Power point fet amb bona intenció per tal d'explicar el tema de camp gravitatori als alumnes de batxillerat

1. FISICA II
Escola Vedruna Palamós

2. Concepció pitagòrica de l’Univers
El model d' Aristòtil
El geocentrisme de Ptolomeu
El model heliocèntric. Copèrnic i Galileu
Les òrbites el·líptiques. Kepler.

3. ◦ S’explica mitjançant termes matemàtics
◦ El Gran foc central, origen de tot, es
relacionava amb l’U, origen dels números.
◦ Al voltant girarien la Terra, la Lluna, el Sol i
els planetes
◦ L’Univers acabava en una esfera celest
d’estrelles fixes i més enllà l’Olimp.
◦ El nombre de cossos que formaven
l’Univers era de 10 (obsessió pels
nombres).
◦ Donat que només n’observaven nou,
suposaren que n’hi havia un entre la Terra i Pitàgores nasqué a Samos
el Gran Foc que anomenaren Antiterra. l’any 569 aC.

4.  L’Univers era constituït per dues
regions esfèriques, separades i
concèntriques.
 La Terra ocupava el centre de
l’Univers. Era la regió dels elements,
foc, terra, aigua i aire.
 Més enllà h havia la regió etèria dels
cels constituïda només per la quinta
essència.
 Els moviments dels astres al voltant
de la Terra eren cercles perfectes.
 L’Univers finalitzava amb l’esfera de
les estrelles fixes.
 No podia explicar el moviment
retrògrad d’alguns planetes

5.  Nasqué a Alexandria el segle II.
 Va justificar el seu model calculant
moviments planetaris i predient
eclipsis de Sol i de Lluna.
 Les causes més importants dels
models geocèntrics enfront els
heliocèntrics foren:
◦ La falta de càlculs i prediccions
quantitatives sobre les trajectòries dels
planetes.
◦ Les mesures no eren prou precises
per veure el fenomen de la paral·laxi
estel·lar.

7.  Les estrelles són punts a
l’esfera celest i giren al voltant
de la Terra, amb la que
mantenen punt fixos.
 Introdueix l’excentricitat de les Lluna
trajectòries respecte al centre
de la Terra.
ωt
 Aquest fet li permet explicar les
diferències de brillantor i mida
Ec Ex
que s’observaven en el Sol i la Terra
Lluna.
 La velocitat angular havia de
ser constant respecte d’un punt
fora de la trajectòria anomenat
equant (Ec)

8.  Observà que els planetes (errants),
realitzaven moviments
retrògrads. Formaven llaços a
l’esfera celest, tornant sobre la
seva trajectòria
 Ho justificà mitjançant dues
rotacions:
◦ Una de circular al voltant de la
Terra (eclíptica)
◦ Una de circular al voltant de la
trajectòria del planeta (epicicle)
 Tot i això no explicava totes les
òrbites de tots els planetes.

9.  Nicolau Copèrnic (1473-1543) va plantejar un
sistema heliocèntric, amb el Sol al centre de
l’Univers amb els planetes girant al seu voltant i la
Lluna al voltant de la Terra.
 Aquest model explicava:
◦ Els canvis de brillantor de Mercuri i Venus que no podien
donar-se si rotaven al voltant de la Terra.
◦ El moviment retrògrad dels planetes d’una manera
senzilla.
 Va establir dades bastant precises dels períodes
orbitals dels planetes al voltant del Sol.

10.  Galileu Galilei (1562-1642) fou un defensor a
ultrança del model heliocèntric.
 Va perfeccionar el telescopi que havia inventat
probablement Hans Lippershey (1570-1619) i
observar les fases de Venus
 El 1610 va descobrir els satèl·lits de Júpiter,
confirmant que la Terra no era el centre de
l’Univers.
 El 1632 publicà a Florència la seva obra
Diàleg sobre els dos grans sistemes Galileu Galilei
del mon
 Un any després fou processat per la
Inquisició.
 Tot i això sempre s’oposà a les corbes
el·líptiques de Kepler.

11.  Tycho Brahe (1546-1601) fou un astrònom
destacat que contribuí a l’astronomia obtenint
mesures molt precises de les posicions d’estels
i planetes.
 Utilitzant les dades de Tycho, observà que el
model de Copèrnic deixava Mart 8 minuts d’arc
fora de la trajectòria establerta.
 Mitjançant les mesures de Tycho, comprovà
que això es repetia per a tots els planetes
 Planteja l’el·lipse com a corba que permet
definir el moviment dels planetes.
 Va servir de base a la llei de Newton de la
gravitació universal i va permetre calcular la
massa dels planetes.

12. • L’el·lipse
• Lleis de Kepler
• Llei de gravitació universal
•Velocitat orbital i període de
revolució.

13.  És la línia formada pels punts la
suma de distàncies dels quals a
dos punt fixos, anomenats focus,
és constant.
 L’excentricitat és el quocient
c
ε=
a
 El seu valor pot variar entre 0 i 1. Si
val 0 tenim una circumferència
perfecta
 La posició de l’extrem del semieix
major més allunyada del Sol
s’anomena afeli i la més propera
periheli.

14. Periheli Afeli
Focus Eix
•
menor
b
a
Eix major
1 de gener
→
30 de juliol
r 1 gener
A A
→
Sol r1 juliol
1 de juliol
30 de gener

15. 1. El radi mitjà de l’òrbita que descriu al voltant del Sol de
l’asteroide Gaspra és de 2,21 UA. Calcula el període
de revolució de Gaspra. Dades: 1UA=1,496·10 m
11
2. L’any 2005 es va descobrir un nou planeta del sistema
solar al qual van donar el nom d’Eris. El seu afeli és a
97,5 UA del Sol i el seu periheli a 37,8 UA. Determina’n
el radi mitjà en m i l’excentricitat de la seva òrbita.
3. Explica mitjançant les lleis de Kepler el fet que a
l’hemisferi nord el període tardor-hivern dura sis dies
menys que el de primavera-estiu.
4. La distància mitjana de Mart al Sol és 1,468 vegades la
de la Terra al Sol. Troba el nombre d’anys terrestres
que dura un any marcià

16. 5. El període de rotació de Júpiter al voltant del Sol és 12
vegades més gran que el període que correspon a la Terra.
Calcula quantes vegades és superior la distància mitjana
(semieix de l’el·lipse) des de Júpiter fins al Sol a la distància
mitjana entre la Terra i el Sol
6. Sabent que el planeta Venus tarda 224,7 dies a fer una volta
sencera al voltant del Sol, que la distància de Neptú al Sol és
de 4501·106 km, que la Terra inverteix 365,256 dies a fer una
volta sencera al voltant del Sol i que la distància amb aquest
és de 148,5·106 km, calcula:
a. La distància de Venus al Sol.
b. El temps que tarda Neptú a fer una volta sencera al voltant del Sol.
5. Dos satèl·lits de massa igual orbiten al voltant d’un planeta de
massa molt més gran seguint orbites circulars coplanàries de
radis R i 3R. Calcula la relació entre els dos períodes.

17.  L’atracció d’una esfera actua com si tota la massa
estigués concentrada al seu centre.
 Newton (1643-1827) l’enuncià com:
“ Dues partícules materials s’atreuen mútuament amb una
força directament proporcional al producte de les seves
masses i inversament proporcional al quadrat de la
distancia que les separa” m
m
F = −G 1
2
2
u
r

18. CARACTERÍSTIQUES DEL CAMP
GRAVITATORI
◦ La direcció del vector força és la
recta que uneix les dues masses.
◦ Les forces gravitatòries són sempre
atractives
◦ Són forces a distància.
◦ Són forces d’acció-reacció. Tenen
igual mòdul, direcció però amb • És tan petit que només
sentits contraris. tenen sentit quan una de
les masses són molt gran.
◦ Henry Cavendish (1731-1810) va
• Aquest valor va
verificar el valor constant de permetre deduir la tercera
G = 6,67·10 -11 N·m 2 ·kg -2 llei de Kepler.

19.  Per un cos situat a una alçada h
del centre de la Terra, la força es m
calcula com: h
Mm Mm
F=G 2
=G
r (R + h)2
r
 A partir d’aquesta llei, Newton R
pogué explicar fenòmens com:
◦ La protuberàncies de la Terra i de
Júpiter a causa de la rotació.
◦ L’origen de les marees.
◦ Les trajectòries dels planetes.
◦ La variació de la gravetat amb
l’alçada.
◦ El canvi en l’eix de rotació de la
Terra, etc..

20.  Si partim del punt que quan un planeta o satèl·lit gira al
voltant del Sol, la única força que el manté en òrbita és
la força centrípeta, podem deduir que
M
Mm v2 ⇒ Aïllant v v= G
FN = Fc ⇒ G 2 = m r
r r
Velocitat orbital
 Com que v és aproximadament constant:
s 2π r ⇒ Aïllant T i 2πr 4π 2 ·r 3
v= = T = =
t T substituint v M G·M
G
r
Període de revolució
⇒ Elevant per 4π 2 3
T2 = r
treure l’arrel G·M Tercera Llei de Kepler

21. 1. El primer ésser humà que va fer un viatge espacial
al voltant de la Terra va ser el cosmonauta soviètic
Jurij Gagari, que l’any 1961 va completar una òrbita
en 96 minuts. Si suposem que aquella òrbita va ser
una circumferència, calcula:
a. L’altura de l’òrbita respecte a la superfície de la Terra.
b. La velocitat de la nau en l’òrbita esmentada
DADES: MT=5,98·1024 kg, RT=6370 km
1. Una llançadora espacial orbita la Terra a una altura
de 500 km. Calcula’n el període orbital.
2. Calcula l’altura a la que orbita un satèl·lit
geostacionari.

22.  Tipus de camp
 El camp gravitatori
 Intensitat del camp gravitatori
 Representació del camp gravitatori
Principi de superposició

23. En una regió hi ha un camp si en tots els punts hi
ha present una magnitud física.
CAMPS ESCALARS CAMPS VECTORIALS
 Temperatura  Velocitat
 Pressió
 Acceleracions
 Forces
 Densitat ◦ Conservatiu
 Uniforme
 Central
 Gravitatori
 Elèctric
◦ No conservatiu
 Camp magnètic

24. Camp uniforme Camp central
◦ Els vectors força tenen igual  Els vectors força van dirigits a
mòdul, direcció i sentit un punt anomenat centre de
◦ Exemple: plaques d’un forces.
condensador pla

25.  L’equació de Newton ens proporciona
l’expressió de la força entre dues masses.
→
→ m 1 m2 →
→
F = −G
m 1 m2 →
( u r ) essent u r= r
→
F = −G 3 r
r
2 r r
 Per explicar l’acció que exerceix una
massa sobre una altra situada a una
distància determinada cal introduir el
concepte de camp de força. z
 La massa m pertorba les propietats de →
l’espai pel sol fet de ser-hi m’ u r
independentment que hi situem una altra →
r →
massa m’. m
g
y
x

26.  Es defineix com el vector g
 La intensitat del camp gravitatori és la força que
actuaria per unitat de massa
 Unitats: N/kg
 Característiques:
◦ És radial i disminueix amb
el quadrat de la distància.
◦ Es dirigeix cap a la partícula
que crea el camp.

27.  Variació de la intensitat gravitatòria terrestre amb
l’altura.
A la superfície terrestre
MT
g0 = G = 9,8 m / s2
R2
T
I al punt Q
g = G M2T = G MT
( RT + h)
2
r
Sabent que
Dividint les dues equacions Exercici
trobem Sabem que la intensitat de la gravetat a la
superfície de la Terra és 9,8 m/s2 i que el radi
mitjà és 6,38. 106. Determineu el camp
gravitatori a una altura sobre la superfície
terrestre de: a) 20 m; b)1000 m; c)10 km;d)
dos radis terrestres.

28.  Un camp vectorial es
representa mitjançant les
línies de camp.
 En el cas del camp
gravitatori són radials m M
 Característiques de les línies
de camp:
◦ La direcció de la intensitat és
determina amb la tangent a les
línies de força
◦ El sentit ve indicat per la fletxa.
◦ El mòdul es representa amb la
densitat de línies que hi ha en
un punt.

29. Si les masses no són
puntuals però són
esfèriques per valors més
grans que el seu radi
podem considerar-les
puntuals
Exercici
Determina la intensitat del camp gravitatori en el punt P
del sistema de la figura

30.  Camps conservatius
 Energia potencial
 Potencial gravitatori
 Interpretació del treball
 Representació energètica d’un camp de forces

31.  Un camp de forces és conservatiu si el
treball necessari per traslladar una
partícula d’A a B no depèn de la
trajectòria. Només depèn del punt final i
punt inicial
W = -∆Ep B
 En general podem dir-ne que l’energia →
mecànica es manté constant ∆r
 L’energia potencial:
◦ És l’energia que acumula el treball realitzat
◦ Té diferents expressions segons la força →
∆r
◦ No té origen definit. Només en tenen sentit
les variacions.
→
A ∆r
• →
dr
m

32.  Un treball en un camp conservatiu es pot E r
expressar com una variació d’energia
potencial gravitatòria. P
operant i considerant que a l’infinit Ep = 0, obtenim que
 Així doncs, podem considerar que l’energia
potencial gravitatòria en un punt, és el treball
necessari per traslladar un cos de massa m
des del punt a l’infinit.

33.  El potencial gravitatori representa l’energia
potencial d’una unitat de massa col·locada en el
camp gravitatori
Així doncs
Si considerem a l’infinit el potencial és 0
Exercici
Calculeu el potencial creat per la Terra suposant que la
intensitat gravitatòria terrestre només actua:
a)A la seva superfície
b)A una altura de 3 radis terrestres
c)A ‘infinit

34. Ep R r
Definició: T
 Es el treball que realitza el
camp gravitatori per traslladar
la unitat de massa des d’un MT
punt a l’infinit. V0 =−G
RT
Unitats:
 Joule/quilogram (J/kg)
Si treballem amb una massa m
obtindrem que:

35.  Per a una distribució de masses puntuals
Exercici
Calculeu el potencial creat en el
punt A per la distribució de
masses esfèriques de la figura

36. Exercici
a)Calculeu l’energia potencial del sistema
format per dues masses puntuals quan es
troben en les situacions 1 i 2 de la figura.
b)Quin treball realitza el sistema en passar
de la situació 1 a la 2?

37.  La unió dels punts amb igual potencial gravitatori
permeten obtenir les superfícies
equipotencials:
◦ Són perpendiculars a les línies de camp
◦ El treball que cal fer per traslladar una massa entre dos
punts equipotencials és nul.
◦ Donat que una massa crea un camp central, totes els
punts situats a la mateixa distància són equipotencials.

38. 1. Dues masses puntuals de valors m1=100 kg i m2 =
500 kg es troben situades respectivament en els punts
de coordenades (30,0) i (0,40), on les distàncies estan
expressades en metres. Calculeu la força gravitatòria
que actua sobre cada partícula

39. 2. Quina és la intensitat de camp gravitatori en un punt
de l’espai que es troba una altura respecte de la
superfície terrestre igual a la longitud del radi
terrestre?
3. En els vèrtexs d’un triangle equilàter hi ha tres
masses iguals. En quin punt s’anul·la la intensitat de
la gravetat?
4. Si en tres dels quatre vèrtexs d’un quadrat tenim tres
esferes de masses diferents, la intensitat del camp
gravitatori en el centre del quadrat varia segons la
posició de les masses en els vèrtexs? Justifiqueu la
resposta.
5. Calculeu el camp gravitatori creat en el punt P per la
distribució de masses de la figura.

40. 6. Determineu en quin punt de l’espai la intensitat
del camp gravitatori s'anul·la, si considerem que
només hi ha interacció gravitatòria entre la Terra
i la Lluna.

42. • Velocitat orbital
• Període de revolució
• Energia mecànica de translació
• Velocitat d’escapament
• Forma de les trajectòries

43. Recordem que:
 Velocitat orbital
◦ Velocitat amb que un cos dona voltes a un cos de massa
M
 Període de revolució
∆s
◦ Temps que triga un cos a fer una volta entorn a un cos.
v=
∆t

44.  Energia potencial
MT m
Ep = − G
r
 Energia cinètica
1 1 m MT m
Ec = m v 2 = G MT ⇒ Ec = G
2 2 r 2r
 Energia total m d’un satèl·lit en òrbita
E = E + E =G
c p
M −G M m =−G M m ⇒
T T T
E = − G MT
m
2r r 2r 2r

45. Conclusions:
 Si un satèl·lit es separa de
la Terra augmenta
l’energia potencial, però
disminueix l’energia
cinètica.
 Si s’apropa a la terra perd
energia potencial però
augmentarà la seva
energia cinètica.
 A l’infinit l’energia
mecànica serà 0 deixarà
d’estar lligat a la Terra.

46.  Donat que en un camp gravitatori,
l’energia potencial sempre és
negativa i l’energia cinètica sempre
S
positiva, l’energia mecànica total pot ol
ser positiva, negativa o nul·la.
 Depenent del signe de l’energia
mecànica la trajectòria podrà ser una
circumferència, una el·lipse, una
paràbola o bé una hipèrbole.
1 Mm
• Si es la meitat de la Ep ET = − G
2 r CIRCUMFERENCIA
• Si es mayor que la anterior 1 Mm
pero menor que cero −
2
G
r
〈 ET 〈 0 EL·LIPSE
• Si ET = 0 ⇒ Ec = Ep PARÀBOLA
• Si ET > 0 ⇒ Ec > Ep
HIPÈRBOLA

47.  Pel principi de conservació de l’energia
E0 = Ef ⇒ Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f
m
Ec,0 − G MT = − G MT
m  1 1
Ec,0 = G MT m  −
RT 2r
 RT 2r 

Energia de satel·lització
 A partir de l’energia de satel·lització n'aïllem la velocitat.
1 2  1 1  1 1
Ec,0 = m v 0 = G MT m  − ⇒ v0 = 2 G MT  −
2  RT 2r 
  RT 2r 

Velocitat de
llançament

48.  Velocitat en que hem de llançar un cos perquè
pugui escapar-se de l’atracció terrestre.
 Es considera que s’escapa quan
Ec+Ep=0
Obtenim
ve = 2G
M T
RT
ve = 2 g0 R
T
G MT
g0 =
R2
T

49. 1. Un satèl·lit de telecomunicacions té una massa
4800 kg i gira en una òrbita circular a 1000 km
d’altitud. Determina’n la velocitat orbital i el
període de revolució.
2. Calcula l’energia mecànica de translació d’un
satèl·lit meteorològic de 5000 kg de massa que
gira en una òrbita circular situada a 5000 km de
la superfície de la Terra.

50. 3. Un satèl·lit de massa 500 kg es vol posar en
òrbita circular a una altura de 300 km de la
superfície de la Terra. Calculeu:
 La velocitat de rotació del satèl·lit
 El període
 L’energia mecànica
 L’acceleració centrípeta.