Os sólidos platônicos

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Aula em 25 slides sobre sólidos platônicos, com atividades utilizando o software Pedagoguery Poly.

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Os sólidos platônicos

  1. 1. Os sólidos Platônicos
  2. 2. História Os sólidos platônicos são conhecidos desde a antiguidade. Foram encontradas pequenas peças de pedra arredondadas, esculpidas pelos povos neolíticos que habitavam a região da atual Escócia que já era uma representação de suas propriedades.
  3. 3. História Os antigos gregos estudaram os sólidos platônicos à exaustão. Algumas fontes históricas (como Proclo) creditam a Pitágoras sua descoberta.Outras evidências sugerem que ele apenas conheceu o tetraedro, o hexaedro (cubo) e o dodecaedro.
  4. 4. História Nesse caso, a descoberta do octaedro e do icosaedro foram atribuídas a outro matemático grego: Teeteto, amigo de Platão. De qualquer forma, foi Teeteto quem deu uma descrição matemática outros poliedros regulares convexos.
  5. 5. História Os sólidos Platônicos são proeminentes na filosofia de Platão, como o próprio nome já diz. Platão tratou deles no diálogo de sua autoria entitulado Timeu onde ele os associa com cada um dos quarto elementos clássicos (terra, ar, água e fogo).
  6. 6. As chamas do fogo parecem afiadas e pontiagudas, como um tetraedro. Este, portanto, representa o fogo.
  7. 7. O ar é feito do octaedro ; seus componentes minúsculos são tão suaves que quase podemos sentir.
  8. 8. Água, o icosaedro, parece fluir pela mão de quem tentar agarrá-lo, como se ele é fosse feito de minúsculas bolinhas.
  9. 9. Por contraste, um sólido altamente nãoesférico como o hexaedro – o cubo – representa a terra. O cubo, por seu formato, é o responsável pela solidez do mundo terrestre.
  10. 10. O quinto sólido platônico, o dodecaedro, é muito obscuramente tratado por Platão: "... o deus usou para organizar as constelações de todo o céu ". Aristóteles, posteriormente, acrescentou um quinto elemento, Aither ( éter em latim) e postulou que os céus foram feitos deste elemento , mas ele não tinha nenhum interesse em combinar isso com o quinto sólidos de Platão.
  11. 11.    Por excêntrica e fantástica que esta teoria possa parecer a nós, nos séculos XVI e XVII foi levada a sério. Mesmo que não fosse completamente aceita, como quando Johanes Kepler começou suas buscas sobre a ordem matemática no mundo à sua volta. Os desenhos reproduzidos na figura são ilustrações do próprio Kepler sobre a teoria atómica de Platão.
  12. 12. Propriedades • Em geometria um sólido platônico  é um  poliedro convexo onde: 1. Todas as faces são polígonos congruentes e regulares 2. O mesmo número de arestas encontra-se em todos os vértices
  13. 13. Atividades Clique no ícone do programa Poly
  14. 14. Tetraedro Observe um tetraedro no Poly, e responda: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Quantas Faces ele possui? Quantas Arestas ele possui? Quantos Vértices ele possui? Quantos Vértices por face ele possui? Quantos Encontros de faces em cada vértice ele possui? Qual polígono compõe as faces desse sólido?
  15. 15. Hexaedro (Cubo) Observe um cubo no Poly, e responda: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Quantas Faces ele possui? Quantas Arestas ele possui? Quantos Vértices ele possui? Quantos Vértices por face ele possui? Quantos Encontros de faces em cada vértice ele possui? Qual polígono compõe as faces desse sólido?
  16. 16. Octaedro Observe um octaedro no Poly, e responda: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Quantas Faces ele possui? Quantas Arestas ele possui? Quantos Vértices ele possui? Quantos Vértices por face ele possui? Quantos Encontros de faces em cada vértice ele possui? Qual polígono compõe as faces desse sólido?
  17. 17. Dodecaedro Observe um dodecaedro no Poly, e responda: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Quantas Faces ele possui? Quantas Arestas ele possui? Quantos Vértices ele possui? Quantos Vértices por face ele possui? Quantos Encontros de faces em cada vértice ele possui? Qual polígono compõe as faces desse sólido?
  18. 18. Icosaedro Observe um tetraedro no Poly, e responda: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Quantas Faces ele possui? Quantas Arestas ele possui? Quantos Vértices ele possui? Quantos Vértices por face ele possui? Quantos Encontros de faces em cada vértice ele possui? Qual polígono compõe as faces desse sólido?
  19. 19. Relação de Euler em poliedros regulares Verifique se nos sólidos platônicos também se cumpre a relação de Euler! F + V – A = 2 ou F + V = A + 2 onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
  20. 20. Por que não há mais sólidos platônicos? Como já foi dito, os gregos já haviam provado que só podem haver 5 sólidos com as propriedades dos sólidos platônicos. A chave para essa demonstração está no fato de que os ângulos internos dos polígonos que se encontram em um vértice do poliedro devem somar menos que 360º .
  21. 21. Assim... • Tetraedro: 3 triângulos em um vértice: 3 x 60 = 180 graus • Octaedro: 4 triângulos em um a vértice: 4 x 60 = 240 graus
  22. 22. • Icosaedro: 5 triângulos • • em um vértice: 5 x 60 = 300 graus Cubo: 3 quadrados em um vértice: 3 x 90 = 270 graus Dodecaedro: 3 pentágonos em um vértice: 3 x 108 = 324 graus
  23. 23. Acompanhe nas planificações do Poly e... 1. Responda: Por que a soma dos ângulos não pode ser igual a 360? 2. E se tentássemos fazer um poliedro de: • • • • 6 triângulos por vértice: 4 quadrados por vértice: 4 pentágonos por vértice: 3 hexágonos por vértice: Conseguiríamos? Por que?
  24. 24. Investigue mais sobre o tema: Na internet: • http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid# History (em inglês) • http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com (em português) • http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/mathso (em inglês)
  25. 25. Até a próxima!!

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