Como solucionar los ejercicios del calculode granville

1. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
Solucionario de
Granville
Carlos Alberto Julián Sánchez
Cálculo Integral
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2. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
Introducción
La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio
superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios
propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville.
No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino
de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al
estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo
diferencial.
Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de
página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a
la obra expuesta.
Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del
razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin
embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán
bienvenidas al siguiente correo: fisico_17@hotmail.com.
Éxitos y bendiciones.
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3. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
1. x 4 dx =
x 41
= c
4 1
x5
= c
5
dx
2. 2
=  x 2 dx
x
x 21
= c
2  1
x 1
 c
1
1
 c
x
3. x dx 
2/3
2
1
3
x
 c
2
1
3
5
x3
 c
5
3
3 x 5/3
 c
5
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4. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
dx dx
4.   1/2  x
1/2
dx
x x
x 1/21
 c
1/ 2  1
x1/2
 c
1
2
2 x1/2
 c
1
 2 x c
dx dx
5. 3
 x
1/3
 x
1/3
dx
x
x 1/31
 c
1/ 3  1
x 2/3
 c
2
3
3 x 2/3
 c
2
6. 3ay 2 dy
 3a  y 2 dy
 y 21 
 3a  c
 2  1
 y3 
 3a    c
3
 ay 3  c
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5. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
2dt
7.   2t 2 dt
t2
 2  t 2 dt
 t 21 
 2 c
 2  1 
 t .1 
 2  c
 1 
1
 2  c
 t 
2
 c
t
8. ax dx   a  x dx  a  x dx  a  x1/2 dx
 1 
 x 1 
2
 a c
1 
  1
2 
 
 x 3/2 
 a c
3 
 
 2 
 2 x 3/2 
 a c pero x  x1/2  x 3/2
 3 
 2 x  x1/2 
 a c pero x1/2  x
 3 
a  x 2x
 c pero a  x  ax
3
2 x ax
 c
3
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6. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
dx dx 1 dx
9.  2 x
 =
2x 2 x
dx
pero por el ejercicio 4.  2 x c
x

1
2

2 x c  al racionalizar el deno min ador
1
2

2
2

2
2

2 x c 
 2 x c
 2x  c
10. 3 3t dt   3 3  3 t dt  3 3  3 t dt  3 3  t 1/3dt
 
 t1/31 
33  c
1 
  1
3 
 
 t 4/3 
 3 3  c
4
 
 3 
 3t 4/3 
33  c recordemos que 31  3 3  34/3
 4 
34/3  t 4/3
 c
4
(3t ) 4/3
 c
4
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7. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
11.  ( x 3/2  2 x 2/3  5 x  3)dx
  x 3/2 dx   2 x 2/3 dx   5 x dx   3dx
x 3/21
  2  x 2/3  5 x dx  3 dx
3
1
2
 
x 5/2  x 2/31 
2  
 2  5 x1/2  3 x
5
 1 
2 3 
   
2 x 5/2  x 5/3   x1/2 1 
 2 5  3x  c
5 5  1 
   1
 3  2 
 
2x  3 x 5/3   x 3/2 
5/2
  2 5   3x  c
5  5   3 
 2 
2 x 5/2 6 x 5/3 10 x 3/2
    3x  c
5 5 3
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8. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
4 x2  2 x
12.  dx
x
x2 x
 4 dx  2  dx
x x
x1/2
 4  x dx  2  dx
x
 x11  dx
 4   2  x1/2
1  1 
 x2 
 4    2  x 1/2 dx
2
 
 x 1/2 1 
 2x2  2  c
1 
   1
 2 
 
 x1/2 
 2x2  2  c
1 
 
 2 
 2 x 2  2  2 x1/2   c
 2 x 2  4 x1/2  c
 2x2  4 x  c
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9. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
 x2 2 
13.    2  dx
 2 x 
x2 2
 dx   2 dx
2 x
1 2 dx

2  x dx  2 x 2
1  x 21   x 21 
 2 c
2  2  1
   2  1 
1  x3   x 1 
 2  c
2 3 
   1 
x3  1
  2    c
6  x
x3 2
  c
6 x
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10. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
14. x  3 x  2  dx
  (3 x x  2 x ) dx
  3 x x dx   2 x dx
 3 x x dx  2  x dx
 3 x 3/2 dx  2  x1/2 dx
   
 x 3/2 1   x1/2 1 
 3 2 c
3  1 
 1   1
2  2 
   
 x 5/2   x3/2 
 3 2 c
5  3 
   
 2   2 
 2 x 5/2   2 x 3/2 
 3   2 c
 5   3 
6 x 5/2 4 x3/2
  c
5 3
x3  6 x  5
15.  dx
x
x3 6x 5
  dx   dx   dx
x x x
dx
  x 2 dx  6  dx  5
x
x3
  6 x  5ln x  c
3
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11. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
18.  (a  bt ) 2 dt hacemos el siguiente cambio de var iable :
u  a  bt
du  bdt
  u 2 dt multiplicamos por b y divi dim os por b.
1
  u 2 ( ) (b)dt
b
1 2
b
 u bdt pero du  bdt
1 2
b
 u du
1  u 21 
 c
b  2  1
 
1  u3  u3
 c  c
b 3 
  3b
pero u  a  bt
(a  bt )3
 c
3
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12. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
16.  a  bx dx hacemos el siguiente cambio de var iable :
u  a  bx
du  b dx
  u dx multiplicamos por b y divi dim os por b
1
  u ( ) b dx
b
1
b
 u b dx pero du  b dx
1 1 1/2

b  u du  b  u du
 
1  u1/21 
  c
b  1 1
2 
 
1  u 3/2 
  c
b 3 
 2 
1  2u 3/2 
 c
b 3 
 
2u 3/2
 c
3b
pero u  a  bx
2(a  bx)3/2
 c
3b
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13. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
dy
17. hacemos el siguientecambio de var iable.
a  by
u  a  by
du  b dy
dy
   u 1/2 dy multiplicamos por  b y divi dim os por  b
u
1
  u 1/2 (b)( ) dy pero u  b dy
b
1 1/2
b
 u du
 
1  u 1/21 
  c
b   1  1
 2 
 
1  u1/2 
  c
b 1 
 2 
1  2u1/2 
  c
b 1  
2u1/2
 c pero u  a  by
b
2(a  by )1/2

b
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14. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
19. x  2  x 2  dx
2
hacemos el siguiente cambio de var iable :
u  2  x2
du  2 x dx
  u x dx
1
  u 2  (2) x dx multiplicamos por 2 y divi dim os entre 2
2
1 2
2
 u 2 xdx pero du  2 xdx
1 2
2
 u du
1  u 21 
  c
2  2  1
u3
 c pero u  2  x 2
6
(2  x 2 )3
 c
6
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15. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
20.  y (a  by 2 ) dy hacemos el siguiente cambio de var iable :
u  a  by 2
du  2by dy
  uy dy vamos a multiplicar por  2b y dividir por  2b
 1 
  u     2by dy
 2b 
1
2b 
 u  2bydy pero du  2bydy
1
2b 
 u du
1  u11 
 c
2b 1  1 
 
1 u2 
 c
2b  2 
 
u2
 c regresando el valor de la var iable u
4b
  a  by 2 
2
 c
4b
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16. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
21. t 2t 2  3 dt hacemos el siguiente cambio de var iable :
u  2t 2  3
du  4t dt
  t u dt multiplicamos y divi dim os por 4
1
  u   4 t dt pero du  4tdt
4
1
4
 u du
1 1/2
4
 u du
 
1  u1/2 1 
  c
4  1 1
2 
 
1  u 3/2 
  c
4 3 
 2 
1  2u 3/2 
  c
4 3  
2u 3/2 u 3/2
 c  c regresando el valor de u
12 6
 2t  3
2 3/2
 c
6
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17. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
22.  x(2 x  1) 2 dx desarrollamos el binomio al cuadrado
  x(4 x 2  4 x  1) dx aplicamos propiedad distributiva
  (4 x 3  4 x 2  x) dx distribuimos cada int egral
  4 x 3 dx   4 x 2 dx   x dx
 4  x 3 dx  4  x 2 dx   x dx
 x 31   x 21  x11
 4   4  c
 3  1  2  1 1  1
4 x 4 4 x3 x 2
   c
4 3 2
4 x3 x 2
 x4   c
3 2
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18. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
4 x 2 dx x 2 dx
23.  4 hacemos el siguiente cambio de var iable :
x3  8 u
u  x3  8
du  3 x 2 dx
x 2 dx
 4 vamos a multiplicar y dividir por 3
u
 1  3 x dx
2
 4   pero u  3x 2 dx
3 u
4 du
3 u

 
4  u 1/21 
  c
3   1  1
 2 
 
4  u1/2 
  c
3 1 
 2 
8u1/2
 c regresando el valor de la var iable u
3
8 x3  8
 c
3
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19. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
6 z dz
24. hacemos el siguiente cambio de var iable :
 5  3z 
2 2
u  5  3z 2
du  6 z dz
6 z dz
 vamos a multiplicar y dividir por  1
u2
 1
   (1) 6 z dz
  2
1
u
   u 2  6 z dz
   u 2 du
 u 21 
  c
 2  1 
u 1
 c
1
1
 c regresando el valor de la var iable
u
1
 c
5  3z 2
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