3. cálculo dos esforços em vigas

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3. cálculo dos esforços em vigas

  1. 1. Cálculo dos Esforços em Vigas RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
  2. 2. Conceitos gerais • Conceito de momento É importante lembrar que momento é um esforço que provoca giro. À primeira vista a palavra momento não apresenta qualquer relação com a palavra giro. No entanto, elas estão ligadas por um fato histórico: na antiguidade, o tempo (momento) era medido com relógios de sol, instrumento constituído por uma haste vertical que, projetando sua sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia. Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente do Sol em tomo da Terra.
  3. 3. Conceitos gerais Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário que existam duas forças iguais, de mesma direção, de sentidos contrários e não colineares, o que se denomina binário.
  4. 4. Conceitos gerais Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a intensidade de giro. Isso é fácil perceber quando se tira o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o braço da ferramenta menor será a força necessária para provocar o giro do parafuso.
  5. 5. Conceitos gerais
  6. 6. Conceitos gerais Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno pela relação: Exemplo: Seja determinar o valor do momento da força F1=2,0 tf em relação ao ponto P1.
  7. 7. Conceitos gerais Denomina-se distância da força ao ponto à menor distância entre a linha de ação da força e o ponto. Suponha o valor de d = 4m, logo o momento de F1 em relação a P1 será:
  8. 8. Esforços nas vigas isostáticas Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas isostáticas deformam-se de maneira que suas seções, antes paralelas, giram umas em relação às outras, de forma que se afastam em uma das faces e se aproximam em outra.
  9. 9. Esforços nas vigas isostáticas
  10. 10. Esforços nas vigas isostáticas
  11. 11. Esforços nas vigas isostáticas Em todas essas situações, as vigas se deformam de maneira que em relação ao eixo reto original aparecem flechas.
  12. 12. Esforços nas vigas isostáticas Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o esforço que provoca o giro das seções e o aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma seção para outra, o que é mais frequente, aparece na viga a tendência de escorregamentos transversal e longitudinal entre as seções verticais e horizontais da viga.
  13. 13. Esforços nas vigas isostáticas Ao esforço que tende a provocar o escorregarnento das fatias longitudinais e transversais dá-se o nome de força cortante.
  14. 14. Esforços nas vigas isostáticas Para comprovar que a força cortante sempre aparece quando há variação do momento fletor, tome-se nas mãos um maço de folhas de papel (umas 50 folhas). Aplique-se em uma das extremidades um giro (momento), deixando livre o outro extremo.
  15. 15. Esforços nas vigas isostáticas Observe como as folhas escorregam.
  16. 16. Esforços nas vigas isostáticas Esse fenômeno pode também ser observado na ilustração:
  17. 17. Esforços nas vigas isostáticas Em seguida, provoque concomitantemente giros de mesma intensidade nas duas extremidades. Observe que neste caso não há mais escorregamento das tiras, pois o momento não varia de uma extremidade à outra.
  18. 18. Esforços nas vigas isostáticas Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os valores de momento fletor e da força cortante de maneira que se determine a largura e altura de sua seção, para que o material do qual é feita possa resistir às tensões de tração e de compressão provocadas pelo momento fletor e às tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas forças cortantes. Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento provocam também tensões de tração e de compressão em planos inclinados em relação a seção transversal da viga.
  19. 19. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio • Vigas bi apoiadas sem balanços O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que atuam sobre as vigas e das reações a essas cargas provocadas pelos vínculos, denominadas reações de apoio. As primeiras cargas são denominadas cargas externas ativas e as segundas, reativas. Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas distribuídas decorrentes do peso próprio da viga; as cargas aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas devidas a outras vigas que nela se apoiam.
  20. 20. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Para determinação das cargas externas reativas, é necessário conhecer-se as forças de reação que cada vínculo é capaz de admitir. Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e deslocamento horizontal, só reage a forças verticais. Portanto, esse vínculo só admite reação vertical. O vínculo articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e horizontal, admite reações vertical e horizontal. O vínculo engastado, que impede rotação e deslocamentos, admite reação vertical, horizontal e momento.
  21. 21. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  22. 22. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga estiver em equilíbrio estático valem as condições de estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal, não anda na vertical e não gira. Essas condições podem ser traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da estática, ou seja: - não anda na horizontal  𝐹𝐻 = 0 - não anda na vertical  𝐹𝑉 = 0 - não gira  𝑀 = 0
  23. 23. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Não andar na horizontal significa que a soma de todas as forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais das forças inclinadas) deve resultar nula. O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que os giros (momentos) que as forças ativas e reativas tendem a provocar em relação a um ponto qualquer, preestabelecido, são nulos.
  24. 24. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura abaixo.
  25. 25. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se:
  26. 26. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Em seguida apliquem-se as três equações da estática: 𝐹𝐻 = 0, 𝐹𝑉 = 0 e 𝑀 = 0 Usando a primeira equação e convencionando um sinal para as forças, ou seja, se a força horizontal tiver o sentido da esquerda pra a direita será positiva, caso contrário negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que os resultados sofram qualquer alteração. Assim:
  27. 27. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como não existe nenhuma força horizontal atuando na viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação horizontal no apoio B é zero, não existe. Aplicando a segunda equação e também convencionando que as forças com sentido de baixo para cima são positivas e as de sentido contrário negativas, tem-se:
  28. 28. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer a viga girar no sentido horário, em relação a um ponto qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é necessário escolher um ponto qualquer, mas qualquer mesmo, para se tomar os momentos das forças ativas e reativas que atuam na viga.
  29. 29. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o ponto escolhido (também denominado polo de momento) para considerar os momentos das forças, seja um dos apoios. Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos. Assim:
  30. 30. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Considere-se o momento de cada força, desconsiderando, em princípio, as demais, ou seja:
  31. 31. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  32. 32. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  33. 33. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  34. 34. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Portanto, tem-se:
  35. 35. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a reação VA, cuja distância ao polo B é 5m. Sua tendência de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância ao polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é anti-horário. No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em um momento nulo.
  36. 36. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Completando-se a equação 2, tem-se: Para determinar VB, substitui-se o valor de VA na equação 1:
  37. 37. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a seguir.
  38. 38. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  39. 39. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  40. 40. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  41. 41. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a viga de vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B, respectivamente.
  42. 42. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  43. 43. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  44. 44. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações genéricas, sem necessidade de se determinar os valores das reações usando, toda vez, as equações da estática. Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das reações parciais para cada carga, somando-se ao final esses valores parciais para obter a reação total em cada apoio.
  45. 45. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo:
  46. 46. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas, carregada cada uma com uma carga concentrada. Calculam-se os valores das reações para cada viga e somam-se esses valores parciais para obter o valor final. Exemplo:
  47. 47. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  48. 48. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Somando-se os valores parciais, tem-se:
  49. 49. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante.
  50. 50. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como a carga distribuída é de 2,0 tf/m e o seu comprimento é de 4 m, sua resultante é de P = 2,0 tf/m x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja:
  51. 51. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Usando as equações da estática, desconsiderando a que se refere a forças horizontais, já que só existem cargas verticais atuando sobre a viga, tem-se:
  52. 52. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  53. 53. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  54. 54. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Resultados que eram de se esperar: já que a carga é uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga, metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando, considerando a carga distribuída q e o vão l, tem-se:
  55. 55. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  56. 56. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo: Calcular as reações de apoio da viga da figura. Carga distribuída:
  57. 57. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio 1ª carga concentrada:
  58. 58. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio 2ª carga concentrada:
  59. 59. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio • Vigas em balanço Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma das extremidades é totalmente livre de apoio e a outra apresenta um apoio engastado.
  60. 60. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como o vínculo engastado não admite deslocamentos horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele é capaz de absorver reações horizontais, verticais e momento.
  61. 61. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Lembrar que a linha de ação da reação VA passa pelo ponto A, escolhido como polo dos momentos. Já o momento reativo MA, apesar de estar atuando no polo A, não se anula, porque ele já é um momento e não uma força, por isso não é multiplicado por qualquer distância.
  62. 62. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo . Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas concentradas. Assim:
  63. 63. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo: Calcular as reações de apoio para o balanço da figura.
  64. 64. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em três outras:
  65. 65. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  66. 66. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Somando todas as reações intermediárias, tem-se:
  67. 67. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio No caso de carga distribuída, usa-se o mesmo artifício já usado anteriormente: substitui-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim:
  68. 68. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem apresentar balanços, o que não altera os procedimentos vistos. Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga P concentrada aplicada no extremo do balanço:
  69. 69. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  70. 70. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos. Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os cálculos é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço independentemente e aplicar o resultado ao vão.
  71. 71. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Assim:
  72. 72. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  73. 73. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  74. 74. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Repare que os resultados são os mesmos. Prestando mais atenção aos valores obtidos, pode-se notar que: Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a reação VA é o momento do balanço dividido pelo vão, ou seja:
  75. 75. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual às cargas existentes no balanço somadas ao momento do balanço (P x bo), dividido pelo vão central, ou seja:
  76. 76. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Considere-se a situação apresentada na figura a seguir:
  77. 77. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  78. 78. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  79. 79. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  80. 80. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio

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