Estatistica ermes medeiros

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Estatistica ermes medeiros

  1. 1. Estatísticapara os cursos de: Economia Administração e Ciências Contábeis BPDEA -w SA E w A Associação Bras~leim para a Proteçao dos Direitos - Editoriais e Automis R E S P E IT E O AUTOR N AO F A Ç A ~ P I A C
  2. 2. EDITORA ATLAS S.A.Rua Conselheiro Nébias, 1384 (Campos Elísios) 01203-904 São Paulo (SP) Tel.: (O 11) 3357-9144
  3. 3. Ermes da Silva Elio da Silva Walter Gonçalves Afrânio Carlos MuroloEstatísticapara os cursos de: Economia Administração e Ciências Contábeis Volume 1 PAULO EDITORA ATLAS S.A. -- 1999
  4. 4. 1994 by EDITORA ATLAS S.A. ed. 1995; 2. ed. 1996; 3. ed. 1999; Capa: Aldo Composição: Formato Serviços de Editoração Ltda. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Estatística Ermes da Silva ... let - 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999. Outros autores: Walter Gonçalves, Elio da Silva, Afrânio Carlos Murolo. ISBN 85-224-2236-2 Estatística I. Silva, Ermes Medeiros. Gonçalves, Walter, 1942- 111. Silva, Elio da. Murolo, Afrânio Carlos. V. Título. 94-4177 CDD-519.5 índice para catálogo sistemático: 1. Estatística 519.5TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - É proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei 9.610198) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal.Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto de 20 de dezembro de 1907. Impresso no ín Brazíl
  5. 5. Sumáriot CONCEITOS BASICOS, 11 1 1 Introdução, 11 . 1.2 Conceitos Fundamentais, 12 1.2.1 Objetivo, 12 1.2.2 População e Amostra, 12 1.3 Processos Estatísticos de Abordagem, 12 1.4 Dados Estatísticos, 14 1 5 Estatística Descritiva, 14 . 1 6 Dados Brutos, 15 . 1.7 Rol, 16 1 8 Exercícios Propostos, 17 . SÉRIES ESTAT~STICAS, 8 I 2 1 Apresentação de Dados Estatísticos, 18 . 2.2 Distribuição de Frequência - Variável Discreta, 18 2.3 Distribuição de Frequência - Variável Contínua, 19 2.4 Construção da Variável Discreta, 20 2.5 Construção da Variável Contínua, 2 1 2.6 Exercícios Propostos, 26 2.7 Distribuição de Frequências - Variável Discreta, 29 2.7.1 Frequência Relativa de um Elemento da Série - fr, 29 2.7.2 Frequência Acumulada de um Elemento da Série - Fi, 30 2.7.3 Frequência Acumulada Relativa de um Elemento da Série - FR,,31 2.8 Distribuição de Frequências - Variável Contínua, 32 2 8 1 Frequência Relativa de uma Classe - fh 32 .. 2.8.2 Frequência Acumulada de uma Classe - Fi, 33 2.8.3 Frequência Acumulada Relativa de uma Classe - FR,34 2.9 Exercícios Propostos, 35
  6. 6. 6 Sumário 2.1 0 Representação Gráfica de Séries Estatísticas, 38 2.10.1 Histograma - Variável Discreta, 39 2.10.2 Histograma - Variável Contínua, 40 2.11 Exercícios Propostos, 423 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, 46 3.1 Introdução, 46 3.2 Somatório - Notação Sigma (C ), 46 3.3 Exercícios Propostos, 51 3.4 . Médias, 54 3.4.1 Média Aritmética Simples, 54 3.4.2 Média Aritmética Ponderada, 54 3.4.3 Média Geométrica Simples, 55 3.4.4 Média Geométrica Ponderada, 55 3.4.5 Média Harrnônica Simples, 55 3.4.6 Média Harmônica Ponderada, 56 3.5 Cálculo da Média Aritmética, 57 3.6 Exercícios Propostos, 60 3.7 Mediana, 66 3.8 Cálculo da Mediana, 66 3.9 Exercícios Propostos, 71 3.10 Moda, 74 3.11 Cálculo da Moda, 74 3.12 Utilização das Medidas de Tendência Central, 83 3.13 Exercícios Propostos, 854 MEDIDAS SEPARATRIZES, 89 4.1 Conceitos, 89 4.2 Cálculo das ~edidasseparatrizes, 90 4.3 Exercícios Propostos, 955 MEDIDAS DE DISPERSÃO, 100 5.1 Introdução, 100 5.2 Medidas de Dispersão Absoluta, 101 5.3 Amplitude Total, 101 5.4 Cálculo da Amplitude Total, 101 5.5 Exercícios Propostos, 102 5.6 Desvio Médio Simples, 103
  7. 7. Sumário 7 5.7 Cálculo do Desvio Médio Simples, 103 5.8 Exercícios Propostos, 108 5.9 Variância e Desvio Padrão, 109 5.1 0 Cálculo da Variância e Desvio Padrão, 110 5.11 Interpretação do Desvio Padrão, 116 5.1 2 Exercícios Propostos, 118 5.13 Medidas de Dispersão Relativa, 121 5.14 Exercícios Propostos, 122i MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 124 6.1 Introdução, 124 6.2 Medidas de Assimetria, 125 6.2.1 Coeficiente de Pearson, 125 6.2.2 Coeficiente de Bowley, 125 6.3 Medida de Curtose, 126 6.4 Exercícios Propostos, 132- PROBABILIDADES, 143 7.1 Introdução, 143 7.1.1 Fenômenos Aleatórios, 143 7.2 Teoria das Probabilidades - Espaço Amostral, 145 7.3 Eventos, 147 7.4 Operações com Eventos, 148 7.5 Exercícios Propostos, 149 7.6 Função de Probabilidade, 151 7.7 Definição de Probabilidade, 151 7.8 Exercícios Propostos, 155 7.9 Probabilidade de um Evento, 158 7.10 Exercícios Propostos, 159 7.11 Axiomas de Probabilidade, 162i CÁLCULO DE PROBABILIDADES, 163 8.1 Teoremas Fundamentais, 163 8.1.1 Probabilidade do Conjunto Vazio, 163 8.1 -2 Probabilidade do Complementar, 163 8.1.3 Probabilidade da Reunião, 163 8.1.4 Exercícios Propostos, 165 8.1.5 Probabilidade Condicional, 165
  8. 8. 8 Sumário 8.1.6 Exercícios Propostos, 170 8.1.7 Teorema da Probabilidade Total, 172 8.1.8 Exercícios Propostos, 174 8.1.9 Teorema de Bayes, 176 8.1.1 0 Exercícios Propostos, 178 8.2 Exercícios Gerais, 179Bibliografia, 189
  9. 9. Prefácio Estamos colocando a disposição dos colegas professores e aos inte- ?ssadosem estatística de modo geral uma coleção de livros da qual este é oprimeiro volume. O conteúdo deste volume apresenta os conceitos básicosiniciais de um curso de estatística, isto é, enfoca a estatística descritiva, asmedidas sobre uma distribuição, e coloca os principais estimadores necessá-rios ao desenvolvimento posterior de inferência estatística. Encerra o volumeo estudo do cálculo de probabilidades. Este conteúdo foi escolhido por algunsmotivos. A nossa experiência ao desenvolver cursos nesta área nos conven- zu de que este conteúdo pode ser desenvolvido com bom aproveitamento um curso anual de 72 horas ou em curso semestral equivalente. Além disso, conteúdo está adequado ao novo currículo dos cursos de administração deempresa que estão sendo implantados nas diversas faculdades. Entretanto, o que nos parece mais importante é a maneira como oassunto foi desenvolvido. Uma crítica frequente de professores e alunos comrespeito aos textos de estatística é que eles apresentam os conceitos estatísti-cos do ponto de vista matemático, com ênfase nos cálculos das medidas. Aconseqüência deste enfoque é que os estudantes, embora possam desenvol-ver os cálculos necessários a solução de problemas não são capazes derealizar o que nos parece fundamental em estatística, que é o conhecimento eas possíveis interpretações do fenômeno estatístico envolvido. Para atingir este objetivo procuramos desenvolver os conceitos dandoanfase a interpretação das medidas sobre o fenômeno estatístico. Desta for- ia, a apresentação de cada conceito é seguida de sua interpretação específi- a, completada por questões teóricas e práticas que fixem esse conhecimen-,a. A idéia é que fique claro o que o conceito significa do ponto de vistaestatístico e quais são as possíveis utilidades que ele pode ter, principalmenteno campo da Administração. Tendo em vista este objetivo, muitas vezes restringimos a abrangênciado conceito com a finalidade de torná-lo acessível ao estudante. Desta forma,os professores da área certamente notarão alguns conceitos particularizadosou pouco abrangentes. Achamos necessária esta restrição para não desviar oenfoque do significado do conceito e sua interpretação.
  10. 10. 10 Prefácio Acreditamos que a medida que o estudante for adquirindo experiêncianesta área, a generalização dos conceitos ocorrerá de maneira natural. Com a finalidade de fixar os conceitos elaboramos grande quantidadede exercícios. O leitor deverá notar que tivemos o cuidado de apresentarproblemas enfocando a aplicação da estatística a diversas áreas da adminis-tração de empresas; cumprindo desta forma uma de suas finalidades que é dedisciplina de apoio as áreas profissionais deste campo. Esperamos que este texto e os demais que o seguirão sejam de utili-dade para professores e estudantes que necessitam de estatística em suavida profissional. Gostaríamos de receber sugestões e críticas dos colegas. Essa aten-ção para com nosso trabalho nos farão agradecidos e certamente colaborarãopara a correção de rumo, aumentando a adequação, utilidade e competênciadesta obra. São Paulo, outubro de 94. Os Autores
  11. 11. 1/ Conceitos Básicos1 .I Introdução O termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado original-mente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar oEstado em suas decisões. Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valordos impostos cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de umanova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucessão de bata-lhas. (Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas,cavalos etc. dispunham após a última batalha.) Atualmente, a estatística é definida da seguinte forma: Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fe- nômenos coletivos. A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII,com os estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON,PEARSON, FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas característicasatuais. Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir narazão direta do desejo de investigação dos fenômenos coletivos. A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no senti-do do estudo de uma população. É considerada como método quando utiliza-da como instrumento por outra Ciência. A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência,solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se. Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quandoutilizada como instrumento de pesquisa.
  12. 12. 12 Estatística 1 Em especial esta última é a relação que a Estatística mantém com aAdministração, Economia, Ciências Contábeis, servindo como instrumento au-xiliar na tomada de decisões.1.2 Conceitos Fundamentais1.2.1 OBJETIVO Estatística tem como objetivo o estudo dos fenômenos coletivos.1.2.2 POPULAÇAO E AMOSTRA Conceituaremos População como sendo o conjunto de todos os itens(pessoas, coisas, objetos) que interessam ao estudo de um fenômeno coletivosegundo alguma característica. Entenderemos por Amostra, qualquer subconjunto não vazio de umapopulação. Uma característica numérica estabelecida para toda uma população édenominada parâmetro. Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é deno-minada estimador. Por exemplo: no fenômeno coletivo eleição para governador no Estadode São Paulo, a população é o conjunto de todos os eleitores habilitados noEstado de São Paulo. Um parâmetro é a proporção de votos do candidato A.Uma amostra ,é um grupo de 1000 eleitores selecionados em todo o Estado.Um estimador é a proporção de votos do candidato A obtida na amostra. Em aplicações efetivas, o número de elementos componentes de umaamostra é bastante reduzido em relação ao número de elementos componen-tes da população.1.3 Processos Estatísticos de Abordagem Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo podemos optarentre os seguintes processos estatísticos: a) Estimação. b) Censo.
  13. 13. Conceitos Básicos 13 Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos9s componentes da população. Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base emIJm estimador através do cálculo de probabilidades. Propriedades Principais do Censo: i Admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%. i É caro. i É lento. É quase sempre desatualizado. i Nem sempre é viável. Propriedades Principais da Estimação: i Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%. i É barata. i É rápida. i É atualizada. i É sempre viável.COMENTÁRIO: estatisticamente, a precisão de um valor numérico é avalia- da através do binômio: confiança e erro processual. Se admitirmos que podemos retirar do Censo todo tipo de erro denatureza humana (erro de cálculo de avaliação, de anotação etc.), restaráapenas outro tipo de erro devido ao procedimento empregado. Este erro é chamado erro processual. No caso de um Censo, o erroprocessual é zero, pois avaliamos um por um, todos os elementos componen-tes da População. Como o erro processual na avaliação é zero, a confiabilidade no parâ-metro obtido é 100%. A precisão, no Censo é total. Na estimação, como avaliamos apenas parte e não todos os elemen-tos que compõem a população, admitimos um erro processual positivo naavaliação do valor numérico e por conseqüência uma confiabilidade menorque 100%, sendo, portanto, menos precisa que o Censo. Como o número de elementos que compõem uma amostra é conside-ravelmente menor que o número de elementos que compõem uma População,a Estimação é sempre bem mais barata que o Censo, é concluída maisrapidamente que o Censo e, portanto, mais atualizada.
  14. 14. 14 Estatística 1 Se a maneira de avaliar um elemento é um teste destrutivo, o Censose torna um processo inviável, pois destruiria a população objeto do estudo. Entretanto, na maioria das vezes em que o Censo é considerado inviá-vel é por razões econômicas e de tempo. Na sociedade moderna, a maioria dos problemas exigem decisões decurto prazo. Por isso, as informações estatísticas úteis a resolução destesproblemas devem ser obtidas rapidamente. Pela rapidez e facilidade da obtenção destas informações, a estimaçãotem sido cada vez mais utilizada como procedimento estatístico.1.4 Dados Estatísticos Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado alidar com grande quantidade de valores numéricos resultantes de um Censoou de uma estimação. Estes valores numéricos são chamados dados estatisticos. No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para aobtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obterconclusões válidas para o fenômeno e também permitir tomada de decisões,através de dados estatisticos observados. Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas: a) Estatística Descritiva - é a parte da Estatística que tem por obje- to descrever os dados observados. b) Estatística Indutiva - é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e generalizar conclusões para a população a partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade. O cálculo de probabilidade é que viabiliza a inferência estatística.1.5 Estatística Descritiva A Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados, tem asseguintes atribuições: a) A obtenção dos dados estatísticos. b) A organização dos dados. c) A redução dos dados. d) A representação dos dados.
  15. 15. Conceitos Básicos 15 e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno observado. i A obtenção ou coleta de dados é normalmente feita através degm questionário ou de observação direta de uma população ou amostra. i A organização dos dados consiste na ordenação e crítica quantoa correção dos valores observados, falhas humanas, omissões, abandono dedados duvidosos etc. i Redução dos dados - O entendimento e compreensão de grandequantidade de dados através da simples leitura de seus valores individuais éuma tarefa extremamente árdua e difícil mesmo para o mais experimentadopesquisador. A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a reduçãodo número de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas variáveldiscreta e variável contínua. i A representação dos dados - 0 s dados estatísticos podem sermais facilmente compreendidos quando apresentados através de uma repre-sentação gráfica, o que permite uma visualização instantânea de todos osdados. Os gráficos, quando bem representativos, tornam-se importantes ins-trumentos de trabalho. É ainda atributo da Estatística Descritiva a obtenção de algumas infor-mações como médias, proporções, dispersões, tendências, índices, taxas,coeficientes, que facilitam a descrição dos fenômenos observados. Isto encer-ra as atribuições da Estatística Descritiva. Completando o processamento estatístico, no caso de uma Estimação,a Estatística Indutiva estabelece parâmetros a partir de estimadores usando ocálculo de probabilidade. Esta última etapa será desenvolvida posteriormente.1.6 Dados Brutos Quando fazemos n observações diretas em um fenômeno coletivo ouobservamos as respostas a uma pergunta em uma coleção de n questioná-rios, obtemos uma sequência de n valores numéricos. Tal sequência é denominada dados brutos.
  16. 16. 16 Estatística 1 Representando por X a característica observada no fenômeno coletivoou na pergunta dos questionários, então x, representa o valor da característi-ca obtida na primeira observação do fenômeno coletivo ou o valor da caracte-rística observado no primeiro questionário; x2 representa o valor da caracterís-tica X na segunda observação do fenômeno coletivo ou o valor da característi-ca Xobservada no segundo questionário e assim sucessivamente. Desta forma, os dados brutos podem ser representados por X: x,, x2,x3, ..., X". Esta sequência de valores assim obtida apresenta-se completamentedesordenada. De modo geral, podemos afirmar que: Dados brutos é uma. sequência de valores numéri- cos não organizados, obtidos diretamente da obser- vação de um fenômeno coletivo.1.7 Rol Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os DadosBrutos passam a se chamar Rol. Portanto: Rol é uma sequência ordenada dos Dados Brutos. Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notasbimestrais em Matemática: 4; 8; 7,5; 6,5. Neste exemplo, X representa nota bimestral e pode ser apresentadana forma: X 4;, 8; 7,5; 6,5. (Dados Brutos)OU X 4; 6,5; 7,5; 8. (Rol)OBSERVAÇÃO: Após uma atenta leitura desta parte inicial, o interessado deve responder as seguintes questões:
  17. 17. Conceitos Básicos 171.8 Exercícios Propostos. O que é Estatística?2. O que é População?. O que é Amostra ?. O que é Parâmetro?5 O que é Estimador? .3. Quais são os processos estatísticos de abordagem para o estudo de um fenôme- no coletivo? : O que é Censo? 2. O que é Estimação? 3. Explique as propriedades principais do Censo. O . Explique as propriedades principais da Amostragem. 1. O que é Dado Estatístico? 2. O que é Estatística Descritiva e quais são suas tarefas? 3. O que é Estatística Indutiva? 4 . O que são Dados Brutos? 5. O que é Rol? 6. Construa o Rol para sequência de dados brutos: a) X : 2 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20. b) Y:3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18. c) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7. d) W:8, 7,8, 7,8, 7, 9.RESPOSTAS
  18. 18. ?f Séries Estatis ficas2.1 Apresentação de Dados Estatísticos Quando lidamos com poucos valores numéricos, o trabalho estatísticofica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente teremos que trabalharcom grande quantidade de dados. Um dos objetivos da Estatística Descritiva neste caso, é obter umasignificativa redução na quantidade de dados com os quais devemos operardiretamente. Isto pode ser conseguido modificando-se a forma de apresenta-ção destes dados. Suponha que observamos as notas de 30 alunos em uma prova eobtivemos os seguintes valores: Se entendermos como frequência simples de um elemento o númerode vezes que este elemento figura no conjunto de dados, podemos reduzirsignificativamente o número de elementos com os quais devemos trabalhar. Para isto organiza-se o conjunto de dados na forma de uma sérieestatística chamada variável discreta.2.2 Distribuição de Frequência - Variável Discreta É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colo-camos na primeira coluna em ordem crescente apenas os valores distintosda série e na segunda coluna colocamos os valores das frequências simplescorrespondentes. Se usarmos f para representar frequência simples, a sequência (1)pode ser representada pela tabela:
  19. 19. Séries Estatísticas 19OBSERVAÇOES: (1) Note que a colocação de um índice i para x e para f tem a finalidade de referência. Deste modo, x, repre- senta o primeiro valor distinto da série, x2 representa o segundo valor distinto da série, f, representa a fre- quência simples do primeiro valor distinto da série, f2 representa a frequência simples do 2Qalor distinto da série e assim sucessivamente. (2) Note que conseguimos reduzir de 30 elementos que constituíam a série original para apenas 12 elementos. (3) Note também que a variável discreta só é uma forma eficiente de redução dos dados, quando o número de elementos distintos da série for pequeno. Devemos optar por uma variável discreta na repre- sentação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for pequeno.2.3 Distribuição de Frequência - Variável Contínua Suponha que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos:3nduzisse aos seguintes valores: Observando estes valores notamos grande número de elementos dis-??tos, O que significa que neste caso a variável discreta não é aconselhável- a redução de dados.
  20. 20. 20 Estatística 1 Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores,ficando a série com a seguinte apresentação: Classe Notas fi 1 2 1 4 4 2 4 1 6 12 3 6 1 8 10 4 8 1 1O 4 Esta apresentação da série de valores é denominada variável contí-nua. Devemos optar por uma variável contínua na repre- sentação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for grande.2.4 Construção da Variável Discreta A construção de uma variável discreta é bastante simples. Basta ob-servar quais são os elementos distintos da sequência, ordená-los, e colocá-losna primeira coluna da tabela. Em seguida computar a frequência simples decada elemento distinto e colocá-la na segunda coluna da tabela. Exemplo de construção de uma variável discreta: A sequência abaixorepresenta a observação do numero de acidentes por dia, em uma rodovia,durante 20 dias. x: 0,2,0,1,1,0,0,0,3,2 1,0,1,2,0,1,3,2,2,0. Os valores distintos da sequência são: O, 1, 2, 3. As frequências simples respectivas são: 8, 5, 5, 2. Portanto, a variável discreta representativa desta sequência é:
  21. 21. Séries Estatísticas 21 .5 Construção da Variável Contínua A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns ~nceitosque vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como exempli- :ação: Classe Intervalo de fi classe 1. AMPLITUDE TOTAL DE UMA SEQUÊNCIA é a diferença entre oriaior e o menor elemento de uma sequência. Representando a amplitude total por A,, o maior elemento da sequên-cia Xpor XmA, e o menor elemento por Xmín,a amplitude total é denotada por: No exemplo da sequência que deu origem a tabela (2), Xmáx = 9,5 eXmín = 2, portanto: A amplitude total representa o comprimento total da sequência e édada na mesma unidade de medida dos dados da sequência. 2. INTERVALO DE CLASSE é qualquer subdivisão da amplitude to-tal de uma série estatística. No exemplo da tabela (2) subdividimos a amplitude total em quatroclasses, obtendo os intervalos de classe 2 1- 4, 4 1- 6, 6 1- 8, 8 1- 10. Note que na realidade não trabalhamos com a At = 7,5 e sim com aamplitude total ajustada para 8 como justificaremos adiante. 3. LIMITE DE CLASSE: cada intervalo de classe fica caracterizado9or dois números reais. O menor valor é chamado limite inferior da classe eserá indicado por I. O maior valor é chamado limite superior da classe e seráIndicado por L. Por exemplo, na Classe 2 1- 4, I = 2 e L = 4.
  22. 22. 22 Estatística 1 4. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE é a diferença entre olimite superior e o limite inferior da classe. Se usarmos h para representar aamplitude do intervalo de classe podemos estabelecer:OBSERVAÇOES: (1) Na realidade, as classes não precisam necessariamen- te ter a mesma amplitude como no exemplo acima. Porém, sempre que possível, devemos trabalhar com classes de mesma-amplitude. Isto facilita sobremaneira os cálculos posteriores. (2) Note que usamos para representar as classes, interva- los reais semiabertos a direita. Isto significa que o in- tervalo contém o limite inferior, masnão contém o limi- te superior, ou seja, o intervalo de classe 2 1- 4 con- tém os valores reais maiores ou iguais a 2 e menores que 4. Desta forma, o último intervalo da série que é 8 1- 10 não contém o valor 10. É por isso que não utilizamos a amplitude 7,5, pois se isto fosse feito, o limite superior da última classe seria 9,5 e como o limite superior não deve pertencer a classe, o elemento 9,5 da sequência estatística original ficaria sem classificação. Como vamos utilizar este critério, precisaremos ajustar sempre o valor máximo da série ao definir a amplitude total. Outros critérios poderiam ser adotados como o interva- . loreal semiaberto a esquerda ou mesmo o intervalo real aberto, mas nenhum destes critérios é melhor que o critério adotado. 5. NÚMERO DE CLASSES: o número de classes a ser utilizadodepende muito da experiência do pesquisador e das questões que ele preten-de responder com a variável contínua. Isto pode ser verificado facilmente pelo próprio interessado ao longodesta exposição. Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critério da raiz para adeterminação do número de classes.
  23. 23. Séries Estatísticas 23 ) CRITÉRIO DA RAIZ Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por K número de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz: Como o número K de classes deve ser necessariamente um númeroiteiro e como dificilmente 6, número inteiro, deixaremos como opção é umara o valor de K o valor inteiro mais próximo de fi,uma unidade a menos ou mais que este valor.. No exemplo da tabela (2),n = 30 e conseqüentemente k = 1130 =,477, portanto o valor inteiro mais próximo de v % é 5. As opções para kntão são: 4 ou 5 ou 6. A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determina-da da seguinte forma: 8o portanto h = - = 2. 4 observe que a opção por quatro classes, foi feita em função de umvalor de h mais fácil de se operar. Se tivéssemos optado por cinco classes, o valor de h seria 85 = 1,6; se / véssemos optado por seis classes, o valor de h seria 8/6 = 1,3333... Veja que o melhor valor para se trabalhar em cálculos é o h = 2. Foi?or isto que optamos por quatro classes. Conhecendo-se o valor Xmin= 2 e a amplitude de classe h = 2, conclui-70s que o limite superior da primeira classe é 4. Portanto, a primeira classe ér! intervalo 2 1- 4. O limite inferior da segunda classe é 4. Somando-se azrnplitude de classe obteremos 6. Portanto, a segunda classe é 4 1- 6. A:srceira classe por analogia é 6 1- 8 e a quarta classe é 8 1- 10. 6. FREQUÊNCIASIMPLES DE UMA CLASSE fi: chama-se frequên-::a simples de uma classe ao número de elementos da sequência que são ai ores ou iguais ao limite inferior desta classe e menores que o limite supe--3r desta classe.
  24. 24. 24 Estatística 1 No exemplo 2, a frequência simples da primeira classe é o número deelementos da sequência que são maiores ou iguais a 2 e menores que 4. Note que os valores da sequência nestas condições são os valores 3,2,5, 2, 3,5. Portanto, a frequência simples da primeira classe é 4. Da mesma forma determinamos as frequências simples das demaisclasses, completando o quadro representativo da variável contínua.COMENTÁRIO: Existem outros critérios para a determinação do número de classes, como por exemplo a fórmula de STURGES. Segundo STURGES, O número K d e classes é dado por: Para valores de n muito grandes, esta fórmula apresenta mais vanta-gens que o critério da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproxi-mação do valor de K. Como acreditamos que na prática a experiência do pesquisador é quena verdade vai determinar o número de classes, optamos pelo método maissimples que é o critério da Raiz.EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UMA VARIÁ L CONT~NUA VE Um teste para aferir o Quociente de Inteligência em determinada clas-se de alunos de uma Faculdade deu origem a sequência de valores Para a construção da variável contínua, devemos determinar o númerode elementos da sequência. Verificamos que a sequência possui n = 70 ele-mentos.
  25. 25. Séries Estatísticas 25 Pelo critério da raiz K = fi. caso, K = .170 = 8,37. O valor inteiro No iis próximo é 8. Portanto, temos opção para construir a variável contínua m 7 ou 8 ou 9 classes. O maior valor da sequência é ,X ,, = 139 e o menor valor da sequên- [ é Xmí, =61. Portanto, a amplitude total da sequência é At = 139 - 61 = 78. No tanto, sabemos que pelo fato de o critério adotado do intervalo de classe r semi-aberto a direita, devemos ajustar o valor, , . X Se ajustássemosmáx para 140, a amplitude ajustada passaria a ser At = 140 - 61 = 79. Este!alar não é divisível de forma inteira nem por 7 nem por 8 e nem por 9, queáo nossas opções de classes. Nesta situação devemos ajustar Xmáxpara 141 obtendo a At = 141 -31 = 80 que é divisível exatamente por 8, obtendo-se ama amplitude do-itervalo de classe h dada por: Observe que o ajuste do valor Xmáx de duas unidades, passando de foi39 para 141. A experiência do pesquisador, nesta situa~ão, levaria a distribuir este osrro de duas unidades, iniciando a representação da série em 60 e terminan-29 em 140. A amplitude total ajustada para a série é: At = 140 - 60 = 80. O comprimento do intervalo de classe é h = 10 e o número de classesiK = 8 . Computando as frequências simples de cada classe, construímos a:ariável contínua representativa desta série. Classe Intervalo de fi classe 1 60 1 70 1 2 70 1 80 5 3 80 1 90 6 4 90 1 1O 0 10 5 100 1 110 12 6 110 1 120 19 7 120 1 130 14 8 130 1 140 3 A variável contínua é conceituada como uma representação tabular emx e colocamos na primeira coluna os intervalos de classe e na segundazz~luna valores das frequências simples correspondentes. os
  26. 26. 26 Estatística 1 A coluna "classe" tem a finalidade apenas de facilitar a referência asclasses, não fazendo parte da variável contínua. O quadro final tanto da variável discreta como da variável contínuarecebe o nome de distribuição de frequência.2.6 Exercícios Propostos1. Qual é o objetivo de agrupar os dados por frequência?2. O que é uma variável discreta?3. Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de uma variável discreta ao se agrupar os dados por frequência?4. O que é uma variável contínua?5. Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de uma variável contínua ao se agrupar os dados por frequência?6, Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculda- de, revelou os seguintes valores: 18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19 20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18 19, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18, 18, 19 18,21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20 18, 19, 19, 18,20, 20, 18, 19, 18, 18 Agrupe, por frequência, estes dados.7. Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscais emitidas durante um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores em dóla- res: 15.315,OO 23.440,OO 6.551,OO 13.253,OO 25.312,OO 35.780,OO 42.320,OO 34.782,OO 27.435,OO 17.661,OO 20.4 14,OO 23.3 13,OO 26.432,OO 30.5 15,OO 27.61O O , 0 8.598,OO 12.417,OO 22.300,OO 25.400,OO 21.200,OO 16.820,OO 38.000,00 40.300,OO 15.800,OO 18.300,OO 21.780,OO 32.414,OO 32.000,OO 18.700,OO 19.600,00 22.540,OO 22.010,OO 30.000,OO 21.380,OO 24.780,OO 29.000,OO 30.400,OO 12.3 19,OO 36.728,OO 36.483,OO 27.312,OO 35.318,OO 18.620,OO 38.661,OO 40.681,OO 19.302,OO 23.300,OO 21.350,OO 28.412,OO 21.313,OO Agrupe, por frequência, estes dados.8. Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revende- dores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número dc unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:
  27. 27. Séries Estatísticas 27 10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 9 14 19 20 32 18 16 26 24 20 7 18 17 28 35 22 19 39 18 21 15 18 22 20 25 28 30 16 12 20 Agrupe, por frequência, estes dados.9. Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualida- de selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas. Obteve os seguintes dados: 2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 o 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 1 0 Agrupe, por frequência, estes dados.10. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, em determinado dia, obtendo os seguintes saldos em dólares: 52.500,OO 18.300,OO 35.700,00 43.800,OO 22.150,OO 6.830,OO 3.250,OO 1 7.603,OO 35.600,OO 7.800,OO 16.323,OO 42.130,OO 27.606,OO 18.350,OO 12.521,OO 25.300,OO 3 1.452,OO 39.61O,O0 22.450,OO 7.380,OO 28.000,OO 21.000,OO 14.751,OO 39.512,OO 17.319,OO Agrupe, por frequência, estes dados. I (anos) Número de alunos xi fl 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4. Uma solução com uma margem de erro mínima é: Classe Valor da nota US$ Número de notas r, 1 6.551 ,O0 -1 11.661 ,O0 2 2 11.661 ,O0 - 1 16.771 ,O0 5 3 16.771 ,O0 - 1 21.881,O0 13 4 21 .E81,O0 1 - 26.991,O0 1O 5 26.991,O0 1 - 32.101 ,O0 9 6 32.1 O ,O0 - 1 1 37.211 ,O0 6 7 37.21 1 ,O0 - 1 42.321 ,O0 5
  28. 28. 28 Estatística 1 A, = 42.320,OO - 6.55 1,00 = 35.769,OO A, ajustada = 42.321.00 - 6.551,00 = 35.770,OO8. K =v % t 7 A melhor opção para dividir 35.770 é 7 Uma solução com uma margem de erro mínima é: * A = 5.110 Classe Número de carros Número de revendedores f/ 1 5-1 1o 3 2 10 - 1 15 3 3 15 - 1 20 12 4 20 -1 25 11 5 25 -1 30 6 6 30 -1 35 3 7 35 -1 40 2 A,=39-6=33 A,ajustada = 40 - 6 = 34, o que não é exatamente divisível por 6, nem por 7,nem por 8. Ajustamos a amplitude para 40 - 5 = 35 para distribuir o erro. Assim, A, ajustada é 35. Podemos optar por 5 ou por 7 classes. Obviamente, a melhor opção é por sete classes. Número de peças Número de caixas defeituosas por caixa fi x/ O. 28 1 12 2 5 3 2 4 1 Classe Número de contas 3.249,,00 - I 15.562,OO 2 15.562,OO- I 27.875,OO 10 3 27.875,OO 1 - 40.1 88,OO 4 40.188.00- 1 52.501 ,O0 3 A, ajustada 52.501 - 3.250 = 49.251, que não é divisível por forma inteira nem por 4, nem por 5 e nem por 6. Neste caso, consideramos a A, ajustada 52.501 - 3.249, para distribuir o erro. Assim:
  29. 29. Séries Estatísticas 292.7 Distribuição de Frequências - Variável Discreta Uma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de umadistribuição de frequência, ele poderá rapidamente obter algumas informaçõesadicionais e úteis para a compreensão da série, se considerar os seguintesconceitos:2.7.1 FREQUÊNCIA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE - f , É a divisão da frequência simples deste elemento pelo número total deelementos da série. Exemplo: Considere a variável discreta: O total de elementos desta série é 25. Portanto, a frequência relativa30 primeiro elemento distinto da série, que é 2, vale: A frequência relativa do segundo elemento distinto, que é 3, vale: Da mesma forma determinamos a frequência relativa dos elementosseguintes da série:
  30. 30. 30 Estatística 1 Note que estes valores representam a participação percentual de cadaelemento distinto na série. Assim, podemos fazer a interpretação: 12% dosvalores da série são iguais a 2; 28% dos valores da série são iguais a 3; 32%dos valores da série são iguais a 4; 24% dos valores da série são iguais a 6; e4% dos valores da série são iguais a 7. É a soma da frequência simples deste elementocom as frequênciassimples dos elementos que o antecedem. Desta forma, a frequência acumulada para os elementos 2, 3, 4, 6 e 7valem respectivamente: Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: - 3 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 2. - 10 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 3. - 18 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 4.
  31. 31. Séries Estatísticas 31 - 24 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 6. - 25 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 7. 7.3 FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE - FR. I É a divisão da frequência acumulada deste elemento, pelo número al de elementos da série: Assim, a frequência acumulada relativa dos elementos 2, 3, 4, 6 e 7Aem respectivamente: Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: - 12% dos valores da série são menores ou iguais a 2. - 40% dos valores da série são menores ou iguais a 3. - 72% dos valores da série são menores ou iguais a 4. - 96% dos valores da série são menores ou iguais a 6. - 100% dos valores da série são menores ou iguais a 7. Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa a:e chamar distribui~áo frequências. Para o exemplo estabelecido, a distri- deI - S o de frequências é:
  32. 32. 32 Estatística 12.8 Distribuição de Frequências - Variável Contínua No caso da variável contínua, pelo fato de termos utilizado intervalosde classe, semi-aberto a direita, as interpretações são diferentes. Portanto,redefiniremos estes tipos de frequência.2.8.1 FREQDÊNCIA RELATIVA DE UMA CLASSE - f , I É a divisão da frequência simples desta classe pelo número total deelementos da série. Exemplo: Considere a distribuição de frequência: Classe Int. cl. fi 1 21 4 6 2 41 6 18 3 61 8 10 4 81 1O 6 O total de elementos desta série é 40. Portanto, a frequência relativa da primeira classe é:
  33. 33. Séries Estatísticas 33 A frequência relativa da segunda classe é: A frequência relativa da terceira classe é: f3 10 f = - = - = 0,25 ou 25% e a frequência relativa da quarta classe r3 n 40é: Observe que estes valores representam a participação percentual doselementos por classe. A interpretação para estes valores é: - 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 2 e menores que 4. - 45% dos valores da série são maiores ou iguais a 4 e menores que 6. - 25% dos valores da série são maiores ou iguais a 6 e menores que 8. - 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 e menores que 10.2.8.2 FREQUÊNCIA ACUMULADA DE UMA CLASSE - Fj É a soma da frequência simples desta classe com as frequênciassimples das classes anteriores. Desta forma, as frequências acumuladas para estas classes são:
  34. 34. 34 Estatística 1 Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrandoque são todos maiores ou iguais a 2. - 6 elementos da série são valores menores que 4. - 24 elementos da série são valores menores que 6. - 34 elementos da série são valores menores que 8. - 40 elementos da série são valores menores que 10.283 .. FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UMA CLASSE - FR. I É a divisão da frequência acumulada desta classe pelo número total deelementos da série: Deste modo, a frequência acumulada relativa para cada classe é: Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrandoque são todos maiores ou iguais a 2: - 15% dos valores da série são menores que 4. - 60% dos valores da série são menores que 6. - 85% dos valores da série são menores que 8. - 100% dos valores da série são menores que 10. Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa ase chamar distribui~ão frequências. Para o exemplo estabelecido, a distri- debuição de frequências é:
  35. 35. Séries Estatísticas 35 ~ - ~ p Classe Int. cl. fi f i % 5 F Ri % 1 2 1 4 6 15 6 15 2 4 1 6 18 45 24 60 3 6 1 8 10 25 34 85 4 8 1 10 6 15 40 1O0 Exercícios Propostos O que é amplitude total de uma sequência de dados? O que é limite inferior de uma classe? O que é frequência simples de um elemento? O que é frequência relativa de um elemento? O que é frequência acumulada de um elemento? O que é frequência acumulada relativa de um elemento? O que é frequência simples de uma classe? O que é frequência relativa de uma classe? O que é frequência acumulada de uma classe? O que é frequência acumulada relativa de uma classe? Construa a distribuição de frequências para a série representativa da idade de 50 unos do primeiro ano de uma Faculdade. idade (anos) Número de alunos Xi fi 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4I --cprefe os valores colocados na 3Vinha da distribui~ãode frequências do i--Yema anterior.-- - - - 1molete o quadro.
  36. 36. 36 Estatística 1 Número de Número acidentes por dia de dias xi fi O 30 1 5 2 3 3 1 4 115. Interprete todos os valores da segunda linha da distribuição de frequências do problema anterior.16. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa. Classe Salários US$ Número de funcionários fi 1 1.000,00 -1 1.200,oo 2 2 1.200,OO-1 1.400,OO 6 3 1.400,OO - 1 1.600,OO 1O 4 1.600,OO 1 - 1.800,OO 5 5 1.800,OO - 1 2.000,OO 217. Interprete os valores obtidos na quarta linha da distribuição de frequências do problema anterior.18. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa o saldo de 25 contas de pessoas fíçicas em uma agência em determinado dia. Classe Número de funcionlrios oI - 10.000,00 10.000,00 1 - 20.000,00 3 20.000,OO 1 - 30.000,OO 4 30.000,OO 1 - 40.000,OO 219. Interprete os valores da terceira linha da distribuição de frequências do problema anterior.20. Complete o quadro de distribuição de frequências. Classe Int. cl. fi f, YO Fi FR % 1 61 - 10 1 2 10 1 - 14 25 3 14 -1 18 14 4 18 -1 22 90 5 22 -1 26 2
  37. 37. Séries Estatísticas 37 Idade (anos) Número de alunos frl % FI FRI % xi fl 17 3 6 3 6 18 18 36 21 42 19 17 34 38 76 20 8 16 46 92 21 4 8 50 1O02. Interpretações: 19 - Há alunos nesta classe com 19 anos. 17 - Há 17 alunos nesta classe com 19 anos. 34 - 34% dos alunos desta classe têm 19 anos. 38 - Nesta classe há 38 alunos com 19 anos ou menos. 76 - 76% dos alunos desta classe têm 19 anos ou menos.3. Número de Número de dias frl % FI FRi % acidentes fl - dia: xl por O 30 75 30 75 1 5 12,5 35 87,5 2 3 73 38 95 3 I 2,s 39 97,5 4 1 2.5 40 1O0 40$5. Interpretações: 1 - Há dias em que ocorre um acidente por dia neste cruzamento. 5 - Em cinco dias dos 40 observados, ocorreu um acidente por dia. 12,5- 12,5% dos dias observados ocorreu um acidente por dia. 35 - Em 35 dias dos 40 observados ocorrereu um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento. 87,5 - 87,5 % dos dias observados ocorreram um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento.6. Classe Salários US$ Número de frl % FI FRl % funcionários fi 1 1.000,OO- 1 1.200,OO 2 8 2 8 2 1.200,OO 1 - 1.400,OO 6 24 8 32 3 1.400,OO 1 - 1.600,OO 1O 40 18 72 4 1.600,OO I - 1.800,OO 5 20 23 92 5 1.800,OO 1 - 2.000,OO 2 8 25 1O0
  38. 38. 38 Estatística 117. Interpretações: 4 - Estamos enfocando na ordem crescente a quarta classe de salários desta empresa. - 1.800.00 - 0 s salários desta classe são maiores ou iguais a US$ 1.600,00e menores 1.600,00 1 que US$1.800,00. 5 - Há cinco funcionários com salários maiores ou iguais a US$ 1.600,00 e menores que US$ 1.800,OO. 20 - 20% dos funcionários selecionados têm salários maiores ou iguais a US$1.600,00 e menores que US$ 1.800,OO. 23 - Há 23 funcionários entre os selecionados com salários menores que US$1.800,00. 92 - 92% dos funcionários selecionados têm salários menores que US$ 1.800,OO.18. Classe Saldos US$ Número de fr, % FI FRi % contas f, 1 o -1o.ooo,oo I 5 20 5 20 2 10.000,OO - 1 20.000,OO 1O 40 15 60 3 20.000,OO- 1 30.000,OO 8 32 23 92 4 30.000,OO- 1 40.000,OO 2 8 25 1O019. Interpretações: 3 - Estamos enfocando, na ordem crescente, a terceira faixa de saldos nas contas das pessoas físicas. 20.000,OO - 30.000,OO - Os valores desta faixa compreendem valores maiores ou iguais a US$ 1 20.000,OO e menores que US$30.000,00. 8 - Há oito contas entre as pesquisadas com saldos maiores ou iguais a US$20.000,00 e menores que US$30.000,00. 32 - 32% das contas pesquisadas têm saldos maiores ou iguais a US$20.000,00 e menores que US$ 30.000,OO. 23 - Há 23 contas entre as pesquisadas com saldos menores que US$30.000,00. 92 - 92% das contas pesquisadas têm saldos menores que US$30.000,00. Int. cl. 10 - 1 3 14 - 1 18 8 40 4 18 1 - 22 4 20 5 22 1 - 26 2 1O2.10 Representação Gráfica de Séries Estatísticas Existem muitas formas de se representar graficamente uma série es-tatística. Podemos citar entre elas: gráfico em linhas; em colunas; em barras, emsetores; em porcentagens complementares; gráficos polares; gráficos pictóri-cos, cartogramas etc.
  39. 39. Séries Estatísticas 39 -10 entanto, a maioria deles são simplesmente gráficos de apresenta-cão, que o interessado com pequeno esforço poderá facilmente compreender. Nosso interesse estará completamente voltado para os gráficos deanálise da série estatística que são: Histograma, Polígono de frequência e acurva polida de frequência. Estas representações gráficas assumem aspectos diferenciados paravariável discreta e variável contínua. É um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordena-das cartesianas que tem por base os valores distintos da série (xi)e por altura,valores proporcionais as frequências simples correspondentes destes elemen-tos (fí). Exemplo: Se considerarmos a série:então o histograma assume a forma: fi t
  40. 40. 40 Estatística 1 É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um siste-ma de coordenadas cartesianas, cujas bases são os intervalos de classe ecujas alturas são valores proporcionais as frequências simples corresponden-tes. Exemplo: Se considerarmos a série: Classe Int. cl. f,. 1 o1 2 3 2 2 1 4 6 3 4 1 6 8 4 6 1 8 5 5 8 1 1O 2então o histograma assume a forma: i f i Observe que não colocamos o zero no eixo horizontal na origemdo sistema por uma questão de clareza da representação gráfica. Deixamos, intencionalmente, um espaço igual a um intervalo de classeno início e no final da representação gráfica. Se considerarmos este espaçamento inicial e final como sendo classesfictícias com frequência zero e unirmos os pontos médios das bases supe-riores destes retângulos, obtemos uma nova figura chamada polígono defrequência.
  41. 41. Séries Estatísticas 41 fi t 0 2 4 6 8 1 0 lnt. cl. i Observe que a área do polígono de frequência é a mesma área do-,i~tograma. i Quando estamos lidando com um censo, o histograma representa !;retamente a distribuição de frequência da população, mas quando estamos dando com uma amostra, a histograma representa apenas a distribuição de -equência da amostra e não da população. No entanto, se imaginarmos o número n de elementos da amostraiumentando progressivamente, o número de classes iria aumentando pro-:ressivamente e a amplitude do intervalo de classe iria diminuindo, o que-ansformaria o polígono de frequência praticamente em uma figura polida,:+amada curva polida de frequência. Esta figura nos dará uma noção da distribuição de frequência da popu-3920. 0 2 4 6 8 1 0 lnt. cl.
  42. 42. 42 Estatística 12.11 Exercícios Propostos1. Conceitue histograma para uma variável discreta.2. Conceitue histograma para uma variável contínua.3. Quando a série representa uma amostra qual é o principal objetivo da construção do histograma ?4. Construa um histograma para a distribuição de frequência:5. Construa um histograma para a série representativa da idade de 50 alunos do primeiro ano de uma Faculdade: Idade (anos) Número de alunos Xl fl 17 3 18 18 19 17 20 8 21 46. Construa um histograma para a série representativa do número de acidentes por dia observados em determinado cruzamento, durante 40 dias: Número de Número de dias acidentes por dia fi Xl O 30 1 5 2 3 3 1 4 17. Construa um histograma para a série representativa de uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa. Classe Salários US$ Número de funclon~rios fl 1 1.000,oo - 1 1.200,oo 2 2 1.200,OO - 1 1.400,OO 6 3 1.400,OO - 1 1.600,OO 10 4 1.600,OO - 1 1.800,OO 5 5 1.800,OO - 1 2.000,OO 28. Construa o polígono de frequência para a distribuição do problema anterior.
  43. 43. Séries Estatísticas 43 Construa um histograma para a série representativa do saldo de 25 contas de pessoas físicas em uma agência em determinado dia. Classe Número de contas o -1o.ooo,oo I 10.000,00 1 - 20.000,00 20.000,OO 1 - 30.000,OO 4 30.000,OO- 1 40.000,OO 2- 7 Construa o polígono de frequência para a distribuição do problema anterior.
  44. 44. 44 Estatística 1 I .ooo,oo I .200,00I .400,00I .600,00 .aoo,oo2.000,00 I Salários I.I oo,oo 1.300,oo 1.500,oo1.700,oo 1.900,oo Salários
  45. 45. Séries Estatísticas 45o I o.ooo,oo 20.oo0,oo 30.000,OO 40.000,OO Saldos
  46. 46. 3f Medidas de Tendência Central3.1 Introdução No estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumasmedidas que a caracterizam. Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos infor-mações muito valiosas com respeito a série estatística. Em suma, podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretação for-nece-nos uma compreensão bastante precisa da série. Um destes valores é a medida de tendência central. É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendidoentre o menor e o maior valor da série. É também um valor em torno do qualos elementos da série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixohorizontal. Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer umnúmero no eixo horizontal em torno do qual a série se concentra. As principais medidas de tendência central são: média, mediana emoda. No cálculo de várias medidas estatísticas, vamos utilizar somas de umgrande número de parcelas. Para facilitar a representação destas somas, introduziremos o conceitode somatório.3.2 Somatório - Notação Sigma (C ) Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo x, + x2+ ... + x , ,podemos codificá-la através da expressão:
  47. 47. Medidas de Tendência Central 471 ide: X - é utilizada para representar as operações de adição entre as parcelas. xi - é a parcela genérica A parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em-:das as parcelas, no caso x. Para representar a parte variável em cada zsrcela, no caso os índices, utilizamos a letra i e indicamos a variação de i. do exemplo i varia, segundo números inteiros consecutivos de 1 até n.) n A expressão C xi deve ser lida "soma dos valores xi, para i varian- ) de 1 até n." i= 1 Para que uma soma possa ser representada por esta notação é funda-~ e n t aque i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores l2sdos. Assim, a soma: 4 X, + X2 + X4 # C Xi i= 1 Exemplos:
  48. 48. 48 Estatística 1 Da mesma forma que codificamos a soma através da notação Sigma,podemos decodificar obtendo as parcelas componentes. 4 Para obter a primeira parcela da soma: C (3xJ i= 2basta substituir na parcela genérica 3x, a variável i pela valor indicado noextremo inferior, i= 2. A primeira parcela da soma é 3x2. Para obter a segunda parcela, basta substituir na parcela genérica 3 x ,a variável i por 3. A segunda parcela vale 3x3. A última parcela da soma éobtida quando substituímos na parcela genérica 3xi o valor de ipor 4, que é ovalor indicado no extremo superior. A última parcela é 3x4. 4 Portanto, C (3x> = 3x2 + 3x3 + 3x4. i= 2 Exemplos: 3 3. C (x, 3 3 b) = (x, - b) + (x2 - b13 + (x3 - b13 , i= 1 Apesar de ser apenas um código e não uma operação, a notaçãoSigma tem algumas propriedades que podem simplificar operações. Entreelas destacamos:
  49. 49. Medidas de Tendência Central 49 1. O somatório de uma soma é a soma dos somatórios. n De fato, se desenvolvermos C (xi + yi)obtemos: i= 1 n 2. O somatório de uma diferença é a diferença dos somatórios. A demonstração é análoga a anterior. 3. O somatório do produto de uma constante por uma variável éo produto da constante pelo somatório da variável. n Considerando a um número real qualquer e desenvolvendo ( a . x,),obtemos: i= I
  50. 50. 50 Estatística 1 n C ( a . x i ) = ax, +ax2+ax3+ ... +axn = i= 1 n = a . (x1 + x 2 + x 3 + . . . + x n ) = a . C xi i= 1 4, O somatório da divisão de uma variável por uma constante é a divisão do somatório da variável pela constante. n De fato, desenvolvendo Um caso particular da notação Sigma é a representação de uma soma cujas parcelas são todas iguais. Neste caso, as parcelas são constituídas por valores constantes e a variável iserá utilizada apenas para estabelecer o número de parcelas. O número de parcelas é determinado pela diferença entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor indicado no extremo inferior, adicionan- do-se uma unidade. Assim, a soma 15 + 15 + 15 + 15 pode ser representado por: 4 5 6 15 oupor C 15 o u x 15 i= 1 i= 2 -- i= 31 Notéque em todos os casos a diferença entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor de i indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que é o número de parcelas.I
  51. 51. Medidas de Tendência Central 51 Desta forma, 3 é constituída de (7 - 2) + 1 = 6 parcelas. Portan-to: i= 2 Nas aplicações estatísticas estaremos sempre interessados na isoma de todos os valores da série. Portanto, i varia sempre de 1 a n econseqüentemente não precisaremos indicar na notação sigma a variação de i. Desta forma, identificaremos: Isto facilita a apresentação das fórmulas de cálculos.3.3 Exercícios PropostosI. Escreva na notação Sigma, as somas: a) x l + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 6) x 3 + x 4 + x 5 + x s c) (x, + 2) + (x* + 2) + (x3 + 2) d) (x,- 10)+(x2- 10)+(x3- 10)+(x4- 10) e) (xI - 3)2 + (x2 - 312 + (x3- 3 ) (x,-15ff,+(x2-15ff2+(x3-15ff32. Escreva as parcelas da soma indicada.
  52. 52. 52 Estatística 1 3. Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas:I 4. Usando as propriedades do somatório, desenvolva: 5. Usando a tabela do problema 3, verifique que:
  53. 53. Medidas de Tendência Central 53SESPOSTAS3. a) C xi fi = 60 C xiC fi = 252. Portanto, xi fi # C xi fi c) C 4 = 125 (C x$ = 441. Portanto, 4 + (Cxj2
  54. 54. 54 Estatística 13 4 Médias . Do ponto de vista teórico, vários tipos de média podem ser calculadospara uma massa de dados. Focalizaremos neste estudo as médias aritméticas geométricas e har-mônicas.3.4.1 MÉDIA ARITMETICA SIMPLES Para uma sequência numérica X x,, x2, ......, x , a média aritméticasimples, que designaremos por X é definida por: 2+0+5+3 Exemplo: Se X 2, 0, 5, 3, então X= - 4 Para uma sequência numérica X x,, x2: ......, xn afetados de pesos p,,p2, ......., pn, respectivamente, a média aritmetica ponderada, que designare- X,mos por é definida por: Exemplo: Se X 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, então: :
  55. 55. Medidas de Tendência Central 553.4.3 MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES Para uma sequência numérica X xl, x2, ......, xn, a média geométricasimples, que designaremos por % é definida por: Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, então:3.4.4 MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA Para uma sequência numérica X xl,x2, ..., X afetados de pesos pl, : ,c)2,..2 pn respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremospor Xg é definida por: Exemplo: Se X: 1, 2,5 com pesos 3, 3, 1 respectivamente, então:3.4.5 MÉDIA HARMONICA SIMPLES Para uma sequência numérica de elementos não nulos X x,, x2,..., x,, :a média harmônica simples, que designaremos por %, é definida por:
  56. 56. Note que a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos elementos. Exemplo: Se X 2, 5 , 10, então: : 3.4.6 MÉDIA HARMONICA PONDERADA Para uma sequência numérica de elementos não nulos X xl, x2,..., xn : ... , afetados de pesos pl, p2, p respectivamente, a média harmônica pondera-. . da que designaremos por xh é definida por:
  57. 57. Medidas de Tendência Central 57 Exemplo: Se X: 2, 4, 12 com pesos 3, 2,2 respectivamente, então: Observando-se que: 1. A média harmônica aplica-se naturalmente quando se quer a ob- tenção de uma média cuja unidade de medida seja o inverso da unidade de medida dos componentes da sequência original. 2. A média geométrica só é indicada para representar uma série de valores aproximadamente em progressão geométrica. 3. Os casos anteriores não são muito frequentes nas aplicações. Va- mos restringir o desenvolvimento de médias ao caso de média aritmética, que é a média mais utilizada nas aplicações. 3.5 Cálculo da Média AritméticaI f T a s o- DADOS BRUTOS OU ROL Neste caso, devemos utilizar uma média aritmética simples: Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5 , 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, Interpretagão: O valor médio desta série é 12, ou seja, os valores desta série concentram-se em torno do valor 12.
  58. 58. 58 Estatística 12 T a s o - VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta,utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências sim-ples fi como sendo as ponderações dos elementos xi correspondentes. C x, P, A fórmula de cálculo de Xque originalmente era 2 = 7 rn passa a L riser escrita como: Exemplo: Determinar a média da distribuição: Solução: Inicialmente devemos somar a coluna de frequências simplespara obter o número total de elementos da série: C fi = 10 elementos. Em seguida, utilizamos a própria disposição da tabela para efetuar osprodutos xi f , acrescentando estes valores dispostos em uma nova coluna.Em seguida somamos os valores desta coluna. Na sequência substituímos estes valores na expressão Xobtendo:
  59. 59. Medidas de Tendência Central 59 Interpreta~ão: valor médio da série é 5,6, isto é, 5,6 é o ponto de O::~centração dos valores da série.F Caso - VARIÁVEL CONT~NUA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável continua,-:-izaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências sim-: ss das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas:asses. O ponto médio, de cada classe é definido por: 2 Xi Pi A fórmula de cálculo de Rque originalmente era 2 = - passa as r escrita como: L Pi Exemplo: Determinar a média da distribuição: Classe Int. cl. fi 1 21 5 1 2 51 8 10 3 81 11 8 4 11 I 14 1 Solu~ão:Inicialmente, devemos somar a coluna das frequências sim-ples, obtendo fj. = 20. Na sequência, calculamos os pontos médios de classe: o ponto médioda primeira classe é = 3,5; O ponto médio da segunda classe é 2 = 6,5; o ponto médio da terceira classe é = 9,5 e o ponto médio da 11+14 -quarta classe é 2 - 12,5. -
  60. 60. 60 Estatística 1 Estes valores serão dispostos em uma nova coluna na tabela. Comono caso anterior, usaremos a própria tabela para a sequência de cálculos. Classe Int. cl. fi xi xi fi 1 21 5 1 3,5 3,5 2 51 8 10 6,5 65 3 81 11 8 9,5 76 4 11 I 14 1 12,5 12,5 - xj fi Portanto, X = -- - - 7,85 157 C fi 20 Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valorem torno do qual os elementos desta série se concentram. COMENTÁRIO: Quando agrupamos os dados na disposição de umavariável contínua, passamos a trabalhar com os dados sem conhecimento deseus valores individuais. Note no exemplo acima, que o máximo que podemos afirmar comrespeito ao menor valor desta série é que ele é um valor maior ou igual a 2 emenor que 5. Mas não conhecemos seu valor individualizado. O mesmo ocorre com todos os outros valores da série. Este fato é que nos leva a substituir as classes pelos seus pontosmédios ao calcular a média da série.3.6 Exercícios Propostos1. Calcule a média aritmética da série: (a)X: 1,2,8, 10, 12, 16,21,30. (b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20. (c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15.2. Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõem determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,O; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?3. Calcule a média geométrica para as séries: X: 1, 2, 4, 7, 16 Y: 81, 26, 10, 3, 1
  61. 61. Medidas de Tendência Central 61 2 Calcule a média harmônica da série: I Um produto é vendido em três supermercados por $ 13,00/kg, $ 13,20/kg e $ 13,50/kg. Determine quantos $/kg se paga em média pelo produto. I Um produto é vendido em três supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg e $ 135/kg. Determine, em média quantos quilos do produto se compra com $1,00. - Calcule a média harmônica da série 130, 132, 135. ? Calcr~le média aritmética da série: a I . Calcule a média geométrica da série anterior. .: Calcule a média harmônica da série anterior. - Verifique pelos cálculos anteriores qual relação é válida entre estas médias. 2.Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comer- cializada destes produtos vale respectivamente $200,00; $300,00; $500,00; $ 1.000,OO; $ 5.000,OO. A loja vendeu em determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por esta loja? -3. Um caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 kg. (a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passa- gens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passará pela balança? (b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?1I 2. Calcule a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos.
  62. 62. 7- 62 Estatística 1 Idade (anos) NQde alunos Xl fl 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4 15. Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina. N q e acidentes NQde dias por dia: x, fr O 30 1 5 2 3 3 1 4 1 16. O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários. Classe Salários $ NQ funcionhrios de r, 1 400,OO -1 500,OO 12 2 500,OO - 1 600,OO 15 3 600,OO 1 - 700,OO 8 4 700,OO -1 800,OO 3 5 800,OO -1 900,OO 1 6 900,OO -1 1.000,OO 1 17. Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo: Classe Aluguel $ NQde casas fl 1 O- I 200,OO 30 2 200,OO -1 400,OO 52 3 400,OO -1 600,OO 28 4 600,OO 1 - 800,OO 7 5 800,OO -1 1. O , O O OO 3 Calcule o aluguel,médiopara estas residências. 18. Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão- de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato. O seguinte quadro foi obtido: Classe Tempo de mão-de-obra N de motores o (horas) f~ 1 o -4 I 1 2 4 -1 8 5 3 8- I 12 1O 4 12 1 - 16 12 5 16 -1 20 4
  63. 63. Medidas de Tendência Central 63 a) Determine o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revi- são de cada motor. b) Com base nesta informação, qual deve ser o tempo total de mão-de-obra para a revisão de dez motores que aguardam revisão? c) Se a empresa dispõe no momento de dois homens trabalhando 12 horas por dia nestas revisões conseguirá provavelmente revisar estes dez motores em quatro dias? ?. Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um levanta- mento do consumo de seu principal produto em vários supermercados obtendo em determinado mês, a tabela: Classe Número de unidades N de supermercados o consumidas fi 1 O -1.000 I 1o 2 1.000 - 1 2.000 50 3 2.000 - 1 3.000 200 4 3.000 -1 4.000 320 5 4.000 -1 5.000 150 6 5.000 - I 6.000 30 Determine o consumo médio deste produtopor supermercado pesquisado. 13. Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, em termos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi substituída pela nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso se- gundo a tabela: Classe Aumento de peso Ngde animais em kg fi 1 o -1 1 1 2 1I -2 5 2- I 3 35 3 -1 4 37 4 -1 5 28 a) Calcular o aumento médio de peso por animal. b) Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médio de peso de 3.100 kg/animal, esta nova ração pode a princípio ser considerada mais eficiente? 1. Refaça o problema anterior acrescentando a todos os limites de classe mais 2 kg. Compare a média com a média anterior,1 - =xercicios Especiais 2. Prove que se X x,, x2,,.., xn e a E R, então x : + a = X+ a 13. Prove que se X x,, x2,..., xn e a E R, então x - a = : x- a 22. Prove que se X: x,, x2,..., xn e a E R, então C = a . F X 25. Prove que se X x,, x2,..., xn , a E R e a # 0, então : = Ya
  64. 64. 64 Estatística 1 n26. Mostre que a média geométrica simples X9 = 4x, x2 ... xn também pode ser calculada por Z ln x - - n i X = e 9 C fi27. Mostre que a média geométrica ponderada kg= 4x, 1 x,% ... xnfn também pode ser calculada por: Z (f, ln X ) - X = e "i 9 z xifi28. Mostre que a média ponderada 2 = - de uma variável continua pela fórmula: fi pode também ser calculada no caso onde: xo é o ponto médio de classe de uma classe qualquer escolhida. I ai são valores de uma nova variável obtidos pela transformação ai = - h Esta fórmula é chamada Processo Breve do Cálculo da Média.29. Calcule a média da tabela do problema 16, usando o Processo Breve.30. Calcule a média da tabela do problema 17, usando o Processo Breve.RESPOSTAS1. a) 12,5 b) 9,857 c) 8,1452. Sim. = 4,253. a) 3,8946 b) 9,12254. a) 9,6 b) 3,365. 13,33/kg6. O0075585 kg/$ ,7. 132,3015kg8. 3,69. 3,4781O. 3,35217. d12. 682,35/peça13. a) Não b) 6,385 kg14. 18,84 anos/aluno15. 0,45 ac/dia16. $572,5/f17. $335/res18. a)11,625h b) 116,25h C) não19. 3.342,l unid.20. a) 3.37 7 kg b) Sim.21. a) 5,311 kg. A m6dia da nova série é a média da série antiga acrescida de duas unidades. b) Sim.
  65. 65. Medidas de Tendência Central 65 - - xi + -na - + C = F + a - L = a xi n n n Da mesma forma demonstram-se, usando propriedades do somatório, os próximos exercícios. - n X = 4 xl 3 ... x, . Portanto, - 1 In Xg = In (x, 3 ... x,) n. Usando as propriedades do logaritmo: 1 ln Xg = - n (ln x,+In % + . . . + h x,) - Clnxi I n X =- n . Aplicando a operação antilogaritmo, obtemos:- -- . x9 = Ci 4 x, 1 3% xntn . portanto, ... - ln Xg = ln (x,1 $5 ... x,n)q . Usando as propriedades do logaritmo: - 1 f ln X = - ln( x l f i ~... x,n) = 5 g Ci - 1 In X g = - ( I n f f x , l + I n x22+ ...+ Inx,n)= C i - 1 ln X = g Cf, - (f, In x, f, + In x2 + ... + f, ln x,) = - CfiInxj I n X =-. Aplicando a operação antilogaritmo obtemos: g Ci - Z a,5 xj - xo23. X = xo + - h . Como . q = - substituindo-se, obtém-se: , L r; h 1 - [ h f x O C ~ +h- C ( x j - x J f , h X=xo+ .h = Cf, Cf,
  66. 66. 66 Estatística 13.7 Mediana É um valor real que separa o rol em duas partes deixando a suaesquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a me-diana é um valor que ocupa a posição central em uma série. Notação: A mediana será denotada por md3.8 Cálculo da Mediana1" Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados bru-tos, obtendo o Rol. Em seguida determinamos o número n de elementos do Rol. 1.1. Se n é impar - O Rol admite apenas um termo central queocupa a posição "mediana. ( 7 1 Y 0 valor do elemento que ocupa esta posição é a + Exemplo: Determinar a mediana do conjunto: Solução: Ordenando estes elementos obtemos o rol. X: 2, 8, 12, 12,20, 20,23. O número de elementos é n = 7 (ímpar), a posição do termo central é[F] 40. 0= A mediana é o quarto elemento do Rol: md = 12. O valor 12 deixa a sua esquerda e à sua direita o mesmo número deelementos, sendo, portanto, o elemento central da série. Quando lidamos com sériss com urn grailde número de elementos, aquantidade de elementos à esquerda é â direita é aproximadamente 50% dototal de elementos, o que conduz a veguinie interpreta~ão genérica para amediana: "50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e50% dçzs valores da série são valor?s maiores ou iguais a 12". 1.2. Se n é par - Neste caso, o rol admite dois termos centrais queocupam as posições ("/2)O e ("/2 + l)O. A mediana é convencionada comosendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais.
  67. 67. Medidas de Tendência Central 67. Exemplo: Determinar a mediana da série: X:7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13. Solução: Ordenando estes elementos, obtemos o rol: X 7, 8, 9, 10, 13,-3,15,21: O número de elementos é n = 8 (par). As posições dos termos centrais são: (/) 82" 44"e (8/2 + 1)" s5" O elemento que ocupa a quarta posição na série é 10 e o elementoz.ie ocupa a quinta posição é 13. Portanto, Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a-: e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a 11,5. ,5P Caso - VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta,5ss já estão naturalmente ordenados. Assim, basta verificar se o número de elementos da série é ímpar oui z r e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior. Para facilitar a localização dos termos centrais, construímos a frequên- s acumulada da série. Exemplo 1: Determinar a mediana da série: Solução: O número de elementos da série é n = C fi = 23 (ímpar). Portanto, a série admite apenas um termo central que ocupa a posição-)-4 1 o = 129.3 2 Construindo a frequência acumulada podemos localizar com facilidade:décimo segundo elemento da série.

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