Estadística descriptiva Resumida

1
CAPÍTULOI………………………………………………………………… 3
BASES MATEMATICAS PARA ESTADISTICA I …………………………………………… 3
1. Operaciones con enteros y racionales……………………………………………………… 3
2. Redondeo de datos. ………………………………………………………………………...6
3. Sistema de coordenadas rectangulares (S.C.R.). ………………………………………….. 6
4. Simbología a utilizarse en estadística I…………………………………………………….7
CAPÍTULO II………………………………………………………………. 9
GENERALIDADES………………………………………………………………………………. 9
1. Concepto de estadística……………………………………………………………………. 9
2. Importancia y aplicaciones de la estadística en otras ciencias…………………………….. 9
3. Clasificación de la estadística: Descriptiva e Inductiva…………………………………... 10
4. Estadísticas y parámetros…………………………………………………………………. 10
5. El método estadístico……………………………………………………………………... 10
CAPÍTULO III…………………………………………………………….. 12
NOCIONES PRELIMINARES…………………………………………………………………. 12
1. Concepto de variables. Clasificación…………………………………………………….. 12
2. Ordenación de datos……………………………………………………………………… 12
3. Amplitud total o recorrido de la variable………………………………………………... 12
4. Tamaño o anchura de un intervalo de clase……………………………………………… 13
5. Límites de clase………………………………………………………………………….. 13
6. Intervalos de clases………………………………………………………………………..14
7. Tabulación de datos………………………………………………………………………15
8. Distribución de frecuencia………………………………………………………………...15
9. Marca de clase o punto medio…………………………………………………………….17
10. Frecuencia acumulada…………………………………………………………………… 18
11. Porcentaje………………………………………………………………………………... 18
CAPÍTULO IV…………………………………………………………….20
REPRESENTACIONES GRÁFICAS…………………………………………………………. 20
1. Representaciones gráficas……………………………………………………………………. 20
2. Recomendación para la construcción de gráficas……………………………………………. 20
3. Gráficos lineales………………………………………………………………………………20
3.1. Histograma……………………………………………………………………………….20
3.2. Polígono de frecuencias………………………………………………………………… 21
3.2.1.Interpretación pedagógica del polígono de frecuencias…………………………… 22
3.3. Gráfica de frecuencia acumulada……………………………………………………….. 26
3.3.1.Interpretación pedagógica de la frecuencia acumulada……………………………. 27

2
4. Gráficos de superficie……………………………………………………………………….. 28
4.1. Gráfica de barras……………………………………………………………………….. 28
4.1.1.Barras verticales…………………………………………………………………... 29
4.1.2.Barras horizontales…………………………………………………………………29
4.1.3.Barras compuestas………………………………………………………………….31
4.1.4.Porcentaje de barras compuestas…………………………………………………..31
4.2. Gráfico circular…………………………………………………………………………. 32
CAPÍTULO V…………………………………………………………….. 35
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL……………………………………………………..35
1. Medidas de tendencia central…………………………………………………………………35
1.1. Media Aritmética. Tipos………………………………………………………………… 35
1.2. Mediana. Tipos…………………………………………………………………………..40
1.3. Modo. Tipos……………………………………………………………………………...43
1.4. Representación gráfica de la 𝑋̅, Mdn y Mo, en un polígono de frecuencias……………..45
1.5. Media Geométrica………………………………………………………………………..45
1.6. Media Armónica………………………………………………………………………… 46
CAPÍTULO VI…………………………………………………………….47
MEDIDAS DE VARIABLILIDAD (DISPERSIÓN)…………………………………………47
1. Medidas de dispersión……………………………………………………………………47
1.1. Desviación media. Tipos…………………………………………………………... 47
1.2. Desviación típica. Tipos…………………………………………………………….49
2. Interpretación pedagógica de la desviación media y de la desviación típica…………….54
CAPÍTULO VII……………………………………………………………55
MEDIDAS INDIVIDUALES…………………………………………………………………...55
1. Medidas individuales…………………………………………………………………………55
1.1. Cuartiles…………………………………………………………………………………55
1.2. Deciles…………………………………………………………………………………. 59
1.3. Percentiles………………………………………………………………………………59
1.4. Puntuaciones Tipificadas (z)…………………………………………………………... 62
1.5. Puntuaciones Derivadas (T)…………………………………………………………….63

3
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULARDE LOJA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
MODALIDAD ABIERTA
CAPÍTULO I
BASES MATEMÁTICAS PARA ESTADÍSTICA
1. Operaciones con enteros y racionales
1.1. Adición de enteros y racionales.
1.1.1. Adición de enteros positivos. Para adicionar enteros que estén precedidos de signo
(+), se suman los valores absolutos y se escribe la respuesta con el signo (+), que bien
puede ir sobrentendido.
EJERCICIOS: 1) +17 + 15 = +32
2) +100 + 58 = +158
3) +1 + 8 = +9
1.1.2. Adición de enteros negativos. Para adicionar enteros que estén precedidos del signo
(-), se aumentan los valores absolutos y se escribe la respuesta con el signo (-).
EJERCICIOS: 1) -25 - 12 = -37
2) -80 – 120 = -200
3) -12 – 0 = -12
1.1.3. Adición de enteros de diferente signo. Para adicionar enteros de diferente signo, se
restan los valores absolutos y la respuesta se la escribe con el signo del mayor valor
absoluto.
EJERCICIOS: 1) -25 + 18 = -7
2) +17 – 8 = + 9
3) -5 + 12 = + 7
1.1.4. Adición de racionales. Para adicionar racionales es necesario hallar el mínimo común
denominador (es el denominador común el que contiene a todos los denominadores).
Luego el m.c.d. se divide para cada uno de los denominadores y el coeficiente se lo
multiplica por el numerador, por último se suman los productos parciales.
EJERCICIOS: 1) 1/4 + 3/2 =
1+6
4
= 7/4
2) -2/3 – 5/6 =
−4−5
6
= -9/6 = -3/2
3) 6/5 – 1/3 =
18−5
15
= 13/15

4
4) -3/2 – 5/7 =
−21−10
14
= -31/14
1.2. Sustracción de enteros y racionales.
Para restar enteros y racionales, la resta se transforma en suma, cambiándole el signo al
sustraendo y luego se suman los enteros.
EJERCICIOS:
Sustracción de enteros: 1) 7 - (+4) = 7 – 4 = 3
2) -3 – (5) = -3 – 5 = -8
3) +2 – (-3) = +2 + 3 = +5
4) -3 – (+10) = -3 – 10 = -13
Sustracción de raciones:
1) 3/5 – (-2/15) = 3/5 + 2/15 =
9+2
15
= 11/15
2) -2/3 – (+3/8) = -2/3 – 3/8 =
−16−9
24
= -25/24
1.3. Multiplicación de enteros y racionales.
Para multiplicar o dividir enteros y racionales es necesario saber la ley general de signos.
(+) . (+) = +
(−) . (−) = −
(+) . (−) = −
(−) . (+) = −
1.3.1. Para multiplicar enteros, se multiplican los signos y luego los valores absolutos.
EJERCICIOS: 1) (+4) (+3) = 12
2) (-5) (-8) = 40
3) (-6) (+3) = -18
4) (+7) (-4) = -28
1.3.2. Para multiplicar racionales, primero se multiplican los signos y luego se multiplican
los numeradores y denominadores entre si.
1) (+ 3/4) (+8/9) = + 24/36 = 2/3
2) (-5/4) (+16/25) = -80/100 = -4/5
1.4. División de enteros y decimales.
1.4.1. Para dividir enteros, se multiplican los signos y luego se divide el dividendo para el
divisor.
EJERCICIOS: 1) (-21) ÷ (7) = 12
2) (+48) ÷ (-6) = -8

5
1.4.2. Para dividir racionales, la división se transforma en multiplicación, así, se escribe el
dividendo multiplicado por el divisor invertido.
EJERCICIOS: 1) (3/5) ÷ (15/9) = (3/5) (9/15) = 27/75 = 9/25
2) (-8/21) ÷ (4/7) = (-8/21) (7/4) = -56/84 = -2/3
1.5. Potenciación de enteros y racionales.
La potenciación tiene tres elementos: Base,exponente y potencia.
43 = 64 4 se llama la base.
3 se llama el exponente.
64 se llama potencia.
El exponente indica el número de veces que se repite la base.
Para elevar un número entero o un racional a un cierto exponente, se multiplica el entero o
el racional por si mismo, las veces que indica el exponente.
POTENCIACIÓN DE ENTEROS
EJERCICIOS: 1) (+5)2
= (5) (5) = 25
2) (-7)2
= (-7) (-7) = 49
3) (-2)2
= (-2) (-2) = 4
4) (-3)3
= (-3) (-3) (-3) = -27
5) (-2/3)2
= 4/9
6) (11/10)2
= 121/100
1.6. Radicación de enteros y racionales.
La raíz cuadrada de un número negativo, no existe en el conjunto de los números enteros ni
en los racionales, pero si existe en el conjunto de números complejos.
1.6.1. Para extraer la raíz de un entero, si Ud. Cree conveniente puede utilizar el mecanismo
operatorio de raíz cuadrada, caso contrario acuda a las tablas de raíces cuadradas o
bien a máquinas calculadoras.
EJERCICIOS: 1) √16 = 4
2) √121 = 11
1.6.2. La raíz de un racional, es igual a la raíz del numerador sobre la raíz del denominador
y luego se extrae la raíz del numerador y del denominador.
EJERCICIOS: 1) √81/25 =
√81
√25
= 9/5
2) √49/36 =
√49
√36
= 7/6

6
1.7. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL ESTUDIANTE
1) -19+12-13+8 = 19) 1/2 – 3/4 =
2) 25-7+13-9-3 = 20) 35/2 – 5/6 =
3) -23-12+18-2 = 21) -5/7 – 9/8 =
4) 12 – (-9) = 22) -2/3 – (-5/6) =
5) -16 – (14) = 23) -9/8 – (-15/8) =
6) -14 – (-9) = 24) -56/3 – (-9/5) =
7) (-7) (-5) (-2) = 25) (-2/7) (-5/6) =
8) (-9) (-8) (-1) = 26) (-9/8) (8/6) =
9) (-2) (-3) (-4) = 27) (2/48) (96/4) (76/98) =
10) (-72) ÷ (+9) = 28) (48/56) ÷ (-7/8) =
11) (-81) ÷ (-3) = 29) (-58/86) ÷ (29/43) =
12) (-45) ÷ (-15) = 30) (24/56) ÷ (12/34) =
13) (-3)4
= 31) (3/4)2
=
14) (-5)3
= 32) (-3/5)3
=
15) (10)6
= 33) (-6/5)3
=
16) √100 = 34) √49/25 =
17) √121 = 35) √36/81 =
18) √1 = 36) √4/9 =
2. Redondeo de datos:
En la actualidad se utilizan con mucha frecuencia las máquinas calculadoras para realizar
operaciones matemáticas, obteniéndose algunas cifras decimales, para evitar escribir todas las
cifras decimales, es necesario el redondeo de datos utilizándose el siguiente procedimiento:
Cuando el último dígito es menor q 5, se omite; en cambio si el último dígito es mayor o igual a
5, al dígito anterior se le aumenta 1.
Aproximación a un entero: 9,3 = 9
Aproximación a un entero: 10,5 = 11
Aproximación a la décima: 12,18 = 12,2
Aproximación a la décima: 6,23 = 6,2
Aproximación a la centésima: 5,139 = 5,14
3. Sistema de Coordenadas Rectangulares
Esta formado por la intersección perpendicular de dos rectas numéricas, las mismas que tienen
ciertas características propias.
3.1. Características delSistema Coordenado Rectangular.
 Esta formado por dos ejes coordenados.
 El eje horizontal se llama eje de las equis o eje de las abscisas.

7
 El eje vertical se llama eje de las yes o eje de las ordenadas.
 Se pueden representar puntos P (x,y), de tal manera que sus elementos (x,y) tienen
un orden fijo.
El semieje (0Y) es positivo
El semieje (0Y`) es negativo
El semieje (0X) es positivo
El semieje (0X`) es negativo
EJEMPLO: Al representar el punto A(4,5) que tiene de abscisa 4 y de ordenada 5, se localiza en
los respectivos ejes y luego se realiza la intersección y ese será elpunto A.
4. Simbología a utilizarse en Estadística I
Por lo general todos los autores de obras de Estadística, establecen su propia simbología, ahora
se trata de unificar la simbología que se ha venido estudiando.
Amp. = Amplitud.
ni. = Número de intervalos.
N = Número total de casos o población.
i = ancho de intervalo.
Xm= Punto medio.
ls = Límite superior.

8
li = Límite inferior.
P = Porcentaje.
f = Frecuencia.
fa = Frecuencia acumulada.
Ao = Área del sector circular.
u = Desviación respecto de la media supuesta.
𝑋̅ = Media aritmética.
𝑋𝑠̅̅̅̅ = Media supuesta.
Mdn.= Mediana.
fai = Frecuencia acumulada inferior.
Mo.= Modo
1= Diferencia entre la frecuencia del modo y la frecuencia inferior.
2= Diferencia entre la frecuencia del modo y la frecuencia superior.
G. = Media geométrica.
H = Media Armónica.
DM= Desviación media.
d = Desviaciones.
α = Desviación estándar,o desviación típica.
C.V.= Coeficiente de variación.
Qp1 = Ubicación del primer cuartil.
Qp2 = Ubicación del segundo cuartil.
Qp3 = Ubicación del tercer cuartil.
Q1 = Primer cuartil.
Q2 = Segundo cuartil.
Q3 = Tercer cuartil.
Dp1 = Ubicación del primer decil.
Dp2 = Ubicación del segundo decil.
Dp3 = Ubicación del tercer decil.
D1 = Primer decil.
D2 = Segundo decil.
D3 = Tercer decil.
Pn = Ubicación del percentil.
P100= Percentil.
z = Puntuaciones tipificadas.
T = Puntuaciones derivadas.
Ls = Límite realsuperior.
Li = Límite realinferior.

9
CAPÍTULO II
GENERALIDADES
1. Concepto de Estadística
Es una parte de la matemática, que utiliza sus propios medios para recolectar datos,
expresarlos en forma matemática, analizarlos y luego investigar las relaciones existentes
entre los hechos, para poder inferir ciertas conclusiones.
2. Importancia y aplicaciones de la Estadística en otras ciencias.
2.1. Importancia de la estadística
En la actualidad toda institución o toda organización, debe tener sistemas de control
estadístico, desde ese punto de vista la importancia es enorme, ya que no solo en educación
podría ser utilizada, sino en la industria, en el comercio y en la salud pública.
En la escuela primaria, mediante la estadística se podrá conocer si un alumno lee
muy bien o regular; si la asistencia de los escolares es normal, irregular; si la estatura está
en relación con la edad.
En la escuela secundaria, los Sres. Profesores Dirigentes de curso, pueden conocer a
fondo el rendimiento de su curso, mediante los métodos estadísticos.
En el campo de las predicciones ayudaría a tener un concepto mas claro de cómo se
producirían ciertos fenómenos.
Todo profesional competente de las ciencias del comportamiento, debe conocer
ciertos métodos estadísticos y su aplicación.
2.2. Aplicaciones de la estadística en otras ciencias
La estadística es un método necesario, que se utiliza en las ciencias de la
agricultura. Por ejemplo, cuando se desea explicar la abundancia agrícola, debido a la
aplicación estadística,a los planos y a los análisis de los experimentos agrícolas.
La estadística es utilizada por las ciencias económicas en lo que respecta a las
estadísticas del desempleo y sus repercusiones sociales.
Las ciencias médicas, usan las estadísticas para probar la eficacia de nuevos
medicamentos. La lista sería interminable. La estadística se emplea en la Geología,
Biología, Psicología, Sociología, y en todo sector en el que las inferencias deben hacerse a
base de datos o informes incompletos.
Las ciencias pedagógicas tienen a la estadística como un instrumento indispensable
de trabajo, ya que puede conocer a los problemas escolares en los cuales sea posible
utilizar la estadística para poder resolverlos.
 Clasificación de los alumnos de acuerdo a la edad cronológica y de acuerdo a la
edad mental.
 Medición del aprovechamiento, utilizando pruebas objetivas.
 Evaluación de las pruebas (fáciles, difíciles y normales).
 Clasificación de los estudiantes de acuerdo a su calificación.
 Establecer correlaciones entre asignaturas diferentes.
 Comprobación del rendimiento de los estudiantes de un mismo curso o grado.

10
 Para la interpretación de los resultados de una investigación con el objeto de
planificar el trabajo docente.
 Para la promoción de los estudiantes.
3. Clasificación de la estadística
3.1. Estadística Descriptiva
El objeto de la estadística descriptiva es la clasificación de datos, representar gráficos,
utilizar medidas de tendencia central, medidas de variabilidad, medidas individuales y
obtener ciertas conclusiones.
3.2. Estadística Inferencial
“La inferencia estadística tiene por tanto como función generalizar los resultados de la
muestra, para estimar las características de la población”1
La estadística descriptiva y la Inductiva, utiliza así mismo dos tipos de elementos
matemáticos.
La estadística descriptiva para analizar sus datos utiliza procesos operatorios de aritmética,
en cambio la estadística inductiva cuando trata de obtener conocimientos acerca de
poblaciones a partir de muestras extraídas de esa población.
Los medios matemáticos se fundamentan en la teoría de la probabilidad.
4. Estadística y Parámetros
4.1. Estadísticos. Se llama así al conjunto de características y resultados de una elaboración
estadística cuando se han obtenido a partir de una muestra. El estadístico no afirma ni
niega nada con respecto a la población.
4.2. Parámetros. Se llama al estadístico que por sus condiciones es aceptado como válido para
la población. El parámetro no se puede obtener directamente, sino que se infiere por
cálculo de probabilidades.
CUADRO DE ALGUNOS PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS
CARACTERÍSTICA PARÁMETRO ESTADÍSTICO
Media Aritmética m 𝑋̅
Desviación típica s α
Varianza s2
α2
Fracción o proporción p p
Coeficiente de correlación R r
Número de casos n N
CUADRO No
. 2
5. Método Estadístico
Toda investigación experimental conlleva un método de trabajo.
El método estadístico, para su aplicación requiere del siguiente proceso:
5.1. Determinación precisa del problema. Es fundamental delimitar claramente el problema y
plantearlo bien en todas sus dimensiones.
1 Cfr. Barbancho Alonso, Estadística Elemental Moderna, p.12

11
5.2. Comprobación de datos. Es conveniente verificar los hechos que van a ser objeto de
análisis y que han sido captados por la observación o la experimentación, mediante los
instrumentos de medida.
5.3. La Elaboración Estadística. Se refiere a la recolección, selección y seriación de los datos
que han de ser tratados y expresados numéricamente y gráficamente.
5.4. La Interpretación de los datos. Una vez que se ha llegado a determinar el valor de las cifras
recopiladas, se pueden obtener ciertas conclusiones.
5.5. Obtención de inferencias y generalización de los resultados. Las conclusiones anteriores
que son la muestra, se la puede llegar a generalizar para toda la población.

12
CAPÍTULO III
NOCIONES PRELIMINARES
1. Concepto de variable. Variable es toda magnitud que esté dispuesta a cambiar de valor.
Las variables tienen dos características: La primera es la diferencia entre los valores posibles de
la variable y los valores realmente observados; la segunda es la diferencia entre variables
discretas y continuas, o variables cuantitativas.
1.1. Diferencia entre valores posibles es el conjunto de valores realmente observados.
 Los valores posibles es el conjunto de valores que puede tener la variable.
 Por ejemplo si las calificaciones de un examen van de 0 a 20 en enteros, la variable
calificación los 21 valores que van desde 0, 1, 2,3,…..20, a este conjunto se lo
llama valores posibles.
 Los valores observados, es el conjunto de valores posibles de la variable, que se
han observado realmente por Ejm. Los cuatro valores de la variable que se han
observado son 10, 12, 15, 19, a este grupo se les llama valores realmente
observados.
1.2. Variables cuantitativas.
Desde tiempos antiguos se conocen que vienen influyendo en el desarrollo de la
matemática el dominio de lo discreto y de lo continuo.
1.2.1. Variable discreta
Las magnitudes discretas interpretan la naturaleza matemática en forma individual,
precisa, separadas como los números enteros, por ejemplo los estudiantes de un curso.
1.2.2. Variable continua
Las magnitudes continuas interpretan la naturaleza y la matemática en forma
ininterrumpida, por ejm. El peso de los alumnos, la edad de las personas.
1.3. Variables Cualitativas
Se trata de una característica del fenómeno que se investiga o más bien de una cualidad,
que no puede ser representada mediante numerales, por ejm. El sexo, el tipo de colegio,
etc.
2. Ordenación de datos
Cuando el investigador dispone de un conjunto de datos tiene que ordenarlos de acuerdo a las
variables cualitativas y cuantitativas.
Para ordenar las variables cualitativas se toma en cuenta las características o cualidades de la
investigación. En cambio para ordenar de acuerdo a las variables cuantitativas, se disponen los
valores que sea en forma ascendente o descendente y luego se los escribe en un cuadro
estadístico.
3. Amplitud total o recorrido de la variable.
Se llama amplitud total a la diferencia que se establece entre el valor mayor y el valor menor de
la variable,
Ampl. = X mayor – X menor. X. mayor = Valor mayor de la serie.

13
X. menor = Valor menor de la serie.
Una serie tiene sus valores límites que son: 185 y 131, determinar su amplitud.
Amp. = X mayor – X menor.
Utilizando la fórmula, reemplazando los valores tenemos:
Amp. = 185 – 131
Amp. = 54
4. Tamaño o anchura de un intervalo de clase
Se llama al número de valores que existen entre dos valores límites.
4.1. Ancho del intervalo de clase. Es conveniente en Pedagogía que toda serie tenga como
ancho del intervalo un número impar es decir: i = 3, i = 5, i = 7, i = 9, etc.
Con el objeto de que el punto medio de la serie sea un número entero.
4.2. Determinación del anchi del intervalo de una serie. Para conocer el número exacto de
valores que existe en un intervalo, se lo puede hacer mediante la fórmula:
i = ls – li + 1 ls. = límite superior.
li. = límite inferior.
i = ancho de intervalo.
A proponerse los intervalos de una serie de valores; se desea conocer elancho del Intervalo.
X
1ra. 47.5 – 52.5
2do. 42.5 – 47.5
3ro. 37.5 – 42.5
4to. 32.5 – 37.5
5to. 27.5 – 32.5
6to. 22.5 – 27.5
7mo. 17.5 – 22.5
8vo. 12.5 – 17.5
CUADRO No
. 3
5. Límites de clase
Se llaman límites de clase a los valores expresados que están formando los intervalos, por ejm.
Los valores de la serie del cuadro No
. 3.
5.1. Límite superior e inferior de un intervalo.
5.1.1. Se llama límite superior, al mayor valor del intervalo, podemos tomar los valores 52,
47, 42,37, etc. del cuadro No
. 3, que son límites superiores.
5.1.2. Se llama límite inferior al menor valor del intervalo por ejm. los valores 47, 42, 37,
etc. del cuadro No
. 3
5.2. Límite real superior e inferior de un intervalo.
Si tomamos la fórmula del intervalo.
i = ls – li + 1
al tomar el primer intervalo y reemplazar
sus valores en la fórmula tenemos:
i = 52 – 48 + 1
i = 5

14
5.2.1. Límite real superior, se lo obtiene de la semisuma del límite superior del intervalo en
referencia con el límite inferior del intervalo mayor.
Para su cálculo utilizamos la siguiente fórmula:
𝐿𝑠 =
𝑙𝑠 + 𝑙𝑖
2
Obtener el límite superior del tercer intervalo.
𝐿𝑠 =
43 + 42
2
Ls = 42,5
5.2.2. Límite real inferior asimismo se obtiene de la semisuma del límite inferior del
intervalo en referencia, con el límite superior del intervalo menor. Para su cálculo
utilizamos la misma fórmula anterior.
Por ejm. obtener el límite real inferior del tercer intervalo del cuadro No
. 3.
𝐿𝑖 =
𝑙𝑠 + 𝑙𝑖
2
𝐿𝑖 =
37 + 38
2
Li = 37,5
En consecuencia los límites reales del tercer intervalo son los siguientes: 42,5 – 37,5
6. Intervalos de clase
Es un conjunto de numerales que se los agrupa, en una clase porque debido al número de
elementos que se repiten, no pueden ser representativos todos a la vez.
Una serie de valores se la agrupa en intervalos, cuando el número de elementos que la forman
es mayor o igual a 25.
Para determinar el número de intervalos de clase, se divide la amplitud para el ancho del
intervalo (número impar) que se desee de acuerdo al número de elementos y se le suma la
unidad.
𝑛𝑖 =
𝐴𝑚𝑝
𝑖
+ 1
EJEMPLO: Ordenar en intervalos las estaturas de 50 estudiantes.
177- 167 – 169 – 176 - 159 - 161 – 165 – 163 – 167 – 167 – 160 – 141 – 133 – 180 – 168 – 170
– 172 – 160 – 161 – 163 – 163 – 166 – 163 – 153 – 148 – 131 – 185 – 167 – 173 – 171 – 160 –
162 – 162 – 164 – 165 – 161 – 154 – 140 – 131 – 167 – 175 – 171 – 160 – 164 – 161 – 166 –
164 – 162 – 158 – 132.
Primero: se localiza los valores mayor y menor de la serie.
Ls = Límite real superior
ls = límite superior del intervalo en referencia.
li = Límite inferior del intervalo mayor.
Li = Límite real inferior

15
X mayor = 185 Amp. = X mayor – X menor
X menor = 131
Segundo: se halla la amplitud
Amp. = 185 – 131Amp. = 54
Tercero:Se impone el ancho del intervalo (i = 9)
Cuarto: Se obtiene el número de intervalos:
𝑛𝑖 =
𝐴𝑚𝑝
𝑖
+ 1
𝑛𝑖 =
54
9
+ 1
ni = 6 + 1
ni = 7
De esta manera hemos obtenido que la nueva serie debe tener 7 intervalos.
7. Tabulación de datos
Es el proceso mediante el cual se anota frente a la columna de la variable el número de veces
que se repite una magnitud, se lo puede hacer mediante rayitas verticales u horizontales.
8. Distribución de frecuencias
8.1. Frecuencia. Se denomina al número de veces que se repite una misma magnitud.
8.2. Serie simple con frecuencia
Se llama así a la ordenación de la variable realizada en forma ascendente o descendente,
siempre que la amplitud o recorrido no sea demasiado grande, porque si esto sucede se
puede ordenar por intervalos.
Ejemplo: Ordenar y tabular los siguientes datos en una serie con frecuencias.
159 – 161 – 165 – 163 – 167 – 167 – 160 – 160 – 161 –
163 – 163 – 166 – 163 – 160 – 162 – 162 – 164 – 165 –
161 – 160 – 164 – 161 – 166 – 164 – 162 –
Se ordena la variable en forma descendente y luego se realiza el proceso de tabulación.
X Tabul. Frec. f.
167
166
165
164
163
162
161
160
159
I I
I I
I I
I I I
I I I I
I I I
I I I I
I I I I
I
2
2
2
3
4
3
4
4
1
TOTAL: 25

16
8.3. Serie ordenada de intervalos
Cuando una serie esta formada por más de 25 elementos, es necesario utilizar los intervalos
para agrupar los valores de la variable.
8.3.1. Proceso para ordenar una variable mediante intervalos.
 Primero: Se halla la magnitud o recorrido de la variable, tomando el
ejemplo propuesto en (6) tenemos:
Amp. = X mayor – X menor
Amp. = 185 – 131  Amp. = 54
 Segundo: Se calcula el número de intervalos.
𝑛𝑖 =
𝐴𝑚𝑝
𝑖
+ 1 𝑛𝑖 =
59
9
+ 1
𝑛𝑖 = 6 + 1
ni = 7
Si el número de intervalos es de 7 y el ancho del intervalo propuesto es de 9.
Tercero: Se construye la columna de los intervalos, iniciándose por el mayor valor de la
variable que es 185, se disminuye 8 unidades y se obtiene el primer intervalo: 177 – 185, como
puede notarse en este intervalo están incluidos (9) valores. (177,178, 179, 180, 181, 182, 183,
184, 185) lo que equivale a decir que en el intervalo existen nueve numerales o que i= 9.
Asimismo para obtener el segundo intervalo, se resta 9 unidades del primer intervalo, es decir el
límite superior y el límite inferior se les resta 9 unidades, así obtenemos el intervalo 168 – 176,
este mismo proceso se sigue hasta obtener los siete intervalos.
X
177 – 185
168 – 176
159 – 167
150 – 158
141 – 149
132 – 140
123 – 131
CUADRO No
. 5
Cuarto: Se tabula los valores del conjunto de datos de la serie de datos del número (6) y se
establecen la columna de las frecuencias.

17
X TABULACIÓN f
177 – 185
168 – 176
159 – 167
150 – 158
141 – 149
132 – 140
123 – 131
TOTAL:
///
////////////
/////////////////////////
///
//
///
//
3
12
25
3
2
3
2
50
CUADRO No
. 6
Este es el proceso para ordenar una serie de datos, mediante intervalos.
9. Marca de clase o Punto medio. Es el valor medio de cada uno de los intervalos. Se lo
representa por la letra Xm. , y para calcular su valor se utiliza la siguiente fórmula:
𝑋𝑚 =
𝑙𝑖 + 𝑙𝑠
2
Calcular los puntos medios de la serie del cuadro No
. 7.
Por ejemplo:
𝑋𝑚 =
177 + 185
2
Xm = 181
Este es el proceso que se sigue para obtener todos los puntos medios.
X f Xm
177 – 185
168 – 176
159 – 167
150 – 158
141 – 149
132 – 140
123 – 131
TOTAL:
3
12
25
3
2
3
2
50
181
172
163
154
145
136
127
CUADRO No
. 7

18
10. Frecuencia acumulada
Como su nombre lo indica, es la acumulación de la frecuencia a partir del menor valor de la
variable, su símbolo es (fa).
La frecuencia acumulada es muy utilizada en la construcción de ojivas.
Construir la columna de la frecuencia acumulada de la serie del cuadro No
. 7.
X f fa
177 – 185
168 – 176
159 – 167
150 – 158
141 – 149
132 – 140
123 – 131
TOTAL:
3
12
25
3
2
3
2
50
50
47
35
10
7
5
2
CUADRO No
. 8
11. Porcentaje
Se llama así al valor correspondiente de cada frecuencia determinada por cada 100 casos del
total. Se lo simboliza con una P y para el cálculo se utiliza la fórmula:
𝑃 =
𝑓 .100
𝑁
Hallar los porcentajes para las columnas de frecuencia y frecuencia acumulada de la siguiente
tabla.
X f % f fa %fa
177 – 185
168 – 176
159 – 167
150 – 158
141 – 149
132 – 140
123 – 131
3
9
28
3
2
3
2
6
18
56
6
4
6
4
50
47
35
10
7
5
2
100
94
76
20
14
10
4
TOTAL: 50 100
P = porcentaje
N = número total de elementos
f= frecuencia
CUADRO No
. 9

19
Obtener el porcentaje de la frecuencia del primer intervalo.
P = ? 𝑃 =
𝑓 .100
𝑁
f = 3 𝑃 =
3 .100
50
𝑃 =
300
50
P = 6
N = 50
Asimismo se obtienen el porcentaje de la frecuencia acumulada.
P = ? 𝑃 =
𝑓𝑎 .100
𝑁
f = 50 𝑃 =
50 .100
50
P = 100
N= 50
Si Ud. sigue este mismo proceso puede obtener los valores que se encuentran en las columnas.

20
CAPÍTULO IV
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
1. Representacionesgráficas
Las representaciones gráficas tienen por objeto ofrecer una visión de conjunto del
fenómeno que está investigando.
Es más fácil examinar datos que estén representados en gráficos antes que cuando estén
dados en tablas o en cuadros numéricos.
Las representaciones gráficas hacen uso de todos los medios geométricos, en consecuencia
se atienen a la rigurosidad y precisión de las construcciones geométricas.
2. Recomendaciones para la construcción de gráficas
Para la construcción de gráficos se debe tener presente las siguientes recomendaciones:
2.1. Elegir la escala que más se adapte al fenómeno a representarse para que puedan apreciarse
todos los detalles.
2.2. Tratar de que las dimensiones para el eje x y para el eje y sean simétricas, utilizando el
sistema de coordenadas rectangulares.
2.3. Colocar en la parte superior o inferior el título.
2.4. Construir el gráfico en papel milimetrado, porque de esta manera es más fácil para el que
construye el gráfico, como para el que interpreta el mismo.
3. Gráficos Lineales
Es un tipo de gráfico que utiliza el primer cuadrante del S.C.R.
Para construir este tipo de gráfico es necesario de que existan dos tipos de variables:
Dependiente e independiente.
3.1. Histograma
Un histograma de frecuencias es una serie de rectángulos que tienen las siguientes
características.
 La base está sobre el eje x, haciendo centro el punto medio, la longitud horizontal
es igual al ancho del intervalo de clase, en forma general la variable se ubica en el
eje de las equis.
 Asimismo la frecuencia se la ubica en el eje de las yes, como alturas.
Representar los siguientes datos en un histograma.

21
X f
18 2
17 5
16 8
15 10
14 6
13 5
12 4
11 3
10 2
TOTAL: 45
CUADRO No
. 10
Representar en un histograma el siguiente cuadro de valores.
x f Xm
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
3
10
16
8
4
2
19
16
13
10
7
4
TOTAL 43
CUADRO No
. 11
Para representar un histograma de una serie ordenada en intervalos es conveniente representar en el
eje de las equis el punto medio también se puede escribir los límites de cada intervalo, y en el eje de
las yes se ubica la frecuencia.
3.2. Polígono de frecuencia
Es un gráfico lineal que se forma por la intersección de la variable con las frecuencias dando
origen al llamado polígono de frecuencias o curva de frecuencias.

22
x f Xm
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
3
10
16
8
4
2
19
16
13
10
7
4
TOTAL 43
CUADRO No
. 12
GRÁFICO No
. 5
3.2.1. Interpretación Pedagógica del polígono de frecuencias.
El polígono de frecuencias nos permite observar cómo se distribuyen los puntajes en
un grupo, y se puede estimar si el tipo de evaluación es normal, demasiado difícil, sin
tomar en cuenta otros criterios sicopedagógicos.
3.2.1.1. Si en el polígono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el
extremo derecho se puede decir que la evaluación fue demasiado fácil.
x f
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
4
10
10
8
6
3
2
2
2
1
TOTAL 18
CUADRO No
. 13

23
GRÁFICO No
. 6
3.2.1.2. Asimismo si en el polígono de frecuencias existe un agrupamiento mayor
en el extremo izquierdo, se puede decir que la evaluación tuvo alto grado de
dificultad.
x f
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
1
1
1
2
2
2
3
5
6
7
8
10
10
9
6
4
TOTAL 77
CUADRO No.
14.

24
GRÁFICO No
. 7
3.2.1.3. En cambio si existen dos agrupamientos en el polígono de frecuencias,
diremos que es un curso en el cual hay dos grupos de estudio, para el primer
grupo la prueba es inadecuada por ser difícil, y para el segundo grupo la prueba
es demasiado fácil.
x f
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
1
3
4
7
7
5
2
1
2
6
7
6
3
1
TOTAL 55
CUADRO No
. 15

25
GRÁFICO No
. 8
3.2.1.4. Si los puntajes se distribuyen en forma uniforme o normal se obtiene el
siguiente gráfico, se puede decir entonces que la evaluación tomada ha sido
normal.
x f
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
2
3
4
6
10
10
7
5
3
2
TOTAL 52

26
GRÁFICO No
. 9
3.3. Gráfico de frecuencia acumulada
Es un diagrama lineal que para utilizarlo en Pedagogía, se ordena en el eje de las equis la
frecuencia acumulada y los valores de la variable en el eje y, la intersección de todos los
puntos da origen a la curva de magnitud a la que se llama gráfico de frecuencia acumulada
o también ojiva.
x f fa Xm
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
3
10
16
8
4
2
43
40
30
14
6
2
19
16
13
10
7
4
TOTAL 43
CUADRO No
. 17

27
GRÁFICO No
. 10
3.3.1. Interpretación Pedagógica de la Frecuencia Acumulada.
La curva de magnitud asimismo nos permite observar la distribución de la variable, es
así que se puede resultar de mucha utilidad en el campo pedagógico, para clasificar
las evaluaciones sin tomar en cuenta a algún criterio sicopedagógico.
CUADRO No
. 18
x f fa
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
1
1
2
3
4
6
7
5
4
3
2
1
39
38
37
35
32
28
22
15
10
6
3
1
TOTAL 39

28
GRÁFICO No
11
 La posición de la curva (a), nos indica que la evaluación que se ha tomado ha sido normal.
(según datos de la serie)
 La posición de la curva (b) nos indicaría que el tipo de evaluación ha sido demasiada fácil.
 La posición de la curva (c),asimismo nos indica que la evaluación ha estado difícil.
4. Gráficos de Superficie
Es un tipo de representación que se la realiza por medio de puntos, líneas y superficies: es decir
que existe proporcionalidad entre línea y superficie de los valores propuestos, por ejm. Los
gráficos de barras, gráficos circulares.
4.1. Gráficos de barras
En el diagrama que se lo representa mediante rectángulos el eje de las equis sirve de base
de los rectángulos, y no tiene el mismo significado que los histogramas.
Cada uno de los rectángulos tiene una sola representación, y en este tipo de gráfico los
rectángulos no están unidos como en el histograma.
Por ejemplo representar elsiguiente cuadro de valores en un gráfico de barras.
Cursos F
Sexto
Quinto
Cuarto
Tercero
Segundo
primero
200
350
400
450
500
600
TOTAL: 2500
CUADRO No
. 19

29
DATOS POBLACIONALES DE UN COLEGIO DE LA CIUDAD DE LOJA
GRÁFICO No
. 12
4.1.1. Barras verticales y horizontales
Para la construcción de gráficos de barras se tiene que tomar en cuenta algunos
aspectos como ser el ancho de las barras, la distancia entre las barras y la escala a
usarse.
A continuación proponemos un ejemplo de barras verticales. Asimismo es posible
representar cuadros de calificaciones de estudiantes de un curso por ejm.
x f Xm
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
3
10
16
8
4
2
19
16
13
10
7
4
TOTAL: 43
CUADRO No
. 20
0
100
200
300
400
500
600
700

30
GRÁFICO No
. 13
Representar elsiguiente cuadro en un gráfico de barras horizontales.
Cursos f
Sexto 200
Quinto 350
Cuarto 400
Tercero 450
Segundo 500
Primero 600
CUADRO No
. 21
GRÁFICO No
. 14
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
4 7 10 13 16 19
0 100 200 300 400 500 600 700
1
2
3
4
5
6

31
4.1.2. Barras compuestas
A este tipo de gráfico se lo llama barra subdividida y se lo utiliza cuando se desea
representar dos o más series de datos.
Representar en barras compuestas las calificaciones de Ciencias Naturales de dos
cursos diferentes.
x Xm f(A) f(B) Total f.
19 – 21
16 – 18
13 – 15
10 – 12
7 – 9
4 – 6
20
17
14
11
8
5
02
04
16
08
04
03
02
10
02
05
14
02
4
14
18
13
18
5
TOTAL: 37 35
CUADRO No
22
GRÁFICO No
. 15
Este tipo de gráfico se lo utiliza para realizar comparaciones en el rendimiento de dos cursos
diferentes.
4.1.3. Porcentaje de barras compuestas
Es un tipo de gráfico mediante el cual se representa los porcentajes, donde todas las
barras tienen la misma altura.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
5 8 11 14 17 20
f
Xm
Curso B
Curso A

32
Representar en un gráfico de porcentaje de barras compuestas dos cursos diferentes en
una misma asignatura.
x Xm f(A) f (B) Total f % f (A) % f (B)
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
19
16
13
10
7
4
2
6
14
8
5
3
2
10
8
12
6
4
4
16
22
20
11
7
50
37,5
63,64
40
45,45
42,86
50
62,5
36,36
60
54,54
57,14
TOTAL: 38 42
CUADRO No
. 23
Para trazar el gráfico se ubica los puntos medios en el eje de las equis y los porcentajes tanto de A,
como de B, en el eje de las yes, tomando una columna para cada intervalo.
GRÁFICO No
. 16
4.2. Gráfico Circular
Es un diagrama de superficie que se lo utiliza para representar datos, el gráfico está
dividido en partes tales según el número de variables que existan en la serie de datos.
Para elcálculo matemático se utiliza la siguiente fórmula:
𝐴0 =
𝑓 .360
𝑁
Representar en un diagrama circular los siguientes datos de un Colegio de Loja.
0
20
40
60
80
100
120
4 7 10 13 16 19
Curso B
Curso A
Ao
= superficie en grados
f = frecuencia
N = número total de casos

33
CURSOS f Ao
Sexto 200 29
Quinto 350 50
Cuarto 400 58
Tercero 450 65
Segundo 500 72
Primero 600 86
TOTAL 2500 360
Para representar gráficamente, se parte del semieje positivo de las equis, tomando en sentido
contrario a las agujas del reloj.
GRÁFICO No
. 17
BARRAS SUPERPUESTAS
Este tipo de barras, regularmente son utilizadas cuando se trata de una Población Estudiantil, osea
escuelas,colegios, etc., o un conjunto bien definido.
Para representar gráficamente se procede así:
1. Cuadro Estadístico
Ejemplo: Población estudiantil de un Colegio.
Ciclo Tercer Curso
Diversificado Segundo Curso
Primer Curso
110
120
140
Ciclo Tercer Curso
Básico Segundo Curso
Primer Curso
150
170
240
PRIMERO
SEGUNDO
TERCERO
CUARTO
QUINTO
SEXTO
Por ejemplo obtener los valores
correspondientes a Sexto y Primer curso
respectivamente.
𝐴0 =
200 .360
2500
𝐴0 = 290
𝐴0 =
600 .360
2500
𝐴0 = 860

34
2. Se utiliza dos semiejes:
a. En el semieje horizontal no se la escala con respecto al cuadro, sino se centraliza
para colocar las barras.
b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias, o sea con el número mayor
que exista de alumno con cualquier curso o ente que se trate. En nuestro ejemplo
observamos que el número 240 es mayor por lo cual este semieje debe tener ese
máximo, con la escala igual de acuerdo al espacio que se va a utilizar.
3. Representación
Se observa el cuadro estadístico y se toma el que tenga menor frecuencia, se lo coloca como
barra en el centro del semieje horizontal, en nuestro caso es el tercer curso del ciclo
diversificado que tiene la menor frecuencia que es 110, luego el que le siga, la frecuencia se
grafica encima del primero, o sea el de segundo curso del mismo ciclo que tiene 120 y así
sucesivamente todas las demás barras. Se considera para cada barra el mismo ancho y su
forma es a partir del semieje horizontal.
4. Representación de la gráfica
Al haber construido la gráfica se pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente
manera cada una para diferenciar y a la derecha de la gráfica se coloca la leyenda
indicando el color o rayando utilizado para cada barra.

35
CAPÍTULO V
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. MEDIDAS DE TENDENCICENTRAL
Es un conjunto de valores que tienden a ubicarse en el centro de una serie de datos ordenados.
Entre las principales medidas de Tendencia Central tenemos: La media Aritmética, la mediana, la
media Geométrica, El modo, y la media armónica.
1.1. Media Aritmética
Es el valor promedio de un conjunto de datos. Por ejm: La Media de los siguientes valores
es:
14, 15, 13, 12, 15 =
69
5
= 13,8
La media aritmética de esta serie es 13,8
1.1.1. Media Aritmética de una serie sin frecuencias.
Para hallar la Media Aritmética, se suman los valores, sin ordenarlos y luego se divide
para el número de valores existentes. Esta proposición se la puede transformar en una
fórmula.
𝑋̅ =
∑ 𝑋
𝑁
𝑋̅ = Media Aritmética
∑x= Sumatoria de valores
N = Número de valores
Calcule la media de los siguientes pesos de alumnos dados en kilos.
47, 49, 51, 48, 50
𝑋̅ =
∑ 𝑋
𝑁
𝑋̅ = ?
𝑋̅ =
245
5
∑x = 245
𝑋̅ = 49 N= 5
La media aritmética es 49 kilos.
1.1.2. Media Aritmética de una serie simple con frecuancia.
Cuando una serie se le agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media artimética, se
multiplica la variable por la frecuencia respectiva y luego se obtiene la suma de todos estos

36
productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos. Todo esto puede
representarse mediante una fórmula matemática, así:
𝑋̅ =
∑ 𝑋. 𝑓
𝑁
∑ 𝑋. 𝑓 = Sumatoria de producto de la variable por la frecuencia.
N = Número de elementos.
Las calificaciones de matemáticas de un curso de un colegio de Loja, en el primer Trimestre de éste
año lectivo obtiene las siguientes calificaciones:
14 – 13 – 13 – 16 – 14 – 12 – 15 – 13 – 13 – 19 – 09 – 11 – 19 – 11 – 15 – 12 – 10 – 12 – 11 –
10 – 17 – 16 – 11 – 15 – 17 – 19 – 15 – 14 – 12 – 16 – 14 – 14 – 12 – 12 – 16 – 14 – 18 – 14 –
16 – 11- 15 – 14 – 13 – 14
Las mismas que al ordenarlas en una serie simple con frecuencias tenemos:
CUADRO No
. 25
𝑋̅ = ?
∑ 𝑋. 𝑓 = 611
N = 44
𝑋̅ =
∑ 𝑋. 𝑓
𝑁
x f xf
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
0
3
1
2
5
5
9
5
6
5
2
1
0
57
18
34
80
75
126
65
72
55
20
9
TOTAL 44 611

37
𝑋̅ =
611
44
𝑋̅ = 13,886 𝑋̅ = 13, 89
La media aritmética en la asignatura de Mateméticas es de 13, 89.
1.1.3. Media Aritmética de una serie ordenada en intervalos.
Cuando una serie está ordenada en intervalos, es posible determinar su valor mediante
dos procesos diferentes, determinados por la utilización de dos fórmulas matemáticas.
PRIMER MÉTODO
Algunos autores le llaman Método Largo, consiste en obtener los puntos medios con su respectiva
frecuencia y luego se suman todos estos productos parcialesy se divide para el número de
elementos. Todo esto traducido en una fórmula quedaría así:
𝑋̅ =
∑ 𝑋. 𝑓
𝑁
∑ 𝑋. 𝑓= sumatoria de prodcuto de los puntos medios por la frecuencia.
N = Número de casos
Se estableció un grupo de 100 estudiantes para medirles la talla en uno de los colegio de Loja, una
vez ordenados los datos se obtiene la siguiente tabla de valores.
El ejemplo propuesto en la tabla tiene un ancho de intervalo que es igual a 8, es decir que es un
número par; como consecuencia todos los puntos medios tandrán decimales.
x Xm f Xm . f
143 – 150
135 – 142
127 – 134
119 – 126
111 – 118
103 – 110
95 – 102
146, 5
138, 5
130, 5
122, 5
114, 5
106, 5
98, 5
2
8
26
31
20
11
2
293
1108
3393
3797, 5
2290
1171, 5
197
100 12,250
CUADRO No
. 26
𝑋̅ =
∑ 𝑋𝑚.𝑓
𝑁
𝑋̅ =
12,250
100

38
𝑋̅ = 122,5
SEGUNDO MÉTODO
Así como el anterior a éste proceso algunos autores le llaman método corto, porque cuando se tiene
una serie con un número grande de casos este proceso es más factible manejarlo que al anterior
proceso.
Para hallar la Media Aritmética mediante éste método, la serie debe estar ordenada en intervalos y
luego seguir este proceso:
1. Se supone una media supuesta (𝑋̅ ), este valor puede ser cualquier punto medio, de
preferencia que sea el que tiene mayor frecuencia.
2. Se establece las diferencias entre el punto medio y la supuesta, dividiendo cada uno para el
ancho del intervalo.
𝑈 =
𝑋𝑚 − 𝑋𝑠̅̅̅̅
𝑖
𝑈 =
146,5 − 122,5
8
U= 3
3. Se realiza el producto de las diferencias por las frecuencias y se suman algebraicamente.
4. Una vez que se han obtenido todos estos valores, es posible determinar la X , con la
siguiente fórmula.
𝑋̅ = 𝑋𝑠̅̅̅̅ +
∑ 𝑓 . 𝑢
𝑁
. 𝑖
Utilizaremos la serie del cuadro anterior para la aplicación del segundo método.
X Xm f 𝑿𝒔̅̅̅̅ U f . u
143 – 150
135 – 142
127 – 134
146,5
138,5
130,5
2
8
26
3
2
1
6
16
26
119 – 128 122,5 31 122,5 0 0
111 – 118
103 – 110
95 – 102
114,5
106,5
98,5
20
11
2
-1
-2
-3
-20
-22
-6
100 0

39
CUADRO No
. 27
𝑋̅ = ?
𝑋𝑠̅̅̅̅ = 122,5
∑ 𝑓 . 𝑢 = 0
𝑖 = 8
N = 100
𝑋̅ = 𝑋𝑠̅̅̅̅ +
∑ 𝑓 . 𝑢
𝑁
. 𝑖
𝑋̅ = 122,5 +
(0). 8
𝑁
.8
𝑋̅ = 122,5 + 0
𝑋̅ = 122,5
1.1.4. Media Aritmética de varias medias
Es valor promedio de todas las medias que se dan.
Este promedio se lo utiliza mucho, para saber el aprovechamiento de un curso.
Ejemplo:
Despues de una Junta de curso se pudo conocer que uno de los cursos en estudio
obtuvo las siguientes medias en cada una de las asignaturas señaladas.
ASIGNATURAS 𝑿̅
Idioma Nacional
Matemáticas
Estudios Sociales
Ciencias Naturales
Inglés
Educación física
Opciones prácticas
Educación Artística
13,4
13,5
14,2
13,8
14,2
16,7
15,8
13,4
TOTAL 115,0
CUADRO No
. 28
Se utiliza la fórmula: 𝑋̅ =
∑ 𝑥
𝑁
𝑋̅= ?
∑ 𝑥 = 115
N = 8

40
𝑋̅ =
∑ 𝑥
𝑁
𝑋̅ =
115
8
𝑋̅ = 138
La media del aprovechamiento del curso es de 14,38: de acuerdo a la escala dada por el Ministerio
de Educación, se puede notar de que se trata de un aprovechamiento Bueno.
1.1.5. Propiedades de la Media Aritmética
1.1.5.1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números es igual
a cero.
X X - 𝑿̅
14
15
13
12
15
0,2
1,2
-0,8
-1,8
1,2
0
CUADRO No
. 29
𝑋̅ = 13,8
1.1.5.2. Si f1 números tienen de media m1, f2 números tienen de media m2,….. fk
números tienen de media mk, entonces media de todos los números es:
𝑋̅ =
𝑓1. 𝑚1 + 𝑓2. 𝑚2 + …… .. +𝑓𝑘. 𝑚𝑘
𝑓1 + 𝑓2 + …… …. +𝑓𝑘
Se llama Media ponderada de todas las medias.
1.2. Mediana: Se llama Mediana al valor que ocupa al centro de una distribución, dejando a
cada lado el 50% de los casos.
Halle la Mediana de los siguientes valores:
17 – 16 – 15 – 14 – 13
Mdn. = 15

41
Se puede notar que Mdn. = 15 o sea que es el valor que está ubicado en el centro de la
serie.
1.2.1. Mediana de una serie sin frecuencias
1.2.1.1. Si el número de elementos es impar, se ordenan, los datos y se toma el valor
central.
Ejemplo: Halla la Mdn de los siguientes valores:
101 – 100 – 99 – 98 – 97 – 96 – 95
Mdn. = 98
1.2.1.2. Si el número de elementos es par, se ordena los daros y luego los dos
valores del centro se los suma y se los divide para dos. Por ejemplo:
Halle la Mdn. de los valores:
101 – 100 – 98 – 96 – 95 – 94
Mdn. =
98+96
2
Mdn. = 97
1.2.2. Mediana de una serie simple con frecuencia
Para elcálculo de la mediana en esta serie,se procede así:
Se halla la columna de frecuencias acumuladas, luego se divide el número de casos para dos
y éste valor se lo ubica en la columna (fa) en el valor igual o próximo mayor al valor N/2 y
la variable correspondiente será elvalor de la Mdn.
Halle la Mdn. de la siguiente serie:
X f fa
19
18
17
16
15
3
1
2
5
5
44
41
40
38
33
14 9 28
13
12
11
10
9
5
6
6
2
1
19
14
8
3
1
44
CUADRO No
. 30
𝑁
2
El valor igual o próximo mayor será 28, en consecuancia el valor de la variable es 14, por tanto la
Mdn. es 14.
1.2.3. Mediana de una serie ordenada en Intervalos

42
Para hallar el valor correspondiente a la Mdn de una serie ordenada en intervalos, se
utiliza el siguiente proceso:
1. Se halla la columna de la frecuencia acumulada.
2. El número de casis se divide para dos y éste valor se lo ubica en la columna de la
fa, si es el valor igual o mayor que
𝑁
2
3. Una vez que se ha ubicado donde se encuentra la mediana, se procede a encontrar
el límite real inferior del intervalo (Li)
4. Se obtiene (fai) que es el valor de la frecuencia acumulada inferior a la localizada
con
𝑁
2
5. Se escribe el valor f que es la frecuencia del intervalo donde está
𝑁
2
6. El ancho de intervalo (i)
7. Se utiliza la fórmula siguiente:
𝑀𝑑𝑛.= 𝐿𝑖 +
(
𝑁
2
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Mdn. = Mediana
Li = Límite inferior real
𝑁
2
= El número dividido para dos
fai = Frecuencia acumulada inferior
f = frecuencia del intervalo.
Obtener la Mdn de la siguiente tabla de valores.
X f fa
143 – 150
135 – 142
127 – 134
2
8
26
100
98
90
119 – 126 31 64
111 – 118
103 – 110
95 – 102
20
11
2
33
13
2
100
CUADRO No
31.
𝑁
2
=
100
2
𝑁
2
= 50
𝐿𝑖 =
118+ 119
2
Li = 118,5
fai = 33
f = 31
𝑁
2

43
i = 8
Se reemplaza estos valores enla fórmula y tenemos:
𝑀𝑑𝑛 = 118,5 +
(50−33)
31
.8
𝑀𝑑𝑛 = 118,5 +
17
31
.8
𝑀𝑑𝑛 = 118,5 + 4,387
𝑀𝑑𝑛 = 118,5 + 4,39
𝑀𝑑𝑛 = 122,89 Este es el valor central.
1.3. Modo
El modo o la moda es el valor de la variable que se repite mayor número de veces o sea es
el valor mas frecuente.
Es frecuente que una serie tengs 2 valores modales, a la que se la llamaría serie bimodal,
etc.
Por ejem: En la siguiente serie el valor modal es el 15.
17 – 19 – 15 – 15 – 15 - 13 – 14
Mo. = 15
1.3.1. El modo de una serie sin frecuencias
Para determinar el Modo de esta serie, es muy sencillo, de avuerdo a un concepto, el
Modo es el valor que se repite mayor número de veces.
Por ejem: Halle el Mo de la Serie:
155 – 159 – 161 – 161 – 162 – 163
El Mo es 161
1.3.2. El Modo de una serie simple con frecuencia
Para determinar el Mo es esta serie, nos atenemos al concepto de Mo: Que es el valor
que más se repite.
Por ejemplo: Determinar el Mo en la siguiente serie: Se procede así: se determina la
variable que tiene mayor frecuencia y dicha variable será el Mo.
X f
19
18
17
16
15
3
1
2
5
5
14 9
13
12
11
10
5
6
5
2
Mo Mo = 14

44
9 1
44
1.3.3. El Modo de una serie ordenada en Intervalos
Para determinar el Mo de una serie ordenada en intervalos se procede así:
1. Se localiza la mayor frecuancia en esa fila estará elMo.
2. Se halla el límite inferior.
3. Se halla el valor 1 = F . modal – f . inferior
4. Se determina el valor 2 = f . modal – f . mayor
5. Se utiliza la fórmula
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
∆1
∆1 + ∆2
. 𝑖
Halle el Modo de la siguiente serie:
X f
143 – 150
135 – 142
127 – 134
2
8
26
119 – 126 31
111 – 118
103 – 110
95 – 102
20
11
2
100
CUADRO No
33
Mo = ?
Li = 118,5
1 = 31 – 20 = 11
2 = 31 – 26 = 5
i = 8
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
∆1
∆1 + ∆2
. 𝑖
𝑀𝑜 = 118,5 +
11
11 + 5
. 8
𝑀𝑜 = 118,5 +
88
16
Mo = 118,5 + 5,5
Mo = 124
El Mo = 124
Mo

45
1.4. Reepresentación gráfica de: 𝑿̅ . Mdn y Mo
Para su representación gráfica se la realiza en el sistema de coordenadas rectangulares en
su Primer Cuadrante.
Representa gráficamente la 𝑋̅, Mdn y Mo en un polígono de frecuencia para los siguientes
valores.
X Xm f
143 – 150
135 – 142
127 – 134
119 – 126
111 – 118
103 – 110
95 – 102
146,5
138,5
130,5
122,5
114,5
106,5
98,5
2
8
26
31
20
11
2
100
CUADRO No
34.
Para esta serie de valores, se han obtenido los siguientes resultados:
𝑋̅ = 122,5
Mdn. = 122,89
Mo = 124
1.5. Media Geométrica
X
Mdn
Mo

46
Este tipo de medida no es utilizada en Padagogía.
La media geométrica de n elementos es igual a la raíz de n, del producto de todos sus
elementos. Así puede ser: La media geométrica de 2 valores es la raíz cuadrada de su
producto.
La media Geométrica de 3 valores, es la raíz cúbica del producto de sus valores y así
sucesivamente.
La fórmula de la Media Geométrica es:
𝑀𝐺 = √( 𝑥1)( 𝑥2)( 𝑥3)… …. .(𝑥 𝑛 )
𝑛
Halle la Mg de 9 y 4
𝑀𝐺 = √9 .4
𝑀𝐺 = √36
Mg = 6
1.6. Media Armónica
Se define como la recíproca de la media aritmética de los inversos 1.
Su fórmula es: 𝑀𝐻 =
1
1
𝑁
(
1
𝑋1
+
1
𝑋2
+
1
𝑋3
+ ….
1
𝑋 𝑛
)
Halla le Meda armónica de: 3, 7, 2
𝑀𝐻 =
1
1
3
(
1
3
+
1
7
+
1
2
)
𝑀𝐻 =
1
1
3
(
41
42
)
𝑀𝐻 =
1
2
41
126
𝑀𝐻 =
126
41
1. Cfr. Downie Heath; Métodos Estadísticos Aplicados.
Pag. 63

47
CAPÍTULO VI
MEDIAS DE VARIABILIDAD(DISPERSIÓN)
1. Medidad de dispersión
Se llama dispersión a la intensidad con que los valores de una variable tienden a extenderse
alrededor de un valor medio.
Entre las principales medidas de variabilidad o de dispersión tenemos:
La desviación media y la desviación típica.
1.1. Desviación Media
Se llama así a la diferencia que se establece entre la variable y la media aritmética.
1.1.1. Desviación media de una Serie de Frecuencias
Es conveniente ordenar la variable, luego se calcula la Media Aritmética y luego se
construye la columna de las desviaciones, que es la diferencia entre la variable y la
media aritmética.
La fórmula a utilizarse es la siguiente: 𝐷. 𝑀. =
∑ 𝑑
𝑁
D. M. = Desviación Media
d = Sumatoria de las desviaciones
N = número de casos
EJEMPLO:
Halle la D. M de los siguientes valores: 20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15
X d = X - 𝑿̅
20
19
18
17
16
15
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
105 9
CUADRO No
35.
Para la sumatoria de las desviaciones, se las suma, sin tomar en cuenta el signo.
𝑋̅ =
105
6
𝐷. 𝑀. =
9
6
𝑋̅ = 17,5 D. M. = 1,5

48
1.1.2. Desviación Media de una serie simple con frecuencias
Para obtener la desviación media de una serie simple se utiliza el siguiente proceso:
1. Se halla la media aritmética
2. Se halla la columna de las desviaciones (d)
3. Se construye la columna (f.d)
4. La fórmula a utilizarse es la siguiente
𝐷. 𝑀 =
∑ 𝑓. 𝑑
𝑁
D.M = Desviación Media
∑f.d = Sumatoria de frecuencias por desviaciones
N= Número de casos
5. Se suman todos los valores de la columna (f.d) sin tomar en cuenta los signos.
EJEMPLO:
Halle la desviación media del siguiente cuadro de valores
X f X.f dm. f.dm.
20
19
18
17
16
15
14
2
2
3
4
6
3
3
40
38
54
68
96
45
42
3,35
2,35
1,35
0,35
-0,65
-1,65
-2,65
6,7
4,7
4,05
1,4
-3,9
-4,95
-7,95
TOTAL 23 383 33,65
CUADRO No
36.
𝑋̅ =
∑ 𝑓. 𝑥
𝑁
𝑋̅ =
383
23
𝑋̅ = 16,65
𝐷. 𝑀.=
∑ 𝑓. 𝑑
𝑁
𝐷. 𝑀.=
33.65
23
D.M. = 1,46
1.1.3. Desviación media de una serie ordenada en intervalos
Para el cálculo de la D.M de una serie ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente
proceso:

49
1. Se halla la media aitmética por cualquiera de los métodos estudiados.
2. Se halla la columna de las desviaciones, estableciéndose la diferencia entre el
punto medio y la media aritmética
3. Se construye la columna f. dm. Que es el producto de la frecuencia por las
desviaciones medias
Al final se suman todos los valores sin tomar en cuenta los signos.
4. Se utiliza la fórmula:
𝐷. 𝑀.=
∑ 𝑓. 𝑑𝑚.
𝑁
D.M. = Desviación media
f. dm. = Sumatoria de prodcutos de la frecuencia por las desviaciones medias.
EJEMPLO:
Calcular la desviación media de los valores de la siguiente tabla.
X Xm f f. Xm dm f.dm
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
19
16
13
10
7
4
2
4
16
10
3
1
38
64
208
100
21
4
6,92
3,92
0,92
-2,08
-5,08
-8,08
13,84
15,68
14,72
-20,80
-15,24
-8,08
TOTAL 16 435 88,36
CUADRO No
37
𝑋̅ =
∑ 𝑓. 𝑋𝑚
𝑁
𝑋̅ =
435
36
𝑋̅ = 12,08
1.2. Desviación típicao desviación estandar
Es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones.
Para elcálculo matemático la desviación típica se tiene los siguientes casos:
1.2.1.Desviación Típica de una serie sin frecuencias
Para determinar el valor de la desviación típica, se utiliza el siguiente procedimiento:
1. Se halla la media aritmética
2. Se construye la columna de las desviaciones
3. Se halla la columna (d2
)
4. Se utiliza la fórmula
∝ = √
∑ 𝑑2
𝑁
∝ = Desviación típica
𝐷. 𝑀.=
∑ 𝑓. 𝑑𝑚.
𝑁
𝐷. 𝑀.=
88,36
36
D.M. = 2,45

50
∑ 𝑑2= sumatorias de las desviaciones elevadas al cuadrado
Halle la desviación típica de la siguiente serie de valores:
20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15
X d d2
20
19
18
17
16
15
2,5
1,5
0,5
-0,5
-1,5
-2,5
6,25
2,25
0,25
0,25
2,25
6,25
17,50
CUADRO No
38
𝑋̅ =
105
6
𝑋̅ = 17,5
∝ = √
∑ 𝑑2
𝑁
∝ = √
17,5
6
∝ = √2,92
∝ = 1,71
1.2.2. Desviación típica de una serie simple con frecuencias
Para elcálculo de la desviación típica, se utiliza el siguiente proceso:
1. Se determina la media aritmética
2. Se halla la columna de las desviaciones
3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado
4. Se elabora la columna de f.d2
.
5. Se utiliza la siguiente fórmula
∝ = √
∑ 𝑓. 𝑑2
𝑁
∑ 𝑓. 𝑑2 = sumatorias del producto de las frecuancias por el cuadrado de las
desviaciones.

51
EJEMPLO:
Halle la desviación típica de la siguiente serie:
20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15 – 14
X f d d2
f . d2
20
19
18
17
16
15
14
2
2
3
4
6
3
3
3,35
2,35
1,35
0,35
-0,65
-1,65
-2,65
11,22
5,52
1,82
0,12
0,42
2,72
7,02
22,44
11,04
5,46
0,48
2,52
8,16
21,06
TOTAL 23 71,16
CUADRO No
39
Si la 𝑋̅ = 16,65
∝ = √
∑ 𝑓. 𝑑2
𝑁
∝ = √
71,16
23
∝ = √3,09
∝ = 1,76
1.2.3. Desviación típica de una serie ordenada en intervalos
Para el cálculo matemático de la desviación típica en una serio ordenada en intervalos,
se utiliza el siguiente proceso.
1. Se determina la media aritmética
2. Se halla la columna de las desviaciones
3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado
4. Se elabora la columna de f.dm2
5. Se utiliza la fórmula:
∝ = √
∑ 𝑓. 𝑑𝑚2
𝑁
∑ 𝑓. 𝑑𝑚2 = sumatoria del producto de las frecuencias por las desviaciones
elevadas al cuadrado.
N = Número de casos.

52
X f Xm Xs u f.u dm dm2
f. dm2
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
4
14
19
6
6
1
19
16
13
10
7
4
13
2
1
0
-1
-1
-3
8
14
0
-6
-12
-3
5,94
2,94
0,06
-3,06
-6,06
-9,06
35,28
8,64
0,003
9’36
36,72
82,08
141,12
120,96
0,06
56,16
220,32
82,08
TOTAL 50 1 620,70
CUADRO No
. 40
𝑋̅ = 𝑋𝑠̅̅̅̅ +
∑ 𝑓.𝑢
𝑁
. 𝑖 ∝ = √
∑ 𝑓.𝑑𝑚2
𝑁
𝑋̅ = 13 + 0,06 ∝ = √
620,70
50
𝑋̅ = 13,06 ∝ = √12,41
∝ = 3,52
GRÁFICO No
19.
Como Ud. Puede darse cuenta las calificaciones estan dadas por números enteros en consecuencia
tenemos:
Para la calificación Sobresaliente, estarán las estudiantes que tengan los puntajes de 19 y 20
Para la calificación muy Buena,los puntajes: 15, 16, 17 ,18.
Para la calificación Buena se tendrán los puntajes 12, 13 ,14.
Para la calificación Regular se tienen los puntajes: 8, 9. 10, 11
Para la calificación deficiente se tienen los puntajes 5, 6, 7.

53
De acuerdo a los puntajes existentes en cada calificación es posible determinar el número de
estudiantes que están ubicados en cada grupo de las calificaciones cualitativas.
En el presente caso se tendrían las calificaciones distribuiídas así:
Sobresaliente
Muy buena
Buena
Regular
Deficiente
2 Estudiantes
16 Estudiantes
19 Estudiantes
8 Estudiantes
5 Estudiantes
Total 50 Estudiantes
CUADRO No
41
A continuación ampliaremos este tipo de distribución .
1.2.4. Distribución de las calificaciones mediante la desviación típica o desviación estándar.
Mediante e3stewe proceso es posible ubicar a cada uno de los estudianes en el rango
de calificación cualitativa de acuerdo a los valores de la media aritmética y a la
desviación típica de todo el grupo.
EJEMPLO: Distribuír las calificaciones siguientes que pertenecen a la tabla de valores que
se utilizó en el cuadro anterior.
12 – 14 – 9 – 16 – 18 – 15 – 16 – 17 – 10 – 8 – 12 – 14 – 8 – 13 – 17
14 – 13 – 16 – 10 – 7 – 12 – 15 – 7 – 12 – 16 – 13 = 14 – 13 – 19 – 6
13 – 16 – 6 – 15 – 16 – 12 – 15 – 14 – 18 – 10 – 13 – 10 – 5 – 14 – 17
11 – 13 – 9 – 16 – 12.
Que constituye latabla de valores:
X f Xm
18 – 20
15 – 17
12 – 14
9 – 11
6 – 8
3 – 5
4
14
19
6
6
1
19
16
13
10
7
4
CUADRO No
42
Se han obtenido en cálculos anteriores los siguientes datos :
𝑋̅ = 13,06
∝= 3,52
Para distribución se debe tener en cuenta la siguiente tabla:

54
CUADRO No
43
CALIFICACIONES NUMERALES
Sobresaliente
Muy buena
Buena
Regular
Deficiente
18,04 a 21,56
14, 82 a 18,04
11,30 a 14,82
7,78 a 11,30
4,26 a 7,78
Para obtener los intervalos se parte de la media aritmética sumando y restando la mitad de la
desviación típica, se obtiene el intervalo de la calificación Buena.
Para obtener el intervalo de la calificación Muy Buena, al límite superior del intervalo anterior se le
adiciona el valor de la deviación típica;
Para el intervalo de Sobresaliente, al límite superior del intervalo anterior se le adiciona el valor de
la desviación estandar.
Para obtener el intervalo de la calificación Regular, al límite inferior de la calificación Buena se le
resta el valor de la desviación típica.
Así mismo para obtener el intervalo de la calificación Deficiente, al límite inferior de la calificación
Regular, se le resta elvalor de la desviación estandar. Así se obtiene todos los intervalos.
Así puede Ud. realizar la distribución mediante la desviación estandar que es muy utilizada en la
escuela primaria.
2. Interpretación Pedagógica de la Desviación Media y de la Desviación Típica.
En pedagogía se utiliza mucho estas medias de variabilidad, para poder realizar análisis sobre la
homogeniedad o heterogeneidad del grupo.
Si la desviación típica o la desviación media tiene valores menores, se considera que el grupo es
más homogenio y viseversa.
“La desviación media se la utiliza cuando se desea dar la importancia a todos los puntajes de la
serie.
La desviación estandar se utiliza cuando se necesita una medida de variabilidad de mayor
precición; si ha sido calculada la media aritméica, como medida de tendencia central; si se
desea dar a cada valor de la serie la importancia que tiene y se proyecte realizar cálculos
estadísticos posteriores en la curva normal” 2
2 Cfr. Vizuete, Cedeño, Estadística Aplicada a la Educación pág. 143

55
CAPÍTULO VII
MEDIDAS INDIVIDUALES
1. Medidas individuales
En educación, al maestro no solo le interesa conocer el valor que representa al conjunto de
datos y el valor de variabilidad del grupo, si no que necesita conocer datos más precisos que
le permitan observar en forma concreta el valor de cada individuo.
Mediante el desarrollo de las diferentes medidas individuales como son: los Cuartiles,
Deciles, Percentiles, Puntuaciones Tipificadas ( ) y las puntuaciones derivadas T.
1.1. Los cuartiles
Es un tipo de medidas individuales que se los utiliza para dividir la serie en cuatro partes
iguales, las mismas que reciben el nombre de Cuartiles: Primer Cuartil (Q1), Segundo
Cuartil (Q2) y Tercer Cuartil (Q3).
Conviene indicar que bajo primer cuartil está el 25 % de los casos, entre el primero y el
segundo cuartil está otro 25% de los casos y sobre el tercer cuartil está el otro 25 %.
1.1.1.Calculo de los cuartiles de una serie simple con frecuencias.
Se utiliza el siguiente proceso:
1. Se construye la columna de la frecuencia acumulada.
2. Se ubica la posición de cada uno de los cuartiles en la columna de la frecuencia
acumulada, mediante la utilización de las siguientes fórmulas:
Qp1 = Posición del cuartil uno. Qp1 = N / 4
Qp2 = Posición del cuartil dos. Qp2 = 2N / 4
Qp3 = Posición del cuartil tres. Qp3 = 3N / 4
3. Una vez que ha sido ubicado cada uno de los cuartiles en la frecuencia
acumulada, es posible determinar el valor de cada cuartil, tomando el valor de la
variable, correspondiente al cuartil ubicado.
EJEMPLO:
Determine los cuartiles de los puntajes de un curso que están dados en la siguiente
tabla.

56
X f fa
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
1
2
3
4
3
2
15
4
2
3
2
3
2
2
1
1
50
49
47
44
40
37
35
20
16
14
11
9
6
4
2
1
Total 50
CUADRO No
44
Qp1 = N/4 Qp1 = 50/4 Qp1 = 12,5 Equivale: Q1 = 11
QP2 = 2N/4 𝑄𝑝2 =
2 .50
4
QP2 = 25 Equivale: Q2 = 14
QP3= 3N/4 𝑄𝑃3 =
3.50
4
QP3 =37,5 Equivale: Q3 = 16
Se puede observar que la posición del cuartil uno es 12,5; y el valor que corresponde en la variable
es 11; por tanto Q1 = 11 y así se obtienen los demás valores.
1.1.2.Cálculo de los cuartiles de una serie ordenada en intervalos:
Para el cálculo de los cuartiles de una serie ordenada en intervalos se utiliza el
siguiente procedimiento.
1. Se halla la frecuencia acumulada.
2. Se ubica a los cuartiles de acuerdo a su posición en cuartil uno, cuartil 2, y cuartil
tres.
3. Se emplea las siguientes fórmulas para hallar los cuartiles:
𝑄1 = 𝐿𝑖 +
(
𝑁
4
− 𝑓𝑎𝑖) . 𝑖
𝑓
𝑄2 = 𝐿𝑖 +
(
2𝑁
4
𝑓
𝑄3 = 𝐿𝑖 +
(
3𝑁
4
𝑓
Qp3
Qp2
Qp1

57
Uds. Pueden notar que estas fórmulas son aplicaciones de la fórmula de la
mediana.
Q1= Cuartil uno
Q2= Cuartil dos
Q3= Cuartil tres
Li= Límite realinferior
N= Número de elementos
fai= Fracción acumulada inferior
f= Fracción del intervalo donde está ubicado el cuartil
i= ancho del intervalo.
EJEMPLO:
Calcular los cuartiles de la siguiente tabla de valores:
X Xm f Fa
43 – 51
44 – 47
40 – 43
36 – 39
32 – 35
28 – 11
24 – 27
20 – 23
16 – 19
12 – 15
8 – 11
4 – 7
49,5
45,5
41,5
37,5
33,5
29,5
25,5
21,5
17,5
13,5
9,5
5,5
2
6
7
10
12
18
13
10
6
5
4
2
95
93
87
80
70
58
40
27
17
11
6
2
Total 95
CUADRO No
. 45
Ubicación de los cuartiles:
Qp1= N/4 Qp1= 95/4 Qp1= 23,75
Qp2= 2N/4 Qp2= 190/4 Qp2= 47,5
Qp3= 3N/4 Qp3= 285/4 Qp3= 71,25
Cálculo de los cuartiles:
Para elPrimer cuartil
Datos:
Li = 19,5
N/4 = 23,75
fai = 17
f = 10
i = 4
Fórmula:
𝑄1 = 𝐿𝑖 +
(
𝑁
4
𝑓

58
𝑄1 = 19,5 +
(23,75 − 17). 4
10
𝑄1 = 19,5 +
(6,75 𝑥 4)
10
𝑄1 = 19,5 + 2,7
𝑄1 = 22,2
Para elSegundo Cuartil.
Datos:
Li= 27,5
2N/4 = 47,5
fai= 40
f= 18
i = 4
Fórmula
𝑄2 = 𝐿𝑖 +
(
2𝑁
4
𝑓
𝑄2 = 27,5 +
(47,5 − 40). 4
18
𝑄2 = 27,5 + 1,666
𝑄2 = 27,5 + 1,67
𝑄2 = 29,17
Para eltercer Cuartil.
Datos
Li = 35,5
3N / 4 = 71,25
fai = 70
f= 10
i= 4
Fórmula:
𝑄3 = 𝐿𝑖 +
(
3𝑁
4
𝑓
𝑄3 = 35,5 +
(71,25 − 70).4
10
𝑄3 = 35,5 +
1,25 𝑥 4
10
𝑄3 = 35,5 +
5
10
𝑄3 = 35,5 + 0,5
𝑄3 = 36

59
Toda la serie se ha dividido en tres cuartiles:
Q1 = 22,2
Q2= 29,17
Q3= 36
Podemos notar que Q2 es equivalente al valor de la mediana, en consecuencia es la misma fórmula
de la mediana.
1.2. Los Deciles
Los deciles dividen a la serie en diez partes.
Así como en el caso de los cuartiles, para su cálculo matemático, los deciles se los puede
ubicar en forma directa en una serie simple con frecuencias.
Mientras tanto que para su cálculo en una serie ordenada en intervalos es conveniente
ubicarlos en la frecuencia acumulada y después para el cálculo matemático se utilizan las
fórmulas que damos a continuación:
FÓRMULAS DE UBICACIÓN DE FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE
LOS DECILES LOS DECILES
Dp1 =
1 𝑁
10
𝐷1 = 𝐿𝑖 +
(
𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp2 =
2 𝑁
10
𝐷2 = 𝐿𝑖 +
(
2𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp3 =
3 𝑁
10
𝐷3 = 𝐿𝑖 +
(
3𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp4 =
4 𝑁
10
𝐷4 = 𝐿𝑖 +
(
4𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp5 =
5 𝑁
10
𝐷5 = 𝐿𝑖 +
(
5𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp6 =
6 𝑁
10
𝐷6 = 𝐿𝑖 +
(
6𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp7 =
7 𝑁
10
𝐷7 = 𝐿𝑖 +
(
7𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp8 =
8 𝑁
10
𝐷8 = 𝐿𝑖 +
(
8𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Dp9 =
9 𝑁
10
𝐷9 = 𝐿𝑖 +
(
9𝑁
10
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Ud. Puede realizar aplicaciones tomando como modelo el ejercicio propuesto en los cuartiles.
1.3. Los Percentiles
Los percentiles dividen a la serie total en cien partes.
Para su cálculo matemático hay que tomar en consideración las siguientes fórmulas: de
posición y de cálculo.

60
Fórmula de posición Fórmula de cálculo de percentil
𝑃𝑝 =
𝑃.𝑁
100
𝑃𝑝 = 𝐿𝑖 +
(𝑃.𝑁−𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
Determine los valores correspondientes a los percentiles: P10,P30,P50,P75.
X Xm F fa
48 – 51
44 – 47
40 – 43
36 – 39
32 – 35
28 – 31
24 – 27
20 – 23
16 – 19
12 – 15
8 – 11
4 – 7
49,5
45,5
41,5
37,5
33,5
29,5
25,5
21,5
17,5
13,5
9,5
5,5
2
6
7
10
12
18
13
10
6
5
4
2
95
93
87
80
70
58
40
27
17
11
6
2
Total 95
CUADRO No
46
Ubicación de los percentiles:
𝑃𝑝 =
𝑃 . 𝑁
100
𝑃10 =
10 .95
100
P10 = 9,5
𝑃30 =
30.95
100
P30 = 28,5
𝑃50 =
50.95
100
P50 = 47,5
𝑃75 =
75.95
100
P75 = 71,25
Para elcálculo de los diferentes percentiles, se necesita los siguientes datos:
P10 = ?
Pp = 9,5
fai = 6
f = 5
i = 4
P75
P50
P30
P10

61
𝑃10 = 𝐿𝑖 +
(
𝑃. 𝑁
100
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
𝑃10 = 11,5 +
(9,5 − 6)
5
. 4
𝑃10 = 11,5 +
3,5 .4
5
𝑃10 = 11,5 +
14
5
𝑃10 = 11,5 + 2,8
𝑃10 = 14,3
Para elP30
Datos:
Li = 23,5
Pp = 28,5
fai = 27
f = 13
i = 4
𝑃30 = 𝐿𝑖 +
(
𝑃. 𝑁
100
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
𝑃30 = 23,5 +
(28,5 − 27)
13
.4
𝑃30 = 23,5 +
8,5 .4
13
𝑃30 = 23,5 + 0,46
𝑃30 = 23,96
Para elP50
Datos:
Li = 27,5
Pp = 47,5
fai = 50
f = 18
i = 4
𝑃50 = 𝐿𝑖 +
(
𝑃. 𝑁
100
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
𝑃50 = 27,5 +
(47,5 − 40)
18
.4
𝑃50 = 27,5 +
7,5 .4
18
𝑃50 = 27,5 + 1,67

62
𝑃50 = 29,17
Para elP75
Datos:
Li = 35,5
Pp = 71,25
fai = 70
f = 10
i = 4
Fórmulas:
𝑃75 = 𝐿𝑖 +
(
𝑃. 𝑁
100
− 𝑓𝑎𝑖)
𝑓
. 𝑖
𝑃75 = 35,5 +
(71,25 − 70)
10
.4
𝑃75 = 35,5 +
1,25 .4
10
𝑃75 = 35,5 +
5
10
𝑃75 = 35,5 + 0,5
𝑃75 = 36
De esta manera Ud. puede obtener los 99 percentiles.
1.4. Puntuaciones tipificadas Z.
Se llama puntuación tipificada a la desviación de cada uno de los valores con respecto a la
media aritmética de todo el grupo y a esta diferencia se le divide para la desviación típica
de todo el grupo.
La fórmula para su cálculo matemático es:
𝑧 =
𝑋 − 𝑋̅
∝
1.4.1. Aplicación de las puntuaciones tipificadas
Se utiliza para determinar cuando un estudiante está mejor ubicado en una cierta
asignatura.
Así por ejemplo un estudiante de colegio obtiene las siguientes calificaciones:
Asignaturas X 𝑿̅ ∝
I. Nacional
Matemáticas
E. Sociales
15
14
17
16
12
16
2
2
2,5
CUADRO No
47

63
I Nacional : 𝑧 =
15−16
2
z = - 1/2 z = - 0,5
Matemáticas: 𝑧 =
14−12
2
z = 2/ 2 z = 1
E. Sociales: 𝑧 =
17−16
2,5
z = 1/ 2,5 z = 0,4
Se puede notar claramente que el estudiante esta mejor ubicado en matemáticas, porque su puntaje
está por encima de la media, así mismo su variación es mínima.
En cambio en Estudios Sociales su puntaje así mismo es mayor que en 𝑋̅, pero la desviación típica
es menor, en consecuencia los puntajes tienen mayor variación.
En Idioma Nacional se puede notar que z es un valor negativo, ya que su puntaje está por debajo de
la 𝑋̅, a pesar de que tiene la misma variación que en matemáticas.
1.5. Puntuación derivada T
Este tipo de puntuaciones se las utiliza con el objetivo de aumentar la escala evitando la
utilización de decimales menores que la unidad y de valores negativos en la aplicación de
z.
Para su cálculo matemático se utiliza la siguiente fórmula:
T = 20z +50
T = Puntuación derivada T.
Z = puntaje z
20 y 50 = son valores constantes
EJEMPLO:
Transformar los siguientes puntajes z en puntuación derivada T.
Z = 0,21 T= 20 . 0,21 + 50 T= 4,2 + 50 T= 54,2
Z = -2,3 T= 20 .( -2,3) + 50 T = -46 + 50 T = 4
Z = 1,5 T= 20 . (1,5) + 50 T = 30 + 50 T = 80
Z = -1,6 T= 20 . (-1,6) + 50 T = -32 + 50 T = 18
Z = 0,08 T= 20 . (0,08) + 50 T = 1,6 + 50 T = 51,6
Se puede observar claramente que entre los dos valores negativos, es mayor el que tiene menor
valor absoluto por ejm.
Z= 2,3 mediante los puntajes T se obtiene: T = 4 y
Z= -1,6 mediante los puntajes T, se obtiene: T = 18.
Mediante los puntajes T, esta diferencia se puede aclarar fácilmente y se puede notar de que el valor
de Z = -1,6 es mayor porque T= 18.
GALO LUNA Z.

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