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Fundamentos Matematicos

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  1. 1. ESCUELA : NOMBRES: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS FECHA : Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL - AGOSTO 2010
  2. 2. 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 y x II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2
  3. 3. Gráfica de ecuaciones <ul><ul><ul><li>Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Intersecciones con los ejes. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Simetrías. </li></ul></ul></ul>
  4. 4. <ul><li>Intersecciones: </li></ul><ul><li>Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 </li></ul><ul><li>Simetrías: </li></ul><ul><li>Para saber si la gráfica es simétrica con respecto </li></ul><ul><li>Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. </li></ul><ul><li>Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. </li></ul><ul><li>Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación. </li></ul>
  5. 5. Trace la gráfica de la ecuación: x = -y 2 +3 <ul><li>Intersección con x hacer y = 0 </li></ul>x = - (0) 2 +3 x = 3 <ul><li>Intersección con y hacer x = 0 </li></ul>0 = - y 2 +3 y 2 = 3 y =±√3 <ul><li>Simetrías </li></ul><ul><li>Al eje x , sustituimos y por -y </li></ul>x= - (-y) 2 +3 x= - y 2 +3 <ul><li>Al eje y , sustituimos x por -x </li></ul>- x= - y 2 +3 <ul><li>Al origen, sustituimos x por –x y y por -y </li></ul>- x= - (-y) 2 +3 - x= - y 2 +3 Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x .
  6. 6. Intersección con x Intersección con y
  7. 7. Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2 + y 2 = r 2
  8. 8. Encuentre el centro y radio de la circunferencia x 2 + y 2 -10x +18 = 0 (x 2 – 10 x + _ _ )+ y 2 = -18 (x 2 – 10 x + 25 )+ y 2 = -18 +25 (x – 5) 2 + y 2 = 7 (x – h) 2 + (y - k) 2 = r 2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7
  9. 9. Rectas Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos. <ul><ul><ul><li>Formas de la ecuación de la recta: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>General ax + by = c </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b </li></ul></ul></ul>
  10. 10. La pendiente de la recta es: M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) <ul><ul><ul><li>Rectas paralelas y perpendiculares </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1. </li></ul></ul></ul>
  11. 11. Definición de función <ul><li>Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. </li></ul>Dominio Rango x y
  12. 12. <ul><li>Variables: </li></ul><ul><li>x se denomina variable independiente. </li></ul><ul><li>y se denomina variable dependiente. </li></ul><ul><li>Dominio </li></ul><ul><ul><ul><li>El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real. </li></ul></ul></ul><ul><li>Rango </li></ul><ul><li>El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio. </li></ul>
  13. 13. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
  14. 14. Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es decreciente en I si f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es constante en I si f (x1) = f (x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante
  15. 15. Al reemplazar la variable x por –x: Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) = - f (x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función
  16. 16. Encuentre el dominio y la imagen de f si: Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3 Imagen: El intervalo abierto (0,+∞) Creciente : (- ∞, -3 ) Decreciente: (-3 , +∞) Dominio Imagen x y 0 1/9 1 1/16 2 1/25 -1 1/4 -2 1 -3 No existe --- ---
  17. 17. Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola
  18. 18. Traza la gráfica de f f(x) = (x - 3) 2 - 2 Intersección con x hacer y = 0 0 = (x - 3) 2 - 2 x 2 - 6x + 9 – 2 = 0 x 2 - 6x + 7 = 0
  19. 19. Intersección con y hacer x = 0 y = (0 - 3) 2 - 2 y = 9 - 2 y = 7 Intersección con x Intersección con y y = x 2 - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3 y = (3) 2 – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2) x y 1 2 2 -1 3 -2 -1 14 --- ---
  20. 20. f(x) = (x - 3) 2 - 2 Traslación vertical y = f(x) – c ; c unidades hacia abajo. Traslación horizontal y = y f(x - c) ; c unidades a la derecha 2 3 Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Translaciones horizontales de las curvas (c > 0) Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x) y = f(x) - c c unidades hacia abajo y = f(x) + c c unidades hacia arriba Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x) y = f(x - c) c unidades a la derecha y = f(xc) c unidades a la izquierda
  21. 21. Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división
  22. 22. La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones
  23. 23. <ul><li>Ing. Ricardo Blacio </li></ul><ul><li>Docente – UTPL </li></ul><ul><li>Correo electrónico: [email_address] </li></ul>

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