Tópicos em Matemática - Aula 3: Subespaços Vetoriais

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Tópicos em Matemática - Aula 3: Subespaços Vetoriais

  1. 1. TeoremaSeja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K . A interse¸˜o de c caqualquer cole¸˜o de subespa¸os de V ´ um subespa¸o de V . ca c e c
  2. 2. Defini¸˜o caSeja S um conjunto de vetores em um espa¸o vetorial V . O csubespa¸o gerado por S ´ definido como sendo a interse¸˜o W de c e catodos os subespa¸os de V que contem S. Quando S ´ um c econjunto finito de vetores, S = {v1 , v2 , . . . , vn }, diremos que W ´ eo subespa¸o gerado pelos vetores v1 , v2 , . . . , vn . c Nota¸˜o: W = [v1 , v2 , . . . , vn ] . ca
  3. 3. Defini¸˜o caSeja S um conjunto de vetores em um espa¸o vetorial V . O csubespa¸o gerado por S ´ definido como sendo a interse¸˜o W de c e catodos os subespa¸os de V que contem S. Quando S ´ um c econjunto finito de vetores, S = {v1 , v2 , . . . , vn }, diremos que W ´ eo subespa¸o gerado pelos vetores v1 , v2 , . . . , vn . c Nota¸˜o: W = [v1 , v2 , . . . , vn ] . caTeoremaO subespa¸o gerado por um conjunto n˜o vazio S de um espa¸o c a cvetorial V ´ o conjunto de todas as combina¸˜es lineares de e covetores em S.
  4. 4. Defini¸˜o caSe S1 , S2 , . . . , Sk s˜o subconjuntos de um espa¸o vetorial V , o a cconjunto de todas as somas v1 + v2 + · · · + vkde vetores vi ∈ Si ´ chamada soma dos subconjuntos eS1 , S2 , . . . , Sk e denotada por k S1 + S2 + · · · + Sk = Si . i=1
  5. 5. Se W1 , W2 , . . . , Wk s˜o subespa¸os de V , ent˜o a soma a c a W = W1 + W2 + · · · + Wkpode ser vista como o subespa¸o de V que cont´m cada um dos c esubespa¸os Wi . c
  6. 6. Se W1 , W2 , . . . , Wk s˜o subespa¸os de V , ent˜o a soma a c a W = W1 + W2 + · · · + Wkpode ser vista como o subespa¸o de V que cont´m cada um dos c esubespa¸os Wi . cExemploDetermine o subespa¸o de R5 gerado pelos vetores c v1 = (1, 2, 0, 3, 0) v2 = (0, 0, 1, 4, 0) v3 = (0, 0, 0, 0, 1).

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