Definición y fundamentos Ejemplos

1. FLUJO COMPRESIBLE:
Se denomina flujo compresible a aquel fluido cuya densidad varía significativamente
ante un cambio de presión. Tanto los gases, como los líquidos y los sólidos, todos
disminuyen su volumen cuando se les aplica una presión. La relación entre la variación
de volumen y la variación de presión, es una constante K, propia de cada material, que
depende de la elasticidad del mismo, por k se conoce como módulo de compresibilidad.
MODULO DE COMPRESIBILIDAD (K):
Para todo tipo de materia (sólido, líquido o gas), el aumento de presión (Δp), origina
siempre una disminución de volumen (ΔV). En la zona de elasticidad lineal de los
materiales, la variación unitaria de volumen (ΔV/V) por unidad de presión ((ΔV/V)/Δp),
es una constante, que viene determinada por las características elásticas del material, a
través del módulo de elasticidad volumétrica o módulo de compresibilidad:
Para los sólidos, K es muy grande, para líquidos K es grande y para gases K es pequeño.
El signo menos“(-) “, es debido a que los sentidos de las variaciones de presión y de
volumen son contrarios, es decir ante un aumento de presión, el volumen disminuye.
Centrándonos, en el campo de los fluidos, si consideramos magnitudes elementales, si un
determinado volumen de fluido (V) se somete a un aumento de presión (dp), el volumen
se reduce en un determinado valor (dV), denominando módulo de compresibilidad del
fluido a:
Un fluido poco compresible (líquidos) tiene alto módulo de compresibilidad y un fluido
muy compresible (gases) tiene bajo módulo de compresibilidad.
Para poder evaluar los cambios de presión y volumen (dP/dV), es necesario tener en
cuenta el tipo de proceso de compresión: isotermo (a temperatura constante), isentrópico
(adiabático sin efectos disipativos), Lo que da lugar a la definición de los siguientes
módulos:

2. Las ecuaciones anteriores se suelen expresar en función de términos de densidad en vez
de volumen1, quedando como expresiones del módulo de compresibilidad:
En el caso de líquidos, los dos módulos son prácticamente iguales; en cambio en gases,
el módulo isotermo es siempre menor que el isentrópico. Así, agua a 20ºC y 1 atm, tiene
un módulo de compresibilidad de 2200 MPa; en cambio, aire a 20ºC y 1 atm, tiene un
módulo isotermo de 0,1013 MPa, y un módulo isentrópico de 0,1418 MPa.
Una forma de evaluar la compresibilidad de un fluido es con la velocidad sónica:
VELOCIDAD SÓNICA (a) , es la velocidad con la que se transmiten pequeñas
perturbaciones en el seno del propio fluido; a esa velocidad se le denomina velocidad
sónica o velocidad del sonido y viene determinada por:
Los fluidos compresibles tienen bajas velocidades sónicas y los fluidos incompresibles
tienen altas velocidades sónicas; así a 20ºC y 1atm, la velocidad del sonido en agua es de
1483,2 m/s, y la velocidad del sonido en aire es de 331,3 m/s. Para obtener la expresión
anterior, consideremos una perturbación de presión “Δp” que se mueve a una velocidad
“c”, en el seno de un fluido en reposo a condiciones p, ρ, T; el paso del pulso de presión
(de área constante) provoca variaciones de variables de estado y un ligero movimiento de
partículas:

3. Considerando un volumen de control entorno al pulso de presión, se puede obtener una
expresión de la velocidad de la perturbación, a través de las ecuaciones de continuidad y
de movimiento:
Combinando los resultados de las dos ecuaciones, se tiene la expresión de la velocidad
del pulso de presión:
Definiendo la velocidad sónica, como la velocidad de una perturbación infinitesimal, y
considerando que el cambio de estado a través del pulso infinitesimal, es adiabático e
irreversible, es decir isentrópico, se tiene:
NÚMERO DE MACH.
La velocidad sónica, no sólo evalúa la compresibilidad de un fluido, sino que permite
clasificar los flujos, a través de la adimensionalización de la velocidad con la velocidad
sónica:

4. Cuando Ma<0,3 las variaciones de densidad son relativamente pequeñas (menores del
5%); con lo que aunque el fluido sea un gas, puede considerarse como incompresible.
Evidentemente en líquidos, la velocidad sónica es muy alta, y ello lleva a que el número
de Mach sea siempre muy pequeño.
Cuando Ma<0,8: en ninguna zona del flujo se producen ondas de choque
con Ma > 0.8 se pueden producir ondas de choque, de intensidad creciente conforme
aumenta el número de Mach. Una consideración interesante es que en flujo externo, las
fuerzas que el flujo ejerce sobre un objeto, tienen una dependencia muy diferenciada: a
muy bajos Ma (estrictamente tendríamos que hablar de muy bajos números de Reynolds),
el flujo sólo tiene que atravesar la propia geometría del objeto; conforme el Ma aumenta,
el desorden provocado por la capa límite, hace que la interacción fluido-superficie se
extienda a zonas alejadas del objeto; y finalmente conforme el flujo se aproxima a
condiciones sónicas, la aparición de las irreversibilidades con grandes aumentos de
entropía de las ondas de choque, hace que se tenga que superar la denominada “barrera
del sonido” en donde se tiene una alta interacción flujo-geometría; para acabar en los
flujos hipersónicos con la aparición de ondas de choque oblicuas.

5. Flujo incompresible
Un flujo incompresible es aquel donde el fluido no se comprime, como es típicamente el
caso de los líquidos, pero también puede pasar que bajo ciertas condiciones un fluido que
es compresible (como los gases en general) no manifiesta efectos de compresibilidad para
un patrón o régimen de flujo en particular. En ese caso se le asigna a la propiedad de flujo
compresible o incompresible al patrón de flujo. Para los fluidos compresibles, puede
demostrarse que los efectos compresibles van con el número de Mach al cuadrado, es
decir que la variación relativa de la densidad
Donde:
M: número de mach
u=velocidad del fluido
C=velocidad del sonido
Podemos decir entonces que el flujo es compresible si el número de Mach es menor que
un cierto valor, digamos 0.1. Por ejemplo, un auto a 100 Km/h en atmósfera estándar
posee un Mach de aprox. 0.1, con lo cual en esas condiciones podemos considerar que
el flujo es incompresible. Es de notar que si las variaciones de densidad son provocadas
por otros efectos que no sean la presión mecánica como la dilatación térmica, expansión
solutal (por ej. salinidad), etc... Entonces el patrón de flujo puede considerarse (con
respecto a los efectos sobre los algoritmos numéricos) incompresible, aún si la densidad
resulta no ser constante ni espacialmente ni en el tiempo. El término
compresible/incompresible se aplica a las variaciones de densidad producidad
exclusivamente por efecto de la presión. Si bien en principio uno podría pensar que la
incompresibilidad es una ventaja, ya que permite eliminar (en muchos casos) una
variable (la densidad), desde el punto de vista numérico suele traer más problemas que
soluciones.

6. Ecuacionesde Navier-Stokesincompresible
Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles son:
La primera es la “ecuación de momento”, mientras que la segunda es la “ecuación de
continuidad” o “balance de masa”. Es importante notar que en el límite de “flujo
reptante” o “flujo de Stokes” (es decir, despreciando el término convectivo), las
ecuaciones resultantes son exactamente iguales a las de elasticidad lineal incompresible
isotrópica, si reemplazamos el vector de velocidad por el de desplazamiento y la
viscosidad por el módulo de elasticidad. Las siguientes observaciones nos permiten
adelantar el problema ocasionado por la incompresibilidad:
• La condición de incompresibilidad no tiene un término temporal: Esto quiere
decir que “la presión no tiene historia”. El estado del fluido solo está dado por la
velocidad. También podemos decir que la ecuación de continuidad aparece como una
restricción, más que como una ecuación de evolución. La presión, pasa a ser el
multiplicador de Lagrange asociado.
• Las ecuaciones son no locales: Esto es más fácil de ver en el caso de elasticidad. Se
sabe bien que en el caso de elasticidad compresible el problema es elíptico, de manera
que hay una cierta localidad de los efectos. Esto se pierde en el caso incompresible. Por
ejemplo, consideremos un sólido incompresible que ocupa una región Ω (ver figura1.1).
Las condiciones son de desplazamiento nulo en toda la frontera, menos en una cierta
parte Γ1 donde se aplica un cierto desplazamiento uniforme, y otra cierta parte Γ2
donde las condiciones son libres, es decir tracción nula. En el caso compresible, el
operador es elíptico, local, y la influencia del desplazamiento impuesto sobre el dominio
Γ1 en el dominio Γ2 dependería de la distancia entre ambas regiones, sus tamaños
relativos, etc... Si el tamaño de ambas regiones es similar y muy pequeños con respecto
a la distancia que los separa, entonces los desplazamientos en Γ2 serían despreciables.
Por el contrario, en el caso incompresible, el cambio de volumen total en Γ2 debe ser
igual al impuesto en Γ1, por lo tanto los desplazamientos en Γ2 serían del mismo orden
que aquellos impuestos en Γ1 (asumiendo que ambas regiones de la frontera tienen
dimensiones similares).
• Cambia el carácter matemático de las ecuaciones: También en el caso elástico,
estacionario las ecuaciones dejan de ser elípticas al pasar al caso incompresible. Esto se
debe a que la ecuación de continuidad “no tiene término en derivadas segundas”.

7. • La ecuación de la energía se desacopla de la de momento y continuidad: El
campo de temperaturas se puede obtener a posteriori a partir del campo de velocidades
obtenido.
Formulaciónvorticidad-función de corriente:
La vorticidad se define como:
El cual, para un flujo bidimensional se reduce a:
En 2D se puede encontrar una función de corriente ψ tal que:

8. Tomando rotor de (1.1) se llega, después de un cierto trabajo algebraico, a
fesf