29. §H- 29 -
D() =
0sincos
00
101
ll
=0;
cosl = 0. l = (2k – 1)
2
víi k = 1. 2. 3. … Khi k = 1.
Tõ =
EI
P
P = EI2
Pth = 2
2
4l
EJ
= 2,467 2
l
EJ
KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ tinh theo c«ng thøc ¥le.
1.5. thiÕt lËp vµ gi¶i ph¬ng tr×nh ®¹i sè
Thø tù tÝnh to¸n :
- Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch.
- LËp ph¬ng tr×nh ®¹i sè liªn hÖ c¸c chuyÓn vÞ t¹i c¸c ®iÓm kh¶o s¸
- Khi hÖ mÊt æn ®Þnh c¸c nghiÖm y 0 ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh .
- Gi¶i vµ t×m ra lùc tíi h¹n.
30. §H- 30 -
* VÝ dô 1.4 : Cho hÖ nh vÝ dô 1.3.
l
z
p
p=1
l
p
p
H×nh 1.14
Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch nh h×nh vÏ 1.14a. §é lÖch t¹i ®Çu cét lµ .
34. §H- 34 -
- Cho TV ta t×m ®îc lùc tíi h¹n.
* VÝ dô 1.6 : TiÕn hµnh cho vÝ dô 1.3.
y
pz
z
l
y
Chän hµm sè y = (1 - cos
l
z
2
) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn :
35. §H- 35 -
y,
=
l2
sin
l
z
2
; y,,
= 2
2
4l
cos
l
z
V =
2
1
l
l
EJ
dz
l
z
l
EJ
0
3
422
2
2
642
cos
4
.
T =
2
1
P
l
l
Pdz
l
z
l0
2
2
2
162
sin
2
Cho V = T 3
4222
6416 l
EJ
l
P
.
Pth = 2
2
4l
EJ
. KÕt qu¶ chÝnh x¸c v× ®êng ®µn håi ®óng nh ®· chän.
1.7. Ph¬ng ph¸p ritz
Dùa trªn c¬ së nghiªn cøu thÕ n¨ng toµn phÇn :
U = U0 + V - T
37. §H- 37 -
T =
l
dzy
P
0
2,
2
=
l
P
0
2
(2f1z + 4 f2z3
)2
dz. = 2Pl3
(
2
1
f2
1 +
5
4
f1f2l2
+
7
4
f2
2
l4
)
VËy U = U0 + V - T ; cho
1f
U
= 0,
2f
U
= 0.
Ta cã :
0)
7
2
5
18
()
5
(
0)
5
2
2()
3
(
2
42
1
2
2
22
1
2
fl
P
EJlf
l
PEJ
fl
P
EJlfl
P
EJ
Khi mÊt æn ®Þnh f1, f2 kh¸c kh«ng, D = 0. §Æt P*
=
EJ
Pl2
Khai triÓn ®Þnh thøc : P*2
– 45P*
+ 105 = 0 P*
= 2,5
Pth = 2,5 2
l
EJ
. So s¸nh, sai sè b»ng 1,2%.
38. §H- 38 -
2. æn ®Þnh c¸c thanh th¼ng
2.1. Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t ®êng ®µn håi trong thanh chÞu uèn däc
XÐt thanh nh h×nh vÏ :
z
p
m0 y0
q0
y
y
z
p
m
q
p
m+dm
q
dy
dz
Trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng :
y,
0
39. §H- 39 -
Mz = M0 + Q0z + P(y – y0) ; y,,
= -
EJ
M
y,,
= -
EJ
yyPzQM )( 000
, gäi 2
=
EJ
P
.
y,,
+ 2
y = -
EJ
PyzQM 000
NghiÖm tæng qu¸t :
y =Asinz + Bcosz -
EJ
PyzQM
2
000
y,
= Acosz - Bsinz -
EJ
Q
2
0
§iÒu kiªn biªn z = 0 ;
y0 = B -
EJ
PyM
2
00
; y,
0 = A -
EJ
Q
2
0
.
A =
,
0y
+
EJ
Q
3
0
; B =
EJ
M
2
0
.
40. §H- 40 -
Ta cã : y = y0 +
,
0y
sinz - EJ
M
2
0
(1 - cosz) - EJ
Q
3
0
(z - sinz)
Ph¬ng tr×nh gãc xoay vµ ®é vâng nh sau:
y,
= y0
,
cosz -
EJ
M
0
sinz -
EJ
Q
2
0
(z - cosz).
M = -EJy,,
= EJ y0
,
sinz + M0 cosz +
0Q
sinz
Qz =
dz
dM - P
dz
dy = Q0
§èi víi ®o¹n m +1 :
ym+1=ym+y+
y,
sin(z–a)-
EJ
M
2
(1–cos(z- a)) -
EJ
Q
3
((z–a)-sin(z–a))
y,
m+1 = y,
m + y,
cos(z- a) -
EJ
M
sin(z- a) -
EJ
Q
2
(1- cos(z – a))
Mm+1 = Mm + EJy,
sin(z- a) + M cos(z- a) +
Q
sin(z- a)
Qm+1 = Qm + Q
47. §H- 47 -
D =
l
EJy
l
l
EJy
ll
cos
cos1
sinsin
1
2
3
= 0.
§Æt v = l Khai triÓn tgV = V – V3
y .3
l
EJ
Gi¶i b»ng ®å thÞ : y = 0 tøc gèi cøng ph¬ng tr×nh æn ®Þnh tgV = V ;
V = 4,493. Pth = 2
2
)7,0( l
EJ
t¬ng tù mét ®Çu ngµm mét ®Çu khíp.
* VÝ dô 2.2 : Cho khung nh h×nh vÏ, t×m Pth.
48. §H- 48 -
p
b c
da
ej=
jj
l
r
p
HÖ sè ®µn håi y chÝnh lµ chuyÓn vÞ ®Çu C cña thanh CD. Khi chÞu lùc P = 1, ta thếy
y =
EJ
l
3
3
. Thay vµo : tgV = V – V3
y = V -
3
3
V
.
Gi¶i b»ng ®å thÞ : V = 2,16 ; Pth = 2
66,4
l
EJ
2.3. æn ®Þnh thanh cã lùc ®Æt däc theo chiÒu dµi thanh
1.Thanh 2 ®Çu tùa khíp
51. §H- 51 -
HoÆc : tg1a =
b
lb
b
1
3
22
1
1
Khi a = b =
2
l
®Æt V = 2l ; tg
2
V
=
36
6
2
V
V
; V = 4,32 vµ Pth = 18,66 2
l
EJ
2. Thanh mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm
l
p1
p2
z
y
l1
l2
52. §H- 52 -
Chia thµnh 2 ®o¹n.
- §o¹n thø nhÊt : 0 < Z < l1
y1 = y0 + y,
0
1
1sin
z
; y,
1 = y,
0 cos1z.; M1 = 1EJ y,
0 sin1z; Q,
= M,
1 – P1y,
1 = 0 ; 2
1
=
EJ
P1
.
- §o¹n thø 2 : gèi t¹i ®iÓm ®Æt lùc P2 0 < Z < l2; 2
2
=
EJ
PP 21
.
y2(0) = y1l1 = y0 + y,
0
1
11sin
l
; y,
2(0) = y,
1 (l1) = y,
0 cos1l1
M2(0) = M1 (l1) = P1
1
,
0
y
sin1l1 ; Q2(0) = Q(l1) = 0
Vµ y2 = [y0+ y,
0
1
11sin
l
]+y,
0
2
11cos
l
sin2z-
21
1
PP
P
.
1
,
0
y
sin1l1(1 - cos2z).
y,
2 = y,
0 cos1l1 cos2z -
21
1
PP
P
2
1
,
0
y
sin1l1 sin2z .
53. §H- 53 -
§iÒu kiÖn biªn ë ngµm : z = l2 ; y2(l2) = 0 ; y,
2(l2) =
Ta ®îc ph¬ng tr×nh , ®Ó tån t¹i y0 ; y,
0 ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
cos1l1 cos2l2 [1 -
21
1
PP
P
.
1
2
tg1l1tg2l2 ] = 0
3 trêng hîp x¶y ra : cos1l1 = 0
cos2l2 = 0
tg1l1tg2l2 =
21
1
PP
P
.
2
1
=
1
2
.
VÝ dô 2.3 : Cho hÖ nh h×nh vÏ.
54. §H- 54 -
l/2
l/2
3p
p
§Æt 1=
EJ
P
= ; 2=
EJ
PP 3
= 2
EJ
P
= 2.
Ta cã : tg
2
V
tgV = 2 víi V = l ; V = 1,23. Pth = 1,232
l
EJ
= 2
513,1
l
EJ
57. §H- 57 -
Ci+2 =
21
2
ii
a
Ci – 1
§iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; t = 0 ; M = -EJy,,
= 0
dt
du
= 0
Z = l. Tøc t = 1. y,
= 0 suy ra u = 0.
LÊy ®¹o hµm u theo t, tõ ®iÒu kiÖn biªn thø nhÊt C1 = 0 ®Ó
dt
du
= C0(-
2
2
a
t2
+
5.3.2
4
a
t5
- …) = 0 víi C0 tån t¹i.
1 -
3.2
2
a
+
6.5.3.2
4
a
-
9.8.6.5.3.2
6
a
- … + = 0
a = 2,799. Qlth = a2
2
l
EJ
= 7,84 2
l
EJ
Chó ý ph¬ng tr×nh cña u lµ :
u = C0 (1 -
3.2
2
a
t3
+
6.5.3.2
4
a
t6
- … ) + C1 + (1 -
4.3
2
a
t3
+
6.5.3.2
4
a
t6
- … )
59. §H- 59 -
y2 = A2sin2z + B2 cos2z + 1 =
1EJ
P
; 2 =
2EJ
P
§iÒu kiÖn biªn: z = 0 ; y,
2 = 0 ; z = l ; y1 =
z = l2 ; y,
1 = y,
2 y,,
1 =
1
2
EJ
EJ
; y,,
2 = 2
2
2
1
y,,
2
Ta cã : A2 = 0
A1sin1l + B1cos1l = 0
A11cos1l2 – B11sin1l2 + B22sin2l2 = 0
A1sin1l2 + B1cos1l2 – B2cos2l2 = 0
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
222121
22
1
2
2121
11
coscossin
sinsincos
0cossin
lll
lll
ll
= 0
60. §H- 60 -
Khai triÓn : tg1l1tg2l2 =
2
1
Trêng hîp thanh chÞu t¶i träng tËp trung : lùc P1 ë ®Ønh, lùc P2 ë chç tiÕp gi¸p 2 ®o¹n. Ta
®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
tg1l1tg2l2 =
2
1
1
21
P
PP
Trong ®ã : 1=
1
1
EJ
P
; 2=
2
21
EJ
PP
VÝ dô 2.5 : Cho EJ2 =
2
3
EJ1 , t×m lùc tíi h¹n.
61. §H- 61 -
l/3
2l/3
j2
j1
p
5p
Trêng hîp nµy 1=
1EJ
P
= ; 2=
2
5
EJ
PP
=
13
2.6
EJ
P
= 2
1l1 =
3
2l
= V; 2l2 = 2.
3
1
= V
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
62. §H- 62 -
tg2
V =
2 P
P6
= 3; tgV = 3 ; V =
3
;
3
2l
1EJ
P
=
3
Ptb = 2
1
2
4l
EJ
Ngêi ta còng ®· lËp cho c¸c trêng hîp kh¸c thµnh b¶ng s½n víi Pth = K2EJ2/l2
b. Thay ®æi theo quy luËt luü thõa
z
0
a
z p
a
ViÖn sÜ A.N Dinnhich lµ ngêi ®Çu tiªn nghiªn cøu lo¹i thanh nµy. J(z) = J1
n
a
z
Trêng hîp thanh cã tiÕt diÖn ®Æc, h kh«ng ®æi b thay ®æi bËc nhÊt, th× n = 1.
70. §H- 70 -
mét trong nh÷ng tÝnh chÊt cho biÕt cña hÖ. Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh nhng c¬ b¶n lµ
hai ph¬ng ph¸p lùc vµ chuyÓn vÞ.
3.2. x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ trong nh÷ng thanh uèn cïng nÐn
XÐt hÖ ë 2 tr¹ng th¸i ,
km = kM
EJ
dsMm
pk
kmp
a. Thanh ®Æt tù do trªn 2 gèi tùa khíp
BiÓu thøc:
Mm= EJy,
0sinz+M0cosz+
0Q
sinz = EJy,
0sinz + c. cosz +
l
cd
sinz
71. §H- 71 -
Khi z = l ; yl = 0.
y,
0 =
EJ
c
tgVV
11
+
EJ
d
VV
1
sin
1
p c d
d
c
mm
mk
a
b
Trong ®ã : V = l.
Thay gi¸ trÞ y,
0 ta cã : Mm = c.cosz +
tgV
c
V
d
sin
sinz
74. §H- 74 -
2 = 2
3
v
v
tgv
v
vtgv
cos
2
1 ;
3 = 2
6
v
v
tgv
vcos
1
3.3. tÝnh æn ®Þnh theo ph¬ng ph¸p lùc
Cho khung siªu tÜnh nh h×nh (3.4), muèn t×m Pth ta tiÕn hµnh nh sau :
a d
c
b
p x1
x2
x3
p
a. Chän hÖ c¬ b¶n :
76. §H- 76 -
* VÝ dô 3.1 : Cho khung nh h×nh vÏ (3.5), t×m lùc tíi h¹n.
p
ej=
l
l
x1
x2
x2
x1
x2=1
m1
p
x1=1
l l
l
m2
x1=1
x2=1
p
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
77. §H- 77 -
D =
2221
1211
= 0 ; V = l
EJ
P
EJ11 =
3
3
l
1(V) +
3
3
l
=
3
3
l
(1 + 1)
EJ22 =
3
4 3
l
;
EJ12 = EJ21 =
2
3
l
D =
EJ
1
2
4
2
2
1
3
33
3
1
3
ll
ll
=
Khai triÓn 4(1 + 1) – 2,25 = 0; 1 = -0,4375,
tra b¶ng V = 2,79; Pth = 2
2
l
EJV
= 7,78 2
l
EJ
78. §H- 78 -
3.4. néi lùc trong thanh chÞu nÐn vµ chuyÓn vÞ cìng bøc
Ta thiÕt lËp c¸c phÇn tö mÉu nµy ®Ó dïng cho ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ.
zp
p
y
a
qb
mb
qa
ma
y
b
l
Dïng y = 0; mb = 0
Qa = Qb = -
l
PMM ba
C¸c th«ng sè ban ®Çu :
80. §H- 80 -
Gi¶i ra ta cã : Ma = 2i[1a + 2b - (1 + 2)
l
];
Mb = 2i[2a + 1b - (1 + 2)
l
];
Qa = Qb = -
l
i2
[(1 + 2)( a + b) - 3
l
]
1 =
tgv
v
2 vtgv
vtgv
2
;
2 =
v
v
sin2
v
v
tg
vv
2
2
sin
;
1 + 2 =
2
1
v
v
tg
v
tgv
2
2
2
2
;
3 =
2
1
v
v
tg
v
2
2
3
81. §H- 81 -
Ta dïng nã ®Ó lËp c¸c mÉu :
D¹ng s¬ ®å Ma Mb Qa = Qb
1
p = 1 b
l
3i1 0 -
l
i3
1
2 p
1
-
l
i3
1 0 2
3
l
i
1
3
= 1 p
4i2 2i2
-
l
i6
3
4 p
-
l
i6
4 -
l
i6
4 2
12
l
i
2
5 p
a
i
tgv
v
-i
v
v
sin
0
82. §H- 82 -
6
= 1 pba
i
tgv
v
-i
v
v
sin
0
7
a
z=1
+ivtgv 0 0
8 p
=1
- ivtgv 0 0
9 l
0 0 - 2
l
i
v2
i =
l
EJ
; 1 =
vtgv
tgvv
3
2
; 2 =
22
8
vv
tgtgv
vtgvv
; 3 =
22
sin4
sin
vv
tgv
vvv
1 =
vtgv
v
3
3
; 2 = 1
2
v
= 4 -
12
2
v
; 3 = 1
2
v
= 4 ;
83. §H- 83 -
3.5. tÝnh æn ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ
a. Chän hÖ c¬ b¶n :
T¬ng tù khi tÝnh vÒ ®é bÒn, cã nghÜa lµ ®Æt thªm c¸c liªn kÕt ng¨n c¶n chuyÓn vÞ th¼ng vµ
xoay cña c¸c nót.
b. Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c :
V× t¶i träng chØ cã lùc nÐn nªn kh«ng xuÊt hiÖn m« men uèn ; Rkp = 0
Ph¬ng tr×nh thø k cã d¹ng :
rk1z1 + rk2z2 + … rkmzm + … rknzn = 0
C¸c hÖ sè rkm = rmk – x¸c ®Þnh tõ c¸c biÓu ®å kM . §iÌu kh¸c biÖt víi khi tÝnh ®é bÒn lµ c¸c
hÖ sè rkm trong ph¬ng tr×nh æn ®Þnh phô thuéc vµo lùc nÐn P. Trong khi ®ã kkm khi tÝnh bÒn chØ
phô thuéc zk = 1.
c. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh.
86. §H- 86 -
4i0
l
z1 z2
z2=1z1=1 p
3i0
0,8p
4i0
8j0
2i0
4i0
3
2(v2)
m1 m2
32i0
2(v1)4i0
8i0
p
b
c
d
a
0,8p
j
j j
j
e
l l
Gäi i0 =
l
EJ
;
- Thanh biÕn d¹ng v2 = l
EJ
P8,0
= v0
89. §H- 89 -
Bµi tËp
III.1. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.1.
III.2. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.2. Cho biÕt: EI = const
H×nh III.1 h×nh III.2.
90. §H- 90 -
III.3. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.3. Cho biÕt: EI = const
III.4. Cho hÖ chÞu lùc P nh trªn H×nh III.1
H×nh III.3 H×nh III.4
T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P t¬ng øng víi hai trêng hîp:
a) khi k = 1;
b) khi k = .
91. §H- 91 -
III.5. Cho hÖ chÞu c¸c lùc P nh trªn h×nh III.5. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P.
H×nh III.5
III.6. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.6, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt: EI = const.
III.7. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.7, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P.
H×nh III.6 H×nh III.7
92. §H- 92 -
III.8. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.8, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh ngang
cã ®é cøng EA = .
III.9. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.9, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh xiªn
AB vµ CD cã ®é cøng E1A1 = 2
2
40
h
EI
.
H×nh III.8
III.10. Cho hÖ chÞu lùc t¸c dông ®èi xøng nh trªn h×nh III.10. LËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh vµ t×m
gi¸ trÞ tíi h¹n cña P khi k = 2 ; l = 2h.
93. §H- 93 -
H×nh III.9 H×nh III.10
III.11. Cho c¸c dÇm liªn tôc chÞu lùc nh trªn c¸c h×nh III.11a, b, c, d. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P.
Cho biÕt c¸c nhÞp dÇm cã chiÒu dµi nh nhau vµ b»ng l ; EI = const .
H×nh III.11
94. §H- 94 -
III.12. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ chÞu lùc P nh trªn h×nh III.12. Cho biÕt: EI = const ; thanh ngang
CD cã ®é cøng EA = .
95. §H- 95 -
4. æn ®Þnh dÇm vµ dµn
4.1. æn ®Þnh dÇm liªn tôc
a. Dïng ph¬ng tr×nh 3 m« men
Dïng ph¬ng ph¸p lùc ®· tr×nh bµy trong ch¬ng 3.
pki-1
li+1li
ki p pki+1
i-1m m i i+1m
p
p
Ph¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi i :
i(i-1)Mi-1 + iiMi + i(i+1)Mi+1 = 0
96. §H- 96 -
XÐt ®o¹n dÇm :
li li+1
p
i-1m =1
i(i-1)
m i
p
p
i+1m
=1 p
i i+1
i(i+1)
=1
ii= i+1 i
m i+1imm i-1
i(i-1) =
i
vii
EJ
l
6
)(
; i(i+1) =
1
1
6
i
i
EJ
l
(vi+1) ii =
i
i
EJ
l
3
(vi) +
1
1
3
i
i
EJ
l
(vi+1)
vi = li
i
i
EJ
Pk
;i = li
iJ
J0
102. §H- 102 -
p
z2
1(v)3i/li
3i1(v)
z2=1
1(v)3i
m1
m2
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh r11 = 0; Lùc c¾t ®Çu thanh : 2
1
3
l
i
1(v)
§é cøng liªn kÕt ®µn håi lµ C th× : r11 = 2. 2
1
3
l
i
1(v) + C = 0.
Víi v = l1
EJ
P
=
2
l
EJ
P
; 1(v) = -
EJ
cl
48
3
.
103. §H- 103 -
Chó ý : i =
1l
EJ
= 2.
l
EJ
. Cã C ta sÏ t×m ®îc v vµ suy ra Pth.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng.
Lóc nµy z1 = 0 ; z2 0. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : r22 = 0. hoÆc 2.3i1(v) = 0.
Ta cã 1(v) = 0 vµ V = ; Pth = 2
2
1l
EJ
= 42
2
l
EJ
.
BiÓu ®å quan hÖ gi÷a ®é cøng gäi ®µn håi C vµ tØ sè lùc tíi h¹n vµ lùc ¥le nh h×nh vÏ
Khi C <162
2
l
EJ
; Pth = 4P¬le thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng kh«ng phô thuéc C.
Khi C > 162
2
l
EJ
thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng.
Gäi EJ lµ ®é cøng thanh chÞu nÐn, EJ1 lµ ®é cøng thanh c¾t ngang. HÖ sè C chÝnh lµ lùc
cÇn t¸c dông t¹i gi÷a nhÞp thanh c¾t sao cho t¹i ®ã cã chuyÓn vÞ b»ng 1.
HoÆc =
1
3
48EJ
cl
= 1. Suy ra C = 3
148
l
EJ
104. §H- 104 -
Thay vµo 1(v) = -
J
J1
cã tØ sè
J
J1
suy ra v vµ Pth = 2
2
)( l
EJ
.
HÖ sè theo b¶ng.
J
J1
0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 2 3 2
/3
0,95 0,912 0,845 0,818 0,793 0,75 0,71 0,58 0,516 0,50
Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng :
Pth = 42
2
l
EJ
tøc = 0,5 hay
J
J1
=
3
2
.
Tøc
J
J1
<
3
2
thanh mÊt æn ®Þnh ®èi xøng ;
Cßn
J
J1
>
3
2
thanh mÊt æn ®Þnh ph¶n xøng.
= 0,5 kh«ng ®æi dï ta t¨ng ®é cøng thanh c¾
b. Thanh liªn tôc 3 nhÞp 2 gèi ®µn håi
105. §H- 105 -
Dïng khi thanh dµn c¾t qua hai thanh.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng hÖ c¬ b¶n nh h×nh 4 – 10.
l0
l
p
1=1
1
p z2=1
p
p
l0 l0 l0
z2
l0/2
106. §H- 106 -
Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
2221
1211
rr
rr
= 0; v = l0
EJ
P
=
3
l
EJ
P
.
§Æt f = 5Cl0
3
/6EJ =
EJ
cl
162
5 3
r11 = 3
0
3
l
EJ
1(v) + C = 3
0
3
l
EJ
[1(v) +
5
2
f]
r22 =
0
3
l
EJ
1(v) +
0
2
l
EJ
2
2
v
tg
v
=
0
3
l
EJ
[1(v) +
3
2
2
2
v
tg
v
]
r12 = r21 = 2
0
3
l
EJ
1(v) thay vµo D vµ khai triÓn
107. §H- 107 -
f =
2
5
2
3
1
]
2
3
1
[
)(1
)(1)(1
2
)(1
v
tg
v
v
tg
v
v
vvv
Khi cã C, tøc cã f, sÏ suy ra v ; Pth = 9v2
2
l
EJ
= 2
2
)( l
EJ
; =
v3
.
Chó ý : l0 =
3
l
.
* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :
D =
2221
1211
rr
rr
= 0
108. §H- 108 -
z2=1p
1
= 11
p
l0 l0/2
z2
p
m2
m1
r22 =
0
3
l
EJ
[1(v) + 21(
2
v
) ] r12 = r21 = 2
0
3
l
EJ
[1(v) - 41(
2
v
) ]
r11 = 3
0
3
l
EJ
1(v) + 3
0
24
l
EJ
1(
2
v
) + C = 3
0
3
l
EJ
[1(v) + 81(
2
v
) +
5
2
f] thay vµo D khai triÓn :
f =
2
5
)
2
(2
)]
2
(2)].[
2
(8[)]
2
(4[
1)(1
1)(11)(1
2
1)(1
v
vvv
v
vvv
109. §H- 109 -
Cã C suy ra f vµ t×m v vµ lùc Pth.
Gi¶ sö thanh c¾t qua cã chiÒu dµi l1 vµ ®é cøng EJ1 c¾t qua 2 ®iÓm. §é cøng C t×m tõ C =
1
trong ®ã lµ chuyÓn vÞ ®¬n vÞ.
EJ1*
= EJ12 =
81
5 3
1l
; =
1
3
1
162
5
EJ
l
; C = 3
1
1
5
162
l
EJ
;f =
162
5
1
3
EJ
cl
=
J
J1
3
1
3
l
l
.
l1
l1/3l1/3l1/3
p=1 p=1
m1
110. §H- 110 -
Tuú theo f ta cã theo biÓu ®å quan hÖ nh h×nh vÏ 4.13. =
v3
.
§êng cong I – khi thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng ; ®êng II – t¬ng øng khi
thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng.
§Æc biÖt khi J1 = J ; l1 = l ; f = 1 vµ = 0,7.Pth = 2
2
)7,0( l
EJ
.
111. §H- 111 -
5. æn ®Þnh dÇm chÞu uèn ph¼ng
5.1. DÇm tiÕt diÖn ch÷ nhËt hÑp uèn thuÇn tuý
m m
z
n
n
l
x
z1
m2
m
mz1
z
nz1
my1
mx1
z1
y
x
x1
y1
t
nz1
my1
a
v
112. §H- 112 -
2
2
dz
vd
= -
xEJ
Mx1
; 2
2
dz
ud
= -
yEJ
My1
;
dz
d
=
zGJ
Mz1
; Jz =
3
3
hb
(1 – 0,03
h
b
)
Tõ h×nh vÏ Mx1 = Mcos M
My1 = Msin M ; Mz1 = Msin M
dz
d
.
Thay vµ
dz
d
=
zGJ
Mz1
.
dz
du
; 2
2
dz
ud
= -
yEJ
M
Cuèi cïng 2
2
dz
d
+ k2
= 0 k = M
zyGJEJ
1
NghiÖm : = Asinkz + Bcoskz. Thay biªn
z = 0 ; = 0 ; z = l ; = 0.
Ta ®îc : Mth =
l
zyGJEJ
115. §H- 115 -
5.3. thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu uèn ngang ph¼ng
a. DÇm trªn hai gèi tùa
Ph¶n lùc ®øng
2
P
; ph¶n lùc m« men xo¾n
2
P
z.
Mx1 =
2
P
z ; My1 = Mx =
2
P
z.;
Mz1 = Mx
dz
du
+
2
P
( - u) =
2
P
z.
dz
du
+
2
P
( - u)
EJy. 2
2
dz
ud
= -
2
P
z.
GJz.
dz
d
=
2
P
z.
dz
du
+
2
P
( - u)
BiÕn ®æi ta ®îc : 2
2
dz
d
+ k2
z2
= 0. k2
=
yz
th
EJGJ
P
4
2
nghiÖm dïng chuçi v« h¹n.
124. §H- 124 -
Trêng ®¹i häc kiÕn tróc hµ néi
Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu
Ts ph¹m v¨n trung
Bµi gi¶ng phÇn II
®éng häc c«ng tr×nh
Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN
Hà nôi, 2014
125. §H- 125 -
1 . Më ®Çu
1.1. Khái niệm.
Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực cơ học kết cấu xuất hiện từ nữa thế kỹ
XIX. Tuy vậy sau thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên
cứu hơn so với các bài toán động. Cho đến nhũng năm 30 của thế kỷ XX môn Động lực học
công trình mới được coi như một phần riêng biệt của Cơ học kết cấu. Hiện nay, với tốc độ phát
triển mạnh của ngành xây dựng và công cụ tính toán hiện đại, đã thúc đẩy rất mạnh việc nghiên
cứu dao động của các công trình cũng như cơ học kết cấu nói chung. Trong khuôn khổ của tài
liệu này, tác giả chỉ đề cập đến những vấn đề rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình: Dao
động của hệ có hữu hạn bậc tự do, dao động của hệ có vô số bậc tự do, sau đó vận dụng để tính
toán một số loại kết cấu thường gặp như: dầm, khung, dàn, vom,... Toàn bộ cuốn sách này trình
bày hạn chế trong phạm vi của lý thuyết dao động tuyến tính: Vật liệu làm việc trong miền đàn
hồi và tuân theo định luật Húc và tính toán theo sơ đồ không biến dạng.
126. §H- 126 -
1.2. Tác dụng tỉnh và tác dụng động.
Trong thực tế, hầu hết các tác động tác dụng lên công trình điều mang đặc tính động: ví dụ
như: gió, sóng, động đất, người, máy móc, phương tiện, công cụ …
Dưới tác dụng của các nguyên nhân này công trình sẽ bị chuyển động. Mặc dù các chuyển vị
phát sinh trong hệ kết cấu là không lớn, nhưng vận tốc và chủ yếu là gia tốc chuyển động có thể
đạt đến giá trị đáng kể, gây nên lực quán tính tác động lên công trình. Đây cũng chính là sự
khác nhau giữa tác dụng tỉnh và tác dụng động.
Tác dụng tỉnh là tác dụng không kèm theo lực quán tính.
Tác dụng động là tác dụng có kèm theo lực quán tính.
1.3. Dao động và cộng hưởng.
Tác dụng động vào công trình, làm có công trình dao động. Nếu tác dụng động lặp có tính
chất chu kỳ thì trong những điều kiện xác định dẫn đến việc bổ sung nặng lượng cho hệ kết cấu,
Biên độ dao động sẽ tăng dần cùng với việc tăng cường độ của lực quán tính gây phá hoại công
trình. Đó là hiện tượng cộng hưởng.
127. §H- 127 -
Với mỗi hệ kết cấu công trình hiện tượng cộng hưởng phụ thược vào chu kỳ dao động T của
lực tác động chứ không phải tải trọng tác dụng trung bình Ptb.của tác động P(t).
t
P
Ptb
Hình 1.1
1.4. Dao động và các ứng dụng.
Khắc phục hiện tượng cộng hưởng, giảm rung, giảm chất cho công trình.
Ứng dụng hiện tượng rung do lệch tâm để chế tạo các thiết bị, công cụ phục vụ lao động sản
xuất và cuộc sống: đầm rung, sàng tuyển vật liệu rời, khoan búa, dụng cụ thẻ thao, chữa bệnh
Động lực học công trình là một phần của môn cơ học kết cấu nghiên cứu về các loại tải
trọng động tác dụng lên công trình và các phản ứng của công trình dưới tác dụng của tải trọng
đó.
128. §H- 128 -
1.5. Dạng tải trọng.
Như trong giáo trình cơ học lú thuyết và sức bền vật liệu ta đã biết: Tải trọng động là tải
trọng khi tác dụng kèm theo lực quán tính. Trong thực tế ta thường gặp một số dạng tải trọng
động sau:
1.5.1. Tải trọng có vị trí không đổi và trị số thay đổi theo thời gian.
Tải điều hòa: khi mô tơ đặt trên dầm khi hoạt động sẽ tác dụng lên dầm một lực
0 sin rtt
P P P .
pt
Hình 1.2
129. §H- 129 -
Tải va chạm:
0
0
:
0 :t
P khi t t
P
khi t t
Tải không đổi đặt tức thời:
0
0
0 :
:t
khi t t
P
P khi t t
1.5.2. Tải trọng thay đổi theo thời gian và một biến không gian.
Tải trọng di động có trị số không đổi: ,z t
P P .
Tải trọng di động có trị số thay đổi: ,
sin rtz t z
P P P .
1.5.3. Tải trọng do gió động (Khí động)
Áp lực của dòng khí quyển chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình:
Áp lực tỉnh:
Áp lực động:
1.5.4. Tải trọng do dòng chảy( thủy động).
Áp lực của dòng nước chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình:
Áp lực tỉnh:do áp lực của chiều cao cột nước
130. §H- 130 -
Áp lực động: do tác dụng của sóng
1.5.5. Tải trọng động đất.
Tải trọng do bề mặt quả đất chuyển động dưới tác dụng của sóng địa chấn.
1.6. Dạng dao động, phân loại dao động.
1.6.1. Phân loại dao động theo dạng dao động.
Dao động hình sin.
Dao động phức tạp có chu kỳ.
Dao động có cản (giảm dần)
Dao động tăng dần.
Dao động nhiễu loạn.
131. §H- 131 -
t
y
AA
t
y T
Hình 1.3 Hình 1.4
t
y
t
y
Hình 1.5 Hình 1.6
1.6.2. Phân loại theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động
Dao động tự do.
Dao động cưỡng bức.
132. §H- 132 -
Tự dao động.
Dao động ngẫu nhiên.
1.6.3. Phân theo sự tồn tại hay không tồn tại lực cản.
Dao động không cản.
Dao động có cản
1.6.4. Phân theo bậc tự do của hệ.
Dao động của hệ có một bậc tự do.
Dao động của hệ có một số bậc tự do.
Dao động của hệ có vô hạn bậc tự do.
1.6.5. Phân theo biến dạng khi dao động.
Dao động ngang.
Dao động dọc.
1.6.6. Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả dao động.
Dao động tuyến tính.
133. §H- 133 -
Dao động phi tuyến.
1.6.7. Phân theo khả năng thay đổi các thông số của hệ.
Dao động không có thông số.
Dao động có thông số.
1.7. Các phương pháp tính toán
1.7.1. Phương pháp chính xác.
Phương pháp này dựa trên cở sở những nguyên tắc cân bằng của lực tỉnh học có bổ sung
thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D’alămpe. Như vậy các phương trình cân bằng tỉnh học
trở thành các phương trình cân bằng động học. Đối với hệ phẳng các phương trình cân bằng
động học có dạng:
2 2 2
2 2 2
0; 0; 0;u
U
d X t d Y t d t
X m Y m M m
dt dt dt
134. §H- 134 -
1.7.2. Phương pháp gần dúng. Bao gồm các phương pháp:
Phương pháp năng lượng. Phương pháp này được xây dựng trên cơ sở định luật bảo
toàn năng lượng của hệ đó. Tổng thế năng và động năng của hệtrong quá trình dao động là
không đổi:
constK U
Các phương pháp số.
Phương pháp hạ số bặc tự do.
Phương pháp chuyển về hệ một bậc tự do.
1.7.3. Phương pháp đúng dần.
1.8. Nhiệm vụ nghiên cứu của môn học.
Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng của các công trình chịu tải trọng động, tránh các khả
năng xãy ra hiện tượng cộng hưởng làm hư hỏng công trình.
135. §H- 135 -
Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực động do tải trọng động gây ra để căn cứ vào đó kiểm
tra độ bền của hệ kết cấu. đảm bảo ứng suất lớn nhất xuất hiện trong hệ kết cấu công
trình không lớn hơn giá trị cho phép.
Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để từ đó kiểm tra độ cứng của hệ kết cấu
công trình đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn hơn chuyển vị cho phép, mặt khác
còn tìm các biện pháp xử lý đối với công trình bị rung động. nghiên cứu cách giảm rung
hiệu quả nhất.
Lập mô hình nghiên cứu dao động.
Xử lý phản ứng.
1.9. Bậc tự do của hệ đàn hồi.
Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định được vị trí của tất cả
các khối lượng trên hệ đó: Hệ một bậc tự do ( Hình 1.6), Hệ hữu hạn bậc tự do (Hình 1.7), Hệ
vô số bậc tự do (hình 1.8)
137. §H- 137 -
2 . Dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do
2.1 Xây dựng phương trình vi phân dao động tổng quát hệ một bậc tự do.
2.2.1. Các lực tác động và các tham số cơ bản của hệ động học.
Xét một mô hình đơn giản cho trên hình 1.1. Hệ gồm một khối lượng M chịu tác dụng của
tải trọng động thay đổi theo thời gian P(t). Hệ được gắn với vật bất động bằng một lò xo đàn
hồi không trọng lượng với độ cứng k và một bộ giảm chấn (Cản nhớt) c biểu thị sự tiêu hao
năng lượng trong quá trình dao động. Khối lượng M được đặt trên các con lăn để đảm chỉ
chuyển động theo phương ngang.
Các tham số vật lý cơ bản của hệ động học cho ở hình trên cũng như mọi hệ kết cấu bất kỳ
dao động tuyến tính bao gồm: khối lượng của hệ, các tính chất đàn hồi của hệ như: độ cứng, độ
mềm, có đặc trung tiêu hao năng lượng trong quá trình dao động và các nguồn kích động cũng
như các tác động từ bên ngoài.
138. §H- 138 -
2.2.2. Dao động riêng.
Xét hệ một bậc tự do dạng một khối lượng tập trung m như hình vẽ.
Lực tập trung t
P tác dụng theo phương thẳng đứng.
Lực quán tính là my ;
Lực cản của môi trường là cy ;
psinrt
y(t)
m
EI
Hình 2.1
Phương trình cân bằng động:
0;t
cy my P (2.1)
139. §H- 139 -
Khi xét dao động riêng ta chưa kể đến tải trọng ngoài t
P ta có:
0;cy my (2.2)
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất dạng:
1 2sin cos ;t
y C t C t (2.3)
Trong đó: ;
c
m
11 11
1
;
t
g g
P y
là tần số dao động góc.
p=1
EI
11
M1
Hình 2.2
1 2;C C là các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện ban đầu:
140. §H- 140 -
Chuyển cị ban đầu: 00
;t
y y
Vận tốc ban đầu: 00
;t
y y
Chu kỳ dao động là khoảng thời gian thực hiện 1 dao động:
2
;T
Tần số dao động là số dao động thực hiện trong 1 đơn vị thời gian:
1
;f
T
Nghiệm của 2 có thể viết dưới dạng:
sin ;t
y A t (2.4)
Trong đó:
2 2
1 2 ;A C C là biên độ dao động.
2
1
;
C
artg
C
Pha ban đầu của dao động.
2 0,2 ;t n pha của dao động.
Thật vậy: sin sin cos sin cos ;t
y A t A t A t
141. §H- 141 -
2 2 2
1 2 1 2
1
cos ; sin ; ;
C
A C A C A C C artg
C
Dùng điều kiện ban đầu ta tìm được:
0
1 2 0; ;
y
C C y
nên:
2
20
0 ;
y
A y
và
0
0sin cos ;t
y
y t y t
(a)
Lấy đạo hàm và chia hai vế cho ta được:
0
0cos sin ;
t
y y
t y t
(b)
Lấy bình phương hai vế của (a) và (b) và cộng theo vế và rút gọn ta có
2 2
2 20
0 const;
t
t
y y
y y
142. §H- 142 -
yyo
yo
y
t
y
AA
T
Hình 2.3
2.2 Dao động cưỡng bức
2.2.1. Xét trường hợp tải trọng điều hòa: 0 sin ;t
P P t
Phương trình vi phân chuyển động có dạng:
0 sin ;my cy P t (2.5)
143. §H- 143 -
Đây là phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất nên nghiệm tổng quát của phương
trình (5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất cộng với một nghiệm riêng của
phương trình không thuần nhất.
Tìm nghiệm riêng của (5) dưới dạng:
2
sin sin ;t
y Y t y Y t (2.6)
Thay (2.6) vào (5) và giản lược sin t ta có:
2 2
0 0sin sin sin ;mY t cY t P t mY cY P (2.7)
Ta có :
0 0
2 2 2
;
P P
Y
m c m
(2.8)
Thay (8) vào (6) ta được:
0
2 2
sin sin ;t
P
y t A t
m
(2.9)
Khi ;y Đây là hiện tượng cộng hưởng
144. §H- 144 -
Miền cộng hưởng là khu vực từ
2
đến
3
2
như hình vẽ:
y
Hình 2.4
2.2.2. Hiện tượng cộng hưởng.
Xét phương trình (5) trong trường hợp có dạng:
0 sin ;my cy P t (2.9)
Tìm nghiệm riêng của (2.9) dưới dạng:
145. §H- 145 -
sin ;t
y kt t (2.10)
Thay (2.10) vào (2.9) ta có:
2
0sin 2 sin sin sin ;mk t t t ckt t P t
Với:
2
02 sin sin ;c m mk t P t
Ta có:
0 0
;
2 2
P P
k
m mc
Do đó:
0
sin sin ;
2
t
P
y t t at t
mc
(2.11)
146. §H- 146 -
t
y
Hình 2.5
Đồ thị có dạng tăng theo thời gian không giới hạn.
Nghiệm tổng quát của (5) có dạng:
0
1 22 2
sin sin cos ;t
P
y t C t C t
m
(2.12)
Dùng điều kiện ban đầu khối lượng m ở vị trí cân bằng không có độ lệch:
147. §H- 147 -
0 0 00; 0; 0;t y y
Ta tìm được hai hằng số tích phân :
0
1 22 2
; 0;
P
C C
m
Nghiệm (2.12) có dạng:
0
2 2
sin sin ;t
P
y t t
m
Biến đổi biểu thức trong ngoặc đơn:
sin sin 2 cos sin sin ;
2 2
t t t t t
148. §H- 148 -
Khi ta bỏ qua số hạng sin t và xem
2
hàm sin
2
t
biến
đổi chậm so với cos cos
2
t t
Ví dụ: 7; 8; Biên độ dao động thay đổi theo chu kỳ, Hiện tượng phách điều hòa của dao
động.
t
y
14sin(0,5t)
14sin(0,5t)
14cos(7,5t)sin(0,5t)
Hình 2.6
149. §H- 149 -
2.2.3. Dao động dưới tác dụng của xung tức thời.
Xung đặt tức thời vào khối lượng có cường độ I (va chạm)
Giả thiết rằng khoảng thời gian tác dụng của lực nhỏ đến mức hệ kết cấu công trình không
kịp phản ứng, nghĩa là xem 0
.I m y
Nếu tại thời gian 0t khối lượng m ở trạng thái tỉnh thì điều kiện ban đầu sẽ là:
0 0; 0 ;
I
y y
m
Sử dụng nghiệm của trường hợp dao động riêng: 1 2sin cos ;t
y C t C t
Với điều kiện ban đầu trên ta có: 2 10; ;
I I
C C
m mc
Phương trình dao động có dạng sin sin ;
I
y t t A t
mc
(2.13)
150. §H- 150 -
t
y
Hình 2.7
Lực không đổi đặt tức thời có cường độ P
Xét trường hợp lực không đổi có cường độ const;P đặt tức thời;
Ta tìm nghiệm dưới dạng: 1 2sin cos ;t
P
y C t C t
c
(2.14)
Từ điều kiện ban đầu: 0 0; 0 0;y y
151. §H- 151 -
Ta có: 2 10; ;
P
C C
c
Do đó 1 cos ;
P
y t t
c
(2.15)
t
y
P/cP/c
Hình 2.8
Chuyển vị lớn nhất bằng 2
P
c
gấp hai lần trường hợp tác dụng tỉnh tuyến tính. Trong bài
toán tuyến tính ứng suất và biến dạng gấp hai lần so với tác dụng tỉnh.
152. §H- 152 -
2.2.4. Dao động dưới tác dụng của lực thay đổi theo quy luật bất kỳ.
Trong trường hợp tổng quát dó tải trong t
P tác dụng, nghiệm riêng của phương trình
chọn dưới dạng:
*
0
1
y sin ;
t
P t d
m
(2.16)
Có thể tìm nghiệm theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrang, ở đây ta đặt (2.16) vào
phương trình tổng quát:
t
my cy P (a)
*
0
*
0
1
cos ;
1
sin ;
t
t
y P t d
m
y P t d
m m
(b)
Thay (b) vào (a) thõa mãn sự cân bằng:
153. §H- 153 -
0 0
1
sin ( ) cos ( )
t t
c
m P t d m P t P t d P t
m m m
nghiệm riêng *
y có tính chất sau * *
y 0 y 0
Nghiệm toàn phần phương trình dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do chịu tải trọng có
quy luật bất kỳ có dạng:
0
1
cos sin cos
t
o
o
y
y t y t t P t d
m
(2.17)
154. §H- 154 -
3 . hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do
3.1. Hệ phương trình dao động.
Xét hệ có n bậc tự do có n khối lượng tập trung im ; i=1, 2, 3, …,n. tương ứng với nó là n
chuyển vị độc lập cần xác định i t
y . Chịu n lực tập trung vào khối lượng i t
P tác dụng theo
phương của chuyển vị. Và n lực quán tính i im y tương ứng với chuyển vị i t
y như hình vẽ. Nếu
thêm số chuyển vị là góc xoay quanh một điểm thì tương ứng với nó ta thay khối lượng bằng
mômen quán tính khối lượng đối với điểm đó.
p sinrt
m
EI
p sinrt
m1 2
1 2 p sinrt
m i
i p sinrt
mn
n
y1
y2 yi
yn
Hình 3.1
155. §H- 155 -
Do đó ngoại lực tại điểm i là :
;i i ii t
R P m y i=1, 2, 3, …,n. (3.1)
Biểu diễn dưới dạng véc tơ ta có:
;R P my
(3.2)
Trong đó:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
...
...
...
...
n
n
n
n
R R R R R
P P P P P
m m m m m
y y y y y
(3.3)
Phương trình cân bằng giữa nội lực và ngoại lực theo có học có dạng:
0;AN R
(3.4)
Trong đó: , ;i jA a là ma trận hệ số; i=1, 2, 3, …,n.
J=1, 2, 3,…, m. m số lượng nội lực trong các phần tử.
1 2 3 ... nN N N N N
véc tơ nội lực (3.5)
Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng
156. §H- 156 -
0; ;T T
A U A U
(3.6)
Trong đó: 1 2 3 ... nU y y y y
véc tơ chuyển vị.
1 2 3 ... n
véc tơ biến dạng.
T
A ma trận chuyển vị của A
Quan hệ giữa nội lực và biến dạng:
;N C
với C là ma trận độ cứng. (3.7)
Thay (3.7) vào (3.6) rồi vào (3.4) ta được:
;T
ACA U R
(3.8)
Chú ý thêm đến lực quán tính ta có:
;T
ACA U my R
(3.9)
Gọi: , ;T
i jACA
i,j=1, 2, 3, …, n.
Khai triển (3.9) ta có:
157. §H- 157 -
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
... ...
... ...
... ...
...
... ...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i i
n n n
y y y y y m y P
y y y y y m y P
y y y y y m y P
y y y y y m y P
y y
3 3 ... ...nj j nn n n n ny y y m y P
(3.10)
Mặt khác ta có thể thiết lập (3.10) theo trình tự như phương pháp chuyển vị.
Coi mỗi khối lượng tập trung như một nút có chuyển vị thẳng theo phương của lực tác
dụng và đặt một liên kết thanh cản trở chuyển động này ta có hệ cơ bản của phương pháp
chuyển vị. Nếu kể đến chuyển vị xoay thì ta tăng thêm ẩn số là chuyển vị xoay của nút.
Hệ phương trình chính tắc với ẩn số là các chuyển vị i t
y có dạng
158. §H- 158 -
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
... ...
... ...
... ...
...
... ...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i i
n n n
y y y y y P m y
y y y y y P m y
y y y y y P m y
y y y y y P m y
y y
3 3 ... ...nj j nn n n n ny y y P m y
Cho 1i t
y và vẽ các biểu đồ iM ta xác định ,i j như các hệ số ,i jr
3.2Giải hệ phương trình.
Nghiệm tổng quát của (3.10) là tổng của hai nghiệm: nghiệm tổng quát của hệ phương
trình thuần nhất (vế phải bằng 0: 0iP ) và nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất
(vế phải khác không: 0iP ).
Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng:
159. §H- 159 -
2
sin ; sin ;i i i i it i t
y A t y A t (3.11)
Thay (3.11) vào (3.10) với 0iP , và sin 0it ta có:
2
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
... ... 0
... ... 0
... ... 0
...
... ... 0
...
.
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i
n n n
A A A A A m A
A A A A A m A
A A A A A m A
A A A A A m A
A A A
2
.. ... 0nj j nn n n nA A m A
(3.12)
160. §H- 160 -
2
11 1 1 12 2 13 3 1 1
2
21 1 22 2 2 23 3 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
... ... 0
... ... 0
... ... 0
...
... ... 0
...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij i j in n
n n n nj j
m A A A A A
A m A A A A
A A m A A A
A A A m A A
A A A A
2
... 0nn n nm A
Điều kiện để tồn tại dao động là:
2
11 1 12 13 1 1
2
21 22 2 23 2 2
2
31 32 33 3 3 3
2
1 2 3
2
1 2 3
j n
j n
j n
i i i ij i in
n n n nj nn n
m
m
m
D
m
m
(3.13)
161. §H- 161 -
Do ý nghĩa vật lý của bài toán, phương trình tần số (3.13) có n nghiệm thực.
1 2 3 ... ...i n
Tần số nhỏ nhất gọi là tần só dao động cơ bản của hệ.
Mọi tổ hợp tần số dao động riêng của hệ được gọi là phổ các tần số của hệ.
3.3 Dao động riêng chính.
Dạng dao động riêng có tính chất trực giao. Tại thời điểm t bất kỳ dạng (chuyển vị) của
kết cấu được xác định theo vị trí của các khối lượng im .
Nếu hệ có n bậc tự do, khi dao động chuyển vị của các khối lượng im phụ thuộc vào phổ
tần số.
Dao động quy ước của hệ ứng với tần số dao động riêng k nào đó gọi là dạng chính thứ k
của dao động.
Xét hai dạng chính thứ k và l ứng với k và l
Phương trình (3.12) ương với k có dạng:
162. §H- 162 -
2
11 1 12 2 13 3 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
...
...
...
k k k k k
n n
k k k k k
n n
k k k k k
n n
k k k k k
i i i in n i i
k k k k k
n n n nn n n n
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
(3.14)
Phương trình (3.12) ương với l có dạng:
163. §H- 163 -
2
11 1 12 2 13 3 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
...
...
...
l l l l l
n n
l l l l l
n n
l l l l l
n n
l l l l l
i i i in n i i
l l l l l
n n n nn n n n
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
A A A A m A
(3.15)
Trong hệ phương trình (3.14) ta nhân phương trình 1 với 1
l
A , phương trình 2 với 2
l
A ,…
Trong hệ phương trình (3.15) ta nhân phương trình 1 với 1
k
A , phương trình 2 với 2
k
A ,…
Chú ý đến ik ki ta thấy tổng vế tái của (3.14) và (3.15) sau khi đã nhân với các số trên là
bằng nhau. Vì vậy tổng các vế phải củng bằng nhau:
164. §H- 164 -
2 2
1 1
n n
k l l k
k i i i l i i i
i i
m A A m A A
(3.16)
Hay: 2 2
1
0
n
k l
k l i i i
i
m A A
Vì k l nên ta có:
1
0
n
k l
i i i
i
m A A
Ta nói các dạng dao động riêng chính có tính chất trực giao.
3.4 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng.
Giả sử tải trọng cưỡng bức có dạng điều hòa:
sin ;ii t
P P t (3.17)
Thay (3.17) vào (3.10) và tìm nghiệm dạng
sin ;ii t
y B t (3.18)
165. §H- 165 -
Thay (3.17) và (3.18) vào (3.10) và giản ước hai vế cho sin t ta có hệ phương trình xác
định iB
2
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
2
21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2
2
31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3
2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
... ...
... ...
... ...
...
... ...
...
j j n n
j j n n
j j n n
i i i ij j in n i i i
n n n
B B B B B m B P
B B B B B m B P
B B B B B m B P
B B B B B m B P
B B
2
3 3 ... ...nj j nn n n n nB B B m B P
Giải hệ phương trình này ta tìm được iB
Ta nhận thấy khi i là nghiệm của (3.12) thì 0D và biên độ tăng vô hạn xuất hiện hiện
tượng cộng hưởng
166. §H- 166 -
Ví dụ 1: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng
hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.
p sinrt
m
EI
l/3 l/3 l/3
p sinrt
m1 2
1 2
4
1 22
2,1.10 ; 6 ; 6 ; 12
1
1 2 1,02 ; 50
KN
E l m P KN P KN
cm
KN
m m m r
m s
167. §H- 167 -
p sinrt
m
EI
l/3 l/3 l/3
p sinrt
m1 2
1 2
y y1 2
1 2
l/3 l/3 l/3
y =11
3EI
l2
6EI
l2
6EI
l2
y =12
6EI
l2
3EI
l2
6EI
l2
168. §H- 168 -
3EI
l3
-12EI
l3
-12EI
l3
11
21
12EI
l3
-3EI
l3
-12EI
l3
2212
1 2
1 2
8 8
11 3 3 3 3
8 8
12 213 3
8 8
22 3 3 3 3
3 12 15 15.2,1.10 .8880.10
34965
2
12 12.2,1.10 .8880.10
27972
2
3 12 15 15.2,1.10 .8880.10
34965
2
EI EI EI
l l l
EI
l
EI EI EI
l l l
169. §H- 169 -
2
11 1 12
2
21 22 2
0;
m
D
m
22 2
2 2
34965 1,02 27972 0
(6993 1,02 )(62937 1,02 ) 0
1
2
6993
82,8
1,02
62937
248,4
1,02
Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng:
Tần số lực kích thích r=50;
Biên độ miền cộng hưỡng:
170. §H- 170 -
Lân cân
1
1
55,282,7
82,8
110,41 3n
Lân cân
1
2
220,882,7
248,4
276,01 3n
y
r=50
Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ:
2
11 1 1 12 2
2
21 1 22 2 2
0
0
m A A
A m A
171. §H- 171 -
Cho A1=1 ta tính được A2
2
11 1
2
12
m
A
Dạng 1;
2
1 2
34965 82,8 1,02
82,8 1
27972
A
m
EI
m1 2
1
1
Dạng 2;
2
1 2
34965 248.4 1,02
248.4 1
27972
A
m
EI
m1 2
1
-1
172. §H- 172 -
Vẽ biểu đồ mômen động
11
12 12
22
2 2
34965
27972
34965
1,02*50 2550mr
Hệ phương trình xác định biên độ dao động
1 2
1 2
34965 2550 * 27972* 6
27972* 34965 2550 * 12
B B
B B
Giải phương trình ta có:
3 3
1 1
3 3
2 2
1,976*10 1,976*10 *sin
2,075*10 2,075*10 *sin
B y t
B y t
Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:
173. §H- 173 -
3 2
1
3 2
2
1 1 1
2 2 2
1,976*10 * *sin 4,94*sin
2,075*10 * *sin 5,19*sin
* 6 1,02*4,94*1 11,039
* 12 1,02*5,19*1 17,294
y r rt rt
y r rt rt
R P m y KN
R P m y KN
Vẽ biểu đồ mômen động
26,248 30,418
26,248 30,418
174. §H- 174 -
Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng
hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.
p sinrt
m
EI
l l l
p sinrt
m1 2
1 2
4 4
1 22
2 2
1 2
2,1.10 ; 8880 ; 2 ; 6 ; 12
1
1,02 ; 2,04 ; 50 ;
KN
E I cm l m P KN P KN
cm
KNs KNs
m m r
m m s
175. §H- 175 -
l l l
y y1 2
1 2
y =11
6EI
l2
6EI
l2
6EI
l2
l2
6EI
y =12
6EI
l2
3EI
l2
6EI
l2
176. §H- 176 -
6EI
l3
-12EI
l3
-12EI
l3
11
21
3EI
l3
-12EI
l3
-12EI
l3
2212
1 2 1 2
8 8
11 3 3 3 3
3 12 24 24.2,1.10 .8880.10
55944
2
EI EI EI
l l l
8 8
12 123 3
12 12.2,1.10 .8880.10
27972
2
EI
l
8 8
22 3 3 3 3
3 12 15 15.2,1.10 .8880.10
34965
2
EI EI EI
l l l
2
11 1 12
2
21 22 2
0;
m
D
m
2 2
11 1 22 2 21 12
2 2 2
22 2
0
55944 34965 2 27972 0
2 146853 1173649176=0
m m
m m
m m
177. §H- 177 -
1
2
9126.33
94,59
1,02
64300
251,08
1,02
Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng:
Tần số lực kích thích r=50; Biên độ miền cộng hưỡng:
Lân cân
1
1
55,282,7
82,8
110,41 3n
Lân cân
1
2
220,882,7
248,4
276,01 3n
178. §H- 178 -
y
r=50
Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ:
2
11 1 1 12 2
2
21 1 22 2 2
0
0
m A A
A m A
Cho A1=1 ta tính được A2
2
11 1
2
12
m
A
180. §H- 180 -
11
12 12
22
2 2
55944
27972
34965
1,02*50 2550mr
Hệ phương trình xác định biên độ dao động
1 2
1 2
55944 2550 * 27972* 6
27972* 34965 2*2550 * 12
B B
B B
Giải phương trình ta có:
3 3
1 1
3 3
2 2
0,634*10 0,634*10 *sin
0,996*10 0,996*10 *sin
B y t
B y t
Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:
