Dokumen tersebut membahas metode-metode integrasi numerik untuk menyelesaikan integral, yaitu metode trapezoidal, Simpson, dan Gauss. Metode trapezoidal memodelkan daerah luas sebagai jumlah luas trapesium, Simpson menggunakan persamaan polynomial derajat tiga, sedangkan Gauss memodelkan fungsi sebagai polynomial derajat tinggi dan menentukan koefisien polynomialnya.

1. 1
06/10/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM

2. 2
 Metode Integrasi Numerik→metode integrasi yg berhubungan
langsung dgn data percobaan.
Integrasi
Numerik
Gauss’ Method
Simpson’s Rule
Trapezoidal’s
Rule
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

3. 3
 Gambar disamping
menunjukkan penerapan
integrasi numeris dgn
cara trapezoidal yg
dilakukan beruntun pd
daerah harga peubah
(variabel) batas yg
ditinjau.
y
Δx
x
x0=a x1 x2 xi xi+1 xn=b
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

4. 4
 Utk menghitung dgn cara Trapezoidal, daerah
harga antara x=a dan x=b dibagi menjadi interval yg
sama sebanyak n.Δx
 Harga ditunjukkan sebagai jumlah luas trapesium
yg terbentuk.
 Tinjau bagian luasan antara xi dan xi+1 pd gambar yg
merupakan salah satu trapesium yg terbentuk.

b
y dx
a

b
y dx
a
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

5. 5
 Integral dpt didekati dgn luas trapesium yg terbentuk.
Sehingga:
 Integral dpt didekati dgn jumlah luas semua
trapesium yg terbentuk seperti terlihat pd gbr di atas.
atau
 Cara ini disebut Cara Trapezoidal n+1 titik, krn
menggunakan n+1 titik ordinat.

xix
y dx
xi
     2 i i 1 i i 1
1
xi x
y y
2
x
y y
n
b - a
y dx  



  



 
xi

b
y dx
a




    



 

 2
y
y y ...
2
y
n
b - a
y dx n
1 2
0
x b
x a
  0 1 2 n-1 n
x b
y 2y 2y ... y y
2
x
y dx     

 

xa
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 5

6. 6
 Contoh:
Diket data hubungan y dan x ditunjukkan dlm tabel.
Tentukan dgn cara Trapezoidal 2 ttk, 3 ttk dan
5 ttk.
x 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
y 0.343 0.512 0.729 1.0 1.331



x 1.1
0.7
y dx
x
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 6

7.  Penyelesaian:
 Trapezoidal 2 ttk:
 Trapezoidal 3 ttk:
 Trapezoidal 5 ttk:
 Trapezoidal→hasil makin baik dgn makin kecilnya Δx, atau
makin banyaknya jumlah ttk ordinat x yg diperhitungkan.
0.343 1.331 0.3348
2
1.1 0.7
y dx
x 1.1
0.7
 

 

x
0.343 2(0.729) 1.331 0.3132
4
1.1 0.7
y dx
x 1.1
0.7
  

 

x
0.343 2(0.512) 2(0.729) 2(1) 1.331 0.3078
8
1.1 0.7
y dx
x 1.1
0.7
    

 

x
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 7

8. 8
Cara Simpson menggunakan persamaan polynomial order-3 dan yg melalui 3 ttk yg equidistant (berjarak sama). Bentuk persamaannya: y=a0+a1x+a2x2+a3x3
Substitusikan peubah baru z dgn menggunakan persamaan: z=(x-x1)/h, sehingga dz=(1/h) dx
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

9. 9
 Integrasi fungsi y pd daerah
harga x dari x=x0 sampai x=x2
dpt ditulis:
 Dan 3 ttk ordinat y0, y1, y2
berturut2 pd z=-1, z=0 dan z=+1
y
y1
y0
h
x
h
x1 x2
x0
y2
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
9
 Jika interval (x) besar dan penurunan dari nilai
y tidak tajam, maka cara Simpson lebih baik
y 4y y 
3
x
y dx 0 n m
xm
xn
 

 

10. Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
10
y
y1
y0
h
x
h
x1 x2
x0
y2
xn xm
        0 1 2 2 3 4 4 5 6 n-2 n-1 n
xm
xn
y 4y y
3
x
y 4y y ...
3
x
y 4y y
3
x
y 4y y
3
x
y dx  

   

  

  

 
(y 4y 2y 4y ... 2y 4y y )
3
x
y dx 0 1 2 3 n-2 n-1 n
xm
xn
     

 

11.  Contoh soal
Tentukan hasil integrasi dari
Dengan x= 0.5
Penyelesaian:
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 11
 
4
1
2 (x 1) dx
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
(y 4y 2y 4y 2y 4y y )
3
x
(x 1) dx 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
4
1
2      

  
((1 1) 4(2,25 1) 2(4 1) 4(6,25 1) 2(9 1) 4(12,25 1) (16 1))
3
0,5
(x 1) dx
4
1
2                
(2 10 10 29 20 53 17) 24
3
0,5
(x 1) dx
4
1
2          

12. Bagaimana hasil soal di atas jika diselesaikan dengan metode trapezoidal ?
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
12

13. Tentukan hasil integrasi dari x= 0.5
Dengan metode Trapizoidal Rule dan Simpson Rule
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 13
 
5
1
ln x 2x dx

14. Efisien→menggunakan 3 ttk ordinat dapat menghitung integral dari fungsi polynomial berpangkat linier.
Dgn n ttk data ordinat yg diket, hanya integral fungsi polynomial berpangkat 2n-1 dpt dihitung dgn cara Gauss.
Cth: penjabaran utk menghitung integral fungsi polynomial berpangkat linier→3 ttk ordinat→2(3)-1=5. Bentuk fungsi polynomial berpangkat linier:y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
14

15. 15
 Bagaimana cara Gauss menghitung
 Substitusikan peubah baru u dgn persamaan:
 Dgn N→harga rata2 dari y pd daerah harga x
antara x=a dan x=b.

b
y dx
a
y du Nb - a
2
b - a
y dx
du dan
2
b - a
u sehingga dx
2
b - a
2
a b
x
1
-1
 
 


 
b 
a
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II

16.  Karena x linier thd n,maka:
y=a0’+a1’u+a2’u2+a3’u3+a4’u4+a5’u5 dan bila
selanjutnya disubstitusikan ke persamaan,
diperoleh:
 Setelah diselesaikan lebih lanjut, didapat:
    


     
1
1
5
5
4
4
3
3
2
0 1 2 a ' a 'u a 'u a 'u a 'u a 'u du N b - a
2
b - a
5
a '
3
a '
N a ' 2 4
0   
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 16

17. N adalah harga rata2 dr y pd daerah x=a sampai x=b dan utk dpt dipenuhi oleh 3 ttk, maka: N=K1y1+K2y2+K3y3, dengan K1,K2,K3 adalah konstanta dan y1,y2,y3 adalah harga ordinat 3 ttk yg berhub dgn harga u pd x1,x2,x3 yg akan ditetapkan harganya pula.
Program Studi Teknik Kimia UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
17

18.  Prinsip identik berlaku utk N, sehingga:
 Persamaan di atas diselesaikan secara simultan,
diperoleh:
   
 
     
     5 
3 3
5
2 2
5
5 1 1
4
3 3
4
2 2
4
4 1 1
3
3 3
3
2 2
3
3 1 1
2
3 3
2
2 2
2
0 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 1 1
2 4
0
5
5 5
4
4 4
3
3 3
2
3 0 1 3 2 3
5
5 2
4
4 2
3
3 2
2
2 0 1 2 2 2
5
5 1
4
4 1
3
3 1
2
1 0 1 1 2 1
2 4
0
a ' K x K x K x a ' K x K x K x a ' K x K x K x
a ' K K K a ' K x K x K x a ' K x K x K x
5
a '
3
a '
a '
K a ' a 'x a 'x a 'x a 'x a 'x
K a ' a 'x a 'x a 'x a 'x a 'x K a ' a 'x a 'x a 'x a 'x a 'x
5
a '
3
a '
a '
        
          
     
             
5
3
x 0 x
5
3
x -
18
5
K
9
4
K
18
5
K
1 2 3
1 2 3
  
  
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 18

19. 19
Harga2 K dan u utk cara Gauss dgn 2,3,4 dan 5 ttk ordinat, sbb:
n=2
K1=1/2
u1=-√1/3
K2=1/2
u2=√1/3
n=3
K1=5/18
u1=-√3/5
K2=4/9
u2= 0
K3=5/18
u3=√3/5
n=4
K1=0.1739
u1=-0.8611
K2=0.3261
u2=-0.34
K3=0.3261
u3=0.34
K4=0.1739
u4=0.8611
n=5
K1=0.118436
u1=-0.906180
K2=0.239314
u2=-0.538469
K3=0.284444
u3=0
K4=0.239314
u4=0.538469
K5=0.118436
u5= 0.906180
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
19

20.  Contoh:
Diket pers polynomial y=10+x-x2+x3-x4+x5.
Tentukan dgn cara Gauss 3 ttk.
Penyelesaian: utk a=0 dan b=2,maka:
Dgn 3 ttk ordinat maka harga u:
u 1 u
2
2 0
2
0 2
u
2
b - a
2
a b
x  



 


1.7746
5
3
x 1
5
3
u
u 0 x 1 0 1
) 0.2254
5
3
x 1 (-
5
3
u -
3 3
2 2
1 1
    
    
    

2
0
y dx
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 20

21.  Utk x1=0.2254
y1=10+0.2254-(0.2254)2+(0.2254)3-
(0.2254)4+(0.2254)5=10.18
dgn cara yg sama diperoleh:y2=11 dan y3=21.9
Dgn K1=5/18, K2=4/9, K3=5/18
Maka
N=(5/18)(10.18)+(4/9)(11)+(5/18)(21.9)=13.8
10 x - x x x x dx N(b - a) 13.8(2 - 0) 27.6
2
0
2 3 4 5        
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II 21