônica Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes, mas nenhuma delas foi tão extraordinária quanto à tableta Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tabletas, a progressão geométrica 1+2+2²+...+29 é somada de forma que a série de quadrados 1²+2²+3²+...+10² é achada. A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi isolamento, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e conseqüentemente, era um centro de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a Matemática. Em um papiro que data de 1950 a. C. podemos encontrar alguns problemas teóricos a respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas. Esse papiro foi encontrado em Kahun e contém o seguinte problema: “Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser representada como a soma de dois quadrados cujos lados estão entre si como 1 : ¾”. Nesse caso temos x² + y² = 100 e x = 3y /4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em y. Podemos, porém, resolver o problema por falsa posição.Para isso tomemos y = 4. Então x = 3 e x² + y² = 25 em vez de 100. Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os valores iniciais, o que dá x = 6 e y = 8. 3
  4. 4. O cálculo rápido de Gauss, foi quando ele aproximadamente aos 9 anos de idade, surpreendeu seu professor. O professor, querendo mantê-lo em silêncio na sala de aula por longo tempo, pediu aos alunos que somassem todos os números inteiros de 1 a 100, isto é, 1+2+3+...+98+99+100. Em poucos minutos Gauss deu a resposta correta com o seguinte raciocínio: Escreveu: 1+2+3+...+98+99+100 Em seguida, inverteu a série: 100+99+98+...+3+2+1 A seguir, somou termo a termo: 101+-101+101+...+101+101+101 Verificou que ficou com 100 parcelas de 101, ou seja, 100 x 101 = 10100 Como usou 2 vezes a seqüência de 1 a 100, cada parcela de 101 entrou 2 vezes na soma. Então, dividiu o total, ou seja: 10100/2 = 5050 Assim, em poucos minutos deu a resposta correta surpreendendo o professor e frustrando-o em pensar que teria silêncio da turma durante um longo tempo. De forma intuitiva, Gauss resolveu o problema com a fórmula que usamos normalmente, ou seja: S100=((1+100)x100)/2 = 5050 4
  5. 5. Ficha técnica de aula/atividade Progressão Aritmética Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. (5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. a1 = 5 a2 = 5 + 2 = 7 a3 = 7 + 2 = 9 a4 = 9 + 2 = 11 a5 = 11 + 2 = 13 a6 = 13 + 2 = 15 a7 = 15 + 2 = 17 Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. Termo Geral de uma P.A Considere uma P.A finita qualquer (a 1, a2, a3 , a4, ... , a n) de razão igual a r, sabemos que: a2 – a1 = r → a 2 = a 1 + r a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r … a n = a1 + (n – 1) . r Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: a n = a1 + (n – 1) . r Exemplo 1: Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a 1 = -10 e r = 3. an = a1 + (n – 1) . r a16 = -10 + (16 – 1) . 3 a16 = -10 + 15 . 3 5
  6. 6. a16 = -10 + 45 a16 = 35 O 16º termo de uma P.A é 35. Soma dos termos de uma P.A finita Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. Sn = (a1 + an) . n 2 Exemplo 2: Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a 8 = 79. Retirando os dados: n=8 Sn = 324 a 8 = 79 Sn = (a1 + an) . n 2 324 = (a1 + 79) . 8 2 324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 648 = 8 a1 + 632 16 = 8 a1 a1 = 2 Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos. a n = a1 + (n – 1) . r 79 = 2 + (8 – 1) . r 79 = 2 + 7 . r 79 – 2 = 7r 77 = r 7 r = 11 6
  7. 7. Progressão Geométrica Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão. Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Cálculos do termo geral Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a1 a2 a3 ... a20 ... an ... 2 19 n-1 a1 a1xq a1xq ... a1xq a1xq ... Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa. 7
  8. 8. Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3 , a4, ... , a n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S n, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a n-1 + a n Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + a n-1 . q + a n .q Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . q = a2 + a3 + ... + a n + a n . q Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a S n - a1 . Logo, substituindo, vem: S n . q = S n - a1 + an . q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos: Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: 8
  9. 9. Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: Dessa equação encontramos como resposta x = 50. Recursos Tecnológicos * Recursos áudio visuais Aula sobre Progressão Aritmética – Prof. Toid http://www.youtube.com/watch?v=RFTGmqPWcSY Aula sobre Progressão Geométrica - Prof. Domingos http://www.youtube.com/watch?v=YYzPJxyw1-0 * Aplicativo criado no Excel, com o nome Progressão Aritmética Tipo:Freeware Descrição: Planilha do Excel que calcula o 1º termo, a razão, o n-ésimo termo, a posição do termo e realiza interpolação aritmética. Possui também simuladores para cálculos do termo geral de uma P.A., soma dos termos, soma dos múltiplos de um determinado número etc. Ainda representa graficamente uma P.A. no plano cartesiano. Tamanho: 315 Kb, basta acessar o link abaixo e selecionar o programa http://www.somatematica.com.br/softwares.php?pag=5 Referências Bibliográficas http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeria.pdf http://www.somatematica.com.br/emedio/pg.php http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.jhtm http://www.escolanet.com.br GIOVANNI, José Ruy (2002). Matemática Fundamental: Uma nova abordagem – Ensino Médio. Volume Único. São Paulo: FTD. 9

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