Derivadas e integrales apunte para principiantes

1. Cap´ıtulo 4
Derivadas e Integrales
4.1. Introducci´on a la derivaci´on
En este cap´ıtulo presentaremos los conceptos m´as b´asicos del c´alculo diferencial e
integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´as, se ver´a el nexo que existe entre ambos conceptos a trav´es de un muy importante
teorema.
4.1.1. Derivada de una funci´on
Si tuvi´esemos que definir a la derivada de una funci´on en pocas palabras, dir´ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´on nos dice, de
alguna manera, cu´anto cambia la funci´on(variable dependiente) a medida que cambia la
variable independiente. La derivada de una funci´on nos dir´a si una funci´on crece o decrece
r´apidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´on, mejor
comenzaremos describiendo el significado geom´etrico que tiene, para luego definirla m´as
correctamente.
Significado geom´etrico de la derivada
Consideremos una funci´on lineal como f(x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la
recta descrita por esta funci´on es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
esta funci´on es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´on es constante
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´on cuadr´atica f(x) = x2. Cu´al es la
tasa de crecimiento de esta funci´on. Al graficar esta funci´on(una par´abola) nos damos
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´on crece y crece cada vez m´as r´apido.
¿Como poder medir m´as cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
siguientes dos puntos de la par´abola:
P1(1, f(1)) = P1(1, 1)

2. 112 Derivadas e Integrales
P2(2, f(2)) = P2(2, 4)
Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´on f(x) al ir de x = 1 a x = 2 es
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:
m =
4 − 1
2 − 1
= 3
Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´on al ir de x = 1
a x = 2 ya que la funci´on crecer´a m´as lentamente cerca de x = 1 y m´as r´apidamente
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f(x) cerca de x = 1.
F´acil. Consideremos un punto m´as cercano que P2 al punto P1. A decir, consideremos el
punto
P3(1,5, f(1,5)) = P3(1,5, 2,25)
Repitiendo el c´alculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3, encontramos
que:
m =
2,25 − 1
1,5 − 1
=
1,25
0,5
= 2,5
Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk, cada vez m´as cercano a P1, la
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´as con la recta tangente a P1. Decimos
que en el l´ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
recta tangente
a y=x2
en P1
P1
Definicion 1 (geom´etrica de derivada) La derivada de una funci´on f(x) en x◦ se
define como la pendiente de la recta tangente al gr´afico de f(x) en el punto (x◦, f(x◦)).
4.1.2. Noci´on de l´ımite
Entender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´alculo.
Sin ir m´as all´a, la derivada es un l´ımite. Pero, ¿ qu´e es un l´ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´on de l´ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
Sn =
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · · +
1
2n
¿Qu´e pasaba si n crec´ıa al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´etrica
cuyo valor sabemos que es 1. Matem´aticamente, esto se expresa como:
l´ım
n→∞
Sn = 1

3. 4.1 Introducci´on a la derivaci´on 113
x f(x)
± 1 0.8415
± 0.5 0.9589
± 0.1 0.9983
± 0.05 0.9996
± 0.01 0.9999
Este es un caso particular de l´ımite.
De modo m´as general, decimos que el l´ımite de una funci´on f(x) cuando x tiende a a es
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos.
Esto se anota matem´aticamente as´ı:
l´ım
x→a
f(x) = L
Nota: No es necesario que f(a) exista o este definido para que l´ımx→a f(x) exista.
Ejemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces
l´ım
x→a
c = c
l´ım
x→a
c · x = c · a
Ejemplo 4.1.2
l´ım
x→∞
1
x
= 0
Si bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacer
que 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente
grandes.
Ejemplo 4.1.3
l´ım
x→0
sin(x)
x
= 1
En el ejemplo anterior, justificamos el valor del l´ımite pero no dimos una demostraci´on
rigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor´ıa completa. Justificaremos
el valor del ´ultimo l´ımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que esto
no constituye una demostraci´on en s´ı.
A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte de
f(x) = sin(x)
x a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0.
Propiedades de linealidad del l´ımite :
l´ım
x→a
cf(x) = c l´ım
x→a
f(x)
l´ım
x→a
[f(x) + g(x)] = l´ım
x→a
f(x) + l´ım
x→a
g(x)

4. 114 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.1.4 Sea :
f(x) =
x2 − 1
x − 1
Calcular el valor de:
l´ım
x→1
f(x)
Soluci´on : El valor de f(1) no esta definido ya que tras una simple evaluaci´on obten-
emos:
f(1) =
0
0
Pero notemos que :
f(x) =
(x + 1)(x − 1)
x − 1
= x + 1 , x = 1
Entonces:
l´ım
x→1
f(x) = l´ım
x→1
x + 1 = 2
Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funci´on f(x) evaluada en
un punto x◦ se define como:
l´ım
h→0
f(x◦ + h) − f(x◦)
h
Otra definici´on equivalente de la misma derivada es la siguiente :
l´ım
x→x◦
f(x) − f(x◦)
x − x◦
Notaci´on :
La derivada de y = f(x) en x◦ se denota por:
dy
dx x◦
= f (x◦)
Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f(x) = x2 evaluada en x = x◦
d
dx
(x2
)
x◦
= l´ım
h→0
(x◦ + h)2 − x2
◦
h
= l´ım
h→0
x2
◦ + 2x◦h + h2 − x2
◦
h
= l´ım
h→0
(2x◦h + h2)
h
= l´ım
h→0
(2x◦ + h)
= 2x◦

5. 4.1 Introducci´on a la derivaci´on 115
Hemos definido la derivada de una funci´on en un punto cualquiera x◦. Entonces,
ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funci´on:
Definicion 3 (de la funci´on derivada) La funci´on derivada (de otra funci´on) se
define punto a punto como sigue:
f (x) = l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivos
o no al irse acerc´andose a cero en el l´ımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas de
derivadas (y de l´ımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entonces
la derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomando
solo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Para
que una funci´on se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por la
izquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para que
una funci´on se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funciones
son derivables.
Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funci´on f(x) = |x|. Esta funci´on no es derivable porque
para x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. De
hecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f(x) valen −1 y 1
respectivamente.
Ejemplo 4.1.7 La funci´on derivada de la funci´on f(x) = x2 es:
f (x) = 2x
Demostraci´on: Directa a partir de la definici´on de funci´on derivada y del ejemplo 4.1.5.
Notaci´on : La derivada de la derivada de una funci´on, o simplemente la segunda
derivada de una funci´on, se anota como sigue:
d
dx
d
dx
f(x) =
d2
dx2
f(x) = f (x)
De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funci´on f(x). ´Esta debe
entenderse como una funci´on proveniente de f(x) despu´es de haberla derivado n veces
seguidas.

6. 116 Derivadas e Integrales
4.2. Reglas importantes para derivar
Como el lector ya deber´ıa poseer una comprensi´on b´asica del significado de la funci´on
derivada, a continuaci´on enunciaremos una serie de reglas pr´acticas para derivar las
funciones m´as importantes. No abordaremos las demostraciones te´oricas de estas reglas
no porque sea dif´ıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.
4.2.1. Derivadas de funciones b´asicas
y(x) = k ⇒ y (x) = 0
y(x) = mx ⇒ y (x) = m
y(x) = xn
⇒ y (x) = nxn−1
y(x) = ex
⇒ y (x) = ex
y(x) = ax
⇒ y (x) = ax
ln a
y(x) = ln x ⇒ y (x) = 1/x
y(x) = sin x ⇒ y (x) = cos x
y(x) = cos x ⇒ y (x) = − sin x
4.2.2. Propiedades de linealidad de la derivada
Sea c una constante cualquiera, entonces:
y(x) = cf(x) ⇒ y (x) = cf (x)
y(x) = f(x) ± g(x) ⇒ y (x) = f (x) ± g (x)
Derivada de un producto de funciones
La derivada de una producto de funciones es como sigue:
d
dx
[f(x) · g(x)] =
d
dx
f(x) · g(x) + f(x) ·
d
dx
g(x)
Ejemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f(x) = x sin(x).
d
dx
[x · sin(x)] =
d
dx
x · sin(x) + x ·
d
dx
sin(x) = sin(x) + x cos(x)
Derivada de un cuociente de funciones
d
dx
f(x)
g(x)
=
d
dx
f(x) · g(x) − f(x) d
dx
g(x)
[g(x)]2

7. 4.2 Reglas importantes para derivar 117
Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f(x) = tan(x)
d
dx
tan(x) =
d
dx
sin(x)
cos(x)
=
d
dx
sin(x) · cos(x) − sin(x) d
dx
cos(x)
[cos(x)]2
=
cos(x) · cos(x) − sin(x) [− sin(x)]
[cos(x)]2
=
cos2(x) + sin2
(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
= sec2
(x)
Derivada de una composici´on de funciones. Regla de la cadena
d
dx
g(f(x)) =
d
dx
g(x)
f(x)
·
d
dx
f(x)
Ejemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2)
d
dx
sin(x2
) =
d
dx
sin(x)
x2
·
d
dx
x2
= cos(x2
) · 2x
Ejercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacen
la ecuaci´on diferencial:
y(x) + w2
y(x) = 0 (4.1)
Concluir que la funci´on :
y(x) = A sin wx + B cos wx
donde A y B son constantes arbitrarias, tambi´en satisface la ecuaci´on 4.1. Se dice que
la funci´on y(x) es la soluci´on general de la ecuaci´on 4.1
Nota: La ecuaci´on diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones
llevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on
en donde figura una funci´on f(x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de
ecuaciones, la soluci´on no es un valor real como en una ecuaci´on algebraica, sino que la
soluci´on de la ecuaci´on es una funci´on !.

8. 118 Derivadas e Integrales
4.2.3. Aplicaciones de la derivada
En esta secci´on abordaremos algunas aplicaciones b´asicas de la derivada en algunos
problemas de matem´aticas y f´ısica.
Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva descrita por la
funci´on f(x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1.
Soluci´on : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a:
m =
d
dx
(x3
+ 3x2
− 5)
x=1
= 3x2
+ 6x
x=1
= 3 + 6
= 9
Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para
poder determinar la ecuaci´on punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la
recta corresponde a (1, f(1)).
f(1) = 1 + 3 − 5 = −1
Entonces, la ecuaci´on de la recta buscada es :
y + 1 = 9(x − 1)
4.2.4. Cinem´atica en una dimensi´on
La cinem´atica se encarga de describir, con el uso de las matem´aticas, el movimiento
de los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales.
Consideraremos un mundo de una dimensi´on(espacial),en donde se necesita una sola
coordenada para describir la posici´on de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber
en donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a alg´un
origen arbitrario que supondremos inm´ovil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la
distancia entre este cuerpo y el origen var´ıa con respecto al tiempo.
Definicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posici´on de un m´ovil con respecto
al tiempo. M´as precisamente, supongamos que contamos con una funci´on x(t) que nos
entrega la posici´on de un m´ovil con respecto a un punto fijo O en funci´on del tiempo.
Entonces, llamamos velocidad instant´anea del m´ovil (con respecto a O) a:
v(t) =
d
dt
x(t)
Definicion 5 La aceleraci´on es la tasa de cambio de la velocidad de un m´ovil con
respecto al tiempo. M´as precisamente, supongamos que contamos con una funci´on v(t)

9. 4.2 Reglas importantes para derivar 119
que nos entrega la velocidad de un m´ovil en funci´on del tiempo. Entonces, llamamos
aceleraci´on instant´anea del m´ovil a:
a(t) =
d
dt
v(t) =
d2
dt2
x(t)
Ejemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleraci´on de un m´ovil cuya posici´on est´a de-
scrita por :
x(t) = 5t2
+ 12t + 3
Soluci´on :
v(t) = x (t) = (5t2
+ 12t + 3) = (5t2
) + (12t) + (3) = 10t + 12
a(t) = v (t) = (10t + 12) = (10t) + (12) = 10
4.2.5. Optimizaci´on en una variable
Una de las aplicaciones del c´alculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos
en donde una funci´on alcanza valores m´aximos o m´ınimos. Geom´etricamente, es f´acil ver
que la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funci´on
alcanza un valor m´aximo o m´ınimo en un punto, entonces la derivada de la funci´on en
ese punto deber´a ser nula.
Ejemplo 4.2.6 Calcular el valor m´ınimo de f(x) = x2 + 8x − 1.
Soluci´on: Calculemos la derivada de f(x):
f (x) = 2x + 8
Ahora impongamos que f (x) = 0:
f‘(x) = 2x + 8 = 0 ⇒ x = 4
f(4) = 42
+ 8 · 4 − 1 = 47
El valor m´ınimo de f(x) es 47.
Observaciones:
Que una funci´on tenga un punto extremo (un m´aximo o un m´ınimo) en un punto implica
que la derivada de la funci´on en ese punto es cero, pero la afirmaci´on rec´ıproca no es
cierta: que la derivada de una funci´on se anule en un punto no implica que la funci´on
tenga un punto extremo en ese punto.
Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funci´on f(x) = x3:
⇒ f (x) = 3x2
= 0 ⇒ x = 0
La derivada de f(x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funci´on NO tiene un valor extremo
en ese punto.

10. 120 Derivadas e Integrales
-10 -5 5 10
-20
-10
10
20
Para saber mejor que sucede con una funci´on f(x) en un punto x = a donde su derivada
se anula (f(a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci´on y la evaluamos en ese
punto.
1. Si f (a) > 0 entonces f(x) alcanza un valor m´ınimo ”local”en torno a x = a
2. Si f (a) < 0 entonces f(x) alcanza un valor m´aximo ”local”en torno a x = a
3. Si f (a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f(x)
en torno a x = a

11. 4.3 Introducci´on a la integraci´on 121
4.3. Introducci´on a la integraci´on
Esta secci´on tratar´a de los aspectos b´asicos del c´alculo integral. Pero nuevamente,
tal como hicimos con la secci´on de c´alculo diferencial, abordaremos el tema de un mo-
do pr´actico y no te´orico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o inte-
gral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). La
definici´on de integral definida que presentaremos (tambi´en conocida como integral de
Riemman) no tiene relaci´on alguna con lo que hemos visto de c´alculo diferencial. Las
primitivas, en cambio, tiene directa relaci´on con lo que es el c´alculo diferencial o de
derivadas. Adem´as, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C´alcu-
lo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambi´en
se le otorga a esta ´ultima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puede
resultar sumamente dif´ıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav´es del TFC,
el c´alculo puede ser directo.
4.3.1. La integral definida
Consideremos una funci´on f(x). S´olo a modo de ilustraci´on, consideraremos que la
funci´on f(x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ´area encerrada
entre la funci´on f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos lo
siguiente:
Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b]
en n sub-intervalos m´as peque˜nos y de igual tama˜no h = (b − a)/n. El intervalo
i-´esimo resulta ser:
[a + h(i − 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n}
Dividamos nuestra ´area en peque˜nos rectangulitos de base h y altura f(a + h(i −
1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos
sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos
I−(x).
y
area achurrada
f(a) = I-
a h x
Dividamos nuestra ´area en peque˜nos rectangulitos de base h y altura f(a+hi), i ∈
{1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco
superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+(x).

12. 122 Derivadas e Integrales
y
area achurrada
f(a) = I+
a h x
Si resulta que
l´ım
h→0
I− = l´ım
h→0
I+ = I = ∞
entonces se denomina a este l´ımite ”la integral de f(x) a dx entre x=a y x=b2
se
denota:
I =
b
a
f(x)dx
Ejemplo 4.3.1 Calcular la integral de f(x) = x entre x = 0 y x = b.
Soluci´on: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediante
los puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es:
b
0
xdx = l´ım
h→0
n−1
i=0
h · ih = l´ım
h→0
n
i=1
h · ih
N´otese que hemos expresado la integral como
l´ım
h→0
I−(x) y adem´as como l´ım
h→0
I+(x)
Calculemos primero el primer l´ımite:
l´ım
h→0
I−(x) = l´ım
h→0
n−1
i=0
h · ih = l´ım
h→0
h2
n−1
i=0
·i = l´ım
h→0
h2 (n − 1)n
2
= l´ım
h→0
(hn)2
2
−
hn · h
2
pero como hn = b entonces
l´ım
h→0
I−(x) = l´ım
h→0
b2
2
−
bh
2
=
b2
2
Queda propuesto al lector verificar que tambi´en se tiene que:
l´ım
h→0
I+(x) =
b2
2

13. 4.3 Introducci´on a la integraci´on 123
4.3.2. La integral indefinida o primitiva
La derivaci´on puede ser vista como un operador que toma una funci´on f(x) y retorna
su funci´on derivada f (x). ¿Existir´a el proceso inverso? Es decir, ¿existir´a alg´un operador
que tome la funci´on f (x) y retorne f(x) ? Este proceso inverso existe y se denomina
integraci´on indefinida,c´alculo de primitivas o de anti-derivadas.
Definicion 6 Sea F(x) una funci´on diferenciable con derivada f(x). Sea, adem´as, C
una constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida de
f(x) a la funci´on F(x) + C. La primitiva de f(x) se anota:
f(x)dx = F(x) + C = funci´on que al derivarla entrega f(x)
Observaci´on: N´otese que al pedir la primitiva de f(x) se busca una funci´on tal que
al derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funci´on F(x) cumple con
tal condici´on. Pero F(x) no es la ´unica funci´on que cumple con la condici´on. A decir
verdad, la funci´on F(x) + C, donde C una constante cualquiera, tambi´en cumple con la
condici´on (ya que la derivada de una constante es cero).
4.3.3. Primitivas importantes
kdx = kx + C
xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C
ex
dx = ex
+ C
ax
dx =
ax
ln a
+ C
1
x
dx = ln x + C
sin xdx = − cos x + C
cos xdx = sin x + C
4.3.4. Propiedades de las primitivas
cf(x)dx = c f(x)dx
[f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx

14. 124 Derivadas e Integrales
Ejemplo 4.3.2
[x2
− 7x5
+ 2 sin x]dx = x2
dx − 7 x5
dx + 2 sin xdx =
x3
3
+
7x6
6
− 2 cos x + C
4.3.5. El Teorema Fundamental del C´alculo (TFC)
Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completa-
mente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teorema
nos permite calcular integrales dif´ıciles calculando muy f´acilmente una primitiva.
Teorema 4.3.1 (Fundamental del C´alculo) Sea F(x) una funci´on diferenciable
con derivada f(x). Es decir, F(x) es una primitiva de f(x). Entonces,
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a)
Notaci´on : Sea F(x) una funci´on. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaci´on:
F(x)|b
a ≡ F(b) − F(a)
Corolario (de la notaci´on)
b
a
f(x)dx = F(x)|b
a
Ejemplo 4.3.3 Calcular la integral
5
1
x2
dx
Soluci´on: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l´ımite
(hacerlo como ejercicio), una manera mucho m´as f´acil es hacerlo empleando el TFC.
Sabemos que una primitiva de f(x) = x2 es F(x) = x3/3 + C. Entonces, seg´un el TFC,
5
1
x2
dx = F(5) − F(1) = (53
/3 + C) − (13
/3 + C) = 125/3 − 1/3 = 124/3

15. 4.4 Aplicaciones de la integral 125
4.4. Aplicaciones de la integral
4.4.1. C´alculo de ´areas
Ejemplo 4.4.1 Hallar el ´area entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9 − x2
Soluci´on : Grafiquemos ambas funciones:
y
y=x2
+1
y=9-x2
x-2 -1 1 2
2
4
6
8
Encontremos los puntos de intersecci´on de ambos gr´aficos:
y = x2 + 1
y = 9 − x2
Resolviendo este sistema, encontramos que:
x2
+ 1 = 9 − x2
⇒ 2x2
= 8 ⇒ x = ±2
Luego, el ´area entre ambos gr´aficos corresponde a:
2
−2
[(9 − x2
) − (x2
+ 1)]dx =
2
−2
[8 − 2x2
]dx =
2
−2
8dx − 2
−2
2x2
dx
= 8 · (2 − (−2)) − 2
x3
3
2
−2
= 32 − 2 · [8/3 − (−8/3)] = 32 − 32/3 = 64/3
4.4.2. Cinem´atica en una dimensi´on
En la secci´on de derivaci´on ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la
posici´on de un m´ovil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la
velocidad de un m´ovil es su aceleraci´on. Ahora que conocemos la integrar podemos decir
que:
v(t) = a(t)dt + C1
x(t) = v(t)dt + C2
Las constantes de integraci´on C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad y
posici´on del m´ovil en un instante dado.
Ejemplo 4.4.2 Calcular la posici´on y velocidad de un m´ovil sabiendo que a(t) = 2t+1,
v(0) = 0, x(0) = 3.
Soluci´on : Sabemos que:
v(t) = a(t)dt + C1 = [2t + 1]dt + C1 = t2
+ t + C1

16. 126 Derivadas e Integrales
Evaluando la condici´on v(0)=0 obtenemos:
v(0) = C1 = 0
Por tanto, la velocidad del m´ovil es:
v(t) = t2
+ t
Calculemos ahora su posici´on :
x(t) = v(t)dt + C2 = [t2
+ t]dt + C2 = t3
/3 + t2
/2 + C2
Evaluando la condici´on x(0) = 3 obtenemos :
x(0) = C2 = 3
Por lo tanto, la posici´on del m´ovil es:
x(t) = t3
/3 + t2
/2 + 3

17. 4.5 Problemas propuestos 127
4.5. Problemas propuestos
4.5.1. Derivadas y sus aplicaciones
1. Derivar:
a) y = 1
4 x4 − 2x2
b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7)
c) y = 2 sin x + 3 cos x
d) y = (x − 1)(x − 3)(x − 5)
e) y = (2x − 1)3
2. Para la siguiente funci´on, analizar crecimiento, m´aximos y m´ınimos.
y = x3
− 9x2
+ 20x − 8
Adem´as, determinar todos los puntos de la curva representada por la funci´on an-
terior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaci´on 4x + y = 3.
3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la
siguiente funci´on es paralela al eje x :
y = x4
− 2x3
+ 1
4. Probar que la ecuaci´on de la recta normal a la curva
y = 3 − x2
en el punto de abscisa x = a es:
x − 2ay + a(5 − 2a2
) = 0
y hallar los puntos de la par´abola cuyas normales pasan por el punto (0,2).
5. Un autom´ovil recorre un camino rectil´ıneo, partiendo del reposo en un punto O a
las 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despu´es de una hora y se detiene en un tercer
punto B. La distancia s en kil´ometros al punto de partida despu´es de t horas de
camino est´a dada por
s = 60t2
− 10t3
Hallar :
a) La hora de llegada a B
b) La distancia entre A y B
c) La velocidad media entre A y B
d) La velocidad m´axima y a qu´e hora la alcanza.

18. 128 Derivadas e Integrales
6. Para la siguiente funci´on, resuelva la ecuaci´on f (x) = 0 y halle el conjunto de
valores para los cuales f (x) es menor o igual que cero.
f(x) = x3
− 2x2
− 4x + 7
7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia
en kil´ometros desde la superficie de la Tierra en el momento t despu´es de ser
descubierto era
s(t) = 50t3
− 300t2
+ 4050
Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad.
a) Halle la velocidad y aceleraci´on del invasor extraterrestre correspondiente al
tiempo t.
b) ¿Cu´ando era su velocidad cero?
c) ¿Cu´ando era su aceleraci´on cero?
d) ¿En qu´e tiempo se acercaba a la Tierra?
e) ¿Cu´ando se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu´al era esa velocidad?
f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de la
tierra.
g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumen-
tando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo.
h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5]
8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando
los medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplaza
con rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2. El atleta quiere llegar
del punto A hasta el punto B en el tiempo m´ınimo. Demuestre que esto lo puede
conseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los ´angulos θ1 y θ2
obedecen la ley de Snell:
sin θ1
sin θ2
=
v1
v2
Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m´as r´apido
entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.
A
2θ v2
v1 2θ
B

19. 4.5 Problemas propuestos 129
4.5.2. Integrales y sus aplicaciones
1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f(x) y verificar la respuesta por
derivaci´on:
a) dy
dx = f (x) = 4x − 3 y f(0) = −9
b) dy
dx = f (x) = 12x2 − 24x + 1 y f(1) = −2
c) dy
dx = f (x) = 3 cos x + 5 sin x y f(0) = 4
d) dy
dx = f (x) = 3ex − 2
x y f(1) = 0
2. a) Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t en
metros/segundo. Hallar la funci´on que determina su posici´on s en t´erminos
de t si para t = 0, s = 4m.
b) Una part´ıcula se est´a moviendo sobre una recta con aceleraci´on dada por
a(t) = t2 −t en metros/segundo2. Hallar la funci´on velocidad v(t) y la funci´on
s(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12.
3. Calcular:
a)
7
−2
(6 − 2x)dx
b)
1
0
(x3
− 5x4
)dx
c)
π/2
0
cos t + 2 sin t)dt
d)
4
1
3
x
dx
e)
1
0
8et
dt
4. Calcular el ´area limitada por:
a) La curva y = x2 − x y el eje x
b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3
c) La curva y = sin x y la recta y = x
d) La curva y = ex, el eje y y la recta y = 4

20. 130 Derivadas e Integrales
5. Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. De-
terminar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cu´al es la distancia
recorrida en ese intervalo de tiempo?
6. Determinar el ´area limitada por las curvas:
y = 2x2
e y = 12x2
− x
7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci´on a(t) = 2t−4. Cuando t = 0,
M est´a en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cada
instante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origen
y calcular su distancia al origen en ese instante.