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CENTRO DE ENSINO À DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Cálculo Integral em Rn
4º Ano
Trabalho do Campo II Sessões/
Julho de 2014
Filipe Mathusso Lunavo
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 1
APRESENTAÇÃO DAS QUESTÕES
1. Represente a curva C por uma função com valores vectoriais.
a) C é a curva definida pela função 2483 22
=+ yx .
Solução: 2483 22
=+ yx => 1
38
24
8/13/1
2222
=+=>=+
yxyx
é uma elipse.
22=a e 3=b y
3
-3 8− 8 3
3−
b) C é a curva definida pela função 0711864916 22
=−−++ yxyx .
Solução: 0711864916 22
=−−++ yxyx => ( ) ( ) 07129416 22
=−−++ yyxx
( ) ( ) 071112944416 22
=−−+−+−++ yyxx
( )[ ] ( )[ ] 0711194216
22
=−−−+−− yx
( ) ( ) 07191964216
22
=−−−+−+ yx
( ) ( ) ( ) ( ) 1
48
13
36
24
14419216
22
22
=
−
+
+
=>=−+−
yx
yx
( ) ( ) 1
3
48
1
4
36
2
22
=
−
+
+ yx
)0;17,0(
)49,2;0(
B
A
)0;17,4(
)49,0;0(
−
−
D
C
2
-2
y
x
A
D
B
C
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 2
−1 1 2
−1
1
2
3
4
x
y
2. Calcule ∫ ++
y
dzydydx , onde é a inserção do plano com a superfície
		 	 2, sendo o sentido do percurso do ponto 1, 1,2 para o ponto 1,1,2 .
∫ ∫ ∫− − −−
=−++−−=++=++=
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
21
1
2)22(
2
1
)1(1
2
z
y
xdzydydx
3. Construir as linhas ou curvas de nível da função 2
),(
x
y
yxf =
Se 2
2
11 xy
x
y
c =⇒=⇒= é uma parábola.
Se 2
2
222 xy
x
y
c =⇒=⇒= é uma parábola.
Se 2
2
333 xy
x
y
c =⇒=⇒= é uma parábola.
Se 2
2
444 xy
x
y
c =⇒=⇒= é uma parábola.
x
z
y
y=x
C=4
C=3
C=2 C=1
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 3
4. Determine o gradiente da função yxz 2
= , no ponto P(1;1).
Solução: j
y
f
i
x
f
f
∂
∂
+
∂
∂
=∇
xy
x
yx
x
f
2
)( 2
=
∂
∂
=
∂
∂
; 2
2
)(
x
y
yx
y
f
=
∂
∂
=
∂
∂
2112
)1;1(
=××=
∂
∂
x
f
; 11
)1;1( 2
==
∂
∂
y
f
, logo: jif +=∇ 2)1;1(
5. Averiguar os extremos da função yxxyxz 12153 23
−−+= .







=
=−





+
⇒



=−
=−+
⇒



=−
=−+
⇒






=
∂
∂
=
∂
∂
x
y
x
x
xy
yx
xy
yx
y
z
x
z
2
05
2
02
05
0126
01533
0
0
2
2
2222
( ) ⇒



 =+−
⇒


 =+−
⇒




=+
_______________
045
___________
045
_________
5
4 22224
2
2
xxxx
x
x



±=
±=
∨



±=
±=
⇒


 =−
⇒


 =−
⇒


 =−−
2
1
2
2
_______
01
_______
04
_______________
0)1)(4( 2222
y
x
y
xxxxx
Os pontos críticos são: );1;2(1 −−p );1;2(2p );2;1(3 −−p );2;1(4p
12)2(6)1;2(6 −=−=−−⇒= xxxx fxf
;1226)1;2( =×=xxf ;6)1(6)2;1( −=−=−−xxf ;616)2;1( =×=xxf
6)1(6)1;2(6 −=−=−−⇒= yyyy fyf ; ;616)1;2( =×=yyf
12)2(6)2;1( −=−=−−yyf 1226)2;1( =×=yyf
;6yfxy = 1226)2;1( =×=xyf
;12)2(6)2;1( −=−=−−xyf 616)1;2( =×=xyf
6)1(6)1;2( −=−=−−xyf
Para );1;2(1 −−p ( ) 363672)6()6(12 22
=−=−−−×−=−×⇒ xyyyxx fff ; logo: 36 > 0 e
012 <−=xxf portanto )1;2( −−f é máximo local.
Para );1;2(2p ( ) 366612 22
=−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e ;012 >=xxf
Logo: )1;2(f é mínimo local.
Para );2;1(3 −−p ( ) 363672)6()12(6 22
=−=−−−−=−× xyyyxx fff ; como 36 > 0 e
06 <−=xxf logo )2;1( −−f é um máximo local.
Para );2;1(4p ( ) 366126 22
=−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e 06 >=xxf ;
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 4
Logo: )2;1(f é um mínimo local.
6. Analise os máximos e mínimos de 22
32);( yxyxyxf +−= com a restrição 12 22
=+ yx .
( ) yx
x
yxyx
x
f
22
32 22
−=
∂
+−∂
=
∂
∂
( ) yx
y
yxyx
x
f
62
32 22
+−=
∂
+−∂
=
∂
∂
0
0
=
=
y
x
0004 =∧=⇒= xyy
P(0;0) => 2=xxf e 6=yyf ; 2−=xyf





=++−
=−
⇒





=+
=+−
=−
⇒





=+
=+−
=−
⇒





=
=
=
_______________
0)23(
)1(
12
23
12
462
222
2222
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
yx
yx
yx
yyx
xyx
yx
yyx
xyx
kg
gf
gf
yy
xx





=+
+=
⇒





=+
=+−
=−
12
__________
22
12
23
2222
yx
yxy
yx
yyx
dxyx λλ
λ
Em ordem a 1ª equação:
λ
λ
λ
λ
λλλλ
221
2)1(222
−
=⇒
−
=⇒=−⇒=−⇒
x
y
x
yxyxyy
Em ordem a 3ª equação: 1
444
21
22
212 2
22
2222
=
+−
+⇒=





−
+⇒=+
λ
λ
λ
λ
x
x
x
x
xyx
( ) 2222
2
22
2
24441
444
2
xx
x
x λλλ
λλ
λ
++−⇒=
+−
+⇒ 2
444 λλ +−=
=> 2222222
4444442 λλλλλ +−=+−+ xxxx
=> ( ) 22222222
444446444446 λλλλλλλλ +−=−+⇒+−=−+ xxxx
=>
3
2
3
2
6
4
446
444 2
2
2
2
2
2
2
=⇒=⇒=⇒
+−
+−
= xxxx
λλ
λλ
⇒



=+−
=−
062
022
yx
yx
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 5
7. Calcule as integrais iteradas
a. ∫ ∫= =
2
01 01
2
x
ydydx
( )
∫ ∫= 





−==
2
0
2
0
2
0 2
0
22
2
x
x
dx
x
dx
y
∫ ====





=
2
0
2
252
0
54
5
16
10
32
10
2
102
x
dx
x
b. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ ∫ ∫ +−+=+=+
1
0
2
0
1
0
1
0
2
0 202222 dxxxdxxydydxx ( )∫ +=
1
0
42 dxx
[ ] 51414 21
0
2
=×+=+ xx
8. Achar a área entre as curvas 3
xy = e xy 4= .
Solução: Primeiro vamos extrair o ponto de intersecção:



=
=
xy
xy
4
3
04
4
3
3
=−
=
xx
xx
( ) 042
=−xx





−=
=
=
2
2
0
x
x
x
( )∫ =−=−=
2
0
2
0
42
3
..4
42
4
4 au
xx
dxxxA
( ) ( )dxxxdx
xx
xxMx ∫∫ −=




 +
−=
2
0
62
2
0
3
3
16
2
1
2
4
4 => 19,12
73
16
2
1
2
0
73
=





−=
xx
Mx
( ) ( ) 26,4
53
4
44
2
0
2
0
53
42
2
0
3
=





−=⇒−=⋅−= ∫∫
xx
MydxxxdxxxxMy
06,1
4
26,4
==x
04,3
4
19,12
==y
CG 1,06; 3,04)

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Exercícos cálculo Diferencial e Integral em Rn

  • 1. UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE CENTRO DE ENSINO À DISTÂNCIA LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA Cálculo Integral em Rn 4º Ano Trabalho do Campo II Sessões/ Julho de 2014 Filipe Mathusso Lunavo
  • 2. Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 1 APRESENTAÇÃO DAS QUESTÕES 1. Represente a curva C por uma função com valores vectoriais. a) C é a curva definida pela função 2483 22 =+ yx . Solução: 2483 22 =+ yx => 1 38 24 8/13/1 2222 =+=>=+ yxyx é uma elipse. 22=a e 3=b y 3 -3 8− 8 3 3− b) C é a curva definida pela função 0711864916 22 =−−++ yxyx . Solução: 0711864916 22 =−−++ yxyx => ( ) ( ) 07129416 22 =−−++ yyxx ( ) ( ) 071112944416 22 =−−+−+−++ yyxx ( )[ ] ( )[ ] 0711194216 22 =−−−+−− yx ( ) ( ) 07191964216 22 =−−−+−+ yx ( ) ( ) ( ) ( ) 1 48 13 36 24 14419216 22 22 = − + + =>=−+− yx yx ( ) ( ) 1 3 48 1 4 36 2 22 = − + + yx )0;17,0( )49,2;0( B A )0;17,4( )49,0;0( − − D C 2 -2 y x A D B C
  • 3. Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 2 −1 1 2 −1 1 2 3 4 x y 2. Calcule ∫ ++ y dzydydx , onde é a inserção do plano com a superfície 2, sendo o sentido do percurso do ponto 1, 1,2 para o ponto 1,1,2 . ∫ ∫ ∫− − −− =−++−−=++=++= 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 21 1 2)22( 2 1 )1(1 2 z y xdzydydx 3. Construir as linhas ou curvas de nível da função 2 ),( x y yxf = Se 2 2 11 xy x y c =⇒=⇒= é uma parábola. Se 2 2 222 xy x y c =⇒=⇒= é uma parábola. Se 2 2 333 xy x y c =⇒=⇒= é uma parábola. Se 2 2 444 xy x y c =⇒=⇒= é uma parábola. x z y y=x C=4 C=3 C=2 C=1
  • 4. Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 3 4. Determine o gradiente da função yxz 2 = , no ponto P(1;1). Solução: j y f i x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ xy x yx x f 2 )( 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ ; 2 2 )( x y yx y f = ∂ ∂ = ∂ ∂ 2112 )1;1( =××= ∂ ∂ x f ; 11 )1;1( 2 == ∂ ∂ y f , logo: jif +=∇ 2)1;1( 5. Averiguar os extremos da função yxxyxz 12153 23 −−+= .        = =−      + ⇒    =− =−+ ⇒    =− =−+ ⇒       = ∂ ∂ = ∂ ∂ x y x x xy yx xy yx y z x z 2 05 2 02 05 0126 01533 0 0 2 2 2222 ( ) ⇒     =+− ⇒    =+− ⇒     =+ _______________ 045 ___________ 045 _________ 5 4 22224 2 2 xxxx x x    ±= ±= ∨    ±= ±= ⇒    =− ⇒    =− ⇒    =−− 2 1 2 2 _______ 01 _______ 04 _______________ 0)1)(4( 2222 y x y xxxxx Os pontos críticos são: );1;2(1 −−p );1;2(2p );2;1(3 −−p );2;1(4p 12)2(6)1;2(6 −=−=−−⇒= xxxx fxf ;1226)1;2( =×=xxf ;6)1(6)2;1( −=−=−−xxf ;616)2;1( =×=xxf 6)1(6)1;2(6 −=−=−−⇒= yyyy fyf ; ;616)1;2( =×=yyf 12)2(6)2;1( −=−=−−yyf 1226)2;1( =×=yyf ;6yfxy = 1226)2;1( =×=xyf ;12)2(6)2;1( −=−=−−xyf 616)1;2( =×=xyf 6)1(6)1;2( −=−=−−xyf Para );1;2(1 −−p ( ) 363672)6()6(12 22 =−=−−−×−=−×⇒ xyyyxx fff ; logo: 36 > 0 e 012 <−=xxf portanto )1;2( −−f é máximo local. Para );1;2(2p ( ) 366612 22 =−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e ;012 >=xxf Logo: )1;2(f é mínimo local. Para );2;1(3 −−p ( ) 363672)6()12(6 22 =−=−−−−=−× xyyyxx fff ; como 36 > 0 e 06 <−=xxf logo )2;1( −−f é um máximo local. Para );2;1(4p ( ) 366126 22 =−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e 06 >=xxf ;
  • 5. Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 4 Logo: )2;1(f é um mínimo local. 6. Analise os máximos e mínimos de 22 32);( yxyxyxf +−= com a restrição 12 22 =+ yx . ( ) yx x yxyx x f 22 32 22 −= ∂ +−∂ = ∂ ∂ ( ) yx y yxyx x f 62 32 22 +−= ∂ +−∂ = ∂ ∂ 0 0 = = y x 0004 =∧=⇒= xyy P(0;0) => 2=xxf e 6=yyf ; 2−=xyf      =++− =− ⇒      =+ =+− =− ⇒      =+ =+− =− ⇒      = = = _______________ 0)23( )1( 12 23 12 462 222 2222 λ λ λ λ λ λ λ λ yx yx yx yyx xyx yx yyx xyx kg gf gf yy xx      =+ += ⇒      =+ =+− =− 12 __________ 22 12 23 2222 yx yxy yx yyx dxyx λλ λ Em ordem a 1ª equação: λ λ λ λ λλλλ 221 2)1(222 − =⇒ − =⇒=−⇒=−⇒ x y x yxyxyy Em ordem a 3ª equação: 1 444 21 22 212 2 22 2222 = +− +⇒=      − +⇒=+ λ λ λ λ x x x x xyx ( ) 2222 2 22 2 24441 444 2 xx x x λλλ λλ λ ++−⇒= +− +⇒ 2 444 λλ +−= => 2222222 4444442 λλλλλ +−=+−+ xxxx => ( ) 22222222 444446444446 λλλλλλλλ +−=−+⇒+−=−+ xxxx => 3 2 3 2 6 4 446 444 2 2 2 2 2 2 2 =⇒=⇒=⇒ +− +− = xxxx λλ λλ ⇒    =+− =− 062 022 yx yx
  • 6. Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 5 7. Calcule as integrais iteradas a. ∫ ∫= = 2 01 01 2 x ydydx ( ) ∫ ∫=       −== 2 0 2 0 2 0 2 0 22 2 x x dx x dx y ∫ ====      = 2 0 2 252 0 54 5 16 10 32 10 2 102 x dx x b. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ ∫ ∫ +−+=+=+ 1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 202222 dxxxdxxydydxx ( )∫ += 1 0 42 dxx [ ] 51414 21 0 2 =×+=+ xx 8. Achar a área entre as curvas 3 xy = e xy 4= . Solução: Primeiro vamos extrair o ponto de intersecção:    = = xy xy 4 3 04 4 3 3 =− = xx xx ( ) 042 =−xx      −= = = 2 2 0 x x x ( )∫ =−=−= 2 0 2 0 42 3 ..4 42 4 4 au xx dxxxA ( ) ( )dxxxdx xx xxMx ∫∫ −=      + −= 2 0 62 2 0 3 3 16 2 1 2 4 4 => 19,12 73 16 2 1 2 0 73 =      −= xx Mx ( ) ( ) 26,4 53 4 44 2 0 2 0 53 42 2 0 3 =      −=⇒−=⋅−= ∫∫ xx MydxxxdxxxxMy 06,1 4 26,4 ==x 04,3 4 19,12 ==y CG 1,06; 3,04)