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ESCUELA :  NOMBRES: FUNDAMENTOS  MATEMÁTICOS FECHA : Ciencias   de   la   Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL - AGOSTO 2010
3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 y x II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y   P 2  M= x 2 +x 1  , y 2 +y 1   2   2
Gráfica de ecuaciones Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla.  Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. Intersecciones con los ejes. Simetrías.
Intersecciones:  Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 Simetrías:  Para saber si la gráfica es simétrica con respecto  Al eje x sustituimos y por − y nos lleva  a la misma ecuación. Al eje y sustituimos x por − x nos lleva  a la misma ecuación. Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva  a la misma ecuación.
Trace la gráfica de la ecuación:  x = -y 2  +3 Intersección con  x  hacer  y = 0 x = - (0) 2  +3 x = 3 Intersección con  y  hacer  x = 0 0 = - y 2  +3 y 2  = 3 y =±√3 Simetrías Al eje  x , sustituimos  y  por  -y   x= - (-y) 2  +3 x= - y 2  +3 Al eje  y , sustituimos  x  por  -x  - x= - y 2  +3 Al origen, sustituimos  x  por  –x  y  y  por  -y   - x= - (-y) 2  +3 - x= - y 2  +3 Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje  x .
Intersección con  x Intersección con  y
Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2   Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2  +  y 2  = r 2
Encuentre el centro y radio de la circunferencia x 2  + y 2  -10x +18 = 0 (x 2  – 10 x  + _ _  )+ y 2  = -18  (x 2  – 10 x  + 25  )+ y 2  = -18  +25  (x – 5) 2 + y 2  = 7 (x – h) 2 + (y - k) 2  = r 2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7
Rectas Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos. Formas de la ecuación de la recta: General   ax + by = c Punto-pendiente  y – y1 = m (x – x1) Punto y pendiente con intersección con el  eje y  y = mx + b
La pendiente de la recta es:  M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 )  Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.
Definición de función Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango.  Dominio Rango x y
Variables: x se denomina variable independiente. y se denomina variable dependiente. Dominio El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real. Rango El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.
Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
Sea I un intervalo del dominio de una función  f: f  es  creciente  en I si  f (x1) <  f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f  es  decreciente  en I si  f (x1) >  f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f  es  constante  en I si  f (x1) =  f (x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante
Al reemplazar la variable x por –x: Si  f (-x) =  f (x) la función es par Si  f (-x) = - f (x) la función es impar Si  f  es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si  f  es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función
Encuentre el dominio y la imagen de f si: Dominio: todos los reales excepto  cuando x = -3 Imagen: El intervalo abierto (0,+∞) Creciente : (- ∞, -3 ) Decreciente: (-3 , +∞) Dominio Imagen x y 0 1/9 1 1/16 2 1/25 -1 1/4 -2 1 -3 No existe --- ---
Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b  a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2  + bx + c  a ≠0 Su gráfica es una parábola
Traza la gráfica de f f(x) = (x - 3) 2  - 2 Intersección con  x  hacer  y = 0 0 = (x - 3) 2  - 2 x 2  - 6x + 9 – 2 = 0 x 2  - 6x + 7 = 0
Intersección con  y  hacer  x = 0 y = (0 - 3) 2  - 2 y = 9 - 2 y = 7 Intersección con  x Intersección con  y y = x 2  - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3  y = (3) 2  – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2) x y 1 2 2 -1 3 -2 -1 14 --- ---
f(x) = (x - 3) 2  - 2 Traslación vertical y = f(x) – c ;  c  unidades hacia abajo. Traslación horizontal y =  y  f(x - c) ;  c  unidades a la derecha 2 3 Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Translaciones horizontales de las curvas (c > 0) Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de  y = f(x) y = f(x) - c c  unidades hacia abajo y = f(x) + c c  unidades hacia arriba  Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de  y = f(x) y = f(x - c) c  unidades a la derecha y = f(xc) c  unidades a la izquierda
Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división
La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con  “o”  y se da entre dos o más funciones
Ing. Ricardo Blacio Docente – UTPL Correo electrónico:  [email_address]
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Fundamentos Matematicos

  • 1. ESCUELA : NOMBRES: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS FECHA : Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL - AGOSTO 2010
  • 2. 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 y x II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2
  • 3. Gráfica de ecuaciones Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla. Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. Intersecciones con los ejes. Simetrías.
  • 4. Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.
  • 5. Trace la gráfica de la ecuación: x = -y 2 +3 Intersección con x hacer y = 0 x = - (0) 2 +3 x = 3 Intersección con y hacer x = 0 0 = - y 2 +3 y 2 = 3 y =±√3 Simetrías Al eje x , sustituimos y por -y x= - (-y) 2 +3 x= - y 2 +3 Al eje y , sustituimos x por -x - x= - y 2 +3 Al origen, sustituimos x por –x y y por -y - x= - (-y) 2 +3 - x= - y 2 +3 Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x .
  • 6. Intersección con x Intersección con y
  • 7. Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2 + y 2 = r 2
  • 8. Encuentre el centro y radio de la circunferencia x 2 + y 2 -10x +18 = 0 (x 2 – 10 x + _ _ )+ y 2 = -18 (x 2 – 10 x + 25 )+ y 2 = -18 +25 (x – 5) 2 + y 2 = 7 (x – h) 2 + (y - k) 2 = r 2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7
  • 9. Rectas Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos. Formas de la ecuación de la recta: General ax + by = c Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1) Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b
  • 10. La pendiente de la recta es: M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.
  • 11. Definición de función Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Dominio Rango x y
  • 12. Variables: x se denomina variable independiente. y se denomina variable dependiente. Dominio El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real. Rango El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.
  • 13. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
  • 14. Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es decreciente en I si f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es constante en I si f (x1) = f (x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante
  • 15. Al reemplazar la variable x por –x: Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) = - f (x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función
  • 16. Encuentre el dominio y la imagen de f si: Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3 Imagen: El intervalo abierto (0,+∞) Creciente : (- ∞, -3 ) Decreciente: (-3 , +∞) Dominio Imagen x y 0 1/9 1 1/16 2 1/25 -1 1/4 -2 1 -3 No existe --- ---
  • 17. Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola
  • 18. Traza la gráfica de f f(x) = (x - 3) 2 - 2 Intersección con x hacer y = 0 0 = (x - 3) 2 - 2 x 2 - 6x + 9 – 2 = 0 x 2 - 6x + 7 = 0
  • 19. Intersección con y hacer x = 0 y = (0 - 3) 2 - 2 y = 9 - 2 y = 7 Intersección con x Intersección con y y = x 2 - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3 y = (3) 2 – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2) x y 1 2 2 -1 3 -2 -1 14 --- ---
  • 20. f(x) = (x - 3) 2 - 2 Traslación vertical y = f(x) – c ; c unidades hacia abajo. Traslación horizontal y = y f(x - c) ; c unidades a la derecha 2 3 Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Translaciones horizontales de las curvas (c > 0) Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x) y = f(x) - c c unidades hacia abajo y = f(x) + c c unidades hacia arriba Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x) y = f(x - c) c unidades a la derecha y = f(xc) c unidades a la izquierda
  • 21. Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división
  • 22. La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones
  • 23. Ing. Ricardo Blacio Docente – UTPL Correo electrónico: [email_address]

Notas do Editor

  1. utpl
  2. utpl