La derivada es fácil

La derivada es fácil
Capı́tulo 1: Introducción a la derivada y preparación para su cálculo. El proceso práctico de derivación lo realizaremos en tres pasos: 1) Preparación 2) Derivación 3) Simplificación CLASIFICACIÓN DE LAS DERIVADAS Las funciones a derivar, en principio, siempre tendrán la forma: 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 donde, tanto (A) como (B), pueden ser funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. • Función potencial. Tiene la forma 𝑦𝑦 = 𝒖𝒖𝐵𝐵 donde la (x) está en la base (u) y (B) es una constante. • Función exponencial. Tiene la forma 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝒖𝒖 donde la (x) está en el exponente (u) y (A) es una constante. • Función potencial-Exponencial. Tiene la forma 𝑦𝑦 = 𝒖𝒖𝒗𝒗 donde la (x) está en la base (u) y en el exponente (v) De esta forma sólo tenemos que preguntarnos dónde se halla la variable (x) para clasificar fácilmente la función. PREPARACIÓN DE LAS FUNCIONES ÁNTES DE DERIVAR • Los denominadores de las funciones se transforman en numeradores simplemente cambiando el signo de su exponente: 1 𝒖𝒖𝑎𝑎 = 𝒖𝒖−𝑎𝑎 , 𝒖𝒖𝑎𝑎 = 1 𝒖𝒖−𝑎𝑎 • La raíz de cualquier función (u) se transformará en potencia, sabiendo que el índice de la raíz (D) es el denominador del exponente: √𝒖𝒖𝑛𝑛𝐷𝐷 = 𝒖𝒖 � 𝑛𝑛 𝐷𝐷 � apuntesuva.foroactivo.com Basado en el libro de Jose María Casteleiro: "La derivada es fácil"
Realizar la preparación de las siguientes expresiones, transformando sus raíces en potencias y, cuando sea preciso, subir los denominadores a los correspondientes numeradores: (1) 1 𝑥𝑥7 (2) 1 3𝑥𝑥 (3) 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (4) 1 3𝑥𝑥 + 3 (5) 3 5(𝑥𝑥−2𝑥𝑥 + 5)3 (6) 3 √5 � 3 𝑥𝑥−2𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 � 3 (7) √𝑥𝑥 (8) 1 √𝑥𝑥 (9) �𝑥𝑥73 (10) 1 √𝑥𝑥73 (11) 1 √𝑥𝑥73 + 3 (12) 1 √𝑥𝑥7 + 3 3 (13) 1 �(𝑥𝑥7 + 3)73 (14) √3𝑥𝑥3 (15) 1 √3𝑥𝑥3 (16) 1 3𝑥𝑥 + 3 (17) 1 √𝑥𝑥 𝑥𝑥3 (18) 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 (19) 1 �(𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3)73 (20) √𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 3 (21) �𝑥𝑥5√𝑥𝑥3 3 √𝑥𝑥4 (22) �𝑥𝑥−1√𝑥𝑥3 𝑥𝑥−2 (23) 𝑥𝑥−2 + 𝑥𝑥−3 �𝑥𝑥√𝑥𝑥 3 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 2: Derivada de la función potencial DERIVADA DE UNA CONSTANTE Una constante 𝑦𝑦 = 𝐾𝐾 tiene por derivada 𝑦𝑦′ = 0. DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL Sea la función (u) elevada a una constante (a): 𝑦𝑦 = 𝒖𝒖𝑎𝑎 su derivada, será: 𝑦𝑦′ = 𝑎𝑎 · 𝒖𝒖𝑎𝑎−1 · 𝒖𝒖′ Hallar las siguientes derivadas: (1) 𝑥𝑥3 (2) 4𝑥𝑥3 (3) 1 𝑥𝑥3 (4) 1 5𝑥𝑥3 (5) √3𝑥𝑥 (6) �5𝑥𝑥35 (7) 3 4√𝑥𝑥35 (8) �(2𝑥𝑥3 + 3)3 (9) 1 �(2𝑥𝑥3 + 3)3 (10) � 3𝑎𝑎 5�[5𝑥𝑥4 + 2]23 (11) �𝑥𝑥2 √𝑎𝑎𝑎𝑎 3 (12) �𝑥𝑥5√𝑥𝑥3 3 √𝑥𝑥4 (13) �3𝑥𝑥−1√5𝑥𝑥3 2𝑥𝑥−2 (14) 𝑥𝑥−3 √3𝑥𝑥43 2𝑥𝑥−2 √2𝑥𝑥 (15) 𝑎𝑎 𝑥𝑥√𝑥𝑥 𝑥𝑥−3 √𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 (16) 𝑎𝑎 �𝑥𝑥3√𝑥𝑥−1 𝑏𝑏𝑏𝑏−3 𝑥𝑥2 √𝑥𝑥−34 (17) 3𝑏𝑏 �𝑎𝑎�√𝑥𝑥 �𝑐𝑐3 √𝑥𝑥 3 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 3: Derivada de la función exponencial La función exponencial es la que tiene la variable (x) en el exponente. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea la siguiente función exponencial: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝒖𝒖 donde (a) es una constante, y (u) es una función de (x). Su derivada será: 𝑦𝑦′ = 𝑎𝑎𝒖𝒖 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| · 𝒖𝒖′ La derivada es igual a la función (𝑎𝑎𝒖𝒖 ) multiplicada por el logaritmo neperiano de la base (a) y por la derivada del exponente (u). Nota: Haciendo la base (a=e), que es la base de los logaritmos neperianos y sabiendo que 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑒𝑒) = 1, la anterior expresión se transforma en: 𝑦𝑦′ = 𝑒𝑒 𝒖𝒖 · 𝒖𝒖′ Hallar las siguientes derivadas: (1) 4𝑥𝑥 (2) 1 4𝑥𝑥 (3) √4𝑥𝑥 (4) 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (5) 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (6) √𝑒𝑒 𝑥𝑥 (7) 4𝑎𝑎 3�5𝑥𝑥2 (8) 4𝑎𝑎 3�𝑒𝑒 𝑥𝑥2 (9) ��𝑎𝑎53𝑥𝑥2 � 23 (10) ��𝑎𝑎5𝑥𝑥3 + 2� 23 (11) 1 ��𝑎𝑎53𝑥𝑥2 � 23 (12) ��𝑏𝑏 𝑒𝑒2𝑥𝑥5 � 35 (13) ��2 𝑒𝑒3𝑥𝑥3 + 3� 5 (14) 1 ��𝑏𝑏 𝑒𝑒2𝑥𝑥5 � 35 (15) � √3𝑥𝑥 3𝑥𝑥 �(3𝑥𝑥)3 (16) � 3 √𝑒𝑒 𝑥𝑥3 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥 √𝑒𝑒 𝑥𝑥 (17) � 1 �(𝑒𝑒 𝑥𝑥)3𝑥𝑥 𝑥𝑥 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 4: Derivada de la función potencial- exponencial DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL Sea la siguiente función potencial-exponencial 𝑦𝑦 = 𝒖𝒖𝒗𝒗 donde (u) y (v) son expresiones cualesquiera. Su derivada será 𝑦𝑦′ = 𝒗𝒗 · 𝒖𝒖𝒗𝒗−𝟏𝟏 · 𝒖𝒖′ �� 𝐹𝐹.𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝒖𝒖𝒗𝒗 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝒖𝒖| · 𝒗𝒗′ �� 𝐹𝐹.𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 Es decir que la derivada de una función potencial-exponencial será la suma de la derivada de la función potencial más la derivada de la función exponencial, es decir, que primero se tratará como potencial y después como exponencial. Hallar las siguientes derivadas: (1) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (2) 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (3) √𝑥𝑥 𝑥𝑥 (4) 1 √𝑥𝑥 𝑥𝑥 (5) 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (6) 2 �𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥3 (7) 2 �(𝑥𝑥5)𝑥𝑥3𝑥𝑥 (8) (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥3 (9) � 1 (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥2 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 5: Operaciones con derivadas SUMA Y RESTA Sea la siguiente suma y resta de funciones: 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 ± 𝒗𝒗 ± 𝒘𝒘 ± ⋯ ± 𝒒𝒒 donde u, v, w, …, q son expresiones cualesquiera. Su derivada será la suma o resta de cada una de las derivadas que componen la expresión: 𝒚𝒚′ = 𝒖𝒖′ ± 𝒗𝒗′ ± 𝒘𝒘′ ± ⋯ ± 𝒒𝒒′ Hallar las siguientes derivadas: (1) 4𝑥𝑥5 + 2𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥 + 4 (2) 2 3𝑥𝑥3 + �𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 3 (3) 2 3(𝑥𝑥 − 3)3 + 3 2√𝑥𝑥2 − 5 − � 1 3�√𝑥𝑥 + 3� (4) 𝑥𝑥−2 + 𝑥𝑥−3 �𝑥𝑥√𝑥𝑥 3 (5) (4𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥) � 5𝑥𝑥 � 3 2� (6) �� 𝑎𝑎 𝑏𝑏 � 𝑥𝑥𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 √𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑥𝑥 (7) 𝑒𝑒√4𝑥𝑥3 + ��3𝑥𝑥2� 4𝑥𝑥5 DERIVADA DEL PRODUCTO DE FUNCIONES Sea el siguiente producto de funciones: 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 · 𝒗𝒗 donde u, v, son expresiones cualesquiera. Su derivada será 𝒚𝒚′ = 𝒖𝒖′ · 𝒗𝒗 + 𝒖𝒖 · 𝒗𝒗′ Hallar las siguientes derivadas: (1) (3𝑥𝑥 + 2)(4𝑥𝑥 + 5) (2) 𝑒𝑒√4𝑥𝑥 · �𝑥𝑥2 + 3 3 (3) √3𝑥𝑥 + 1 3 · √2𝑥𝑥 + 3 4 (4) 𝑒𝑒3𝑥𝑥2 �4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 (5) 4√𝑥𝑥 · 𝑒𝑒3𝑥𝑥2 (6) 1 4√𝑥𝑥 𝑒𝑒3𝑥𝑥2 (7) 1 4√𝑥𝑥 · 𝑒𝑒3𝑥𝑥2 (8) 3𝑥𝑥 𝑒𝑒 � 1 √𝑥𝑥 � (2𝑥𝑥 + 3) (9) √3𝑥𝑥 𝑥𝑥 (5𝑥𝑥) apuntesuva.foroactivo.com
DERIVADA DEL COCIENTE DE FUNCIONES Sea el siguiente cociente de funciones: 𝒚𝒚 = 𝒖𝒖 𝒗𝒗 donde u, v, son expresiones cualesquiera. Su derivada será 𝒚𝒚′ = 𝒖𝒖′· 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖 · 𝒗𝒗′ 𝒗𝒗𝟐𝟐 Nota: Es más fácil abordar este tipo de derivadas como productos Hallar las siguientes derivadas: (1) 3𝑥𝑥 + 2 4𝑥𝑥 + 5 (2) 1 (4𝑥𝑥 + 5)(3𝑥𝑥 + 2) (3) 1 𝑥𝑥3 (4) 3 4 √𝑥𝑥35 (5) 1 �(2𝑥𝑥3 + 3)3 (6) 1 ��𝑎𝑎53𝑥𝑥2 � 23 (7) � √𝑥𝑥3 + 5 �𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 (8) 𝑒𝑒3𝑥𝑥2 4√𝑥𝑥 (9) 1 4√𝑥𝑥 · 𝑒𝑒3𝑥𝑥2 (10) 5𝑥𝑥2 · 𝑒𝑒5𝑥𝑥 √3𝑥𝑥 3 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 6: Derivadas de la función logarı́tmica LOGARIMO DE UNA POTENCIA 𝐿𝐿𝐿𝐿�𝑎𝑎𝑏𝑏 � = 𝑏𝑏 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| LOGARITMO DE UNA RAIZ 𝐿𝐿𝐿𝐿 √𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏 = 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| 𝑐𝑐 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑏𝑏 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| LOGARITMO DE UN PRODUCTO 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 … 𝑑𝑑| = Ln|a| + Ln|b| + Ln|c| + ⋯ + Ln|d| LOGARITMO DE UN COCIENTE 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐 � = Ln|a| + Ln|b| − Ln|c| − Ln|d| CAMBIO DE BASE Para cambiar a base neperiana un logaritmo de una base cualquiera (a) 𝑦𝑦 = log 𝑎𝑎|𝑢𝑢| = 1 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑢𝑢| DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO Sea el logaritmo neperiano de una función 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑢𝑢), su derivada será 𝑦𝑦′ = 𝑢𝑢′ 𝑢𝑢 . DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO EN BASE CUALQUIERA (a) Sea el logaritmo de base cualquiera (a), de la función y=u siguiente: 𝑦𝑦 = log𝑎𝑎 |𝑢𝑢|, pasando a logaritmos neperianos, quedará 𝑦𝑦 = 1 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑢𝑢| de donde derivando obtenemos: 𝑦𝑦′ = 1 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑎𝑎) � 𝑢𝑢′ 𝑢𝑢 �. DERIVADA DE FUNCIONES QUE CONTIENEN LOGARITMOS COMO DERIVADA POTENCIAL Cuando se tenga que derivar el logaritmo de una función potencial, se realizará una preparación previa que consistirá en realizar las manipulaciones habituales con raíces y denominadores y aplicar las propiedades correspondientes a los logaritmos, de esta forma se tendrá: 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑢𝑢|𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑢𝑢| de donde derivando y sabiendo que a es una constante, quedará: 𝑦𝑦′ = 𝑎𝑎 � 𝑢𝑢′ 𝑢𝑢 � Hallar las siguientes derivadas: apuntesuva.foroactivo.com
(1) 𝑒𝑒 ln� 1 �𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥| 3 � (2) 10log� �𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙3|𝑥𝑥|3 � (3) 7log7�(log|𝑥𝑥|)4� (4) �𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥3| 5 (5) 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 1 𝑥𝑥3� (6) 𝑒𝑒 �𝐿𝐿𝐿𝐿� 1 √𝑥𝑥35 �� (7) 4log4�𝐿𝐿𝐿𝐿�(4𝑥𝑥)3�� (8) 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 3 4 √𝑥𝑥35 � (9) 𝐿𝐿𝐿𝐿 ��4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 5 � (10) 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 1 4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 � (11) log5 ��4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 3 � (12) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 � 1 √4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 5 � (13) log �𝐿𝐿𝐿𝐿 ��4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 5 � � (14) 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 2𝑥𝑥 �log(4𝑥𝑥3) 5 � (15) 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝐿𝐿𝐿𝐿 � 1 + 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 �� DERIVADA DE FUNCIONES QUE CONTIENEN LOGARITMOS COMO DERIVADA EXPONENCIAL Cuando se tenga que derivar el logaritmo de una función exponencial, se realizará una preparación previa que consistirá en realizar las manipulaciones habituales con raíces y denominadores y aplicar las propiedades correspondientes a los logaritmos, de esta forma se tendrá: 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎|𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑎𝑎| de donde derivando y sabiendo que a es una constante, quedará: 𝑦𝑦′ = 𝑢𝑢′ · 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑎𝑎) Hallar las siguientes derivadas: (1) 8log8|𝐿𝐿𝐿𝐿 |4 𝑥𝑥| | (2) 𝑒𝑒𝐿𝐿𝐿𝐿 |log|4 𝑥𝑥|| (3) log3|4𝑥𝑥| (4) 10 log�𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙� �4𝑥𝑥33 �� (5) log3�√7𝑎𝑎 𝑥𝑥 � DERIVADA DE FUNCIONES QUE CONTIENEN LOGARITMOS COMO DERIVADA POTENCIAL- EXPONENCIAL Cuando se tenga que derivar el logaritmo de una función potencial-exponencial, se realizará una preparación previa que consistirá en realizar las manipulaciones habituales con raíces y denominadores y aplicar las propiedades correspondientes a los logaritmos, de esta forma se tendrá: 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝒖𝒖)𝒗𝒗 = 𝒗𝒗 · 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝒖𝒖) de donde derivando como la derivada de un producto: 𝑦𝑦′ = 𝒗𝒗′ · 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝒖𝒖) + 𝒗𝒗 � 𝒖𝒖′ 𝒖𝒖 � Hallar las siguientes derivadas: (1) 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥 𝑥𝑥| (2) 𝑒𝑒𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥|� (3) 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥| � (4) 1 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥 𝑥𝑥| (5) 1 𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥| (6) 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 |𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥|| (7) log3 �� 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 � (8) � 3 𝐿𝐿𝐿𝐿 �√𝑥𝑥 𝑥𝑥� 3 (9) 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 1 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥 𝑥𝑥| � apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 7: Derivación de las funciones tringométricas 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = cos(𝒖𝒖) · 𝒖𝒖′ 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = −sen(𝒖𝒖) · 𝒖𝒖′ 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝒖𝒖) = 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = � sec(𝒖𝒖) · 𝑡𝑡 𝑡𝑡 (𝒖𝒖) · 𝒖𝒖′ sen(𝒖𝒖) cos2(𝒖𝒖) 𝒖𝒖′ 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝒖𝒖) = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = � −cosec(𝒖𝒖) · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝒖𝒖) · 𝒖𝒖′ − cos(𝒖𝒖) sen2(𝒖𝒖) 𝒖𝒖′ 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 𝑡𝑡(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = 𝒖𝒖′ cos2(𝒖𝒖) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = 𝒖𝒖′ sen2(𝒖𝒖) DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS CON ESTRUCTURA DE FUNCIÓN POTENCIAL Hallar las siguientes derivadas: (1) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛4 �√3𝑥𝑥� (2) 1 cos � 2 √3𝑥𝑥 � (3) �𝑡𝑡 𝑡𝑡 � 1 √𝑒𝑒 𝑥𝑥 � 3 (4) 𝐿𝐿𝐿𝐿 ��𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑥𝑥3)� (5) log3 �� 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 3 � (6) log �� 1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥3) �1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥3) 3 � DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS CON ESTRUCTURA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Hallar las siguientes derivadas: (1) 3𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) (2) � 1 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) 3 (3) 10 log � 1 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) 5 (4) � 5 2 sec� 1 𝑥𝑥 � (5) � 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2(𝑥𝑥) 𝑒𝑒−cos2 (𝑥𝑥) 3 �𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS CON ESTRUCTURA DE FUNCIÓN POTENCIAL- EXPONENCIAL Hallar las siguientes derivadas: (1) [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑥𝑥 (2) 𝑒𝑒𝐿𝐿𝐿𝐿[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) (3) 1 �[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) (4) �� 1 𝑥𝑥 � 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥)3 (5) �𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥)| 𝑥𝑥 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 8: Derivadas de funciones trigonométricas inversas 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = 𝒖𝒖′ √1 − 𝒖𝒖2 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = − 𝒖𝒖′ √1 − 𝒖𝒖2 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = 𝒖𝒖′ 1 + 𝒖𝒖2 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = − 𝒖𝒖′ 1 + 𝒖𝒖2 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = 𝒖𝒖′ 𝒖𝒖√𝒖𝒖2 − 1 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝒖𝒖) → 𝑦𝑦′ = − 𝒖𝒖′ 𝒖𝒖√𝒖𝒖2 − 1 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS CON ESTRUCTURA DE FUNCIÓN POTENCIAL Hallar las siguientes derivadas: (1) �𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 � 1 𝑥𝑥 � 3 (2) 1 arccos � 1 √𝑒𝑒 𝑥𝑥 � (3) arcsec �𝑒𝑒 𝑥𝑥 2� (4) 3 arccos � 1 √𝑥𝑥 � (5) � 3 arctg ��𝑒𝑒 𝑥𝑥2 � (6) 4 log4 1 �𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(4 𝑥𝑥) DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS CON ESTRUCTURA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Hallar las siguientes derivadas: (1) 3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(√𝑥𝑥) (2) 𝑎𝑎loga(𝑎𝑎) 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎�√𝑥𝑥� (3) �𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎�√1−𝑥𝑥2� (4)[𝐿𝐿𝐿𝐿 3] 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎� 1 √𝑥𝑥 � (5) 1 �3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(√𝑥𝑥) 3 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS CON ESTRUCTURA DE FUNCIÓN POTENCIAL- EXPONENCIAL Hallar las siguientes derivadas: (1) 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) (2) � 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) (3) �𝑥𝑥2 + 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 9: Derivadas sucesivas Sea 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) una función derivable de la que hemos obtenido la primera derivada, si a continuación volvemos a derivar, obtenemos la segunda derivada y repitiendo el proceso la tercera, y así sucesivamente: 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑦𝑦) = 𝑦𝑦′ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑦𝑦′) = 𝑦𝑦′′ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑦𝑦′′) = 𝑦𝑦′′′ … Hallar las siguientes derivadas: 1. Hallar la sexta derivada de 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥5 + 2𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥2 + 1 2. Hallar la tercera derivada de 𝑦𝑦 = 3 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 3 + � 1 𝑥𝑥 3. Hallar la tercera derivada de 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎(5𝑥𝑥) 4. Hallar la segunda derivada de 𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 3𝑥𝑥3 �(𝑥𝑥−1)43 � apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 10: Derivadas Implı́citas Una función implícita es aquella en la que la variable dependiente (y), se halla mezclada con la variable independiente (x). Se puede expresar como: 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑦𝑦) = 0 La derivada implícita es la derivada que se realiza directamente sobre una función implícita. En este tipo de funciones en que la variable (y) se halla mezclada con la variable (x), de la que depende, de forma que cada vez que derivemos la variable (y) debemos multiplicarla por el término: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑦𝑦′ A nivel práctico puede decirse que la variable (y), se derivará como si fuese una (x), para a continuación multiplicarla por (y’). Ejemplo: Hallar la derivada de: 4𝑥𝑥5 𝑦𝑦3 + 2𝑥𝑥3 𝑦𝑦2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2 = 0 En primer lugar derivaremos la función, teniendo en cuenta que tiene tres términos, de la siguiente forma: (4)(5)𝑥𝑥5−1 𝑦𝑦3 + (4)(3)𝑥𝑥5 𝑦𝑦3−1(𝑦𝑦′)�� 𝑇𝑇é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑟𝑟 1º + (2)(3)𝑥𝑥3−1 𝑦𝑦2 + (2)(2)𝑥𝑥3 𝑦𝑦2−1(𝑦𝑦′)�� 𝑇𝑇é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟 2º − 3𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥(𝑦𝑦′)�� 𝑇𝑇é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑟𝑟 3º = 0 o lo que es igual: 20𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 12𝑥𝑥5 𝑦𝑦2(𝑦𝑦′) + 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥3 𝑦𝑦(𝑦𝑦′) − 3𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥(𝑦𝑦′ ) = 0 Sacamos factor común (y’), esto es: 20𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 − 3𝑦𝑦 + [12𝑥𝑥5 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥3 𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥](𝑦𝑦′) = 0 Trasponiendo todos los términos que no contengan (y’), se tendrá: [12𝑥𝑥5 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥3 𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥](𝑦𝑦′) = −[20𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 − 3𝑦𝑦] Se observa que como todos los términos que trasponemos, los cambiamos de signo, será mejor sacar éste factor común, para que de esta forma todas las derivadas implícitas sean negativas. Por último despejando (y’), en el ejemplo que estamos calculando, obtendremos: 𝑦𝑦′ = − 20𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 − 3𝑦𝑦 12𝑥𝑥5 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥3 𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 Este tipo de derivadas se pueden realizar de una forma más rápida por el siguiente procedimiento: apuntesuva.foroactivo.com
1) La derivada siempre es negativa, debido a la transposición de términos. 2) Los términos que no van asociados a (y’) irán directamente, con su signo correspondiente, al numerador. En la ecuación del siguiente punto son los términos que van señalados con una N. 3) Los términos que van asociados a (y’) irán directamente, con su signo correspondiente, al denominador. En la citada ecuación son los términos que van señalados con una D. De esta forma, derivando por este procedimiento, el problema anterior quedará: 20𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 �� 𝑁𝑁 + 12𝑥𝑥5 𝑦𝑦2 �� 𝐷𝐷 (𝑦𝑦′) + 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 �� 𝑁𝑁 + 4𝑥𝑥3 𝑦𝑦�� 𝐷𝐷 (𝑦𝑦′) − 3𝑦𝑦� 𝑁𝑁 − 3𝑥𝑥� 𝐷𝐷 (𝑦𝑦′ ) = 0 Despejando (y’), se tendrá: 𝑦𝑦′ = − 20𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 − 3𝑦𝑦 12𝑥𝑥5 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥3 𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 Es fácil darse cuenta que la derivada puede hacerse directamente, es decir: cada vez que se derive un término que no tenga (y’) se situará directamente en el numerador y cada vez que se derive un término que halle asociado a (y’), se situará directamente en el denominador. La derivada seguirá siendo negativa por la razón apuntada anteriormente. Realmente este método se basa en la utilización de derivadas parciales. Hallar las siguientes derivadas por tres procedimientos: (1) 𝑥𝑥3 𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + [𝑥𝑥3 𝑦𝑦] 1 2 + 4 = 0 (2) �𝑥𝑥3�𝑦𝑦3 + 1 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 3 (3) 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥| 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑦𝑦) (4) 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 3 (5) 4𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐿𝐿𝐿𝐿� 𝑦𝑦 𝑥𝑥 (6) �𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| = 2 (7) 𝑒𝑒√ 𝑦𝑦 + 3 𝑒𝑒√ 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 (8) � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝐿𝐿𝐿𝐿|3𝑥𝑥2 𝑦𝑦| = 1 (9) 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 �𝑦𝑦 𝑦𝑦3 � = 𝐿𝐿𝐿𝐿 � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 � (10) 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| + � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦 apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 11: Regla de la cadena Se usa cuando la base o el exponente de la función es, a su vez, una función potencial, exponencial, o una combinación de ambas. Lo que hace la regla de la cadena es reducir la función a derivar a una serie de funciones sencillas, cuyas derivadas se pueden hallar de forma independiente, para a continuación sustituir unas en otras y conseguir la derivada completa de la función propuesta. Una variación de este método es el método de las derivadas indicadas. Ejemplo: Hallar mediante la regla de la cadena la derivada de la siguiente función: 𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥3 • Mediante Regla de la Cadena En primer lugar definimos como variables auxiliares (u) y (v), a la base y al exponente 𝑢𝑢 = 3𝑥𝑥3 𝑣𝑣 = 5𝑥𝑥3 Entonces 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑣𝑣 Empezaremos por esta función cuya derivada, utilizando la fórmula de la derivada potencial- exponencial, será: 𝑦𝑦′ = 𝑣𝑣 · 𝑢𝑢𝑣𝑣−1 · 𝑢𝑢′ + 𝑢𝑢𝑣𝑣 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑢𝑢| · 𝑣𝑣′ A continuación derivaremos (u) y (v) por separado, resultando ser dos funciones potenciales, cuyas derivadas serán: 𝑢𝑢′ = 3 · 3 · 𝑥𝑥3−1 = 9𝑥𝑥2 𝑣𝑣′ = 5 · 3 · 𝑥𝑥3−1 = 15𝑥𝑥2 Por último, sustituímos (u, v, u’, v’) en la expresión de y’: 𝑦𝑦′ = 𝑣𝑣 · 𝑢𝑢𝑣𝑣−1 · 𝑢𝑢′ + 𝑢𝑢𝑣𝑣 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑢𝑢| · 𝑣𝑣′ 𝑢𝑢 = 3𝑥𝑥3 𝑣𝑣 = 5𝑥𝑥3 𝑢𝑢′ = 9𝑥𝑥2 𝑣𝑣′ = 15𝑥𝑥2 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ → 𝑦𝑦′ = 5𝑥𝑥3 · (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥3−1 · (9𝑥𝑥2) + �3𝑥𝑥3� 5𝑥𝑥3 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|3𝑥𝑥3| · (15𝑥𝑥2 ) • Mediante Método de las Derivadas Indicadas Empleando la fórmula de la derivación de la función potencial-exponencial, y dejando indicadas las derivadas de la base y el exponente se tendrá: 𝑦𝑦′ = 5𝑥𝑥3 · (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥3−1 · �𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 � ′ + �3𝑥𝑥3� 5𝑥𝑥3 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|3𝑥𝑥3| · �𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 � ′ A continuación derivamos los paréntesis en negrita, quedará: 𝑦𝑦′ = 5𝑥𝑥3 · (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥3−1 · �𝟗𝟗𝒙𝒙𝟐𝟐 � + �3𝑥𝑥3� 5𝑥𝑥3 · 𝐿𝐿𝐿𝐿|3𝑥𝑥3| · (𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 ) apuntesuva.foroactivo.com
Hallar mediante la regla de la cadena la derivada de las siguientes funciones: (1) [4𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥] �5𝑥𝑥 3 2 (2) 𝑒𝑒√4𝑥𝑥 · �𝑥𝑥2 + 3 3 (3) √3𝑥𝑥 𝑥𝑥 · 5𝑥𝑥 (4) � √𝑥𝑥3 + 5 �𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 (5) 5𝑥𝑥2 𝑒𝑒5𝑥𝑥 √3𝑥𝑥 𝑥𝑥 (6) log � �1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥3) �1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥3) 3 (7) � 2 �ln�√𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑥𝑥|� 3 (8) log3 �� 2 𝐿𝐿𝐿𝐿 ��𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)� 3 � (9) 1 �[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) apuntesuva.foroactivo.com
Capı́tulo 12: Derivada logarı́tmica La derivada logarítmica consiste en tomar logaritmos (con preferencia logaritmos neperianos), en la función que se quiere derivar, aplicar las reglas de estos y a continuación derivar. Este tipo de técnica está especialmente indicada en los siguientes casos: a) COCIENTES COMPLICADOS 𝑦𝑦 = [𝐴𝐴]𝑎𝑎 [𝐵𝐵]𝑏𝑏 [𝐶𝐶]𝑐𝑐 [𝐷𝐷]𝑑𝑑 donde A, B, C y D son expresiones cualesquiera. La forma de operar es la siguiente: • Se toman logaritmos en ambas partes de la expresión: 𝐿𝐿𝐿𝐿 |𝑦𝑦| = 𝐿𝐿𝐿𝐿 � [𝐴𝐴]𝑎𝑎 [𝐵𝐵]𝑏𝑏 [𝐶𝐶]𝑐𝑐 [𝐷𝐷]𝑑𝑑 � • Se aplican las propiedades de los logaritmos: 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| = 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐴𝐴|𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐵𝐵|𝑏𝑏 − 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐶𝐶|𝑐𝑐 − 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐷𝐷|𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐴𝐴| + 𝑏𝑏 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐵𝐵| − 𝑐𝑐 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐶𝐶| − 𝑑𝑑 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝐷𝐷| • Se deriva, sabiendo que la derivada de la función logarítmica es [𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑦𝑦)]′ = 𝑦𝑦′ 𝑦𝑦 𝑦𝑦′ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝐴𝐴′ 𝐴𝐴 + 𝑏𝑏 𝐵𝐵′ 𝐵𝐵 − 𝑐𝑐 𝐶𝐶′ 𝐶𝐶 − 𝑑𝑑 𝐷𝐷′ 𝐷𝐷 • Se despeja y’ 𝑦𝑦′ = �𝑎𝑎 𝐴𝐴′ 𝐴𝐴 + 𝑏𝑏 𝐵𝐵′ 𝐵𝐵 − 𝑐𝑐 𝐶𝐶′ 𝐶𝐶 − 𝑑𝑑 𝐷𝐷′ 𝐷𝐷 � 𝑦𝑦 = �𝑎𝑎 𝐴𝐴′ 𝐴𝐴 + 𝑏𝑏 𝐵𝐵′ 𝐵𝐵 − 𝑐𝑐 𝐶𝐶′ 𝐶𝐶 − 𝑑𝑑 𝐷𝐷′ 𝐷𝐷 � [𝐴𝐴]𝑎𝑎 [𝐵𝐵]𝑏𝑏 [𝐶𝐶]𝑐𝑐 [𝐷𝐷]𝑑𝑑 Hallar las siguientes derivadas empleando la derivada logarítmica: (1) 5𝑥𝑥2 𝑒𝑒5𝑥𝑥 √3𝑥𝑥 𝑥𝑥 (2) � 4(𝑥𝑥3+𝑥𝑥) √𝑥𝑥2 + 3 3 𝑒𝑒(𝑥𝑥3+4) √𝑥𝑥4 + 2 5 apuntesuva.foroactivo.com
b) FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL COMPLICADA Un caso de este tipo de funciones será: 𝑦𝑦 = [𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) La forma de operar es como en el apartado anterior • Se toman logaritmos neperianos en las dos partes de la expresión: 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| = 𝐿𝐿𝐿𝐿�[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) � 𝐿𝐿𝐿𝐿|𝑦𝑦| = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝐿𝐿𝐿𝐿|[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]| • Se deriva como producto: 𝑦𝑦′ 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔′(𝑥𝑥) · 𝐿𝐿𝐿𝐿|[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]| + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) · 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) • Se despeja y’: 𝑦𝑦′ = �𝑔𝑔′(𝑥𝑥) · 𝐿𝐿𝐿𝐿|[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]| + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) · 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) � · 𝑦𝑦 = �𝑔𝑔′(𝑥𝑥) · 𝐿𝐿𝐿𝐿|[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]| + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) · 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) � · [𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) Lo importante es memorizar el proceso. Hallar la derivada de las siguientes funciones: (1) �4𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) � 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) (2) � �(𝑥𝑥2 + 1)3 �(𝑥𝑥3 + 1)23 + 5𝑥𝑥 (3) (3𝑥𝑥3)5𝑥𝑥3 (4) [4𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥] �5𝑥𝑥 3 2 (5) 𝑒𝑒√4𝑥𝑥 �𝑥𝑥2 + 3 3 (6) √3𝑥𝑥 𝑥𝑥 (5𝑥𝑥) (7) � √𝑥𝑥3 + 5 �𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 (8) � 2 �𝐿𝐿𝐿𝐿 √𝑥𝑥 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑥𝑥) 3 (9) 1 �[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑥𝑥) apuntesuva.foroactivo.com

La derivada es fácil

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