1. Επιμέλεια : Χρήστος Χαρμπής
http://xristx.blogspot.gr/
Μαθηματικά Δ΄- Ενότητα 2η - Μάθημα 13ο
:
΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄

2. ΤΕΛΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
(ΔΕΝ έχει υπόλοιπο)
Διαιρετέος διαιρέτης
Πηλίκο
Επαλήθευση:
Δ = Π x δ

3. ΑΤΕΛΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
(Έχει υπόλοιπο)
Διαιρετέος διαιρέτης
Πηλίκο
υπόλοιπο
Επαλήθευση:
Katerinakar
Δ = Π x δ +υ

4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ
διαιρέτης
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 8 : 2 = ?
διαιρέτης
ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΩ: πόσες φορές χωράει το 2 στο 8;
1. Σκέφτομαι: 2 επί ποιον αριθμό (?) μου κάνει 8;
2. Βρίσκω τον αριθμό και τον γράφω στο πηλίκο.
3. Σκέφτομαι: ΠΗΛΙΚΟ x ΔΙΑΙΡΕΤΗ
δηλαδή: x = .
4. Γράφω τον αριθμό που βρήκα κάτω από το ΔΙΑΙΡΕΤΕΟ και
κάνω αφαίρεση.
Διαιρετέος
ΠΗΛΙΚΟ
Διαιρετέος
ΠΗΛΙΚΟ
28
?

5. Λύνω τις διαιρέσεις.
• 14 : 7 = ___ , επειδή ________________________________
• 18 : 3 = ___ , επειδή ________________________________
• 56 : 8 = ___ , επειδή ________________________________
• 42 : 6 = ___ , επειδή ________________________________
• 12 : 4 = ___ , επειδή ________________________________
• 9 : 3 = ___ , επειδή ________________________________
• 15 : 5 = ___ , επειδή ________________________________
• 27 : 9 = ___ , επειδή ________________________________
• 10 : 2 = ___ , επειδή ________________________________
• 16 : 8 = ___ , επειδή ________________________________
• 20 : 4 = ___ , επειδή ________________________________
• 24 : 4 = ___ , επειδή ________________________________
• 35 : 7 = ___ , επειδή ________________________________
• 25 : 5 = ___ , επειδή ________________________________
• 49 : 7 = ___ , επειδή ________________________________
• 63 : 9 = ___ , επειδή ________________________________
• 21 : 3 = ___ , επειδή ________________________________
• 54 : 6 = ___ , επειδή ________________________________
• 32 : 4 = ___ , επειδή ________________________________
ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ : Στη συνέχεια λύνω τις παραπάνω διαιρέσεις
ΚΑΘΕΤΑ όπως στο παράδειγμα.
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ

6. Μαθηματικά Δ΄ τάξης: Κεφάλαιο 13ο - "Τέλεια και
ατελής διαίρεση"
Τι πρέπει να γνωρίζω:
1) Όταν μια διαίρεση δεν αφήνει υπόλοιπο (υ = 0)
λέγεται τέλεια,
2) Όταν μια διαίρεση αφήνει υπόλοιπο,
λέγεται ατελής,
3) Σε κάθε περίπτωση επαληθεύω με
πολλαπλασιασμό του πηλίκου (π) με το διαιρέτη (δ)
και προσθέτω το υπόλοιπο (υ), αν υπάρχει. Έτσι
πρέπει να βρω το διαιρετέο (Δ). Για τις παραπάνω
διαιρέσεις οι επαληθεύσεις είναι οι εξής:
1) 63 = 9 Χ 7 (Δ = π Χ δ + 0)
2) 68 = (9 Χ 7) + 5 (Δ = π Χ δ + υ)
http://zorba73.blogspot.gr

7. -48
50
8
6
2
διαιρετέος διαιρέτης
πηλίκο
υπόλοιπο
Η πράξη της διαίρεσης
ΤΕΤΟΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

8. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
3 6 0 3
1
3
0 6 2
6
0 0
0

9. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
9 8 4 4
2
8
1 8 4
1 6
2 4
6
2 4
0

10. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
1 2 6 7
1
7
0 5 8
5 6
0 0
6

11. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
2 0 8 2
1
2
0 0 4
8
0
8 0

12. 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ
΄Ονομα: --------------------------------------------------------------------- Ημερομηνία: ----------------------
1. Συμπλήρωσε:
α) 8 . 10 = δ) 12 . 100 = ζ) 7 . 1000 =
β) 12 . 10 = ε) 135 . 100 = η) 1300 . 1000 =
γ) 630 . 10 = στ) 120 . 100 =
2. Με τη βοήθεια των εξισώσεων, που βρίσκονται στο πλαίσιο να συμπληρώσεις τις
υπόλοιπες: β)
α)
• 8 . 576 =
• 4608 : 8 =
• 4608 : 576 =
• 576 . 80 =
• 576 . 800 =
• 5760 . 8000 =
• 426 60
• 426 7
3. Να λύσεις τις πιο κάτω ασκήσεις: (3,5 μονάδες)
α) 8096 β) 768 γ) 897 δ) 675
9 Χ 38 Χ 700 Χ 506 Χ
ε) 784 8 στ) 8952 26 ζ) 28 763 700
------------------------- ---------------------------- ------------------------
• Γράψε κάτω από την κάθε διαίρεση, αν είναι τέλεια ή ατελής. Στις ατελείς διαιρέσεις
γράψε τους διαιρετέους χρησιμοποιώντας πολλαπλασιασμό και πρόσθεση.
576 . 8 = 4608
426 = 7 . 60 + 6

13. 2
4. Βρίσκω τους μυστικούς αριθμούς:
• 80 . 64 : 80 . 300 : 64
Πολλαπλασιάζω Διαιρώ Διαιρώ Βρίσκω
• επί διά διά αποτέλεσμα
20 5 2 40
5. Βρες την απάντηση, χωρίς να κάνεις τις πράξεις:
α) (456 . 42) : 42 = γ) (60 : 27) . 9 =
β) (18 . 160) : 80 = δ) (120 : 12) . 36 =
6. Συμπλήρωσε τον πιο κάνω πίνακα, κάνοντας δίπλα τις πράξεις (αν χρειάζεται). ΄Ολες οι πιο
κάτω διαιρέσεις είναι τέλειες:
Διαιρετέος 35 5566
Διαιρέτης 5 15
Πηλίκο 46 371
7. Να λύσεις τα πιο κάτω προβλήματα.
α)´Ενας μανάβης αγόρασε 25 σάκους πατάτες των 40 κιλών ο κάθε σάκος. Πώλησε 870 κιλά.
Πόσα κιλά του έμειναν απούλητα;
β) Ο κ. Παναγιώτης αγόρασε ένα αυτοκίνητο αξίας £10 000. ´Εδωσε προκαταβολή £3850 και
τα υπόλοιπα τα ξόφλησε σε 15 ίσες δόσεις. Πόσα πλήρωνε σε κάθε δόση;
γ) Μια τηλεόραση στοιχίζει £325. Η τηλεόραση είναι κατά £148 πιο φτηνή από ένα ψυγείο.
Πόσα θα πληρώσω, αν αγοράσω μια τηλεόραση και ένα ψυγείο;
www.akida.info/

14. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:______________________________ __/__2009
1. Συμπληρώνω το πηλίκο και το υπόλοιπο.
 Η διαίρεση 35 : 5 δίνει πηλίκο 7 και υπόλοιπο 0.
● Η διαίρεση 17 : 2 δίνει πηλίκο …….. και υπόλοιπο ……..
● Η διαίρεση 26 : 3 δίνει πηλίκο …….. και υπόλοιπο ……..
● Η διαίρεση 37 : 4 δίνει πηλίκο …….. και υπόλοιπο ……..
● Η διαίρεση 55 : 6 δίνει πηλίκο …….. και υπόλοιπο ……..
● Η διαίρεση 47 : 8 δίνει πηλίκο …….. και υπόλοιπο ……..
2. Κάνω τις διαιρέσεις και τις επαληθεύσεις τους.
427 5
7.153 2
861 3
6.217 4
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ

15. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:______________________________ __/__2009
3. Κυκλώνω τους αριθμούς που φτιάχνουν σωστές προτάσεις.
 Ο αριθμός 3 διαιρεί τους: 7 12 21 26 33 40
 Ο αριθμός 2 διαιρεί τους: 8 17 22 34 47 58
 Ο αριθμός 4 διαιρεί τους: 10 16 26 30 32 44
 Ο αριθμός 5 διαιρεί τους: 11 25 30 36 42 60
4. Ο Σπύρος κάνει τέσσερις διαιρέσεις και βρίσκει:
α. 123 : 5, με π = 23 και υ = 8 β. 256 : 7, με π = 36 και υ = 4
γ. 478 : 9, με π = 53 και υ = 7 δ. 365 : 4, με π = 91 και υ = 1
Κάνω κι εγώ τις διαιρέσεις για να δω ποιες είναι σωστές.
α. β. γ. δ.
5.
Παλάνης Αθανάσιος
Μια ανθοπώλισσα έχει 257
τριαντάφυλλα και θέλει να
φτιάξει μπουκέτα των 8
λουλουδιών. Πόσα ίδια
μπουκέτα μπορεί να
φτιάξει; Πόσα
τριαντάφυλλα θα της
μείνουν;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:_________________
___________________________

16. Ενότητα 13
Ευνίκη Τοκατλή

17. Ενότητα 13β
Οι παρακάτω διαιρέσεις είναι ατελείς. Δηλαδή μας αφήνουν
υπόλοιπο. Κάνε τις διαιρέσεις με την επαλήθευσή τους όπως στο
παράδειγμα. Πρόσεξε στην επαλήθευση να μη ξεχάσεις να
προσθέσεις το υπόλοιπο.
επαλήθευση
18.453 9 2.050 3.949 5 επαλήθευση
-18 2050 Χ 9
045 18450
-45 + 3
03 18.453
18.758 3 επαλήθευση 10.339 4 επαλήθευση
14.615 6 επαλήθευση 8.642 7 επαλήθευση
Ευνίκη Τοκατλή

18. Ενότητα 2η Τέλεια και ατελής διαίρεση
Ευκλείδεια Διαίρεση
Η κάθετη πράξη της διαίρεσης πήρε το
όνομά της από τον Έλληνα μαθηματικό
Ευκλείδη ( 325 π.Χ. – 265 π.Χ.).
 Ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα χωρίζω
αριστερά και στο διαιρετέο.
 Το 2 στο 2 χωράει μία φορά. Σημειώνω 1 στο
πηλίκο.
 1 Χ 2 = 2. Σημειώνω το 2 κάτω από το 2 και
αφαιρώ.
 2 – 2 = 0. Κατεβάζω το 5.
 Το 2 στο 5 χωράει 2 φορές. Το σημειώνω στο
πηλίκο
 2 Χ 2 = 4. Το σημειώνω κάτω από το 5 και
αφαιρώ.
 5 – 4 = 1. Κατεβάζω και το 8.
 Το 2 στο 18 χωράει 9 φορές. Το σημειώνω στο
πηλίκο.
 2 Χ 9 = 18. Το σημειώνω κάτω από το 18 και
αφαιρώ.
 18 – 18 = 0
giannis 2013

19. giannis 2013
Η τέλεια διαίρεση έχει υπόλοιπο 0. Η ατελής διαίρεση έχει υπόλοιπο 1, .
. 2, 3… μικρότερο αριθμό από το . . .
. διαιρέτη
Προσοχή ! Το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από το
διαιρέτη.
Η επαλήθευση της διαίρεσης είναι ο πολλαπλασιασμός!
Τέλεια διαίρεση:
Πολλαπλασιάζω το
πηλίκο με το διαιρέτη και
το αποτέλεσμα πρέπει να
είναι ο διαιρετέος.
2 3
Χ 2
46
Ατελής διαίρεση:
Πολλαπλασιάζω το
πηλίκο με το διαιρέτη και
στο αποτέλεσμα
προσθέτω το υπόλοιπο. Το
αποτέλεσμα πρέπει να
είναι ο διαιρετέος.
1 8
Χ 2
3 6
+ 1
37

20. ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ

21. ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ

22. ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ

23. ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ

24. ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ

25. ΒΑΣΙΛΗΣ ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ

26. Ευκλείδεια διαίρεση
Κατερίνα Ταβουλτσίδου

27. Μέρη της διαίρεσης
39382διαιρετέος διαιρέτης
υπόλοιπο πηλίκο

28. Ξεκινάω με το πρώτο ψηφίο
39382
39
0
Επειδή ο διαιρέτης αποτελείται από ένα ψηφίο θα κάνω την διαίρεση μόνο με το
πρώτο ψηφίο του διαιρετέου . Δηλαδή 9 διά 3.

29. Προχωράω στο 2ο ψηφίο
39382
313
03
0
Κατεβάζω το δεύτερο ψηφίο του διαιρετέου κάτω και κάνω την διαίρεση 3 διά 3

30. 39382
31
2
Κατεβάζω το τρίτο ψηφίο του διαιρετέου κάτω και κάνω την διαίρεση 8 δια 3.
208
6
Προχωράω στο 3ο ψηφίο

31. 39382
3127
1
Κάτεβάζω το τέταρτο ψηφίο του διαιρετέου κάτω και το βάζω δεξιά από το 2 που είχε
μείνει από την προηγούμενη διαίρεση . Κάνω την διαίρεση 22 δια 3.
Ολοκληρώνω την διαίρεση με το 4ο ψηφίο
22
21

32. 39382
3127
1
Επαλήθευση : 3 ∙ 3127 + 1 = 9382
Αποτελέσματα της διαίρεσης
υπόλοιπο
πήλίκο