Física 2
Equilíbrio e Elasticidade
Prof. Dr. Walmor Cardoso Godoi
Departamento de Física - DAFIS
Universidade Tecnológica ...
Agenda
• Equilíbrio de corpos rígidos
• Elasticidade dos objetos não rígidos

Dubai - 829,84 m

Ed. Liberdade, Rio de Jane...
Introdução

“Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.”
Arquimedes (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.)
Bloco em um plano inclinado
Condição
N

fa=mgsenθ
µmgcosθ=mgsenθ

fa

µ=tanθ (máximo)
Portanto
P

θ

θ=29,7 , µ=0,57
θ=60,...
Bloco em um plano inclinado

N
CM

θ = 60o
Equilíbrio

instável

estável

indiferente
Equilíbrio

Centro de massa
Requisitos para o Equilíbrio
• Um corpo rígido está em equilíbrio se

Equilíbrio estático
Condições de Equilíbrio
Translação
do CM

Equilíbrio das forças

Rotação
do CM

Equilíbrio dos torques
Condições de Equilíbrio
Rotação
do CM

Equilíbrio dos torques
Condições de Equilíbrio
Forças coplanares
Teste 1
• Em que condições a barra está em equilíbrio?

x2
O Centro de Gravidade

Petronas Towers, Malásia, g é 0,014% maior na base que no topo (452 m)
CG está 2 cm abaixo do CM
O Centro de Gravidade
Lembrando...
• Coordenadas do CM
uso de contrapesos de chumbo
Teste 2

a) Não
b) No ponto de aplicação de F1
c) 45 N
Exemplo 1
• Na fig. abaixo uma viga homogênea, de comprimento
L e massa m=1,8 kg, está apoiada sobre duas
balanças. Um blo...
eixo de rotação
Generalizando o problema da barra e
balança ...
x

pivô

d

x
Se d=0

x

L
Equilíbrio (limite normal D =0)
Exemplo 2

Resposta: 30 kg
Exemplo 3
Escada de comprimento L
Qual o ângulo máximo permitido?

n2

pivô

parede
sem atrito
p=mg
n1

y

fa=µ.n1
x

piso...
Exemplo 4

P = 50 N, Ps = 20 N, Fbíceps = ?
a = 5 cm, b = 15 cm, c = 30 cm
#experimente
Estruturas indeterminadas
• 3 equações
• Supomos
corpos
rígidos
• Solução:
Considerar
deformações
- Elasticidade
Propriedades Elásticas
• Propriedades mecânicas
Imperfeições nos sólidos

R
Átomo de uma barra de ouro

Trabalho necessário para arrancar 1 átomo de ouro
W= 3,75 eV -> (1eV = 1,6 x 10-19J)
Nanotecno...
Tração e compressão
• Tensão trativa (tração)
Tensão (stress) e Deformação (strain)
• Máquina de Ensaio

Extensômetro de 9,8 mm x 4,6 mm
http://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/applet.html
Tração e Compressão
tensão

onde E é o módulo de Young

deformação

stress

strain
Tração e Compressão
Tensão (stress)
• Tensão de cisalhamento
Cisalhamento
A

onde G é o módulo de cisalhamento
Exemplo 5
Tensão Hidrostática

onde B é o módulo de elasticidade volumétrico
Produção de teias de aranha - Desafio para a nanotecnologia!
Exemplo 6
• Uma mesa tem 3 pernas com 1,0000 m
de comprimento e uma quarta perna
com 1,0005 m (um adicional de d= 0,50
mm)...
Referências
• Halliday & Resnick - Fundamentos de Física,
vol. 2, Cap. 12, 9ª edição, editora LTC.
• Sears & Zemanski – Fí...
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Fisica 02 - Equilíbrio e elasticidade

  1. 1. Física 2 Equilíbrio e Elasticidade Prof. Dr. Walmor Cardoso Godoi Departamento de Física - DAFIS Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR URL: http://dafis.ct.utfpr.edu.br/~godoi E-mail: walmorgodoi@utfpr.edu.br
  2. 2. Agenda • Equilíbrio de corpos rígidos • Elasticidade dos objetos não rígidos Dubai - 829,84 m Ed. Liberdade, Rio de Janeiro Desabou no Centro da cidade, deixando 22 mortos em 25 de janeiro de 2012
  3. 3. Introdução “Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.” Arquimedes (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.)
  4. 4. Bloco em um plano inclinado Condição N fa=mgsenθ µmgcosθ=mgsenθ fa µ=tanθ (máximo) Portanto P θ θ=29,7 , µ=0,57 θ=60,0 , µ=1,73 Correto? Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar? a) Para µ=0,57 (aço sobre aço sem lubrificação) b) Para µ=1,73 (silicone sobre plástico)
  5. 5. Bloco em um plano inclinado N CM θ = 60o
  6. 6. Equilíbrio instável estável indiferente
  7. 7. Equilíbrio Centro de massa
  8. 8. Requisitos para o Equilíbrio • Um corpo rígido está em equilíbrio se Equilíbrio estático
  9. 9. Condições de Equilíbrio Translação do CM Equilíbrio das forças Rotação do CM Equilíbrio dos torques
  10. 10. Condições de Equilíbrio Rotação do CM Equilíbrio dos torques
  11. 11. Condições de Equilíbrio Forças coplanares
  12. 12. Teste 1 • Em que condições a barra está em equilíbrio? x2
  13. 13. O Centro de Gravidade Petronas Towers, Malásia, g é 0,014% maior na base que no topo (452 m) CG está 2 cm abaixo do CM
  14. 14. O Centro de Gravidade
  15. 15. Lembrando... • Coordenadas do CM
  16. 16. uso de contrapesos de chumbo
  17. 17. Teste 2 a) Não b) No ponto de aplicação de F1 c) 45 N
  18. 18. Exemplo 1 • Na fig. abaixo uma viga homogênea, de comprimento L e massa m=1,8 kg, está apoiada sobre duas balanças. Um bloco homogêneo, de massa M= 2,7 kg, está apoiado na viga, com o centro a uma distância L/4 da extremidade esquerda da viga. Quais são as leituras das balanças?
  19. 19. eixo de rotação
  20. 20. Generalizando o problema da barra e balança ... x pivô d x Se d=0 x L Equilíbrio (limite normal D =0)
  21. 21. Exemplo 2 Resposta: 30 kg
  22. 22. Exemplo 3 Escada de comprimento L Qual o ângulo máximo permitido? n2 pivô parede sem atrito p=mg n1 y fa=µ.n1 x piso com atrito
  23. 23. Exemplo 4 P = 50 N, Ps = 20 N, Fbíceps = ? a = 5 cm, b = 15 cm, c = 30 cm
  24. 24. #experimente
  25. 25. Estruturas indeterminadas • 3 equações • Supomos corpos rígidos • Solução: Considerar deformações - Elasticidade
  26. 26. Propriedades Elásticas • Propriedades mecânicas Imperfeições nos sólidos R
  27. 27. Átomo de uma barra de ouro Trabalho necessário para arrancar 1 átomo de ouro W= 3,75 eV -> (1eV = 1,6 x 10-19J) Nanotecnologia -> Para arrancar um único átomo é necessário uma distância d= 4x10-10 m = 0,4 nm 1. Qual é a força necessária para arrancar um único átomo? Resposta: 1,5 nN 2. Se uma seção transversal da barra de ouro possui 1,6 x 1015 átomos/cm2, qual é a força necessária para arrancar átomos de uma seção de 2 cm2? Resposta 4,8 x 106 N
  28. 28. Tração e compressão • Tensão trativa (tração)
  29. 29. Tensão (stress) e Deformação (strain) • Máquina de Ensaio Extensômetro de 9,8 mm x 4,6 mm
  30. 30. http://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/applet.html
  31. 31. Tração e Compressão tensão onde E é o módulo de Young deformação stress strain
  32. 32. Tração e Compressão
  33. 33. Tensão (stress) • Tensão de cisalhamento
  34. 34. Cisalhamento A onde G é o módulo de cisalhamento
  35. 35. Exemplo 5
  36. 36. Tensão Hidrostática onde B é o módulo de elasticidade volumétrico
  37. 37. Produção de teias de aranha - Desafio para a nanotecnologia!
  38. 38. Exemplo 6 • Uma mesa tem 3 pernas com 1,0000 m de comprimento e uma quarta perna com 1,0005 m (um adicional de d= 0,50 mm). Todas feitas de madeira com área de seção reta de A=1,0 cm2 (E=1,3 x1010N/m) • Cilindro de aço M=290 kg (massa da mesa muito menor) • Quais são os módulos das forças que o chão exerce sobre as pernas da mesa?
  39. 39. Referências • Halliday & Resnick - Fundamentos de Física, vol. 2, Cap. 12, 9ª edição, editora LTC. • Sears & Zemanski – Física I, Mecânica, 12ª edição, Pearson, Cap 11, 2008.

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