Flexão lista 1

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Flexão lista 1

  1. 1. UNIP - Universidade Paulista ICET - Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Arquitetura e Urbanismo - Resistência dos Materiais – Estabilidade – Lista 1 de Exercícios Resolvidos - Tensões Lista1 de Exercícios de Aplicação – Tensões Normais na Compressão / Tração Simples  1. Calcular a tensão normal de compressão que está solicitando o pilar da figura abaixo, submetido a uma força  normal  centrada  de  300  tf.  O  pilar  tem  seção  transversal  retangular,  de  20cm  x  40cm.  Desprezar  o  peso  próprio do pilar.    Força normal de compressão no pilar: N=300 tf  Área de aplicação – seção transversal do pilar: A= 20 x 40 = 800cm²  Tensão normal de compressão no pilar:               300   =                  = 0,375 tf/cm²              800    Observação: Se quisermos, essa tensão pode ser representada em outras unidades. Basta que as unidades  dos elementos da equação estejam coerentes. Por exemplo, se utilizarmos N em kgf, teríamos N=300.000  kgf, e o valor da tensão seria:          300.000   =                  = 375 kgf/cm²              800 
  2. 2. Entretanto,  se  utilizarmos  a  área  em  m²,  ao  invés  de  cm²,  seu  valor  seria  A  =  0,20  x  0,40  =  0,08m².  Daí   resultaria:              300   =                  = 3.750 tf/m²,      ou                  0,08          300.000   =                  = 3.750.000 kgf/m²              0,08    Conclusão: É importante observar as unidades, e de preferência fazer os ajustes às unidades desejadas antes  de aplicar as fórmulas, para não correr risco de engano nas unidades depois de feitas as contas.   (observar que 1m = 100cm , mas 1m²≠ 100cm². O correto é 1m² = 10000cm², ou seja 10.000cm²)         2. O pilar abaixo esquematizado possui seção circular com 40cm de diâmetro  e é feito de um material cujo  peso  específico  é  2,5  tf/m³  e  tem  resistência  à  compressão  de  100  kgf/cm²  e  resistência  à  tração  de  10  kgf/cm².  Verificar  se,  para  a  condição  de  carregamento  indicada  (carga  de  vertical  de  20  tf  aplicada  no  topo,  centrada), o pilar tem condição de resistir aos esforços.   
  3. 3. Nesse  caso,  embora  o  enunciado  não  seja  específico,  temos  os  dados  referentes  ao  peso  específico  do  material do pilar. Portanto devemos considerar o peso próprio do pilar.  Peso próprio do pilar: Gpil = Volume do Pilar x Peso Específico do Material do Pilar  Volume do Pilar = Área da base do pilar x altura do pilar = Apil x hpil  Como o diâmetro do pilar é Dpil=40cm, ou 0,40m, seu raio é Rpil=20cm, ou 0,20m, temos:  (Área de uma seção circular: A =  R² ou A =  D² / 4)  Apil =  R² = 3,14 x 0,2² = 0,126 m²  Assim, Vpil  = 0,126 x 5,00 = 0,628 m³  E Gpil = 0,628 x 2,5 = 1,58 tf  Portanto a reação de apoio na base do pilar, que corresponde à maior força normal de compressão no pilar  será Nmax = 20 + 1,58 = 21,58 tf.     Assim, a máxima tensão que atua no pilar é de compressão. Portanto ela não poderá ser superior à tensão  máxima  à  compressão,  que  é  100  kgf/cm².  Para  fazer  a  comparação,  precisamos  trabalhar  nessa  mesma  unidade, então na fórmula da tensão, a carga normal deverá estar expressa em kgf e a área em cm².  Ou seja: N = 21.580 kgf ,  e  Apil =   D² / 4 = 3,14 x 40² / 4 = 1.256 cm²  (note que o valor da área difere um pouco da área calculada acima apenas devido ao erro de aproximação por causa das casas  decimais cortadas)  Assim a tensão de compressão que solicita o pilar é:                21.580   pil =                  = 17,18 kgf/cm²      ( <  100 kgf/cm²)                1.256  Como essa tensão é menor que a resistência do pilar à compressão, pode‐se afirmar que o pilar tem condição  de resistir aos esforços aplicados. 
  4. 4. 3. O pilar do exemplo anterior está apoiado diretamente no solo por meio de uma sapata circular. Sabendo que  o solo possui tensão admissível de 2 kgf/cm², e desprezando o peso próprio da sapata, calcular qual deve ser  seu diâmetro mínimo para que o solo possa suportar o pilar.    Nesse caso a área da sapata deverá ser tal que distribua  a mesma carga do pilar no solo de forma que a  tensão aplicada seja no máximo igual a 2 kgf/cm².  (Se,  por  acaso  a  tensão  no  solo  fosse  algo  igual  a  17,17  kgf/cm²,  não  seria  necessário  criar  a  sapata  para  distribuir  o  esforço  e  consequentemente diminuir a tensão de compressão no solo, porque já estaria resistindo a tensão aplicada)    Nesse caso a resolução do problema se inverte: temos a força de compressão e a tensão, e necessitamos da  área do circulo que forma a sapata. Ou seja, a fórmula                 N   =                      pode ser escrita da seguinte forma:                 A                 N   A=                  , onde N = 21.570 kgf    e   = 2 kgf/cm² .                     Portanto devemos ter a seguinte área da sapata:                    21.570   Asap =                  = 10.785 cm² .                       2,00  E o diâmetro da sapata pode ser calculado a partir da fórmula de sua área:  A =  D² / 4  D² = 4 A /  = 4 x 10.785 / 3,14 = 13.738   D = √13.738 = 117,21 cm  Resposta: A sapata deverá ter um diâmetro mínimo de 1,18m (ou, mais precisamente 1,172m)  
  5. 5.   4. A viga abaixo representada está apoiada em 2 pilares e suporta uma parede feita em blocos de concreto de  19cm de largura com 3,5m de altura. Essa parede é feita em blocos de concreto, cujo peso específico é 1,4  tf/m³.  A  viga  tem  seção  transversal  de  25cm  de  largura  e  40cm  de  altura,  e  seu  material  possui  peso  específico de 3,0 tf/m³. Os pilares tem seção  quadrada de 20cm de lado. Calcular qual resistência devem ter  os pilares para poder dar apoio a essa estrutura.    O esquema estático da viga é o abaixo indicado:    O valor da carga p, distribuída ao longo da extensão da viga é p = gviga + galv, onde  gviga é o peso próprio da  viga distribuído ao longo de sua extensão e galv é o peso próprio da alvenaria distribuído ao longo da extensão  da viga.  Observação Importante: os esquemas das estruturas e seus carregamentos, utilizados nos cálculos estruturais,   geralmente são unifilares e normalmente se referem aos eixos das estruturas e eixos dos apoios. Assim, todos  os cálculos são feitos a partir dos esquemas estáticos unifilares, e portanto usando as distâncias entre eixos. 
  6. 6. Cálculo da carga distribuída devida ao peso próprio da viga:   gviga = bviga x hviga x viga = 0,25 x 0,40 x 3,00 = 0,30 tf/m        de forma análoga:  galv = balv x halv x alv = 0,19 x 3,50 x 1,40 = 0,93 tf/m  assim p= 0,30 + 0,93 = 1,23 tf/m  e a reação de apoio em cada um dos dois pilares será: RP1 = R P2 = 1,23 x 5,30 / 2 = 3,26 tf  Portanto a carga de compressão aplicada em cada pilar será de 3,26 tf, ou se tomarmos a unidade kgf (apenas  mantendo a mesma unidade dos outros exercícios), será 3.260 kgf.  Como a seção do pilar é quadrada, com lado de 20cm, a área da seção transversal do pilar será   Apil= 20 x 20 = 400cm².  E a tensão de compressão aplicada em cada pilar será:             3.260   =                  = 8,15 kgf/cm²              400     Portanto para poder dar apoio a essa estrutura o material do pilar deverá ter resistência igual ou maior que  8,15 kgf/cm².  Observação: essa resposta pode ser fornecida em qualquer unidade, por exemplo: 0,0815 tf/cm²; ou 81,50  tf/m².    Justificativa: peso total da viga: base x altura x comprimento x peso específico  carga distribuída ao longo de seu comprimento = peso total da viga / comprimento  Portanto: carga distribuída = base x altura x comprimento x peso específico / comprimento = base x altura x peso específico) 
  7. 7. 5. A viga abaixo esquematizada, destinada a suportar uma placa de publicidade, é bi‐apoiada, e sustentada por  2 cabos de aço, cuja tensão limite é de 1.500 kgf/cm². A placa pesa 400 kgf. A viga tem seção transversal de  50cm x 70cm, e seu material tem peso específico de 4,0 tf/m³. Os cabos disponíveis no mercado tem os  seguintes diâmetros: 10mm, 12,5 mm, 16mm, 20 mm e 25mm.  Indicar qual é o cabo mais apropriado para ser usado nessa estrutura.    Semelhante ao exercício anterior, o esquema estático da viga é o de uma viga bi‐apoiada, porém com a carga  da placa distribuída parcialmente. Para efeito de reação de apoio, é importante notarmos que ela está  centralizada no vão:    O valor da carga distribuída ao longo da extensão da viga devida apenas ao peso próprio da viga será:  gviga = bviga x hviga x viga = 0,50 x 0,70 x 4,00 = 1,40 tf/m  e a reação de apoio em cada cabo devida apenas ao peso próprio será:  RC1gviga = R C2gviga = 1,40 x 6,00 / 2 = 4,20 tf  Quanto à placa, como ela está centrada em relação à viga, a reação de apoio em cada cabo será a mesma, e  igual à metade do peso da placa, ou seja:  RC1placa = R C2placa = 0,40 / 2 = 0,20 tf 
  8. 8. Assim, a força de tração em cada cabo será a mesma e igual à soma das reações devidas ao peso próprio e à  placa, ou seja:   Ncabo1 = Ncabo2= 4,20 + 0,20 = 4,40 tf = 4.400 kgf  Como o material do cabo tem resistência máxima (ou tensão limite) de 1.500 kgf/cm², a área mínima que o  cabo precisa ter será determinada da mesma forma que no exercício da sapata ou seja:                   4.400   Acabo=                  = 2,93 cm²                   1.500    Portanto o diâmetro mínimo do cabo deverá ser:  D = √ 4 A /  = √4 x 2,93 / 3,14 = √3,737 = 1,93 cm  Ou seja, cada cabo deverá ter um diâmetro mínimo de 1,93cm ou seja, 19,3mm.  Resposta: Dentre os diâmetros disponíveis, os únicos que atendem essa necessidade são os de 20mm e de  25mm. E o mais adequado é o mais econômico ou seja, o cabo com diâmetro de 20mm.       Obs: Outra forma de resolver o mesmo problema, a partir do ponto em que se tem a força normal no  cabo, é calcular a tensão normal para cada um dos cabos fornecidos e compará‐la com a sua resistência  máxima, que é 1.500 kgf/cm²:  Ou seja: na fórmula da tensão normal, calcula‐se a tensão para cada cabo:                    Ncabo             4.400 (kgf)   cabo=                     =                     Acabo               Acabo    Fazendo essa conta para cada cabo, podemos montar a tabela abaixo:  Dcabo(mm)    10    12,5    16    20    25  Dcabo(cm)    1    1,25    1,6    2,0    2,5    Acabo (cm²)    0,785    1,23    2,01    3,14    4,91     cabo (kgf/cm²)        5605,10                3587,26                      2189,49                  1401,27                  896,82    Portanto apenas os cabos com diâmetros de 20mm e 25mm podem resistir à força aplicada. E deles, o de  diâmetro 20mm é o mais econômico, portanto o mais adequado.  

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