Aula 02
Norma e produto interno
Norma
Já vimos que o comprimento de um vetor V
é definido como sendo o comprimento de
qualquer um dos segmentos orientados...
Norma
Exemplo 1
Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3).
Solução:
Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é
chamado vetor unitário.
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos
é igual à
norma do vetor .
Como , então
a distância de P a Q é d...
Exemplo 2
Determine a distância entre os pontos
P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5).
Solução:
Observação
Se e é um escalar, então
da definição da multiplicação de vetor por
escalar e da norma de um vetor temos:
Observação
Dado um vetor V não nulo, o vetor
é um vetor unitário na direção de V , pois
Exemplo
Determine um vetor unitário na direção do
vetor V = (1,−2, 3) .
Solução:
Ângulo entre vetores
O ângulo entre dois vetores não nulos, V e
W, é definido pelo ângulo determinado
por V e W que satisf...
Vetores ortogonais
Quando o ângulo entre dois vetores V e W
é reto ( = /2), ou um deles é o vetor
nulo, dizemos que os v...
Produto Escalar ou Interno
O produto escalar ou interno de dois vetores
V e W é definido por
em que  é o ângulo entre ele...
Observação
Quando os vetores são dados em termos
das suas componentes não sabemos
diretamente o ângulo entre eles.
Por iss...
Lei dos cossenos
Cálculo do Produto interno
em (1) os termos e são cancelados e obtemos
(1)
Resultado
O produto escalar ou interno, V⋅W, entre
dois vetores é um número dado por
se e
e por
se e .
Exemplo
Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3).
Determine o produto escalar de V por W.
Solução:
Ângulo entre vetores
Exemplo
Determinar o ângulo entre uma diagonal de
um cubo e uma de suas arestas.
Solução:
Propriedades
Projeção Ortogonal
Projeção Ortogonal
Projeção Ortogonal
Demonstração
( )II
Daí,
( )I
( )II
( )I
Exemplo
,
.
Solução
Obrigado!
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  1. 1. Aula 02 Norma e produto interno
  2. 2. Norma Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por .
  3. 3. Norma
  4. 4. Exemplo 1 Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3). Solução: Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário.
  5. 5. Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos é igual à norma do vetor . Como , então a distância de P a Q é dada por Se
  6. 6. Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5). Solução:
  7. 7. Observação Se e é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor temos:
  8. 8. Observação Dado um vetor V não nulo, o vetor é um vetor unitário na direção de V , pois
  9. 9. Exemplo Determine um vetor unitário na direção do vetor V = (1,−2, 3) . Solução:
  10. 10. Ângulo entre vetores O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W, é definido pelo ângulo determinado por V e W que satisfaz 0 ≤  ≤ 
  11. 11. Vetores ortogonais Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = /2), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si. VW /2 
  12. 12. Produto Escalar ou Interno O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por em que  é o ângulo entre eles.
  13. 13. Observação Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.
  14. 14. Lei dos cossenos
  15. 15. Cálculo do Produto interno em (1) os termos e são cancelados e obtemos (1)
  16. 16. Resultado O produto escalar ou interno, V⋅W, entre dois vetores é um número dado por se e e por se e .
  17. 17. Exemplo Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). Determine o produto escalar de V por W. Solução:
  18. 18. Ângulo entre vetores
  19. 19. Exemplo Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Solução:
  20. 20. Propriedades
  21. 21. Projeção Ortogonal
  22. 22. Projeção Ortogonal
  23. 23. Projeção Ortogonal
  24. 24. Demonstração ( )II Daí, ( )I ( )II ( )I
  25. 25. Exemplo , .
  26. 26. Solução
  27. 27. Obrigado!

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