SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 21
Baixar para ler offline
F           31201                                       ก                4                         WiLa                                      1

                                                                                                                           1
                                                                                                               ก           F             F

1.1                                     F (Propositions or Statements)
                                                      F                F                                                                     ก F
                                            F      F                 F                                             F
                                                                                                       F               กF F                  (truth value)                     F
                  F         ก F                     T                              F
                                                    F                          F
          ก F                                 ก F                 F                                F                   ก                 ก     F a, b, c, , z

              F                                                       F
                      1.                                      ก                                            F                                                       (   )
                      2. -5                                           (                )
                      3. 0                                                F                     ( )

                                F                   F                                            F F
                                               1 F กF                                          F F                             ก F                             F
      F                                            F F                                                                                                 F
                                               2                                       ก F                                 F F F                                   ก       F       F
                                    F            ก F FF
                        F                                                     F 2
                                                      ก                        กF                              F
                                              x+2=5
                            F                                                          x                                             F             F       F

          F  1                                                F                            F                              F            F
1.          กF     F                                      F                                     ......................................
2.    5+ 6 = 12                                                                                 ..................................
3.      ก       49                                  7                     -7                    ......................................
4.     x+y+5 =0                                                                                 ...................................
5.      F F                                                                                     .....................................
6.     a+0 = a                                                                                  .................................
F        31201              ก       4           WiLa   2

                                                      ก   1

                  F      F            F       F
1. 0                  F
2. F F
3. A ∩ B = B ∩
4.                 F
5. 1+5 = 8
6. x + 7 = 8
7.            ก
8. ก         F F
9.       F                     F Fก 4
10. ก F ก ก ก F
11. F
12.        ก         F F ก
13. {1,2,3} = {2,3,4}
14. π                      ก
15.        {0}              F
16.                   x           x>5
17.              F         ก F
18.            ก                ก      4
19.                   x y         F x+y=y+x
20.                                  F
F                31201         ก      4                     WiLa                              3

1.2 ก                        F
                         F                                           F กก                             F   F
                  F ... F ... ก F                                                   ก
        F       F              F       กF        (connectives)
     F 0 F                       F
       2 4                              F
          F 3                          F 32
1. ก                    F F
                       F 5+ 2 = 2 + 5
                             3 x 1 = 1x 3
                     F             F           F        F F
            5+ 2 = 2 + 5 3 x 1 = 1x 3
 p q                        F p∧q                 F         (truth table)          p∧q        F
                                     q      p∧q
                  P
                  T                  T       T
                  T                  F       F
                  F                  T       F
                  F                  F       F

 2. ก                 F F
                   F 1+8=8+1
                     5( 3 + 7 ) = ( 5 x 3 ) + ( 5 x 7 )
                 F          F                 F         F F
             1+8=8+1             5( 3 + 7 ) = ( 5 x 3 ) + ( 5 x 7 )
    p      q              F p∨q                     F          (truth table)            p∨q       F

                    P              q     p∨q
                    T              T       T
                    T              F       T
                    F              T       T
                    F              F       F
F                       31201             ก      4                         WiLa                                  4

3. ก                         F F                  F ... F ...
                    F 5<7
                      5+(-3)<7+(-3)
                  F        F F ... F ... F                                    F        F
              F 5<7 F 5+(-3)<7+(-3)
       F p F q            F p→q            F                                           (truth table)        p→q           F

                     P                     q       p→q
                     T                     T           T
                     T                     F           F
                     F                     T           T
                     F                     F           T

4. ก                         F F        ก F
                       F 5( 7 + 3 ) = 5 x 10
                           7 + 3 = 10
                     F         F ก F               F                      F        F
               5( 7 + 3 ) = 5 x 10 ก F       7 + 3 = 10
     pก F    q               F p↔q                   F                             (truth table)       p↔q            F

                     P                     q       p↔q
                     T                     T           T
                     T                     F           F
                     F                     T           F
                     F                     F           T

            1.                       F         ก F                    F            กF              F F (atomic statement)
            2.       ก                     F ก กก                                 FF F F               F     ก
5.                               F
                         F               2+3=5                   2+3≠5
                             F           2<3                      2<3
(F      F 2 F F กF 3                             F 2           Fก 3               กก F 3               Fก         F   2≥3     )
F                31201                 ก            4                   WiLa                                            5

                                      Fp                F       ~p                   F                    ~p              F

                         P       ~p
                         T       F
                         F       T

                                                                             ก   2
1.                           F             F F              ก F
     1)   4                   5            F        .....................................................................................
     2)   3 Fก 4            3 F ก F 4 .....................................................................................
     3)   4              F F 43          F          .....................................................................................
     4)     F                     F           F ก                 ........................................................................
     5)   3 × 5 = 15 ก F     15 ÷ 3 = 5             .....................................................................................

2. ก             F p                         F 3                                         q                      F 3
                   r                        F 2                      F                   s                     F 2
                                           ก FF
     1)   p ∧ ∼q
     2)   r⇒s
     3)   ∼r ⇔ s
     4)   (p ∧ q) ⇒ r
     5)   q ⇔ (r ∨ ∼ p)                                                                                                                 ..
3.          ก F                     FF
     1)   4                    5          F
     2)   2 Fก 3              2 กก F 3 .....
     3)      F 7             F F 72
     4)   2<5 ก F         3 > 5 .......
     5)     F {1 , 2} = {2 , 1} F {1 , 2} ⊂ {2 , 1} ......
F                        31201                                     ก                           4                           WiLa                                      6

1.3 ก            F                                                              F
             F                                                              F                                               F         ก F           F               F   F F       ก   F
        F                                                                                   F               F

    F 1                          F                                                      F                                                   F
            Fp                                        F
            Fq
                      ก                                   F F                       p∧q
                     กp                                             q                                           F   p∧q
                                                                        F                                                                                   F

    F 2 ก                                    F a, b                 c                                   F               F
                             F                                      (a ∧ b) ∨ c
            กa                               b                                      F a∧b
            ก a∧b                                         c                                                         F (a ∧ b) ∨ c
                                                                                ( a ∧ b) ∨ c
                                                                                    T               T                            F

                                                                                        T

                                                                                                                    T
                     ก                   F                                                      F                                               F                             F           F

    F 3                              F                                      ~ ( a → ~ b)                                        a,b                     F       F
      กb                                                  F ~b
      กa                                     ~b                                     F a →~ b
                     ~ ( a → ~ b)                               F
                                                                            ~ (a → ~ b )
                                                                                        T                                             T
                                                                                                                                F
                                                                                                                F
                                                                            T
F             31201                             ก           4                       WiLa                               7



       F 4 ก            Fp                    q                r                       s
                   F                         [ ( p ∧ q) ∨ r ] → ( p ∧ s)

                             [   (             p           ∧       q   ) ∨ r ] → ( p                                    ∨       s )
                                               T                   F


                                                           F                           F                    T                   T

                                                                       F                                                    T


                                                                                               T
                       F [ ( p ∧ q) ∨ r ] → ( p ∧ s)                           F

                                                                                   ก       3

1. ก        F P                      F             F                               Q                    F           F
              R                          F             F                           S                F           F
       F                         FF
           1. [ P ∧ (~ Q)] ↔ ( P ∨ S)                      2. ( P → Q) → (S ∨ R)
           3. [ P ∨ (~ R)] → S                             4. [( P ∨ Q) ∧ (~ R)] → Q
           5. ( P ∧ Q) ∨ (~ R)                             6. ( P ↔ R) → (Q ∨ S)
           7. Q ↔ [( P ∧ S) ∨ R ]                          8. ~ ( P ∧ Q) ↔ [(~ P) ∨ (~ Q)]
2. ก             F P,Q,R     S            F       P Q F                          R ∧ (~ S)
     F                              F                  F F
           1. ( P ∨ Q) → ( P∧ ~ R)
           2. [( P ∧ S) ∨ (~ R)] → ( R ∧ Q)
           3. ( P ↔ R ) → (Q → S)
           4. [( R ∧ Q) ∨ (S → P)] → [( P ∧ (S ∨ Q)]
3. F P,Q,R,S                    F     F            [( P → Q)].V ( R∨ ~ S )
         F                P,Q,R,S
4. F P,Q,R,S                      F   P∨Q F                        (S ∨ R ) ∨ Q F
       F                 P,Q,R,S
F                       31201                                ก        4                           WiLa                        8

1.4 ก                F                           F
             ก                   F                                   F                                     F              ก                F   F       F
 F                                       F               F                    F                                       F        ก
     F                   F                                                        F
         F 1                         F                       F                                                    F           ( p → q ) ∧ ∼q

                                     p               q               ∼q               p→q                      ( p → q ) ∧ ∼q
                                     T               T               F                 T                              F
                                     T               F               T                 F                              F
                                     F               T               F                 T                              F
                                     F               F               T                 T                              T

         F 2                         F                       F                                                    F           ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r

                                     p               q                   r            ∼q           ∼r                 p ∧ ∼q       ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r
                                     T               T                   T            F            F                     F                 F
                                     T               T                   F            F            T                     F                T
                                     T               F                   T            T            F                    T                 T
                                     T               F                   F            T            T                    T                 T
                                     F               T                   T            F            F                     F                 F
                                     F               T                   F            F            T                     F                T
                                     F               F                   T            T            F                     F                 F
                                     F               F                   F            T            T                     F                T

                                                                                      F                F                           F   F
         F       3                           F                   F                            F                                    F ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r

                                         (p          →                   q)           ∧           ∼q
                                         T           T                   T            F           F
                                         T           F                   F            F           T
                                         F           T                   T            F           F
                                         F           T                   F            T           T
F               31201                                   ก               4                   WiLa                                         9



         F   4            F              F                                               F                           F       ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r

                         (p          ∧               ∼q )                    ∨               ∼r
                         T           F                F                      F               F
                         T           F                F                      T               T
                         T           T                T                      T               F
                         T           T                T                      T               T
                         F           F                F                      F               F
                         F           F                F                      T               T
                         F           F                T                      F               F
                         F           F                T                      T               T



1.5                                          F                   ก
                 ก            F F                                                    F                 F                      ก ก     Fก
     F                          F        ก               F           ก                                         F กF F                              F      ก
 F       p→q     ก       ~ p∨q                                                           ก         ก                                  F        F

         F 1 ก                  Fp               q                               F                             F p→q           ~p∨q


                                                             p           q       p→q              ~p       ~ p∨q
                                                             T           T        T               F              T
                                                             T           F        F               F              F
                                                             F           T        T               T              T
                                                             F           F        T               T              T

Q            F p→q                   ~p∨q                        F                                ก กก                   F                         Fp,q
∴               F p→q                ก                               F   ~p∨q


         ก F F                  Fa                   ก                       Fb F                          F     a≡b
F       31201           ก     4            WiLa                        10

F 2                F p ∧∼q ก ∼( q→p )          ก        F

       p       q   ∼p      ∼p ∧q       q→p ∼( q→p )
                                               →
       T       T   F         F          T      F              ก
       T       F   F         F          T      F            p ∧∼q ก ∼( q→p ) F
       F       T   T         T          F      T                      ก กก
       F       F   T         F          T      F             ∴ p ∧∼q ≡ ∼( q→p )

            F     ก       Fก    ก        F p, q r             F
      1. p ∧ p ≡ p
      2. p ∧ q ≡ q ∧ p
      3. p ∨ q ≡ q ∨ p
       4. p ∧ q ≡ q ∧ p
       5. p → q ≡ ∼( p ∨ q )
                    ≡ ∼ q → ∼p
       6. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )
                    ≡ ∼ p ↔ ∼q
       7. ∼(∼ p ) ≡ p
       8. ∼ (p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼ q
       9. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼ q
       10. ∼ ( p → q )    ≡ p ∧ ∼q
       11. ∼ ( p ↔ q )    ≡ ∼p ↔ q
                          ≡ p ↔ ∼q
       12. p∧ (q ∨ r ) ≡ ( p∧q ) ∨ ( p∧r )
            p∨ (q∧r )     ≡ ( p∨q ) ∧ ( p∨r )
       13. p→ ( q ∧ r ) ≡ ( p→q ) ∧ ( p→r )
            p→ ( q ∨ r ) ≡ ( p→q ) ∨ ( p→r )
       14. p→ ( q → r ) ≡ ( p∧q ) → r
       15. ( p→q ) ∧ ( q→r ) ≡ p→ r
F                            31201                                    ก                      4                                  WiLa                                    11

                                                                                                                            ก          4
1.        F                  F                F F
              1.1      (p → q) → (∼ p ∧∼ q )
              1.2      ( p ∧∼ q ) ↔ ( q ∨ p )
              1.3      (p∧q) → ( p∨r)
2.                         F       F F         ก      F
              2.1          ∼ p ∧ q ก ∼ (q → p)
              2.2          p → q ก ∼ p →∼ q
              2.3          (p∧q) → r ก          p→ ( q → r)

1.6                        F (TAUTOLOGY)
                       ก                                                        F        F                                           กก                F              F

ก                              F                                                         F ก                        F                              F              F               F    F

      F 1 ก                                        Fp                       q                        F
                                                                    F ( p → q) ∧ p → q

                               p               q                p→ q                    ( p → q) ∧ p                            ( p → q) ∧ p → q
                               T               T                        T                        T                                         T
                               T               F                        F                        F                                         T
                               F               T                        T                        F                                         T
                               F               F                        T                        F                                         T

Q ( p → q) ∧ p → q                                          F                                            กก                      F                                                Fp   q
                   ∴ ( p → q) ∧ p → q                                                                      F

ก                                  F                                                     F ก                    F                              F              F           F
                   ก                   F                F                                                 F                                             F ก                   F
ก              F           ก                                        F               F                                             FF                   ก F            Fก                       F
      F                                                                 F                                     F FF              F F                    Fก               F                  F
                                           F                    F                            F
F             31201                   ก               4                                    WiLa                      12



    F 2                         F [( p → q) ∧ p] →~ q                                                             F           F
               F [( p → q) ∧ p] →~ q F
                       [ ( p           → q           )   ∧           p       ]       →               ~ q

                                                                                             F


                                                             T                                                F

                                       T                                 T


                             T              T
         ก                        F                      F [( p → q) ∧ p] →~ q                                                    F F    F
F   F         Fก
                   ก     p                       q            F [( p → q) ∧ p] →~ q
                                            F [( p → q) ∧ p] →~ q F               F

    F 3                        F ( p ∧ q) → (q ∨ p )                                                  F                   F
               F ( p ∧ q) → (q ∨ p ) F
                        ( p           ∧     q )          →           (       q   ∨               p        )
                                                         F


                                  T                                              F


                             T              T                                F                   F


                                                             Fก

         ก                            F F                        p           q           F
        ก ก             Fก                  FF       [( p → q ) ∧ p ] →~ q
                                            F [( p → q) ∧ p] →~ q                                                     F
F                31201               ก          4                                     WiLa                                          13

 (2)                                            F F       A∨B
                        ก                     A∨B        F ก          A F B                                                       F           ก             F
A∨B F                                       F        F F        F
 (3)                                             F F      A↔B
     ก                                F     A↔B             F     F F F   F ก                                                     ก                  Fก F
     A                  ก Bก              F        F       A B          ก กก
                         ก F                   A↔B T กก
                         ก F                   A↔B            F

1.7 ก       F
            ก           F                     ก         F        ก              F(                    )
        F       F           ก               F F                         F                F                F                               ก   F
                                          F F ก                F F                                            F           F           F
                    F                      F Fก F                           F
 ก                                                          F3
 1. ก                                                                Fก ก            F
     ก ก F
    1. ก ก                                        (modus ponens)            2. ก ก                                F             (modus tollens)
                        p →q                                                                  p →q
                        p                                                                    ~q
                        ∴q                                                                   ∴~ p
  3. ก                           ก        (law of syllogism)            4. ก ก                                ก (disjunctive syllogism)
                        p →q                                                                  p ∨q
                        q →r                                                                  ~ p
                    ∴p → r                                                                    ∴q


5. ก ก                               F (conjunctive inference) 6. ก ก                                             ก           (inference by cases)
                                 p                                                                p →r
                                q                                                                 q →r
                        ∴p ∧q                                                                     ∴p ∨q → r
7. ก                ก                F F (law of simplification) 8. ก                             F                   F
                                p ∧q                                                                  p →q
                            ∴p                                                                ∴~ q →~ p
F                       31201                                  ก                     4                              WiLa                                                      14

        2. ก                                                                                                               Fก                                                                  F
                                   ก           F                           ก    F F                                F                        p1 , p2 ,..., pn                               F
                F                      C           F                           Fก F                                                     ก         F F                          F                               ก          F
                            F กF F                     p1 , p2 ,..., pn                                                F                        F กF F         Cก          F
                                 F                             ก F                                                                      F           F          ∧                                       F F ก         F
                                       →                   F                              ก
                                                                                                           ( p1 , p2 ,..., pn ) → C

            F                           ( p1 , p2 ,..., pn ) → C                                                                F
                                                                                                                                ก F F ก                        F                                           (valid)   FF
                                ( p1 , p2 ,..., pn ) → C F                                                                 Fก F FF ก F                                                 F                 (invalid)
                                 ก                                                                                         F    ก ก                                                                F

                        F          1                                   Fก             F                        F                                                       F
                                                               : 1.              p→q
                                                                               2. ~ q
                                                                   :                  ~ p
                                                               ก       F                              F            [( p → q )∧ ~ q ] →~ p                                          F

                            p          q               ~p              ~q                 p→q                              ( p → q )∧ ~ q                      [( p → q )∧ ~ q ] →~ p
                            T          T               F               F                          T                                         F                                                  T
                            T          F               F               T                          F                                         F                                                  T
                            F          T               T               F                          T                                         F                                                  T
                            F          F               T               T                          T                                         T                                                  T


    ก                                    F F                                              กก                                    Fก              F                  F                           ก F

                    F             2                        : 1. F                                 กF                        ก
                                                             2.                     F F                   กF
                                                               :
ก       F                                                                                     F
                                   ก F                     ก                    F                 FF ก                              F               p                              กF
                                                                                                                                                    q
F              31201                       ก    4                               WiLa            15

                                 : 1. p → q
                                     2. ~ p
                                    : q
     ก     F                    [( p →q)∧ ~ p] → ( q)
                                                               F(              )

                                                      T
                                                              T= ~
                              T = ( p → q)
                                                                       p                              F=   q

                     F=   p                  F=   q                            F=      p

     F F                       F ก                p                q                           FF
       F

                                                                   ก               5
               ก      F              F                                     F
1.                 1. p → q
                    2. q → r
                    3. ∼r
                   ∼p∨r

2.                 1. F 7                         F F 7       F 2
                   2. 7 F                          F
                        F 2

3.                 1. F                       กก ก F
                   2. F                      F กก ก F                                      F
                   3.            F
                                         F
F        31201                       ก           4                                WiLa                                                                        16

1.8
                                                ก F                                                       F F                                       F
                                                 F                    F       ก       ก                         F               F                                                  F
    F       x F กก F 3
            a+2= 1
NOTE F P(x)    Q(x)                                                                                                                                 ก

        F        1                    F               F
            1.           ก
            2.           กก
            3.   x - 5 = 10
            4.    F x+2=3                  F x-2 = 0
            5.       π                       ก
            6.       3x = 15              x=3 F      F
            7.       x + 10
            8.       a + a = 2a



 F
1         ก                                                                                                             F                                   F              F
2         กก                                                                                                                F                                   F              F
3 x - 5 = 10                                                                                                x                                   F                   x ∈R
                                                                                                  F                                 F
4           F x+2=3 F x-2=0                                                                                 x                                   F                   x ∈R
                                                                                                  F                                 F
5 π                               ก                               F                       F
6 3x = 15                                                                                                   x                                   F                   x ∈R
                                                                                                  F                                 F
7 x + 10                                         F                                                          x F                             F                       x ∈R
                                                          F                       F           F       F                                 F
8 a + a = 2a                                                  F                                                     F                                   F
F                                   31201                                   ก                   4                    WiLa                          17

1.9                     F

                                      F                                      2
                 1.           F                                                       ... ก                                   F                                   ก ก
                                                        ก                                         F                              x ก
                                                                                                                                x
                                                                                                                                x F
                                          F                                            ... ก                               F      ก F ∀
         F                   F P(x)                                                                                       x+2 = 3
                            ∀ x P (x)                                             ∀ x[x+2 =3 ]                                       x ก                         x+2 = 3

                 2.               F                                                   ...                                         F
                                                                                  ก                               F                       x
                                                                                                x
                                                                                                x                                     F           F
                                F                                                  ...           F                                                ก F        ∃
     F                        F P(x)                                                     x-3 = 5
                            ∃ xP(x)                                          ∃ x[x - 3 = 5]                                                         x            x-3 = 5

                                                                         F        ก         F ∀x                                          x ก
                                                                     F            ก         F ∃x                                          x
                                                                 F                ก         FU                            ก                          F
                                                         F                        ก         FR
                                                         F                        ก         FQ                                                           ก
                                                         F                        ก         FI Z
                                                             F                    ก         FN

 F                                                                            F               F
                                  F P(x)                                                                      x
                      (1)                               F ∀x[ p(x)]                                       F                                        ก F             x      p(x) F       ก F   U
             F        F                           F
                                              ∀x[ p(x)]                                                   ก F                                     ก x∈U , P(x)
                      (2)                               F ∀x[ p(x)]                                   F                                           ก F          ก           U F     F
                                      x               p(x) F F                                                        F
F           31201         ก       4               WiLa                           18

                    ∀x[ p(x)]        ก F          x∈U P(x)
      (3)             F ∃x [p (x ) ] F                 ก F                ก     U F    F
                 x p(x) F F              F
                  ∃x[ p( x)]         ก F          x∈U P(x)
  (4)                F ∃x [p (x ) ] F                 ก F             x       p(x) F       ก F   U
F F               F
                  ∃x[ p( x)]         ก F               ก x∈U , P(x)

  F          1           F                  F F
        1. ∀ x [ x + 8 ≥ 8 ] U = { 0, 2, 4 }
            F x∈U ก F            x+8≥ 8
               x=0 ;             0+8≥8            (T)
               x=2 ;             2+8≥8            (T)
               x=4 ;             4+8≥8            (T)
           F ก F x∈U           F        x+8≥ 8
                ∀ x [ x + 8 ≥ 8 ] ; U = { 0, 2, 4 }   F

        2.       ∀x [ x + 8 > 8 ] U = { 0, 2, 4 }
                  F x∈U ก F         x+8>8
                    x=0 ;           0+8>8             (F)
                    x=2 ;           2+8>8             (T)
                    x=4 ;           4+8>8             (T)
                 F F x∈U         F x+8> 8
                    ∀ x [ x + 8 > 8 ] ; U = { 0, 2, 4 }   F

        3.   ∃x[ x 2 = 2 x]             U = { -1, 0, 1 }
              F x∈U ก F           x2 = 2x
                x = -1 ;         (-1)2 = 2(-1) (F)
                x= 0 ;           (0)2 = 2(0) (T)
                x= 1 ;           (1)2 = 2(1) (F)
            F F x∈U                     F x2 = 2x
        ∃x[ x 2 = 2 x] ; U = { -1, 0, 1 }     F
F           31201             ก         4                 WiLa   19

             4.   ∃x[ x + 1 = 1]       U     = R
                   F       F x∈U               F x=o   F                   x+1 = 1
                           ∃x[ x + 1 = 1]     U= R   F

             5.   ∀ x [ x+1 = x ]             U = R
                   F       F x∈U            F x=o          F               x+1 = x
                           ∀ x [x+1 = x ] U = R     F

                                                                   ก        9
1.            F                       FF
             1. ∀ x[ x+x = 2x ] ; u = {-2,-1,0,1,2}
             2. ∃ x[ (x-1) (x+1) = x2 - 1 ] ; U = { -2,1,3,7}
             3. ∃ x[2x2+3x+1 = 0] ; U = {-2,1,3,7}
             4. ∀ x[x2+2x+1 = 0] ; u = {-2,1,3,7}
             5. ∀ x[ x+3 < 5 ] ; U = R-

2.   F U = {-2,-1, 0, 1, 2}                  P(x)        x ≥0 ;
                                             Q(x)        x/4
                                             R(x)        x2-4 =0
     F                                  FF
       1.                  ∀x[ P( x)∨ ~ R( x)]
       2.                       → P(x)]
                           ∃ x[ R(x)
       3.             ∀ x[ Q(x) ↔ P(x)]
3.   F U=R                    P(x)       x                             ก    ;
                              Q(x)       x                         ก
         F                         FF
             1.   ∀ x[P(x)] ∨ ∀ x [Q(x0]
             2.   ∀ x[P(x) → Q(x) ]
             3.   ∀ x(P(x) ∨ Q(x)]
             4.   ∀ x(P(x)]∧ ∀ x[Q(x)]
             5.   ∀ x[P(x) ∧Q(x)]

                                             ______________ ^__^ ______________
F                   31201                     ก            4                            WiLa                                                                   20

F                                    F            F
         ก               ก                   FU
          1.                         F ∀x∀y [ p( x, y )] F                                                       ก F            F        x p(x,y) F
        กa                          U F                       F              F ∀y  p ( a, y ) 
                                                                                                        
          2.                          F ∀x∀y [ p( x, y )] F                                                     ก F                     กb U F                F
                                  x p(x,y) F                                       F                F ∀y [ p(b, y)]
          3.                           F ∀y∀x [ p( x, y )] F                                                     ก F              F      y p(x,y) F
        กa                          U F                         F                    F ∀x  p ( x, a ) 
                                                                                                          
         4.                         F ∀y∀x [ p( x, y )] F                                                       ก F                     กb U F            F
                                                          y p(x,y) F                            F             F ∀x [ p( x, b)]
          5.                       F ∃x∃y [ p( x, y )] F                                                     ก F                       กa U F F
    a             x p(x,y) F                                           F                   F ∃y [ p(a, y )]
          6.                               F ∃x∃y [ p( x, y )] F                                               ก F            F         x p(x,y) F                         กa
        U F        F                               F ∃y  p ( a, y )
                                                                          
         7.                      F ∃y∃x [ p( x, y )] F                                                       ก F                       กa U F F
    a             y p(x,y) F                                         F                    F ∃x [ p( x, a)]
          8.                            F ∃y∃x [ p( x, y )] F                                                ก F            F          y p(x,y) F                         กa
        U F          F                              F ∃x  p ( x, a ) 
                                                                          
         9.                  F ∀x∃y [ p( x, y )] F                                                          ก F         F             x p(x,y) F                          กa
        U F            F                             F ∃y  p ( a, y )
                                                                          
         10.                   F ∀x∃y [ p( x, y )] F                                                         ก F                      กb U F F
                 x p(x,y) F                                       F                    F ∃y [ p(b, y )]
         11.                    F ∀y∃x [ p( x, y )] F                                                        ก F          F            y p(x,y) F                         กa
        U F              F                            F ∃x  p ( x, a ) 
                                                                          
          12.                             F ∀y∃x [ p( x, y )] F                                                 ก F                     กb U F        F
                   y p(x,y) F                                            F                   F ∃x [ p( x, b)]
           13.                                 F ∃x∀y [ p( x, y )] F                                              ก F                     กa U F                      F
                                  x p(x,y) F                                     F                 F ∀y [ p(a, y)]
         14.                                 F ∃x∀y [ p( x, y )] F                                               ก F                F    x p(x,y) F                            กb
        U F                F                            F ∀y  p ( b, y ) 
                                                                            
         15.                                F ∃y∀x [ p( x, y )] F                                                ก F                     กa U F                   F
                                  y p(x,y) F                                   F                  F ∀x [ p( x, a)]
F             31201                      ก       4               WiLa                                  21



     16.                F ∃y∀x [ p( x, y )] F                             ก F    F           y        p(x,y) F   กb
    U F            F         F ∀x  p ( x, b ) 
                                              


1.10 ก             ก                 F          F
           ก                                ก                   ก ก                      F               ก F
                                     ก
                                                    ก       F         F              ก           FF      F
               ก F             F         F      ก
         ก             F p(x),q(x)       p(x,y)
          1. ∀x[ p(x) ∧ q (x)] ≡ ∀x[ p(x)] ∧ ∀x[ q (x)]
          2. ∃x[ p( x) ∨ q ( x)] ≡ ∃x[p( x)] ∨ ∃x[q ( x)]
          3. ~ ∀x[ p(x)] ≡ ∃x[ ~ p(x)]
          4. ~ ∃x[p( x)] ≡ ∀x[ ~ p( x)]
         5. ~ ∀x∀y [ p( x, y)] ≡ ∃x∃y [ ~ p( x, y)]
         6. ~ ∀x∃y [ p( x, y)] ≡ ∃x∀y [ ~ p( x, y)]
         7. ~ ∃x∀y [ p( x, y)] ≡ ∀x∃y [ ~ p( x, y)]

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียนแบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียนPeung Chanthimarn
 
Microsoft word ใบความรู้การย่อยอาหารของคน
Microsoft word   ใบความรู้การย่อยอาหารของคนMicrosoft word   ใบความรู้การย่อยอาหารของคน
Microsoft word ใบความรู้การย่อยอาหารของคนThanyamon Chat.
 
Microsoft word เกมบิงโกสัตว์
Microsoft word   เกมบิงโกสัตว์Microsoft word   เกมบิงโกสัตว์
Microsoft word เกมบิงโกสัตว์Thanyamon Chat.
 
Microsoft word อะตอมและตารางธาตุ
Microsoft word   อะตอมและตารางธาตุMicrosoft word   อะตอมและตารางธาตุ
Microsoft word อะตอมและตารางธาตุThanyamon Chat.
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศNattapon
 
Personality test
Personality testPersonality test
Personality testpooyu
 
18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าDoc Edu
 
เปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ททท
เปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ทททเปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ททท
เปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ทททnattatira
 
17ไฟฟ้าและแม่เหล็ก2
17ไฟฟ้าและแม่เหล็ก217ไฟฟ้าและแม่เหล็ก2
17ไฟฟ้าและแม่เหล็ก2Doc Edu
 
16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก1
16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก116ไฟฟ้าและแม่เหล็ก1
16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก1Doc Edu
 
คู่มือโปรแกรม Book mark2551
คู่มือโปรแกรม Book mark2551  คู่มือโปรแกรม Book mark2551
คู่มือโปรแกรม Book mark2551 Narongchai Wanmanee
 
K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร
K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร
K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร DrDanai Thienphut
 
19ฟิสิกส์อะตอม
19ฟิสิกส์อะตอม19ฟิสิกส์อะตอม
19ฟิสิกส์อะตอมDoc Edu
 
Microsoft word ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมู
Microsoft word   ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมูMicrosoft word   ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมู
Microsoft word ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมูThanyamon Chat.
 
หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2
หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2
หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2Nithimar Or
 
ใบความรู้7
ใบความรู้7ใบความรู้7
ใบความรู้7Aobinta In
 

Mais procurados (19)

แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียนแบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
 
Microsoft word ใบความรู้การย่อยอาหารของคน
Microsoft word   ใบความรู้การย่อยอาหารของคนMicrosoft word   ใบความรู้การย่อยอาหารของคน
Microsoft word ใบความรู้การย่อยอาหารของคน
 
Microsoft word เกมบิงโกสัตว์
Microsoft word   เกมบิงโกสัตว์Microsoft word   เกมบิงโกสัตว์
Microsoft word เกมบิงโกสัตว์
 
Microsoft word อะตอมและตารางธาตุ
Microsoft word   อะตอมและตารางธาตุMicrosoft word   อะตอมและตารางธาตุ
Microsoft word อะตอมและตารางธาตุ
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 คุณธรรม จริยธรรมในการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศ
 
Personality test
Personality testPersonality test
Personality test
 
18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
18คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
 
Math exam m4 6 2008
Math exam m4 6 2008Math exam m4 6 2008
Math exam m4 6 2008
 
Pan1
Pan1Pan1
Pan1
 
เปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ททท
เปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ทททเปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ททท
เปิดประตูสู่โลกออนไลน์ไปกับเทคโนโลยีสุดล้ำจาก ททท
 
17ไฟฟ้าและแม่เหล็ก2
17ไฟฟ้าและแม่เหล็ก217ไฟฟ้าและแม่เหล็ก2
17ไฟฟ้าและแม่เหล็ก2
 
San22
San22San22
San22
 
16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก1
16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก116ไฟฟ้าและแม่เหล็ก1
16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก1
 
คู่มือโปรแกรม Book mark2551
คู่มือโปรแกรม Book mark2551  คู่มือโปรแกรม Book mark2551
คู่มือโปรแกรม Book mark2551
 
K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร
K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร
K connect ธุรกิจครอบครัวแดนมังกร
 
19ฟิสิกส์อะตอม
19ฟิสิกส์อะตอม19ฟิสิกส์อะตอม
19ฟิสิกส์อะตอม
 
Microsoft word ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมู
Microsoft word   ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมูMicrosoft word   ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมู
Microsoft word ใบกิจกรรมโครงสร้างของปอดหมู
 
หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2
หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2
หนังสือทอฝันปันน้ำใจ 2
 
ใบความรู้7
ใบความรู้7ใบความรู้7
ใบความรู้7
 

Semelhante a ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียนแบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียนPeung Chanthimarn
 
คู่มือประมวลข่าวประจำวัน
คู่มือประมวลข่าวประจำวันคู่มือประมวลข่าวประจำวัน
คู่มือประมวลข่าวประจำวันThitima Jiramanit
 
อารยธรรมอียิปต์
อารยธรรมอียิปต์ อารยธรรมอียิปต์
อารยธรรมอียิปต์ Pikcolo Pik
 
หน่วยที่ 1 บทนำ
หน่วยที่ 1 บทนำหน่วยที่ 1 บทนำ
หน่วยที่ 1 บทนำkrusarawut
 
แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2
แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2
แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2อานนท์ มากมี
 
Lesson 1 Intro
Lesson 1 IntroLesson 1 Intro
Lesson 1 Introkrusarawut
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศNattapon
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศNattapon
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอนแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอนNattapon
 
Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...
Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...
Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...chariyada
 
01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต
01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต
01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิตอัจฉรา สร้อยทอง
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์Nattapon
 
ใบความรู้2
ใบความรู้2ใบความรู้2
ใบความรู้2Aobinta In
 
2554-7.strategy of-most
2554-7.strategy of-most2554-7.strategy of-most
2554-7.strategy of-mostps-most
 

Semelhante a ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (20)

แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียนแบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
แบบสอบถามความคิดเห็นเกี่ยวกับทัศนคติเรื่องเพศสัมพันธ์ในวัยเรียน
 
คู่มือประมวลข่าวประจำวัน
คู่มือประมวลข่าวประจำวันคู่มือประมวลข่าวประจำวัน
คู่มือประมวลข่าวประจำวัน
 
อารยธรรมอียิปต์
อารยธรรมอียิปต์ อารยธรรมอียิปต์
อารยธรรมอียิปต์
 
Plan
PlanPlan
Plan
 
02 abs
02 abs02 abs
02 abs
 
หน่วยที่ 1 บทนำ
หน่วยที่ 1 บทนำหน่วยที่ 1 บทนำ
หน่วยที่ 1 บทนำ
 
เจ็ดดาวเหนือ
เจ็ดดาวเหนือเจ็ดดาวเหนือ
เจ็ดดาวเหนือ
 
แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2
แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2
แบบฝึกทักษะการเขียนโปรแกรมภาษาซีเล่ม2
 
Pdf114
Pdf114Pdf114
Pdf114
 
Lesson 1 Intro
Lesson 1 IntroLesson 1 Intro
Lesson 1 Intro
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 องค์ประกอบของระบบสารสนเทศ
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศ
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ข้อมูลและสารสนเทศ
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอนแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 โครงงานสร้างบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน
 
Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...
Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...
Quit Rent and Assessment Tax : Case study on Johore Bharu, Malaysia by Dr. Ch...
 
Pan3
Pan3Pan3
Pan3
 
01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต
01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต
01ชุดการเรียนการสอนลักษณะและรูปร่างของเซลล์สิ่งมีชีวิต
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 บทบาทและวิวัฒนาการของคอมพิวเตอร์
 
ใบความรู้2
ใบความรู้2ใบความรู้2
ใบความรู้2
 
2554-7.strategy of-most
2554-7.strategy of-most2554-7.strategy of-most
2554-7.strategy of-most
 
เซต
เซตเซต
เซต
 

Último

Free eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdf
Free eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdfFree eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdf
Free eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdfOH TEIK BIN
 
Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]
Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]
Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]iqra tube
 
SERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINI
SERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINISERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINI
SERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINISantanu Das
 
The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...
The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...
The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...Cometan
 
All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...
All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...
All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...iqra tube
 
Easter Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptx
Easter Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptxEaster Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptx
Easter Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptxStephen Palm
 
The_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear God
The_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear GodThe_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear God
The_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear GodNetwork Bible Fellowship
 
365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...
365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...
365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...Eizijesu Obahaiye
 
DP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short vers
DP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short versDP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short vers
DP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short versBengt & Maarit de Paulis
 
Old Age but fruitful and meaningful.pptx
Old Age but fruitful and meaningful.pptxOld Age but fruitful and meaningful.pptx
Old Age but fruitful and meaningful.pptxInnovator Marbun
 
DP & Jesus Marriage - 2 potential candidates
DP & Jesus Marriage - 2 potential candidatesDP & Jesus Marriage - 2 potential candidates
DP & Jesus Marriage - 2 potential candidatesBengt & Maarit de Paulis
 
Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24
Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24
Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24deerfootcoc
 

Último (13)

Free eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdf
Free eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdfFree eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdf
Free eBook ~Short Inspirational Stories - The Benefits.pdf
 
Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]
Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]
Islamic Finance 101 - Dr. Main Alqudah [https://www.guidancecollege.org/]
 
SERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINI
SERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINISERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINI
SERPENT COIL: THE AWAKENING OF KUNDALINI
 
English - The 1st Book of Adam and Eve.pdf
English - The 1st Book of Adam and Eve.pdfEnglish - The 1st Book of Adam and Eve.pdf
English - The 1st Book of Adam and Eve.pdf
 
The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...
The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...
The Mormon & Quaker Moons of Lancashire: Stories of Religious Conversion & Mi...
 
All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...
All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...
All About Zakah for Muslim Americans - Dr. Main Alqudah [https://www.guidance...
 
Easter Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptx
Easter Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptxEaster Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptx
Easter Apocalypse_Palm Sunday_Rev. 7.pptx
 
The_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear God
The_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear GodThe_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear God
The_Chronological_Life_of_Christ_Part_93_Fear God
 
365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...
365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...
365 Days of Thanking God_ Cultivating a Heart of Thanksgiving Everyday (Revis...
 
DP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short vers
DP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short versDP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short vers
DP & Nostradamus-Fatima-Bailey-Branham-Ford - Short vers
 
Old Age but fruitful and meaningful.pptx
Old Age but fruitful and meaningful.pptxOld Age but fruitful and meaningful.pptx
Old Age but fruitful and meaningful.pptx
 
DP & Jesus Marriage - 2 potential candidates
DP & Jesus Marriage - 2 potential candidatesDP & Jesus Marriage - 2 potential candidates
DP & Jesus Marriage - 2 potential candidates
 
Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24
Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24
Deerfoot Church of Christ Bulletin 3 24 24
 

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

  • 1. F 31201 ก 4 WiLa 1 1 ก F F 1.1 F (Propositions or Statements) F F ก F F F F F F กF F (truth value) F F ก F T F F F ก F ก F F F ก ก F a, b, c, , z F F 1. ก F ( ) 2. -5 ( ) 3. 0 F ( ) F F F F 1 F กF F F ก F F F F F F 2 ก F F F F ก F F F ก F FF F F 2 ก กF F x+2=5 F x F F F F 1 F F F F 1. กF F F ...................................... 2. 5+ 6 = 12 .................................. 3. ก 49 7 -7 ...................................... 4. x+y+5 =0 ................................... 5. F F ..................................... 6. a+0 = a .................................
  • 2. F 31201 ก 4 WiLa 2 ก 1 F F F F 1. 0 F 2. F F 3. A ∩ B = B ∩ 4. F 5. 1+5 = 8 6. x + 7 = 8 7. ก 8. ก F F 9. F F Fก 4 10. ก F ก ก ก F 11. F 12. ก F F ก 13. {1,2,3} = {2,3,4} 14. π ก 15. {0} F 16. x x>5 17. F ก F 18. ก ก 4 19. x y F x+y=y+x 20. F
  • 3. F 31201 ก 4 WiLa 3 1.2 ก F F F กก F F F ... F ... ก F ก F F F กF (connectives) F 0 F F 2 4 F F 3 F 32 1. ก F F F 5+ 2 = 2 + 5 3 x 1 = 1x 3 F F F F F 5+ 2 = 2 + 5 3 x 1 = 1x 3 p q F p∧q F (truth table) p∧q F q p∧q P T T T T F F F T F F F F 2. ก F F F 1+8=8+1 5( 3 + 7 ) = ( 5 x 3 ) + ( 5 x 7 ) F F F F F 1+8=8+1 5( 3 + 7 ) = ( 5 x 3 ) + ( 5 x 7 ) p q F p∨q F (truth table) p∨q F P q p∨q T T T T F T F T T F F F
  • 4. F 31201 ก 4 WiLa 4 3. ก F F F ... F ... F 5<7 5+(-3)<7+(-3) F F F ... F ... F F F F 5<7 F 5+(-3)<7+(-3) F p F q F p→q F (truth table) p→q F P q p→q T T T T F F F T T F F T 4. ก F F ก F F 5( 7 + 3 ) = 5 x 10 7 + 3 = 10 F F ก F F F F 5( 7 + 3 ) = 5 x 10 ก F 7 + 3 = 10 pก F q F p↔q F (truth table) p↔q F P q p↔q T T T T F F F T F F F T 1. F ก F F กF F F (atomic statement) 2. ก F ก กก FF F F F ก 5. F F 2+3=5 2+3≠5 F 2<3 2<3 (F F 2 F F กF 3 F 2 Fก 3 กก F 3 Fก F 2≥3 )
  • 5. F 31201 ก 4 WiLa 5 Fp F ~p F ~p F P ~p T F F T ก 2 1. F F F ก F 1) 4 5 F ..................................................................................... 2) 3 Fก 4 3 F ก F 4 ..................................................................................... 3) 4 F F 43 F ..................................................................................... 4) F F F ก ........................................................................ 5) 3 × 5 = 15 ก F 15 ÷ 3 = 5 ..................................................................................... 2. ก F p F 3 q F 3 r F 2 F s F 2 ก FF 1) p ∧ ∼q 2) r⇒s 3) ∼r ⇔ s 4) (p ∧ q) ⇒ r 5) q ⇔ (r ∨ ∼ p) .. 3. ก F FF 1) 4 5 F 2) 2 Fก 3 2 กก F 3 ..... 3) F 7 F F 72 4) 2<5 ก F 3 > 5 ....... 5) F {1 , 2} = {2 , 1} F {1 , 2} ⊂ {2 , 1} ......
  • 6. F 31201 ก 4 WiLa 6 1.3 ก F F F F F ก F F F F F ก F F F F F 1 F F F Fp F Fq ก F F p∧q กp q F p∧q F F F 2 ก F a, b c F F F (a ∧ b) ∨ c กa b F a∧b ก a∧b c F (a ∧ b) ∨ c ( a ∧ b) ∨ c T T F T T ก F F F F F F 3 F ~ ( a → ~ b) a,b F F กb F ~b กa ~b F a →~ b ~ ( a → ~ b) F ~ (a → ~ b ) T T F F T
  • 7. F 31201 ก 4 WiLa 7 F 4 ก Fp q r s F [ ( p ∧ q) ∨ r ] → ( p ∧ s) [ ( p ∧ q ) ∨ r ] → ( p ∨ s ) T F F F T T F T T F [ ( p ∧ q) ∨ r ] → ( p ∧ s) F ก 3 1. ก F P F F Q F F R F F S F F F FF 1. [ P ∧ (~ Q)] ↔ ( P ∨ S) 2. ( P → Q) → (S ∨ R) 3. [ P ∨ (~ R)] → S 4. [( P ∨ Q) ∧ (~ R)] → Q 5. ( P ∧ Q) ∨ (~ R) 6. ( P ↔ R) → (Q ∨ S) 7. Q ↔ [( P ∧ S) ∨ R ] 8. ~ ( P ∧ Q) ↔ [(~ P) ∨ (~ Q)] 2. ก F P,Q,R S F P Q F R ∧ (~ S) F F F F 1. ( P ∨ Q) → ( P∧ ~ R) 2. [( P ∧ S) ∨ (~ R)] → ( R ∧ Q) 3. ( P ↔ R ) → (Q → S) 4. [( R ∧ Q) ∨ (S → P)] → [( P ∧ (S ∨ Q)] 3. F P,Q,R,S F F [( P → Q)].V ( R∨ ~ S ) F P,Q,R,S 4. F P,Q,R,S F P∨Q F (S ∨ R ) ∨ Q F F P,Q,R,S
  • 8. F 31201 ก 4 WiLa 8 1.4 ก F F ก F F F ก F F F F F F F F ก F F F F 1 F F F ( p → q ) ∧ ∼q p q ∼q p→q ( p → q ) ∧ ∼q T T F T F T F T F F F T F T F F F T T T F 2 F F F ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r p q r ∼q ∼r p ∧ ∼q ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r T T T F F F F T T F F T F T T F T T F T T T F F T T T T F T T F F F F F T F F T F T F F T T F F F F F F T T F T F F F F F 3 F F F F ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r (p → q) ∧ ∼q T T T F F T F F F T F T T F F F T F T T
  • 9. F 31201 ก 4 WiLa 9 F 4 F F F F ( p ∧ ∼q ) ∨ ∼r (p ∧ ∼q ) ∨ ∼r T F F F F T F F T T T T T T F T T T T T F F F F F F F F T T F F T F F F F T T T 1.5 F ก ก F F F F ก ก Fก F F ก F ก F กF F F ก F p→q ก ~ p∨q ก ก F F F 1 ก Fp q F F p→q ~p∨q p q p→q ~p ~ p∨q T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T Q F p→q ~p∨q F ก กก F Fp,q ∴ F p→q ก F ~p∨q ก F F Fa ก Fb F F a≡b
  • 10. F 31201 ก 4 WiLa 10 F 2 F p ∧∼q ก ∼( q→p ) ก F p q ∼p ∼p ∧q q→p ∼( q→p ) → T T F F T F ก T F F F T F p ∧∼q ก ∼( q→p ) F F T T T F T ก กก F F T F T F ∴ p ∧∼q ≡ ∼( q→p ) F ก Fก ก F p, q r F 1. p ∧ p ≡ p 2. p ∧ q ≡ q ∧ p 3. p ∨ q ≡ q ∨ p 4. p ∧ q ≡ q ∧ p 5. p → q ≡ ∼( p ∨ q ) ≡ ∼ q → ∼p 6. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p ) ≡ ∼ p ↔ ∼q 7. ∼(∼ p ) ≡ p 8. ∼ (p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼ q 9. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼ q 10. ∼ ( p → q ) ≡ p ∧ ∼q 11. ∼ ( p ↔ q ) ≡ ∼p ↔ q ≡ p ↔ ∼q 12. p∧ (q ∨ r ) ≡ ( p∧q ) ∨ ( p∧r ) p∨ (q∧r ) ≡ ( p∨q ) ∧ ( p∨r ) 13. p→ ( q ∧ r ) ≡ ( p→q ) ∧ ( p→r ) p→ ( q ∨ r ) ≡ ( p→q ) ∨ ( p→r ) 14. p→ ( q → r ) ≡ ( p∧q ) → r 15. ( p→q ) ∧ ( q→r ) ≡ p→ r
  • 11. F 31201 ก 4 WiLa 11 ก 4 1. F F F F 1.1 (p → q) → (∼ p ∧∼ q ) 1.2 ( p ∧∼ q ) ↔ ( q ∨ p ) 1.3 (p∧q) → ( p∨r) 2. F F F ก F 2.1 ∼ p ∧ q ก ∼ (q → p) 2.2 p → q ก ∼ p →∼ q 2.3 (p∧q) → r ก p→ ( q → r) 1.6 F (TAUTOLOGY) ก F F กก F F ก F F ก F F F F F F 1 ก Fp q F F ( p → q) ∧ p → q p q p→ q ( p → q) ∧ p ( p → q) ∧ p → q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T Q ( p → q) ∧ p → q F กก F Fp q ∴ ( p → q) ∧ p → q F ก F F ก F F F F ก F F F F ก F ก F ก F F FF ก F Fก F F F F FF F F Fก F F F F F
  • 12. F 31201 ก 4 WiLa 12 F 2 F [( p → q) ∧ p] →~ q F F F [( p → q) ∧ p] →~ q F [ ( p → q ) ∧ p ] → ~ q F T F T T T T ก F F [( p → q) ∧ p] →~ q F F F F F Fก ก p q F [( p → q) ∧ p] →~ q F [( p → q) ∧ p] →~ q F F F 3 F ( p ∧ q) → (q ∨ p ) F F F ( p ∧ q) → (q ∨ p ) F ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) F T F T T F F Fก ก F F p q F ก ก Fก FF [( p → q ) ∧ p ] →~ q F [( p → q) ∧ p] →~ q F
  • 13. F 31201 ก 4 WiLa 13 (2) F F A∨B ก A∨B F ก A F B F ก F A∨B F F F F F (3) F F A↔B ก F A↔B F F F F F ก ก Fก F A ก Bก F F A B ก กก ก F A↔B T กก ก F A↔B F 1.7 ก F ก F ก F ก F( ) F F ก F F F F F ก F F F ก F F F F F F F Fก F F ก F3 1. ก Fก ก F ก ก F 1. ก ก (modus ponens) 2. ก ก F (modus tollens) p →q p →q p ~q ∴q ∴~ p 3. ก ก (law of syllogism) 4. ก ก ก (disjunctive syllogism) p →q p ∨q q →r ~ p ∴p → r ∴q 5. ก ก F (conjunctive inference) 6. ก ก ก (inference by cases) p p →r q q →r ∴p ∧q ∴p ∨q → r 7. ก ก F F (law of simplification) 8. ก F F p ∧q p →q ∴p ∴~ q →~ p
  • 14. F 31201 ก 4 WiLa 14 2. ก Fก F ก F ก F F F p1 , p2 ,..., pn F F C F Fก F ก F F F ก F F กF F p1 , p2 ,..., pn F F กF F Cก F F ก F F F ∧ F F ก F → F ก ( p1 , p2 ,..., pn ) → C F ( p1 , p2 ,..., pn ) → C F ก F F ก F (valid) FF ( p1 , p2 ,..., pn ) → C F Fก F FF ก F F (invalid) ก F ก ก F F 1 Fก F F F : 1. p→q 2. ~ q : ~ p ก F F [( p → q )∧ ~ q ] →~ p F p q ~p ~q p→q ( p → q )∧ ~ q [( p → q )∧ ~ q ] →~ p T T F F T F T T F F T F F T F T T F T F T F F T T T T T ก F F กก Fก F F ก F F 2 : 1. F กF ก 2. F F กF : ก F F ก F ก F FF ก F p กF q
  • 15. F 31201 ก 4 WiLa 15 : 1. p → q 2. ~ p : q ก F [( p →q)∧ ~ p] → ( q) F( ) T T= ~ T = ( p → q) p F= q F= p F= q F= p F F F ก p q FF F ก 5 ก F F F 1. 1. p → q 2. q → r 3. ∼r ∼p∨r 2. 1. F 7 F F 7 F 2 2. 7 F F F 2 3. 1. F กก ก F 2. F F กก ก F F 3. F F
  • 16. F 31201 ก 4 WiLa 16 1.8 ก F F F F F F ก ก F F F F x F กก F 3 a+2= 1 NOTE F P(x) Q(x) ก F 1 F F 1. ก 2. กก 3. x - 5 = 10 4. F x+2=3 F x-2 = 0 5. π ก 6. 3x = 15 x=3 F F 7. x + 10 8. a + a = 2a F 1 ก F F F 2 กก F F F 3 x - 5 = 10 x F x ∈R F F 4 F x+2=3 F x-2=0 x F x ∈R F F 5 π ก F F 6 3x = 15 x F x ∈R F F 7 x + 10 F x F F x ∈R F F F F F 8 a + a = 2a F F F
  • 17. F 31201 ก 4 WiLa 17 1.9 F F 2 1. F ... ก F ก ก ก F x ก x x F F ... ก F ก F ∀ F F P(x) x+2 = 3 ∀ x P (x) ∀ x[x+2 =3 ] x ก x+2 = 3 2. F ... F ก F x x x F F F ... F ก F ∃ F F P(x) x-3 = 5 ∃ xP(x) ∃ x[x - 3 = 5] x x-3 = 5 F ก F ∀x x ก F ก F ∃x x F ก FU ก F F ก FR F ก FQ ก F ก FI Z F ก FN F F F F P(x) x (1) F ∀x[ p(x)] F ก F x p(x) F ก F U F F F ∀x[ p(x)] ก F ก x∈U , P(x) (2) F ∀x[ p(x)] F ก F ก U F F x p(x) F F F
  • 18. F 31201 ก 4 WiLa 18 ∀x[ p(x)] ก F x∈U P(x) (3) F ∃x [p (x ) ] F ก F ก U F F x p(x) F F F ∃x[ p( x)] ก F x∈U P(x) (4) F ∃x [p (x ) ] F ก F x p(x) F ก F U F F F ∃x[ p( x)] ก F ก x∈U , P(x) F 1 F F F 1. ∀ x [ x + 8 ≥ 8 ] U = { 0, 2, 4 } F x∈U ก F x+8≥ 8 x=0 ; 0+8≥8 (T) x=2 ; 2+8≥8 (T) x=4 ; 4+8≥8 (T) F ก F x∈U F x+8≥ 8 ∀ x [ x + 8 ≥ 8 ] ; U = { 0, 2, 4 } F 2. ∀x [ x + 8 > 8 ] U = { 0, 2, 4 } F x∈U ก F x+8>8 x=0 ; 0+8>8 (F) x=2 ; 2+8>8 (T) x=4 ; 4+8>8 (T) F F x∈U F x+8> 8 ∀ x [ x + 8 > 8 ] ; U = { 0, 2, 4 } F 3. ∃x[ x 2 = 2 x] U = { -1, 0, 1 } F x∈U ก F x2 = 2x x = -1 ; (-1)2 = 2(-1) (F) x= 0 ; (0)2 = 2(0) (T) x= 1 ; (1)2 = 2(1) (F) F F x∈U F x2 = 2x ∃x[ x 2 = 2 x] ; U = { -1, 0, 1 } F
  • 19. F 31201 ก 4 WiLa 19 4. ∃x[ x + 1 = 1] U = R F F x∈U F x=o F x+1 = 1 ∃x[ x + 1 = 1] U= R F 5. ∀ x [ x+1 = x ] U = R F F x∈U F x=o F x+1 = x ∀ x [x+1 = x ] U = R F ก 9 1. F FF 1. ∀ x[ x+x = 2x ] ; u = {-2,-1,0,1,2} 2. ∃ x[ (x-1) (x+1) = x2 - 1 ] ; U = { -2,1,3,7} 3. ∃ x[2x2+3x+1 = 0] ; U = {-2,1,3,7} 4. ∀ x[x2+2x+1 = 0] ; u = {-2,1,3,7} 5. ∀ x[ x+3 < 5 ] ; U = R- 2. F U = {-2,-1, 0, 1, 2} P(x) x ≥0 ; Q(x) x/4 R(x) x2-4 =0 F FF 1. ∀x[ P( x)∨ ~ R( x)] 2. → P(x)] ∃ x[ R(x) 3. ∀ x[ Q(x) ↔ P(x)] 3. F U=R P(x) x ก ; Q(x) x ก F FF 1. ∀ x[P(x)] ∨ ∀ x [Q(x0] 2. ∀ x[P(x) → Q(x) ] 3. ∀ x(P(x) ∨ Q(x)] 4. ∀ x(P(x)]∧ ∀ x[Q(x)] 5. ∀ x[P(x) ∧Q(x)] ______________ ^__^ ______________
  • 20. F 31201 ก 4 WiLa 20 F F F ก ก FU 1. F ∀x∀y [ p( x, y )] F ก F F x p(x,y) F กa U F F F ∀y  p ( a, y )    2. F ∀x∀y [ p( x, y )] F ก F กb U F F x p(x,y) F F F ∀y [ p(b, y)] 3. F ∀y∀x [ p( x, y )] F ก F F y p(x,y) F กa U F F F ∀x  p ( x, a )    4. F ∀y∀x [ p( x, y )] F ก F กb U F F y p(x,y) F F F ∀x [ p( x, b)] 5. F ∃x∃y [ p( x, y )] F ก F กa U F F a x p(x,y) F F F ∃y [ p(a, y )] 6. F ∃x∃y [ p( x, y )] F ก F F x p(x,y) F กa U F F F ∃y  p ( a, y )   7. F ∃y∃x [ p( x, y )] F ก F กa U F F a y p(x,y) F F F ∃x [ p( x, a)] 8. F ∃y∃x [ p( x, y )] F ก F F y p(x,y) F กa U F F F ∃x  p ( x, a )    9. F ∀x∃y [ p( x, y )] F ก F F x p(x,y) F กa U F F F ∃y  p ( a, y )   10. F ∀x∃y [ p( x, y )] F ก F กb U F F x p(x,y) F F F ∃y [ p(b, y )] 11. F ∀y∃x [ p( x, y )] F ก F F y p(x,y) F กa U F F F ∃x  p ( x, a )    12. F ∀y∃x [ p( x, y )] F ก F กb U F F y p(x,y) F F F ∃x [ p( x, b)] 13. F ∃x∀y [ p( x, y )] F ก F กa U F F x p(x,y) F F F ∀y [ p(a, y)] 14. F ∃x∀y [ p( x, y )] F ก F F x p(x,y) F กb U F F F ∀y  p ( b, y )    15. F ∃y∀x [ p( x, y )] F ก F กa U F F y p(x,y) F F F ∀x [ p( x, a)]
  • 21. F 31201 ก 4 WiLa 21 16. F ∃y∀x [ p( x, y )] F ก F F y p(x,y) F กb U F F F ∀x  p ( x, b )    1.10 ก ก F F ก ก ก ก F ก F ก ก F F ก FF F ก F F F ก ก F p(x),q(x) p(x,y) 1. ∀x[ p(x) ∧ q (x)] ≡ ∀x[ p(x)] ∧ ∀x[ q (x)] 2. ∃x[ p( x) ∨ q ( x)] ≡ ∃x[p( x)] ∨ ∃x[q ( x)] 3. ~ ∀x[ p(x)] ≡ ∃x[ ~ p(x)] 4. ~ ∃x[p( x)] ≡ ∀x[ ~ p( x)] 5. ~ ∀x∀y [ p( x, y)] ≡ ∃x∃y [ ~ p( x, y)] 6. ~ ∀x∃y [ p( x, y)] ≡ ∃x∀y [ ~ p( x, y)] 7. ~ ∃x∀y [ p( x, y)] ≡ ∀x∃y [ ~ p( x, y)]