Modelagem matematica aplicada a engenharia quimica

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Modelagem matematica aplicada a engenharia quimica

  1. 1. 2◦ Parte I• Generalização dos modelos◦ Parte II• Métodos de solução numérica para modelos Macroscópicos◦ Parte III• Métodos de solução numérica para modelos MicroscópicosMacroscópicosMicroscópicos
  2. 2. 3
  3. 3. 4Aula 14SoluçãoNuméricaModelagemMacroscópicaTransientePermanente𝐟 𝛟 = 0𝛟 = ?EDO / SEDO(1ª Ordem)EA / SEAd𝛟dt= 𝐟 t, 𝛟 ; ρ𝛟 t ; t > 0para t = 0 ρϕ 0 = ϕ01 Equação Algébrica1 EDO de 1ª OrdemMétodos iterativosMétodos diretosBissecçãoFalsa-posiçãoFalsa-posição modificadaMullerNewton-RaphsonSecanteRunge-Kutta (1ª, 2ª, 3ª, 4ª Ordem)
  4. 4. 5Aula 14 Definições dos erros:Erros de ArredondamentoErros de TruncamentoErros de DiscretizaçãoRelacionados à representação das variáveis porum número finito de dígitos. Exemplo:representar 𝜋 ≈ 3,14 , mas que na verdade𝜋 = 3,141592653589793238462643 …Relacionados à representação das funções porum número finito de termos de uma série. Porexemplo: Expansão em Série de Taylor em t0ϕ t = ϕ(t0) +dϕdt t0(t−t0) +d²ϕdt² t0(t;t0)²2!+ ⋯TruncamentoRelacionados à discretização dodomínio tempo-espacial.
  5. 5. 6Aula 14 Tipos de erros:Erros AbsolutosErros RelativosErro = f ϕMi:1Erro = ϕEi:1− ϕDi:1Erro =ϕEi:1− ϕDi:1ϕEi:1Erro =f(ϕEi:1) − f(ϕDi:1)f(ϕEi:1)
  6. 6. 7Aula 14 Método da Bissecção:Interpretação geométrica: Diminuição dointervalo com oavanço das iterações
  7. 7. 8Aula 14 Método da Bissecção:A) Encontrar um intervalo onde existe uma raiz:Critério para existência de uma raiz no intervalo ϕE, ϕD :f ϕE ∙ f ϕD < 0B) Ponto médio:ϕMi=ϕEi+ ϕDi2C) Reduzir intervalo:Se f ϕEi∙ f ϕMi⊝ Novo intervalo  ϕEi:1, ϕMi:1⊕ Novo intervalo  ϕMi:1, ϕDi:1
  8. 8. 9Aula 14 Método da Bissecção:D) Repetir o processo com:Tolerância10;3, 10;4, … , 10;8Simples10;9, 10;10, … , 10;16 DuplaϕMi=ϕEi+ ϕDi2até que o critério de convergência seja atingido:f ϕMi:1≤ TolϕEi:1− ϕDi:1≤ Tolf(ϕEi:1) − f(ϕDi:1)f(ϕEi:1)≤ TolϕEi:1− ϕDi:1ϕEi:1≤ Tol
  9. 9. 10Aula 14 Método da Bissecção: f ϕ = 2ϕ − 3 = 0Exemplo:Por solução analítica, sabemos que ϕ =32= 1,5Resolvendo por método da bissecção:Iteração ϕE ϕi ϕD f(ϕ 𝐄) f(ϕ𝐢) f(ϕ 𝐃) f(ϕ 𝐄). f(ϕ𝐢)1 0 5 10 -3 +7 +17 -2 0 2,5 5 -3 +2 +7 -3 0 1,25 2,5 -3 -0,5 +2 +4 1,25 1,875 2,5 -0,5 +0,75 +2 -5 1,25 1,5625 1,875 -0,5 +0,125 +0,75 -... ... ... ... ... ... ... ...i ϕiE ≈ 1,5 ϕiD f(ϕ 𝐄) f(ϕ𝐢) < Tol f(ϕ 𝐃)Solução aproximada
  10. 10. 11Aula 14 Método de Newton-Raphson:Interpretação geométrica:Chute inicial
  11. 11. 12Aula 14 Método de Newton-Raphson:É baseado na expansão em Série de Taylor:f(ϕ) = f(ϕ0) +dfdϕ ϕ0(ϕ − ϕ0) +d²fdϕ² ϕ0(ϕ − ϕ0)²2!+d³fdϕ³ ϕ0(ϕ − ϕ0)³3!+ ...Truncar no 2º termo0 ≈ f(ϕ0) +d f(ϕ)dϕ ϕ0(ϕ − ϕ0)ϕ ≈ ϕ0 −f(ϕ0)d f(ϕ)dϕ ϕ0Rearranjando a equação, isolando ϕ, encontra-se que:Para f ϕ ≈ 0:ϕi:1≈ ϕi−f(ϕi)d fdϕ ϕiou
  12. 12. 13Aula 16 Programação em FORTRAN:Código Fonte: *.for, *.f77, *f.90, *.fCódigo Objeto: *.objCódigo Executável: *.exeEditor de Programas [1]CompiladorLigação (“Link”) do códigoobjeto com as bibliotecas dalinguagem[1] Ambiente de Programação (Force, Power-Station, Visual-Studio)
  13. 13. 14 Caso 01: Construção do Diagrama de MoodyEquação de Colebrook:1𝑓= −2 log𝜀𝐷3,71+2,51𝑅𝑒 𝐷 𝑓Rugosidade relativaNº de ReynoldsAula 16
  14. 14. 15 Caso 01: Construção do Diagrama de MoodyPrograma “NR-Moody” – Calcular um ponto do diagrama por Newton-Raphsonf ϕ =1ϕ+ 2 logεD3,71+2,51ReD ϕ= 0ϕ =?Programa “NR-DiagMoody” – Calcular o “diagrama completo”𝐟 εD , ReD = 𝐟 100,1000,001 a 0,1 1.000 a 100.000Aula 16
  15. 15. 16 Sistemas de Equações AlgébricasForma geral:c/Aula 17𝐟 𝛟 = 0𝛟 =?f1 ϕ1, ϕ2, … , ϕn = 0f2 ϕ1, ϕ2, … , ϕn = 0...f3 ϕ1, ϕ2, … , ϕn = 0𝛟 =ϕ1ϕ2…ϕn
  16. 16. 17 Sistemas de Equações AlgébricasPara o caso linear:𝐟 𝛟 = 𝐀𝛟 + 𝐛 = 0𝛟 =?A11ϕ1 + A12ϕ2 + ⋯ + A1nϕn = −b1A21ϕ1 + A22ϕ2 + ⋯ + A2nϕn = −b2...An1ϕ1 + An2ϕ2 + ⋯ + Annϕn = −bn𝐀𝛟 = −𝐛A11 ⋯ A1n⋮ ⋱ ⋮An1 ⋯ Annϕ1⋮ϕn=−b1⋮−bnAula 17
  17. 17. 18 Sistemas de Equações AlgébricasSolução:𝛟 = 𝐀;1 ∙ (−b)Matriz inversa de A 𝐀 ∙ 𝐀;1= 𝐈 =1 0 00 1 00 0 1Sub-rotinacomando “Subroutine NOME()”OBS:Nº Equações = Nº incógnitas Solução únicaNº Equações < Nº incógnitas ∞ SoluçõesNº Equações > Nº incógnitas ∄ SoluçãoAula 17
  18. 18. 19 Sistemas de Equações AlgébricasProgram NOME1-End ProgramFunction NOME2( )-End FunctionSubroutine NOME3( )-ReturnEnd SubroutineComandosA = NOME2 ( ) chamada de funçãoCALL NOME3 ( ) chamada de sub-rotinaAula 17
  19. 19. 20 Sistemas de Equações AlgébricasProgram SEALDouble Precision A(n,n), B(n), Phi(n) Entrada da Matriz “A” e do vetor “b”Call INVERSA (A)Do i = 1,nSOMA = 0Do j = 1,nSOMA = SOMA + A(i,j)*(-B(j))Programa para SEA-LinearesEnd DoPhi(i) = SOMAEnd Do Saída de resultadosEnd ProgramAula 17
  20. 20. 21 Sistemas de Equações AlgébricasA11 ⋯ A1n⋮ ⋱ ⋮An1 ⋯ Ann−b1⋮−bn=A11ϕ1 + A12ϕ2 + ⋯ + A1nϕn⋮An1ϕ1 + An2ϕ2 + ⋯ + Annϕnnxn nx1nx1Aula 17
  21. 21. 22 Sistemas de Equações Algébricas não-linearesNº Equações e Nº incógnitas Não é possível garantir que a soluçãoseja única. Existe pelo menos umasolução.Métodos de aproximação DiretosIterativosUtiliza expansões emsérie de Taylor comoforma de aproximaçãoAula 17
  22. 22. 23 Sistemas de Equações Algébricas não-linearesAula 17Método de Newton para n equações (direto)Seja o sistema:f1 ϕ1, ϕ2 = 0f2 ϕ1, ϕ2 = 0𝛟 =ϕ1ϕ2=?Estimativa inicial: ϕ10ϕ20SEA-NL
  23. 23. 24 Sistemas de Equações Algébricas não-linearesAula 17Método de Newton para n equaçõesFazendo uma expansão do sistema em série de Taylor no entorno deuma estimativa inicial:f1(ϕ1, ϕ2)= f1(ϕ10,ϕ20) +df1dϕ1 ϕ10,ϕ20(ϕ1 − ϕ10)+df1dϕ2 ϕ10,ϕ20(ϕ2 − ϕ20)+d²f1dϕ1² ϕ10,ϕ20(ϕ1 − ϕ10)²2!+d²f1dϕ2² ϕ10,ϕ20(ϕ2 − ϕ20)²2!+ ...f2(ϕ1, ϕ2)= f2(ϕ10,ϕ20) +df2dϕ1 ϕ10,ϕ20(ϕ1 − ϕ10)+df2dϕ2 ϕ10,ϕ20(ϕ2 − ϕ20)+d²f2dϕ1² ϕ10,ϕ20(ϕ1 − ϕ10)²2!+d²f2dϕ2² ϕ10,ϕ20(ϕ2 − ϕ20)²2!+ ...
  24. 24. 25 Sistemas de Equações Algébricas não-linearesAula 17Método de Newton para n equaçõesTruncando as séries até a derivada 2ª:df1dϕ1 ϕ10,ϕ20δ1 +df1dϕ2 ϕ10,ϕ20δ2 = −f1(ϕ10,ϕ20)df2dϕ1 ϕ10,ϕ20δ1 +df2dϕ2 ϕ10,ϕ20δ2 = −f2(ϕ10,ϕ20)
  25. 25. 26 Sistemas de Equações Algébricas não-linearesAula 17Método de Newton para n equaçõesTruncando as séries até a derivada 2ª:𝐉0𝛅 = −𝐟0𝛅 = 𝐉0 ;𝟏∙ −𝐟0df1dϕ1 ϕ10,ϕ20df1dϕ2 ϕ10,ϕ20df2dϕ1 ϕ10,ϕ20df2dϕ2 ϕ10,ϕ20δ1δ2=−f1(ϕ10,ϕ20)−f2(ϕ10,ϕ20)Matriz do JacobianoSEA-L
  26. 26. 27 Sistemas de Equações Algébricas não-linearesAula 17Método de Newton para n equaçõesTruncando as séries até a derivada 2ª:ϕ1ϕ2−ϕ10ϕ20 =df1dϕ1 ϕ10,ϕ20df1dϕ2 ϕ10,ϕ20df2dϕ1 ϕ10,ϕ20df2dϕ2 ϕ10,ϕ20;1−f1(ϕ10,ϕ20)−f2(ϕ10,ϕ20)ϕ1ϕ2=ϕ10ϕ20 +df1dϕ1 ϕ10,ϕ20df1dϕ2 ϕ10,ϕ20df2dϕ1 ϕ10,ϕ20df2dϕ2 ϕ10,ϕ20;1−f1(ϕ10,ϕ20)−f2(ϕ10,ϕ20)Fórmula de recorrência para atualização da estimativa
  27. 27. 28 Caso 02Aula 18Cálculo do volume molar pela Eq. de Van derWaals, utilizando o método da bissecção:Eq. De Van der WaalsP =RTV − b−aV²𝑉³ − 𝑏 +𝑅𝑇𝑃𝑉2 +𝑎𝑃𝑉 −𝑎𝑏𝑃= 0ou𝑎 =2764𝑅𝑇𝑐 ²𝑃𝑐𝑏 =18𝑅𝑇𝑐𝑃𝑐
  28. 28. 29 Caso 02Aula 18Cálculo do volume molar pela Eq. de Van derWaals, utilizando o método da bissecção:Dados do problema:Sistema: T=300 KP=10 barComponente 1: CO2Tc= 304,2 KPc= 73,83 barx= 0,3Componente 2: n-pentanoTc= 469,7 KPc=33,7 barx= 0,7R= 83,144 cm³bar/(mol K)
  29. 29. 30 Caso 02Aula 18Cálculo do volume molar pela Eq. de Van derWaals, utilizando o método da bissecção:Regras de mistura:𝑎12 = 𝑎1 𝑎2𝑏12 =𝑏1 + 𝑏22𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑎1 𝑥1² + 2𝑎12 𝑥1 𝑥2 + 𝑎2 𝑥2²𝑏 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑏1 𝑥1² + 2𝑏12 𝑥1 𝑥2 + 𝑏2 𝑥2²
  30. 30. 31 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Formulação geral do problema:dϕdt= f t, ϕ ; ρϕ t ; t > 0para t = 0 ρϕ 0 = ϕ0d𝛟dt= 𝐟 t, 𝛟 ; ρ𝛟 t ; t > 0para t = 0 ρ𝛟 0 = 𝛟01 EDOSEDOsPVIProblemas de Valor Inicial
  31. 31. 32 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Obs: Redução de EDOs de Ordem Superior para Sistemas de EDOs de1ª Ordem:an ηdnϕdηn+ an;1 ηdn;1ϕdηn;1+ ⋯ + an ηdnϕdηn= b ηa ηd2ϕdη2 + b ηdϕdη= c ηEDO deordem “n”Redução  Sistema de EDOs de 1ª OrdemExemplo: EDO de 2ª Ordem
  32. 32. 33 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19a ηd2ϕdη2+ b ηdϕdη= c ηExemplo: EDO de 2ª OrdemDefinindo uma nova variável: β =dϕdηa ηdβdη+ b η β = c ηβ =dϕdη2EDOs de 1ª Ordem
  33. 33. 34 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos baseados em expansão em Série de Taylor (Diretos):Runge-KuttaExplícitos Fórmula de recorrência:ϕ(t) = ϕ(t0) +dϕdt t<t0(t − t0) +d²ϕdt² t<t0(t − t0)²2!+ ...Implícitos Fórmula de recorrência:ϕ(t + Δt) = g ϕ t ,dϕdt t, tϕ(t + Δt) = g ϕ t , ϕ t + Δt ,dϕdt t,dϕdt t:Δt, t, t + Δt“Futuro” “Passado”“Futuro” “Passado + Futuro”
  34. 34. 35 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta Explícitos: Runge-Kutta de 1ª Ordem(Método de Euler)ϕ(t) ≈ ϕ(t0) +dϕdt t0(t − t0)ϕ(t + ∆t) ≈ ϕ(t) +dϕdt t∆th = passo de integração≡ f t, ϕ  EDO de 1ª Ordem
  35. 35. 36 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta Explícitos: Runge-Kutta de 1ª Ordem(Método de Euler)ϕ1 = ϕ0 + h f(t0, ϕ0)ϕ2 = ϕ1 + h f(t1, ϕ1)t1 = t0 + ht2 = t1 + h
  36. 36. 37 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta Explícitos:Os métodos de Runge-Kutta podem ser generalizados p/ qualquer ordem deaproximação pela seguinte fórmula de recorrência:ϕi:1 = ϕi + wkKknk<1Ordem de aproximaçãoPara n=1 Runge-Kutta de 1ª Ordem (Euler)ϕi:1 = ϕi + w1K1 comw1 = 1K1 = h f(ti, ϕi)
  37. 37. 38 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta Explícitos:Para n=2 Runge-Kutta de 2ª Ordemϕi:1 = ϕi + w1K1 + w2K2 comw1 = w2 = 0,5K1 = h f(ti, ϕi)K2 = h f(ti + h, ϕi + K1)Para n=3 Runge-Kutta de 3ª Ordemϕi:1 = ϕi + w1K1 + w2K2 + w3K3 com w1 =29, w2 =13, w3 =29K1 = h f(ti, ϕi)K2 = h f(ti +h2, ϕi +K12)K3 = h f(ti +3h4, ϕi +3K24)
  38. 38. 39 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta Explícitos:Para n=4 Runge-Kutta de 4ª Ordem (Gill)ϕi:1 = ϕi + w1K1 + w2K2 + w3K3 + w4K4comw1 =16, w2 =13b, w3 =13d, w4 =16K1 = h f(ti, ϕi)K2 = h f(ti +h2, ϕi +K12)K3 = h f(ti +h2, ϕi + aK1+bK2)K4 = h f(ti + h, ϕi + cK2+dK3)𝑎 =2 − 12; 𝑏 =2 − 22𝑐 = −22; 𝑑 = 1 +22
  39. 39. 40 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta Explícitos:Para n=4 Runge-Kutta de 4ª Ordem (Felberg)ϕi:1ℎ= ϕi +25216K1 +14082565K3 +21974104K4 −15K5ϕi:1ℎ2 = ϕi +16135K1 +665612825K3 +2856156430K4 −950K5 +255K6K1 = h f(ti, ϕi) ; K2 = h f(ti +h4, ϕi +K14) ; K3 = h f(ti +38h, ϕi +332K1+932K2)K4 = h f(ti +1213h, ϕi +19322197K1−72002197K2+72962197K3)K5 = h f(ti + h, ϕi +439216K1−8K2+3680513K3 −8454104K4)K6 = h f(ti +h2, ϕi −827K1+2K2 −35442565K3+18594104K4 −1150K5)
  40. 40. 41 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Métodos de Runge-Kutta para Sistema de EDOs:Para Runge-Kutta de 1ª Ordemdϕ1dt= f1 t, ϕ1, … , ϕn...dϕndt= fn t, ϕ1, … , ϕnK11 = h f1 ti, ϕ1i, … , ϕniK12 = h f2 ti, ϕ1i, … , ϕni...K1n = h fn ti, ϕ1i, … , ϕniϕ1i:1 = ϕ1i + K11...ϕni:1= ϕni+ K1nProcedimentoé repetido paratodos ospassos deintegração
  41. 41. 42 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 19Exercício: Resolver a EDO de 1ª Ordem abaixo, por Runge-Kutta de 1ª, 2ª e3ª Ordem até tfinal = 10 com h = 1.dϕdt= 10ϕ² ; ϕ t ; t > 0Para t = 0  ϕ(0) = 1Por final, comparar as soluções numéricas obtidas com a solução analítica.
  42. 42. Encontrar a solução numérica para a seguinte Equação Algébrica não-linear:a) Pelo método da Bissecçãob) Pelo método de Newton-Raphson43 Aula de exercícios:Aula 21Exercício 1:f x =x1 − x42x− 0,04568 = 0
  43. 43. Encontrar a solução numérica do seguinte Sistema de Equações Algébricas não-linear pelo Método de Newton:44 Aula de exercícios:Aula 21Exercício 2:f1 ϕ1, ϕ2 = ϕ13− 3ϕ1ϕ2 + 1 = 0f2 ϕ1, ϕ2 = 3ϕ13ϕ2 − ϕ23= 0𝛟 =ϕ1ϕ2=?
  44. 44. Resolver o seguinte sistema de EDO de 1ª Ordem pelo Método de Runge-Kuttade 2ª Ordem:45 Aula de exercícios:Aula 21Exercício 3:dϕ1dt= −4ϕ1 + 5ϕ2 ; ϕ1 t ; t > 0dϕ2dt= −2ϕ1 + 2ϕ2 ; ϕ2 t ; t > 0Para t = 0  ϕ1 0 = 1ϕ2 0 = 0
  45. 45. 46 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 22Problemas de Valor de Contorno (PVC):EDOs de 2ª Ordemreduzidas a sistemasde EDOs de 1ª OrdemModelos Microscópicos1-D, permanente e comdifusão.Sistemas de EDOs de 1ªOrdem com condiçõesde contorno opostasModelos Miscroscópicos 1-D,permanente, sem difusão,contracorrenteEx: Trocador de calorcontracorrente
  46. 46. 47 Solução Numérica de EDOs de 1ª OrdemAula 22Trocador de Calor contracorrente:Duplo tubo,tubo carcaça, ...
  47. 47. 48 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusãoAula 22Conservação da Energia Térmica / Fluido Quented mqCpqTqdz= UA Tq − TfdTqdz=U∗A∗mqCpqTq − Tf ; Tq z ; 0 < z ≤ LPara z = 0 Tq 0 = TqeConsiderando mqCpq≈ cteα
  48. 48. 49 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusãoAula 22Conservação da Energia Térmica / Fluido Friod mfCpfTfdz= UA Tf − TqdTfdz=U∗A∗mfCpfTq − Tf ; Tf z ; 0 ≤ z < LPara z = L Tf L = TfeConsiderando mfCpf≈ cteβ
  49. 49. 50 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusãoAula 22Conservação da Energia TérmicadTfdz= β Tq − Tf ; Tf z ; 0 < z ≤ LPara z = 0 Tf 0 = Tfs = ?As duas EDOs de 1ª Ordem formam um Problema de Valor de Contorno (PVC).Como transformar um PVC em um PVI?Tf𝑠 = Tf 0 =?É resultado da EDOEstimativaIntegrandoTf z  Tf z = L = (Tfe)calc
  50. 50. 51 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusãoAula 22Problema de 1 EA-NL  Zero de Funçãof ϕ = 0ϕ =?f Tfs = Tfe − (Tfe)calcTfs =?f Tfs = Tfe − (Tfe)calc ²Tfs =?ou Bissecção ou Newton-Raphson
  51. 51. 52 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusãoAula 22Problema de 1 EA-NL  Zero de FunçãoRealizar a integraçãodo sistema de EDOsde 1ª Ordem (PVI)Pelo método de Newton-RaphsonTfsi:1≈ Tfsi−f(Tfsi)dfdTfs TfsiCalcular a derivadanumérica pordiferença centraldfdTfs Tfsi≈𝑓 Tfsi+ ∆Tfs − 𝑓(Tfsi− ∆Tfs)2∆TfsRealizar aintegração dosistemaRealizar aintegração dosistema
  52. 52. 53 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusãoAula 22ProgramaTFE = ...ESTIMATIVA INICIALTFS0 = ...ICONV = 1ITER = 0DELTA_TF = 1.0D-3DO WHILE (ICONV.EQ.1)ITER = ITER+1CALL MODEL (TFS0,TFEC)FTFS0 = DABS (TFE-TFEC)**2.0D+0TFSMA = TFS0+DELTA_TFCALL MODEL (TFSMA,TFECMA)TFSME = TFS0 - DELTA_TFCALL MODEL (TFSME,TFEME)FTSFMA = DABS (TFE – TFECMA)**2.0D+0FTSFME = DABS (TFE – TFECME)**2.0D+0DFTFS0 = (FTSFMA – FTSFME)/(2.0D+0*DELTA_TF)!Próxima estimativaTFS0 = TFS0 – FTFS0/DFTFS0!Verificando a convergênciaIF(DABS(FTFS0).LE.TOL)ICONV=0END DOA sub-rotina MODEL realiza a integração do SEDO de 1ªOrdem do tipo PVI
  53. 53. 54 Referências Bibliográficas:CHAPRA, Steven C; CANALE, Raymond P. Numerical methods for engineers:with programming and software apllications. 3rd ed. Boston : McGraw-Hill,1998. xix, 924p, il. (General engineering series).
  54. 54. Bons estudos!55

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