1. 1
06/10/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM

2. 2
 Metode Integrasi Numerik→metode integrasi yg berhubungan
langsung dgn data percobaan.
Integrasi
Numerik
Gauss’ Method
Simpson’s Rule
Trapezoidal’s
Rule
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

3. 3
 Gambar disamping
menunjukkan penerapan
integrasi numeris dgn
cara trapezoidal yg
dilakukan beruntun pd
daerah harga peubah
(variabel) batas yg
ditinjau.
y
Δx
x
x0=a x1 x2 xi xi+1 xn=b
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

4. 4
 Utk menghitung dgn cara Trapezoidal, daerah
harga antara x=a dan x=b dibagi menjadi interval yg
sama sebanyak n.Δx
 Harga ditunjukkan sebagai jumlah luas trapesium
yg terbentuk.
 Tinjau bagian luasan antara xi dan xi+1 pd gambar yg
merupakan salah satu trapesium yg terbentuk.

b
y dx
a

b
y dx
a
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

5. 5
 Integral dpt didekati dgn luas trapesium yg terbentuk.
Sehingga:
 Integral dpt didekati dgn jumlah luas semua
trapesium yg terbentuk seperti terlihat pd gbr di atas.
atau
 Cara ini disebut Cara Trapezoidal n+1 titik, krn
menggunakan n+1 titik ordinat.

xix
y dx
xi
     2 i i 1 i i 1
1
xi x
y y
2
x
y y
n
b - a
y dx  



  



 
xi

b
y dx
a




    



 

 2
y
y y ...
2
y
n
b - a
y dx n
1 2
0
x b
x a
  0 1 2 n-1 n
x b
y 2y 2y ... y y
2
x
y dx     

 

xa
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 5

6. 6
 Contoh:
Diket data hubungan y dan x ditunjukkan dlm tabel.
Tentukan dgn cara Trapezoidal 2 ttk, 3 ttk dan
5 ttk.
x 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
y 0.343 0.512 0.729 1.0 1.331



x 1.1
0.7
y dx
x
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 6

7.  Penyelesaian:
 Trapezoidal 2 ttk:
 Trapezoidal 3 ttk:
 Trapezoidal 5 ttk:
 Trapezoidal→hasil makin baik dgn makin kecilnya Δx, atau
makin banyaknya jumlah ttk ordinat x yg diperhitungkan.
0.343 1.331 0.3348
2
1.1 0.7
y dx
x 1.1
0.7
 

 

x
0.343 2(0.729) 1.331 0.3132
4
1.1 0.7
y dx
x 1.1
0.7
  

 

x
0.343 2(0.512) 2(0.729) 2(1) 1.331 0.3078
8
1.1 0.7
y dx
x 1.1
0.7
    

 

x
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 7

8. 8
Cara Simpson menggunakan persamaan polynomial order-3 dan yg melalui 3 ttk yg equidistant (berjarak sama). Bentuk persamaannya: y=a0+a1x+a2x2+a3x3
Substitusikan peubah baru z dgn menggunakan persamaan: z=(x-x1)/h, sehingga dz=(1/h) dx
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

9. 9
 Integrasi fungsi y pd daerah
harga x dari x=x0 sampai x=x2
dpt ditulis:
 Dan 3 ttk ordinat y0, y1, y2
berturut2 pd z=-1, z=0 dan z=+1
y
y1
y0
h
x
h
x1 x2
x0
y2
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
9
 Jika interval (x) besar dan penurunan dari nilai
y tidak tajam, maka cara Simpson lebih baik
y 4y y 
3
x
y dx 0 n m
xm
xn
 

 

10. Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
10
y
y1
y0
h
x
h
x1 x2
x0
y2
xn xm
        0 1 2 2 3 4 4 5 6 n-2 n-1 n
xm
xn
y 4y y
3
x
y 4y y ...
3
x
y 4y y
3
x
y 4y y
3
x
y dx  

   

  

  

 
(y 4y 2y 4y ... 2y 4y y )
3
x
y dx 0 1 2 3 n-2 n-1 n
xm
xn
     

 

11.  Contoh soal
Tentukan hasil integrasi dari
Dengan x= 0.5
Penyelesaian:
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 11
 
4
1
2 (x 1) dx
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
(y 4y 2y 4y 2y 4y y )
3
x
(x 1) dx 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
4
1
2      

  
((1 1) 4(2,25 1) 2(4 1) 4(6,25 1) 2(9 1) 4(12,25 1) (16 1))
3
0,5
(x 1) dx
4
1
2                
(2 10 10 29 20 53 17) 24
3
0,5
(x 1) dx
4
1
2          

12. Bagaimana hasil soal di atas jika diselesaikan dengan metode trapezoidal ?
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
12

13. Tentukan hasil integrasi dari x= 0.5
Dengan metode Trapizoidal Rule dan Simpson Rule
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 13
 
5
1
ln x 2x dx

14. Efisien→menggunakan 3 ttk ordinat dapat menghitung integral dari fungsi polynomial berpangkat linier.
Dgn n ttk data ordinat yg diket, hanya integral fungsi polynomial berpangkat 2n-1 dpt dihitung dgn cara Gauss.
Cth: penjabaran utk menghitung integral fungsi polynomial berpangkat linier→3 ttk ordinat→2(3)-1=5. Bentuk fungsi polynomial berpangkat linier:y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
14

15. 15
 Bagaimana cara Gauss menghitung
 Substitusikan peubah baru u dgn persamaan:
 Dgn N→harga rata2 dari y pd daerah harga x
antara x=a dan x=b.

b
y dx
a
y du Nb - a
2
b - a
y dx
du dan
2
b - a
u sehingga dx
2
b - a
2
a b
x
1
-1
 
 


 
b 
a
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

16.  Karena x linier thd n,maka:
y=a0’+a1’u+a2’u2+a3’u3+a4’u4+a5’u5 dan bila
selanjutnya disubstitusikan ke persamaan,
diperoleh:
 Setelah diselesaikan lebih lanjut, didapat:
    


     
1
1
5
5
4
4
3
3
2
0 1 2 a ' a 'u a 'u a 'u a 'u a 'u du N b - a
2
b - a
5
a '
3
a '
N a ' 2 4
0   
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 16

17. N adalah harga rata2 dr y pd daerah x=a sampai x=b dan utk dpt dipenuhi oleh 3 ttk, maka: N=K1y1+K2y2+K3y3, dengan K1,K2,K3 adalah konstanta dan y1,y2,y3 adalah harga ordinat 3 ttk yg berhub dgn harga u pd x1,x2,x3 yg akan ditetapkan harganya pula.
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
17

18.  Prinsip identik berlaku utk N, sehingga:
 Persamaan di atas diselesaikan secara simultan,
diperoleh:
   
 
     
     5 
3 3
5
2 2
5
5 1 1
4
3 3
4
2 2
4
4 1 1
3
3 3
3
2 2
3
3 1 1
2
3 3
2
2 2
2
0 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 1 1
2 4
0
5
5 5
4
4 4
3
3 3
2
3 0 1 3 2 3
5
5 2
4
4 2
3
3 2
2
2 0 1 2 2 2
5
5 1
4
4 1
3
3 1
2
1 0 1 1 2 1
2 4
0
a ' K x K x K x a ' K x K x K x a ' K x K x K x
a ' K K K a ' K x K x K x a ' K x K x K x
5
a '
3
a '
a '
K a ' a 'x a 'x a 'x a 'x a 'x
K a ' a 'x a 'x a 'x a 'x a 'x K a ' a 'x a 'x a 'x a 'x a 'x
5
a '
3
a '
a '
        
          
     
             
5
3
x 0 x
5
3
x -
18
5
K
9
4
K
18
5
K
1 2 3
1 2 3
  
  
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 18

19. 19
Harga2 K dan u utk cara Gauss dgn 2,3,4 dan 5 ttk ordinat, sbb:
n=2
K1=1/2
u1=-√1/3
K2=1/2
u2=√1/3
n=3
K1=5/18
u1=-√3/5
K2=4/9
u2= 0
K3=5/18
u3=√3/5
n=4
K1=0.1739
u1=-0.8611
K2=0.3261
u2=-0.34
K3=0.3261
u3=0.34
K4=0.1739
u4=0.8611
n=5
K1=0.118436
u1=-0.906180
K2=0.239314
u2=-0.538469
K3=0.284444
u3=0
K4=0.239314
u4=0.538469
K5=0.118436
u5= 0.906180
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
19

20.  Contoh:
Diket pers polynomial y=10+x-x2+x3-x4+x5.
Tentukan dgn cara Gauss 3 ttk.
Penyelesaian: utk a=0 dan b=2,maka:
Dgn 3 ttk ordinat maka harga u:
u 1 u
2
2 0
2
0 2
u
2
b - a
2
a b
x  



 


1.7746
5
3
x 1
5
3
u
u 0 x 1 0 1
) 0.2254
5
3
x 1 (-
5
3
u -
3 3
2 2
1 1
    
    
    

2
0
y dx
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 20

21.  Utk x1=0.2254
y1=10+0.2254-(0.2254)2+(0.2254)3-
(0.2254)4+(0.2254)5=10.18
dgn cara yg sama diperoleh:y2=11 dan y3=21.9
Dgn K1=5/18, K2=4/9, K3=5/18
Maka
N=(5/18)(10.18)+(4/9)(11)+(5/18)(21.9)=13.8
10 x - x x x x dx N(b - a) 13.8(2 - 0) 27.6
2
0
2 3 4 5        
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 21