O mundo sob a ótica da Geometria

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Um livro ilustrativo destinado a estudantes e professores de Matemática. Este livro é o resultado de investigação no Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.

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O mundo sob a ótica da Geometria

  1. 1. 44. AAss mmaarrggeennss ddoo NNiilloo__________________________________________________________________________________________________________________________66. AA GGeeoommeettrriiaa GGrreeggaa__________________________________________________________________________________________________________________________88. AAss ccoonnttrriibbuuiiççõõeess ddee EEuucclliiddeess ddee AAlleexxaannddrriiaa__________________________________________________________________________________________________________________________11 00.. OOss PPoossttuullaaddooss ddee EEuucclliiddeess__________________________________________________________________________________________________________________________11 22. OO QQuuiinnttoo PPoossttuullaaddoo ddee EEuucclliiddeess nnaa lliinnhhaa ddoo tteemmppoo__________________________________________________________________________________________________________________________11 44.. OO ssuurrggiimmeennttoo ddaa GGeeoommeettrriiaa nnããoo EEuucclliiddiiaannaa__________________________________________________________________________________________________________________________11 66.. LLoobbaacchheevvsskkyy,, GGaauussss,, BBeellttrraammii ee aa GGeeoommeettrriiaa HHiippeerrbbóólliiccaa__________________________________________________________________________________________________________________________11 88. RRiieemmaannnn ee aa GGeeoommeettrriiaa EEssfféérriiccaa__________________________________________________________________________________________________________________________2200. AA GGeeoommeettrriiaa TTooppoollóóggiiccaa__________________________________________________________________________________________________________________________2222. GGeeoommeettrriiaa FFrraaccttaall__________________________________________________________________________________________________________________________2244 AAllgguummaass SSuuggeessttõõeess__________________________________________________________________________________________________________________________4681012141618202224
  2. 2. A dimensão desses conflitos pode ser apreciada narepercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito,onde uma pessoa que acabada de falecer teria de jurar aosdeuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Eraum pecado que terminava com o coração do infratorarrancado e comido por uma besta horrível chamada o“devorador”. Roubar a terra do vizinho era considerado umaofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinaralguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores eadministradores de templos, palácios e demais unidadesprodutivas fundadas na agricultura não tinham referênciaclara do limite das suas possessões para poderem cultivá -la e pagarem os impostos devidos na medida da suaextensão aos governantes.A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos.De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir a terra") está intimamenteligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deramos primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam noscampos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra arável do mundo antigo. A mánotícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, nasciam daíconflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários,os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos dascheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses.Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ouesticadores de corda (assim chamados devido aosinstrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidaspara marcar ângulos retos), acabaram por aprender adeterminar as áreas de lotes de terreno dividindo - os emretângulos e triângulos.PPaarraa ddeemmaarrccaarreemm nnoovvaammeennttee ooss lliimmiitteess eexxiissttiiaamm ooss""ppuuxxaaddoorreess ddee ccoorrddaa"",, ooss ""hhaarrppeeddoonnaappttaass"" qquuee bbaasseeaavvaamm aassuuaa aarrttee eesssseenncciiaallmmeennttee nnoo ccoonnhheecciimmeennttoo ddee qquuee oo ttrriiâânngguullooddee llaaddooss 33,, 44,, 55 éé rreettâânngguulloo..
  3. 3. Após as cheias, as margens do rio ficavam cobertar por húmus - adubo natural, que dava ao solo a fertilidade necessária para o plantio. Notempo da estiagem, num trabalho de união de forças e de conjunto, os egípcios aproveitaram as águas do rio para levar a irrigação até terrasmais distantes ou construir diques para controlar as cheias, protegendo o vale contra essas catástrofes terríveis. No período das cheias, oscamponeses eram encaminhados para as cidades, onde realizavam outros trabalhos que não a agricultura.Todo o conhecimento que temos hoje sobre a Matemáticaegípcia baseia - se em dois grandes documentos: o papiro deRhind e o papiro de Moscovo. Outros documentos importantessãoospapirosdeBerlim, deKahunedoCairo.Estes papiros são compostos porexposições de problemas triviais e suasresoluções. Na verdade, o que distinguea matemática egípcia da matemáticababilônica e, mais tarde, da grega é ofato de não exstirem demonstraçõesnem serem conhecidas as origens dasfórmulas utilizadas. O que se encontrasão exemplos comprovatórios; nuncademonstrações.44As margens doNilo44Papiro de Rhind
  4. 4. Será na Grécia do séc. VII a.C. que a geometria se estabelece como ciência dedutiva. Ageometria grega é a geometria da régua e do compasso. Os gregos herdam toda aexperimentação, intuição e empirismo dos egípcios, estipulando leis e regras acerca do espaço..Platão foi um filósofo e matemático do períodoclássico da Grécia Antiga, autor de diversosdiálogos filosóficos e fundador da Academia emAtenas, a primeira instituição de educaçãosuperior do mundo ocidental. Juntamente comseu mentor, Sócrates, e seu pupilo, Aristóteles,Platão ajudou a construir os alicerces dafilosofia natural, da ciência e da filosofiaocidental.Pitágoras de Samos foi um filósofo e matemáticogrego que nasceu em Samos entre cerca de 571a.C. e 570 a.C. e morreu em Metaponto entre cercade 497 a.C. ou 496 a.C. A sua biografia estáenvolta em lendas. Diz-se que o nome significaaltar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, poismãe ao consultar a pitonisa soube que a criançaseria um ser excepcional. Pitágoras foi o fundadorde uma escola de pensamento grega denominadaem sua homenagem de pitagórica. Teve como suaprincipal mestra, a filósofa e matemáticaTemstocléia.Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego,nascido por volta do ano 640 e falecido em 550a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor,descendente de uma família oriunda da Feníciaou Beócia. Tales foi incluído entre os sete sábiosda antiguidade. Estrangeiro rico e respeitável, ofamoso Tales durante a sua estadia no Egitoestudou Astronomia e Geometria.Fundou a mais antiga escola filosófica que seconhece - a Escola Jónica.Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C) foium matemático, físico, engenheiro, inventor, eastrônomo grego. Entre suas contribuições à Física,estão as fundações da hidrostática e da estática,tendo descoberto a lei do empuxo e a lei daalavanca, além de muitas outras. Ele inventouainda vários tipos de máquinas para usos militar ecivil, incluindo armas de cerco, e a bomba deparafuso que leva seu nome. Experimentosmodernos testaram alegações de que, paradefender sua cidade, Arquimedes projetoumáquinas capazes de levantar navios inimigos parafora da água e colocar navios em chamas usandoum conjunto de espelhos.
  5. 5. A Geometria Grega1: Zenón de Citio o Zenón de Elea – 2: Epicuro – 3: Federico II Gonzaga – 4: Boecio o Anaximandro o Empédocles – 5: Averroes – 6: Pitágoras – 7: Alcibíades o AlejandroMagno – 8: Antístenes o Jenofonte – 9: Hipatia (pintada como Margherita pelo jovem Francesco Maria della Rovere) – 10: Esquines o Jenofonte – 11: Parménides – 12:Sócrates – 13: Heráclito (pintado como Miguel Ángel) – 14: Platão (pintado como Leonardo da Vinci) – 15: Aristóteles – 16: Diógenes de Sinope – 17: Plotino – 18: Euclides eArquimedes junto a um grupo de estudantes (pintado como Bramante) – 19: Estrabón o Zoroastro? – 20: Claudio Ptolomeu – R: Apeles como Rafael – 21: Protógenes comoSodoma.OOss ttrrêêss pprroobblleemmaass cclláássssiiccooss ddaa GGeeoommeettrriiaa ggrreeggaaOs três problemas clássicos da Geometria grega eram sobre como realizar uma construção geométrica usando somente régua e compasso. Tratavam-se dos seguintes problemas:Duplicação do cubo: Dado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior.Trissecção do ângulo: Dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da amplitude.Quadratura do círculo: Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área.66
  6. 6. AAss ccoonnttrriibbuuiiççõõeess ddee EEuuNo ano de 325 a.C. nasce na Síria um professor,escritor grego e célebre matemático, Euclides deAlexandria. Foi educado em Atenas e frequentou aAcademia de Platão. Anos mais tarde, a convite dorei Ptolomeu I, fez parte do quadro de professores darecém fundada Academia, o Museu, em Alexandria,no Egito. Passando aí grande parte da sua vidaalcançou grande prestígio pela forma extraordináriacomo ensinava Geometria e Álgebra, conseguindodeste modo aliciar um grande número de discípulospara as suas lições públicas.Muitas das suas obras foram perdidas, mas a mais importante, a monumental publicação Stoichia (OsElementos, 300 a.C.) resistiu passando assim até os dias de hoje. Compõe-se de um conjunto de 13 livros (oucapítulos), em que Euclides faz uma exposição rigorosa e ordenada dos assuntos básicos da matemáticaelementar, incluindo aritmética, geometria e álgebra..Os Elementos é considerada a obra mais antiga da história damatemática e uma das mais importantes segundo algunshistoriadores. A sua contribuição foi tão grande que a maior parte dasproposições nela contida é tratada na escola atual, principalmente nocampo da geometria, conhecida, hoje, como Geometria Euclidiana,em homenagem ao seu criador.É unânime entre os historiadores que a geometria, antes dosgregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquercuidado com os princípios matemáticos que regiam osconhecimentos geométricos. Foram então, os gregos os primeiros aintroduzir o raciocín io dedutivo.O nome de Euclides ficou na história da ciênciapara sempre associado à primeira concepçãoda Geometria como um conjunto sistematizadoe lógico de propriedades. Muitas dessaspropriedades eram já utilizadas anteriormente,de forma dispersa e com objetivos, tantoutilitário como de mero prazer intelectual ouartístico, por outras civilizações.
  7. 7. cclliiddeess ddee AAlleexxaannddrriiaa 88Os Elementos é a compilação de todo o conhecimentomatemático e se tornou parte do ensino da matemáticapor2000 anos.A obra está dividida em 13 livros. Os seis primeiros tratam da Geometria plana elementar; os trêsseguintes são sobre Teoria dos Números; o livro X sobre os Irracionais e os três últimos tratam daGeometria espacial.Euclides escreveu outras obras, entre elas: Os Dados, onde apresenta 94 proposições a respeitode diversas propriedades de figuras geométricas; Divisão de Figuras onde podemos encontrarmaneiras de dividir figuras em duas partes com suas áreas representando uma razão dada; Ópticaonde apresenta o primeiro trabalho grego sobre perspectiva e Os Fenômenos que é umaintrodução elementar à Astronomia.Leonard Mlodinow, PhD em Física eMatemática, é um cientista fora doconvencional. Como imaginar que umfísico especializado em educação paracrianças e adolescentes e fascinadocom números pudesse ser também umroteirista para filmes de entretenimento,como a série “Jornada nas Estrelas”?O Partenon materializa os princípios que levaram aarquitetura grega à perfeição: harmonia, proporção,elegância e graça
  8. 8. Um Postulado ou axioma é uma preposição pequena que não necessita de demonstração. “Postular” significa “pedir para aceitar”.Apesar dos matemáticos modernos considerarem que não existe nenhuma diferença essencial entre os dois, Aristóteles sugeriu duas formas dedistinguir postulados e axiomas:Os postulados não seriam tão evidentes como os axiomas,Os postulados só seriam aplicáveis numa ciência específica enquanto que os axiomas seriam mais gerais.Teoremas escritos(Livro: Os Elementos)Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ânguloreto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto.(Teorema 47)São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo(412 ­ 485), Herão (c. 10 ­ 75) e Simplício (490 ­ 560); na Idade­Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram­se dela numerosasedições em todas as línguas europeias.A primeira destas edições foi a de Campano (1220 ­ 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 ­ 1578).
  9. 9. OOss PPoossttuullaaddooss ddee EEuucclliiddeessII IIIIIIIIII IIVVVV11 00Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos doisângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, entãoessas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam - se domesmo lado em que estão esses dois ângulos.Dados um ponto qualquer e uma distânciaqualquer pode - se construir um círculo decentro naquele ponto e com raio igual àdistância dada.Todos os ângulos retossão iguais.Dados dois pontos, há umsegmento de reta que os une.Um segmento de retapode ser prolongadoindefinidamente paraconstruir uma reta.PPrrooppoossiiççõõeess eeqquuiivvaalleenntteess aaoo VV ppoossttuullaaddoo ddee EEuucclliiddeess::Os ângulos colaterais internos formados por duas paralelas sãosuplementares. (Ptolomeu)Duas retas paralelas são equidistantes. (Ptolomeu)Dadas duas paralelas, toda a reta que cortar uma delas corta também aoutra. (Próclus)Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
  10. 10. OO QQuuiinnttoo PPoossttuullaaddoo ddee EEuu((11 3355 -- 5511 aa..cc))Posidônio apresentou uma definição deparalelismo segundo a qual as retasparalelas são as retas equidistantes.((4411 22 -- 448855))Próclus, no século V, criticouesta definição de Posidônio eapontou o fato de que éplausível a ideia do quintopostulado não se verificar, poishá linhas como a hipérbole queconvergem para as suasassíntotas, mas não chegam aintersectar-se.Nasiraddin apresenta umademonstração que falha nofato de admitir que dadasduas retas paralelas, sãocortadas por outra reta queé perpendicular a umadelas somente.((11 550099 –– 11 557755))Commandino cai no erro de juntar àdefinição de paralelismo a idéia deequidistância. No entanto, no que tocaao quinto postulado, acaba por aceitar ademonstração de Proclus que como jáse referiu, está errada.((sséécc.. XXIIIIII))
  11. 11. cclliiddeess nnaa lliinnhhaa ddoo tteemmppooCrisóbal Clavio traduziu para latim os Elementos,reproduziu e criticou a demonstração de Proclus eapresentou uma demonstração sua do quinto postulado.A sua demonstração assenta no fato de o conjunto dospontos eqüidistantes de uma reta (de um lado da reta)formarem uma linha reta. Ora, supor isso é equivalentea supor o quinto postulado. A sua demonstração acabapor ter algumas semelhanças com a de Nasiraddin.((11 553377--11 6611 22))((11 554488--11 662266))Pietro Cataldi foi o primeiromatemático a publicar uma obraexclusivamente dedicada à teoria dasparalelas. Cataldi assume umahipótese que é equivalente ao quintopostulado: linhas retas nãoequidistantes convergem numadireção e diverge na outra.Giovanni Alfonso Borelliregressou à ideia deequidistância das linhasparalelas, que havia sidolevantada por Posidônio.((11 660088--11 667799))John Wallis desiste de tentar demonstrar oquinto postulado a partir unicamente dosprimeiros quatro postulados e introduz umaxioma que considera ser mais plausívelque o quinto postulado: sobre umsegmento é sempre possível construir umtriângulo semelhante a um triângulo dado.((11 6611 66--11 770033))((11 666677--11 773333))Saccheri analisou e criticou muitas das tentativas dedemonstrar o quinto postulado por matemáticosanteriores. Nessas análises, Saccheri sublinhou quetudo tinha que ser demonstrado e que, portanto, nãofazia sentido tomar certas hipóteses sem asdemonstrar, como haviam feito muitos matemáticosanteriores.((11 772288--11 777777))Johann Heinrich Lambert teve tambémuma aproximação semelhante à deSaccheri, ao estudar quadriláteros cujascaracterísticas essenciais seriam ter pelomenos três ângulos retos (quadriláterosde Lambert).11 22
  12. 12. 1 - Pelo fim do século XVIII foram feitas novas tentativas dedemonstrar o quinto postulado de Euclides por meio dedemonstrações indiretas. Mas, em vez de conduzir a umacontradição, este novo conjunto de axiomas formou a base de umateoria consistente chamada hoje de Geometrias não Euclidianas.3 - Em 1832, Bolyai, independentemente,obteve os mesmos resultados. Essageometria passou a ser chamada degeometria hiperbólica.4 - Em 1854, Riemann nega o quinto postulado de Euclides admitindo a outranegação: por um ponto fora de uma reta não se pode conduzir uma reta paralela à retadada. Essa outra geometria não euclidiana passou a ser chamada de geometriaesférica.Escreve ao seu pai Farkas Bolyai:"Eu descobri coisas tão maravilhosas que sinto-me aturdido ... do nada eu criei umestranho mundo novo."Gauss ao ser informado da descoberta correspondeu-se como colega Farkas para elogiar seu filho: "Eu considero estejovem geômetra Bolyai um gênio de primeira ordem."7 - Felix Christian Klein (1849 - 1925) foium matemático alemão. Seu trabalhoincidiu na geometria não - euclidiana enas interligações entre a teoria dosgrupos e a geometria.EEssffeerraa
  13. 13. 11 44O surgimento daGeometria não Euclidiana2 - Lobachevsky em 1829, negou o quinto postulado de Euclides, admitindo que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duasretas paralelas. Ele foi a primeiro a publicar esta teoria, por isso é considerado o fundador oficial das geometrias não euclidianas, emboraGauss em 1824 numa carta enviada a Taurinus, já soubesse dessa possibilidade.5 - Na época, as diferenças entre as geometriaseuclidiana e hiperbólica eram puramente formais, ouseja, diferiam no conjunto dos axiomas. Isto quer dizerque não havia um modelo concreto para a geometriahiperbólica, ou seja, não havia uma representaçãográfica para os objetos geométricos, por exemplo, parauma reta hiperbólica. O primeiro modelo para ageometria hiperbólica foi criado por Eugenio Beltrami(1835-1900).6 - Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figurasda geometria não Euclidiana. O termo foi criado em 1975 porBenoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia,quedescobriu ageometriafractal nadécadade70.GGaarrrraaffaa ddee KKlleeiinnPPsseeuuddoo -- EEssffeerraa
  14. 14. Os primeiros a suspeitar que era impossível obter uma contradição negando o postuladodas paralelas, ou seja, que ele era independente dos outros postulados foram Gauss, ohúngaro Janos Bolyai (1802-1860) e o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856).Carl Friederich Gauss (1777-1855) foi o primeiro a descobrir esta geometria, embora nãotivesse publicado nada, pois a Geometria Euclidiana ainda era vista como uma verdadeinfalível. Qualquer um que se atrevesse a contradizer isso era desprestigiado e era a últimacoisa que Gauss desejaria, manchar a reputação que tinha frente ao meio científico.A Geometria Hiperbólica é a Geometria não Euclidiana que admiteos quatro primeiros postulados de Euclides, mas nega a existênciada unicidade das paralelas, ou seja, o V postulado. NessaGeometria o postulado das paralelas é substituído pelo postuladodeLobachevsky,dizendo:””PPoorr uumm ppoonnttoo PP ffoorraa ddee uummaa rreettaa rr ppaassssaa mmaaiiss ddee uummaa rreettaappaarraalleellaa àà rreettaa rr””Beltrami usou uma superfície para representar ageometria hiperbólica. Ele chamou essa superfíciede pseudo-esfera.A soma dos ângulos de umtriângulo desenhado sobre asuperfície de uma pseudo-esfera é MENOR que 180o,como esperado de umasuperfície que represente ageometria hiperbólica.Mauritius Escher usou o disco SOMA em algumas de suasgravuras. Essas duas vistas são chamadas de Círculo Limite I(esquerda) e Círculo Limite III. Essa última, umas das poucasgravuras coloridas de Escher, foi feita em 1959.CCíírrccuulloo LLiimmiittee IIIIII CCíírrccuulloo LLiimmiittee IIA soma dosângulos de umtriângulo sobreum superfície deccuurrvvaattuurraanneeggaattiivvaa é menorque a da curvaplana.Busca da chamada física pós - Einstein.TTooddooss aa bboorrddooddoo EExxpprreessssooBBuurraaccoo ddeeMMiinnhhooccaa,, rruummoo ààpprriimmeeiirraa vviiaaggeemmrreeaallmmeenntteeeessppaacciiaall ddaaeessppéécciiee hhuummaannaa..Os ângulos do plano hiperbólico correspondem aosângulos euclidianos, são medidos como no planoeuclidiano. Eles são, por definição, a medida do menorângulo formado pelas semirretas euclidianas tangente aosarcos.Área de um triângulo hiperbólico
  15. 15. Abóbada hiperbólica para o giro dascarruagens da entrada do Parc Güell(Barcelona - Espanha).As bromélias florescem somente uma vez durante seutempo de vida. Após a floração, a planta geralmentedesenvolve uma brotação lateral que substituirá aplanta que irá morrer.Tenda confeccionada em estrutura metálica, montada porsistema de encaixe e fixação. Seu design especial e arrojadooferece ampla área interna e efeitos visuais impressionantesquando aplicada iluminação.(Catedral de Brasília) Oscar Niemeyer, notável arquiteto brasileiro.Trombeta do Zeferino11 66
  16. 16. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) deixou um grande legado paraa humanidade, quando na tentativa de demonstrar o quinto postulado deEuclides introduziu o conceito de espaço com mais de três dimensões. Abriuum grande campo para novos estudos, criando um novo universo geométrico,que contribuiu para grandes descobertas, como o caso de Einstein que sóresolveu problemas fundamentais da Teoria da Relatividade depois de utilizarconceitos desta Geometria.Indo contra o quinto postulado de Euclides, Riemannestabeleceu um de seus axiomasque:““PPoorr uumm ppoonnttoo PP qquuaallqquueerr,, ffoorraa ddee uummaa rreettaa rr,,nneennhhuummaa rreettaa qquuee ppaassssaa ppoorr PP éé ppaarraalleellaa aa eellaa..””QQuuaaiissqquueerr dduuaass rreettaasseemm uumm ppllaannoo ttêêmm uummppoonnttoo ddee eennccoonnttrroo..DDaaddooss ddooiiss ppoonnttooss ssoobbrree aa eessffeerraa,,ppooddee--ssee eennccoonnttrraarr iinnffiinniittaass rreettaass qquueeppaassssaamm ppoorr eesssseess ppoonnttooss..DDuuaass cciirrccuunnffeerrêênncciiaass mmááxxiimmaass qquueeppaassssaamm ppeellooss PPóóllooss,, iinntteerrcceeccttaamm uummaacciirrccuunnffeerrêênncciiaa mmááxxiimmaa ooppoossttaa aaooss PPóóllooss,, AAee BB,, ffoorrmmaannddoo uumm âânngguulloo ddee 9900ºº..OO âânngguulloo ssoobbrree aa eessffeerraa éécchhaammaaddoo ddee âânngguulloo eessfféérriiccoo..AA uunniiããoo ddee ttrrêêss ppoonnttooss AA,, BB ee CC nnããooppeerrtteenncceenntteess aa uummaa mmeessmmaa cciirrccuunnffeerrêênncciiaammááxxiimmaa,, ffoorrmmaa uumm ttrriiâânngguulloo eessfféérriiccoo..Área de um triângulo esféricoA Geometria Esférica é a Geometria decurvatura positivaAA ssoommaa ddooss âânngguulloossddee uumm ttrriiâânngguullooeessfféérriiccoo éé sseemmpprreemmaaiioorr qquuee 11 8800ºº eemmeennoorr ddoo qquuee 554400ºº..
  17. 17. Do Rio Pinheiros (SP) pode - se apreciar a cúpula geodésica que envolve a prestigiosacidadela de Higienópolis.Bolha de SabãoDente de leãoQuase cem anos depois, uma sonda espacial daNasa, a agência espacial americana, confirmouprevisões cruciais feitas pelo físico alemão AlbertEinstein em 1915. As observações da sonda degravidade B (GP-B) comprovaram que a massa daTerra está muito sutilmente causando umacurvatura no tempo e no espaço ao seu redor, e atéarrastando-os consigo.As esferas tem uma função científica,servindo para representar o Universo, emexata proporção, ou para efetuartransformações numéricas entrequantidades, de modo semelhante aosantigos computadores analógicos.11 88RIEMANN E A GEOMETRIAESFÉRICA
  18. 18. OOss eessttuuddooss ddee TTooppoollooggiiaa aabbrriirraamm ccaammiinnhhooss ppaarraa aa mmooddeerrnnaa tteeoorriiaa ddooss GGrraaffooss.. EEsssseess ppooddeemm sseerr aapplliiccaaddooss ppaarraa ppllaanneejjaarr ddeessddee aass rreeddeess ddee sseerrvviiççoossuurrbbaannooss,, ccoommoo áágguuaa ee eelleettrriicciiddaaddee,, aattéé aass ddee ccoommppuuttaaddoorreess..Garrafa KleinGarrafa TunelConjectura de Poincaré: A superfície tridimensional de uma esfera é o único espaço fechado de dimensão 3onde todos os contornos ou caminhos podem ser encolhidos até chegarem a um simples ponto.Em 2003, o russo Grigory Perelman, anunciou uma solução positiva para oproblema, recusando o prêmio Clay no valor de um milhão de dólares.
  19. 19. GEOMETRIA TOPOLÓGICA 2200TTooppoollooggiiaa ((ddoo ggrreeggoo ttooppooss,, ""lluuggaarr"",, ee llooggooss,, ""eessttuuddoo"")) éé oo rraammoo ddaa mmaatteemmááttiiccaa qquuee eessttuuddaa ooss eessppaaççooss ttooppoollóóggiiccooss,, sseennddooccoonnssiiddeerraaddoo ccoommoo uummaa eexxtteennssããoo ddaa ggeeoommeettrriiaa..No século XVIII havia na cidade de Königsberg um conjuntode sete pontes que cruzavam o rio Pregel. Os moradores deKöenigsberg (hoje Kaliningrad, cidade da Rússia) seperguntavam se era possível fazer um passeio pela cidadepassando exatamente uma vez em cada uma das setepontes.Descoberta em 1865 pelo matemático e astrônomo alemão AugustFerdinand Moebius (1790-1868), a faixa de Moebius foi o embrião deum ramo inteiramente novo da matemática conhecido como topologia,o estudo das propriedades de uma superfície que permaneceminvariantes quando a superfície sofre uma deformação contínua.Superfície de Boy. Trata-se de uma superfícieunilátera, sem bordo, fechada sobre si mesma.Pode ser obtida a partir do rebatimento dascoordenadas cartesianas x, y, z, ou se costurando obordo único de uma cinta de Moebius triplamentetorcida.Toro ou Toróide - é um espaço topológicohhoommeeoommoorrffoo ao produto de dois círculos. Apresentao formato aproximado de um pneu. Em geometriapode ser definido com o lugar geométricotridimensional dos pontos que distam r de umacircunferência.Mas o que é umhomeomorfismo?Umhomeomorfismo é anoção principal deigualdade em topologia.A imagem ilustra a interseção de uma mola com uma esfera,onde mostra o domínio das funções das superfícies. A molaé uma superfície flexível obtida através do enrolamento emtorno de um cilindro e a esfera é um sólido geométricoformado por uma superfície curva contínua cujos pontosestão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamadocentro. Utilizar como ferramenta de ilustração do conteúdode geometria e topologia.Celso Costa em sua tese de doutorado no IMPA (Rio deJaneiro), exibiu em 1982 um exemplo de uma superfície mínimacom certas propriedades especiais. Esta superfície, que éconhecida no mundo inteiro como a ssuuppeerrffíícciiee ddee CCoossttaa, foiinspirada, segundo o autor, por um chapéu de uma passista deuma escola de samba do Rio de Janeiro.
  20. 20. A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1983), o criador da Teoria dos Fractais,insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos e dosprocessos do mundo real.
  21. 21. Geometria FractalA palavra Fractal vem do Latim “fractus”, que quer dizer fragmentado, fracionado. E mais: “Frac” dá a ideia de fração (parte), e “tal” dá a ideia de total (todo).Fractais são formas geométricas elementares, cujo padrão se replica indefinidamente, gerando complexas figuras que preservam, em cada uma de suas partes,as características do todo. Por isso, podem apresentar dimensão espacial inclusive fracionária. Daí, a ideia de que a parte está no todo e o todo está na parte.2222
  22. 22. Ávila, Geraldo : Cálculo, Funções de uma Variável (vol. 2)LTC, Rio de Janeiro, 1989.Boyer, Carl: História da Matemática, Edgard Blucher, SãoPaulo, 1996.Algumas SugestõesCourant, R; Robbins H.: O Que é a Matemática?, CiênciaModerna, Rio de Janeiro, 2000.Eves, Howard: Introdução à História da Matemática, EditoraUnicamp, Campinas,1990.Russel, B.: História do Pensamento Ocidental, Ediouro, RiodeJaneiro,2001.Smith, D. E.: History of Modern Mathematics, MathematicalMonographs No. 1, Project Gutenberg, 1906.CAMPOS E LOPES, Aldo Peres. Geometria Esférica.Monografia apresentada à II Semana de Iniciação Científica doIMPA. 2005.COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não-Euclidianas.Rio de Janeiro, 2 ed. Interciência, 2001.PETIT, Jean-Pierre. As aventuras de Anselmo Curioso – Osmistérios da Geometria. 1ª edição.Editora: Gráfica Barbosa &Santos, Lda, 1982, Lisboa.BICUDO, I. OPrimeiroLivrodos Elementos deEuclides(tradução). John A.Fossa - Editor geral. Série Textos de HistóriadaMatemática;v.1.Natal:EditoraSBHMat,2001.BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractalparaasaladeaula.BeloHorizonte:Autêntica,2002.KALEFF, Ana Maria M. R. Da rigidez do olhar euclidiano às(im)possilidadesde(trans)formaçãodosconhecimentosgeométricos do professor de Matemática. 2004. 450 f. Tese(DoutoradoemEducação).FaculdadedeEducação,Universidade Federal Fluminense.Niterói.2004.MEC-ParâmetrosCurricularesNacionais–Matemática - 5ª- 8ª Series. Brasília. 1998.Barbosa, J.L. GeometriaEuclidianaPlana. 8ª. Ed.Rio deJaneiro: SBM, 2004.Gans,D.AnIntroductiontoNon-EuclideanGeometry. NewYork,NY:AcademicPress,1973.Lénárt,I.Non-EuclideanAdventuresontheLénártSphere:ActivitiesComparingPlanarandSphericalGeometry.Berkeley:KeyCurriculum,1996.
  23. 23. AGeometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas.(Poincaré)Não há estradas reais para chegar à Geometria.(Euclides de Alexandria)Amatemática, de modo geral, é fundamentalmente a ciência das coisas quesão evidentes por si mesmas.( Felix Klein)"Deuséograndegeômetra.Deusgeometrizasemcessar"."Osnúmerosgovernamomundo"."Nãoentreaquiquemnãofôrgeômetra"."Chama­seretaalinhacujomeioestácolocadosôbreotrajetoentreasduasextremidades".(Platão)"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudamseriamente estaciência acabamtomados de uma espécie de paixão pela mesma. Emverdade, oque proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sima aprendizagem,não e a posse mas a aquisição, não e a presença, mas o ato de atingir a meta".(Gauss Carl Friederich)Os três grandes fundamentos para se conseguirqualquer coisa são, primeiro, trabalho árduo;segundo, perseverança; terceiro, senso comum.Thomas A. Edison
  24. 24. Wanderley Pivatto Brum é natural de Itajaí (SC), graduado em Matemática pelaUniversidade Federal de Santa Catarina (UFSC), pós graduado em Metodologia noEnsino de Matemática, Mestrando em Ensino de Ciências Naturais e Matemática pelaUniversidade Regional de Blumenau (FURB). Atualmente é professor da rede estadual eparticular de Ensino no Estado de Santa Catarina.Este livro destina - se aos docentes que atuam nas escolas de Ensino Fundamental e Médio na disciplina de Matemática. Contempla aspectos que auxiliam nodesenvolvimento do ensino de Geometria, contribuindo junto aos estudantes para a compreensão acerca do tema, de tal modo que a estrutura do conhecimentocientífico assim como seu potencial explicativo possam ser apropriados. Pressupõe que os conhecimentos de Geometria devem se concebidos como parte domundo que o estudante caminha e vive.Elcio Schuhmacher é licenciado em Física pela Universidade Federal de Santa Catarina, mestre em Física edoutor em Química. Atualmente é PROFESSOR DO QUADRO - CONCURSADO da Fundação UniversidadeRegional de Blumenau. Atuando principalmente nos seguintes temas: Construção de Conceitos, Ensino deCiências e Ensino de Física. Atualmente coordena o Mestrado de Ciências Naturais e Matemática, e desenvolvea sua linha de pesquisa nos seguintes temas: Ensino de Física, Educação Tecnológica, Ciências para Todos.
  25. 25. WWAANNDDEERRLLEEYY PPIIVVAATTTTOO BBRRUUMMELCIO SCHUHMACHERO MUNDO SOB A ÓTICA DA GEOMETRIA

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