严蔚敏 - 数据结构

1. 9.2
动 态 查 找 表

2. 一、二叉排序树（二叉查找树）
二、二叉平衡树
三、 B - 树
四、 B+ 树

3. 一、二叉排序树
（二叉查找树）
1 ．定义
2 ．查找算法
3 ．插入算法
4 ．删除算法
5 ．查找性能的分析

4. 1 ．定义：
二叉排序树 (Binary Sort Tree) 或者是
一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树：
（ 1 ）若它的左子树不空，则左子树上
所有结点的值均小于根结点的值；
（ 2 ）若它的右子树不空，则右子树上
所有结点的值均大于根结点的值；
（ 3 ）它的左、右子树也都分别是二叉
排序树。

5. 例如 : 50
30 80
20 40 90
10 25 35 66 85
23 88
不是二叉排序树。

6. 通常，取二叉链表作为
二叉排序树的存储结构
typedef struct BiTNode { // 结点结构
TElemType data;
struct BiTNode *lchild, *rchild;
// 左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

7. 2 ．二叉排序树的查找算法：
若二叉排序树为空，则查找不成功；
否则，
1 ）若给定值等于根结点的关键字，
则查找成功；
2 ）若给定值小于根结点的关键字，
则继续在左子树上进行查找；
3 ）若给定值大于根结点的关键字，
则继续在右子树上进行查找。

8. 例如 : 二叉排序树
50
30 80
20 40 90
NULL
35 85
32 88
查找关键字
== 50 , 35 , 90 , 95 ,

9. 从上述查找过程可见，
在查找过程中，生成了一条查找路径：
从根结点出发，沿着左分支或右分
支逐层向下直至关键字等于给定值的
结点 ; — — 查找成
或者
功
从根结点出发，沿着左分支或右分
支逐层向下直至指针指向空树为止。
— — 查找不成

10. 算法描述如下：
Status SearchBST (BiTree T, KeyType key,
BiTree f, BiTree &p ) {
// 在根指针 T 所指二叉排序树中递归地查找其
// 关键字等于 key 的数据元素，若查找成功，
// 则返回指针 p 指向该数据元素的结点，并返
回 否则表明查找不成功，返
// 函数值为 TRUE;
针 p 指向查找路径上访问的最后一个结点，
返回函数值为 FALSE, 指针 f 指向当前访问
结点的双亲，其初始调用值为 NULL
…………

11. if (!T)
{ p = f; return FALSE; } // 查找不成功
else if ( EQ(key, T->data.key) )
{ p = T; return TRUE; } // 查找成功
else if ( LT(key, T->data.key) )
SearchBST (T->lchild, key, T, p );
// 在左子树中继续查找
elseSearchBST (T->rchild, key, T, p );
// 在右子树中继续查找

12. f T f
设 key = 22
48 f Tf
T f f Tp
30
T
20 f 40 T
10 Tp f 25 35
T 23

13. 3 ．二叉排序树的插入算
法
• 根据动态查找表的定义，“ 插入 ”
操作在查找不成功时才进行；
• 若二叉排序树为空树，则新插入的结点
为新的根结点；否则，新插入的结点必
为一个新的叶子结点，插入位置是查找
不成功时查找路径上访问的最后一个结
点的左孩子或右孩子结点 , 插入在查找
过程中实现 .

14. Status Insert BST(BiTree &T, ElemType e )
{ // 当二叉排序树中不存在关键字等于 e.key 的
// 数据元素时，插入元素值为 e 的结点，并返
// 回 TRUE; 否则，不进行插入并返回 FALSE
if (!SearchBST ( T, e.key, NULL, p ))
{ … … }
else return FALSE;
} // Insert BST

15. s = (BiTree) malloc (sizeof (BiTNode));
// 为新结点分配空间
s->data = e;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if ( !p ) T = s; // 插入 s 为新的根结点
else if ( LT(e.key, p->data.key) )
p->lchild = s; // 插入 *s 为 *p 的左孩子
else p->rchild = s; // 插入 *s 为 *p 的右孩子
return TRUE; // 插入成功

16. 4 ．二叉排序树的删除算法
和插入相反，删除在查找成功之
后进行，并且要求在删除二叉排序树
上某个结点之后，仍然保持二叉排序
树的特性。

17. 4 ．二叉排序树的删除算法
可分三种情况讨论：
（ 1 ）被删除的结点是叶子；
（ 2 ）被删除的结点只有左子树或
者只有右子树；
（ 3 ）被删除的结点既有左子树，
也有右子树。

18. （ 1 ）被删除的结点是叶子结点
例如 : 被删关键字 =88
20
50
30 80
20 40 90
35 85
32 88
其双亲结点中相应指针域的值改为 “ NULL”

19. （ 2 ）被删除的结点只有左子树
或者只有右子树 被删关键字 =80
40
50
30 80
20 40 90
35 85
32 88
其双亲结点的相应指针域的值改
为 “ 指向被删除结点的左子树或右子树

20. （ 3 ）被删除的结点既有左子树，也有右子树
f
p
50 被删关键字 = 30
s 30 80
20 40 90
35 85
32 88
令 *p 的左子树为 *f 的左子树 ,*p 的右子树为 *s 的
右子树 .

21. （ 3 ）被删除的结点既有左子树，也有右子树
被删关键字 = 50
40
50
30 80
20 40 90
35 85
32 88
前驱结点 被删结点
以其前驱替代之，
然后再删除该前驱

22. 算法描述如下：
Status DeleteBST (BiTree &T, KeyType key )
{
// 若二叉排序树 T 中存在其关键字等于
key 的
// 数据元素，则删除该数据元素结点，并
返回
// 函数值 TRUE ，否则返回函数值
FALSE … …
if (!T) return FALSE; // 不存在关键字等

23. if ( EQ (key, T->data.key) )
{ Delete (T); return TRUE; }
// 找到关键字等于 key 的数据元素
else if ( LT (key, T->data.key) )
DeleteBST ( T->lchild, key );
// 继续在左子树中进行查找
else DeleteBST ( T->rchild, key );
// 继续在右子树中进行查找

24. 其中删除操作过程如下所描述：
void Delete ( BiTree &p ){
// 从二叉排序树中删除结点 p ，
// 并重接它的左子树或右子树
if (!p->rchild) { … … }
else if (!p->lchild) { … … }
else { … … }
} // Delete

25. // 右子树为空树则只需重接它的左子树
q = p; p = p->lchild; free(q);
f 是 p 的父亲
结点
q p p
q
p
p

26. // 左子树为空树只需重接它的右子树
q = p; p = p->rchild; free(q);
f 是 p 的父亲
结点
q p pq
p
p

27. // 左右子树均不空
q = p; s = p->lchild;
while (s->rchild) { q = s; s = s->rchild; }
// s 指向被删结点的前驱
p->data = s->data; // 前驱替换被删结点
if (q != p ) q->rchild = s->lchild;
q p
else q->lchild = s->lchild;
// 重接 *q 的左子树 s
free(s);

28. 5 ．查找性能的分析
对于每一棵特定的二叉排序树
，均可按照平均查找长度的定义来求
它的 ASL 值，显然，由值相同的 n
个关键字，构造所得的不同形态的各
棵二叉排序树的平均查找长 度的值不
同，甚至可能差别很大。

29. 例如： 1
由关键字序列 1 ， 2 ， 3 ， 2
3
4 ， 5 构造而得的二叉排序树 4
，ASL = （ 1+2+3+4+5 ） / 5 5
=3
3
由关键字序列
1 5
3 ， 1 ， 2 ， 5 ， 4 构造而得
的二叉排序树，
ASL = （ 1+2+3+2+3 ） / 5 2 4
= 2.2

30. 下面讨论平均情况 :
不失一般性，假设长度为 n 的序
列中有 k 个关键字小于第一个关键字
，则必有 n-k-1 个关键字大于第一个关
键字 , 由它构造的二叉排序树：
k n-k-1
的平均查找长度是 n 和 k 的函数
P(n, k) ( 0≤ k ≤ n-1 )

31. 1
P(n, k) = [1 + k * (P(k) + 1) + (n − k − 1) * (P(n − k − 1) + 1)]
n
其中 P(k) 为含有 k 个结点的二叉排序树
的平均查找长度 . 则 P(k)+1 为查找左子树所
用比较次数的平均值 , 而 P(n-k-1) 为查找右子
树中每个结点所用比较次数的平均值 .

32. 假设 n 个关键字的排列是随机的 , 即任一
个关键字在序列中将是第 1 个，或第 2
个 , . . . 的概率相同 , 则含 n 个关键字的二
叉排序树的平均查找长度：
n −1
1
ASL = P(n) = ∑ P(n, k)
n k =0

33. 在等概率查找的情况下，
1 n −1  1 
P(n) = ∑  1 + ( k × P(k) + (n − k − 1) × P(n − k − 1)) 
n k =0  n 
n −1
2
= 1+ 2
n
∑ ( k × P(k))
k =1
可类似于解差分方程，此递归方程有解：
n +1
P ( n) = 2 log n + C
n

34. 性能分析
由此可见 , 在随机的情况下 , 二
叉排序树的平均查找长度和 log n 是等
数量级的 . 但这种情况出现的概率约为
46.5%, 尚需在构成二叉排序树的过程中
进行”平衡化”处理 , 成为二叉平衡树
(Balanced Binary Tree).

35. 二、二叉平衡树
• 何谓 “ 二叉平衡树 ” ？
• 如何构造 “ 二叉平衡树 ”
• 二叉平衡树的查找性能分
析

36. 二叉平衡树是二叉查找树的另一种形
式，其特点为：
树中每个结点的左、右子树深度之
差的绝对值不大于 − hR ≤ 1
hL 1 。
例如 : 5 5
4 8
4 8
2
2
是平衡树 1 不是平衡树

37. 结点的平衡因子
例如 : 5 1
4 8 1 0
2 0
是平衡树
结点的平衡因子 BF(Balance Factor) ：
结点的左子树的深度减去 - 右子树的深度 .
因此 , 平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能
是
(-1,0,1). 只要二叉树上存在一个结点的 BF 的绝
对值
大于 1, 则该树就不是平衡的 .

38. 构造二叉平衡（查找）树的方法是：
在插入过程中，采用平衡旋转技术。
假设由于在二叉排序树上插入结
点而
失去平衡的最小子树根结点为 A ，沿插入
路径取直接下两层的结点为 B 和 C ，如果
这
三个结点处于一条直线上，则采用单旋转
进行平衡化；如果这三个结点处于一条折
线

39. （ 1 ）单向右旋平衡处理： ( LLR)
原因：在 A 的左子树根结点的左子树上插入结点，
的平衡因子由 1 增至 2 ，至使以 A 为根的子树失去平衡
调整方法：以结点 B 为旋转轴，将结点 A 向右旋转
成为
B 的右子树，结点 B 代替原来 A 的位置，原来 B 的右
子树 B
A
成为 A 的左子树。 R
A A
B LL C
BR h h+1 BR AR
C R
h h h h
插入结点

40. （ 2 ）单向左旋平衡处理： ( RRL)
原因：在 A 的右子树根结点的右子树上插入结点，
的平衡因子由 - 1 增至 - 2 ，至使以 A 为根的子树失去平
调整方法：以结点 B 为旋转轴，将结点 A 向左旋转
成为
B 的左子树，结点 B 代替原来 A 的位置，原来 B 的左
子树 B
A
成为 A A
的右子树。
B A C
L RR
BL C AL BL h+1
h
L
h h h h
插入结点

41. （ 3 ）先左后右平衡处理： ( LRLR)
原因：在 A 的左子树根结点的右子树上插入结点，
的平衡因子由 1 增至 2 ，至使以 A 为根的子树失去平衡
调整方法：先以 C 为旋转轴，将结点 B 向左旋转
成为
C 的左子树，结点 C 代替原来 B 的位置，原来 C 的左
子树 再以 C 为旋转轴，将 A 向右旋转成为
成为 B 的右子树。 C 代替原来 A 的位置，原来 C 的右
C 的右子树，结点
子树
成为 B 的左子树。
A A C
C AR
AR B A
B
h B CR h
BL L R
C h-1 BL CL CR AR
h BL
CR CL h h h-1 h
CL h h
h-1 h-1
插入结点

42. （ 4 ）先右后左平衡处理： ( RLRL)
原因：在 A 的右子树根结点的左子树上插入结点，
的平衡因子由 - 1 增至 - 2 ，至使以 A 为根的子树失去平
调整方法：先以 C 为旋转轴，将结点 B 向右旋转
成为
C 的右子树，结点 C 代替原来 B 的位置，原来 C 的右
子树 再以 C 为旋转轴，将 A 向左旋转成为
成为 B 的左子树。 C 代替原来 A 的位置，原来 C 的左
C 的左子树，结点
子树
成为 A 的右子树。
B A C
AL C
AL B A B
h C
h L B L
C BR R
h-1 AL CL CR BR
h
CR BR h h-1 h h
CL
h-1 h-1 CR h h
插入结点

43. 例如 : 依次插入的关键字为 5, 4, 2, 8, 6, 9
A 5 B
4 4
B C A C
4 2 5 A 2 6
C B
2 B 8 5A 8
向右旋转 6C 先向右旋转
一次 再向左旋转

44. 向左旋转一次
A
4
B
2 6
C
5 8
B
9 6
A C
4 8
继续插入关键字 2 5 9
9

45. 平衡树的查找性能分析：
在平衡树上进行查找的过程和二
叉排序树相同，因此，查找过程中和给
定值进行比较的关键字的个数不超过平
衡 树的深度。
问：含 n 个关键字的二叉平衡
树可能达到的最大深度是多少？

46. 先看几个具体情况 :
n=0 n=1 n=2
空树
最大深度为 最大深度为 最大深度为
0 1 2
n=4 n=7
最大深度为 最大深度为

47. 反过来问，深度为 h 的二叉平衡树
中所含结点的最小值 Nh 是多少？
h=0 N0 = 0 h=1 N1 = 1
h=2 N2 = 2 h=3 N3 = 4
一般情况下 Nh = Nh-1 + Nh-2 + 1
利用归纳法可证得 Nh = Fh+2 - 1

48. 一般情况下 Nh = Nh-1 + Nh-2 + 1
利用归纳法可证得 Nh = Fh+2 - 1
Fh 为斐波那契序列 ( 书 P221) 且
1+ 5
Fh = ϕ / 5 (其中ϕ =
h
）
2

49. 由此推得，深度为 h 的二叉平衡
树中所含结点的最小值 Nh = ϕ h+2/ √ 5 -
1。反之，含有 n 个结点的二叉平衡
树能达到的最大深度 hn = logϕ (√5
(n+1)) - 2 。
因此，在二叉平衡树上进行查找时
，
查找过程中和给定值进行比较的关键
字的个数和 log(n) 相当。