FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -                        TRABALHO E ENERGIA                                Prof. Carlos Al...
INTRODUÇÃO   Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:           Trabalho de uma força constante;        ...
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE   Existem outros modos de analisar os movimentos, sem depender da   aplicação direta das l...
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE   No (SI) a unidade de trabalho é o joule, cujo símbolo é J.   Como o cos θ não tem unidad...
TRABALHO TOTAL   Frequentemente encontramos situações em que um corpo está sob a   ação de várias forças. O trabalho total...
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco apoiado em uma superfície  horizontal é puxado para a direita, pela aplicação de uma força  ...
CONTINUAÇÃO   Resolução:                     →                     −   Trabalho da força F :         τF = F · d · cos θ = ...
CONTINUAÇÃO                   −→ → −   Como as forças FN e P são perpendiculares ao deslocamento, seus   trabalhos são nul...
TRABALHO DA FORÇA PESO   Consideremos uma região próxima da superfície da Terra, de modo   que a aceleração da gravidade p...
TRABALHO DA FORÇA PESO   Usando-se o Cálculo Integral é possível mostrar que o trabalho                        →          ...
TRABALHO DA FORÇA PESO   Indo de A para B, a partícula   moveu-se a favor do peso e, assim,   o trabalho é positivo. Se a ...
ENERGIA CINÉTICA   Consideremos uma partícula de   massa m, que passa por um ponto   A com velocidade −A e por um         ...
ENERGIA CINÉTICA   A energia cinética (EC ) de um corpo de massa m e velocidade ν é   definida do seguinte modo:           ...
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula de massa m = 4, 0 kg  é abandonada do alto de um tobogã, passando pelo ponto A com  vel...
CONTINUAÇÃO   Resolução:   Durante o movimento, a força nor-   mal não se mantém constante, pois   a trajetória é curva. A...
CONTINUAÇÃO                 −                 →   O trabalho de FN é nulo e o trabalho do peso é:         τP = +P · h = +m...
EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco de massa m = 6, 0 kg tem                                                             →      ...
CONTINUAÇÃO   Resolução:                  →                  −   O trabalho de F é dado pela área   da região colorida na ...
CONTINUAÇÃO                                                        →                                                      ...
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA           Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch Moysés - 4.           ed. - São Paulo:...
OBSERVAÇÕES:           Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não           acumulem dúvidas e procurem...
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  1. 1. FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E ENERGIA Prof. Carlos Alberto G. de Almeida Tutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira UFPB VIRTUAL 2 de setembro de 2012Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 1 / 21
  2. 2. INTRODUÇÃO Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos: Trabalho de uma força constante; Trabalho da força peso; Energia Cinética; Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os assuntos descritos acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria no Livro de FÍSICA., na segunda unidade. BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 2 / 21
  3. 3. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE Existem outros modos de analisar os movimentos, sem depender da aplicação direta das leis de Newton. Um desses modos é baseadonos conceitos de Trabalho e Energia, que apresentaremos agora. Cnsideremos um corpo que se move em trajetória retilínea, efetuando → − → − um deslocamento d . Seja F uma das forças que atuam no corpo e suponhamos que essa força seja constante (em módulo, direção e → − sentido) e forme um ângulo θ com o deslocamento d . O trabalho da → − força F (τF ) é definido por: τF = F · d · cos θ (1)Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 3 / 21
  4. 4. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE No (SI) a unidade de trabalho é o joule, cujo símbolo é J. Como o cos θ não tem unidade, da equação (1), temos: unidade de τ = (unidade de F ) · (unidade de d) J =N ·m θ = 0 =⇒ cos θ = 1 =⇒ τF = F · d θ = 90o =⇒ cos θ = 0 =⇒ τF = 0 θ = 180o =⇒ cos θ = −1 =⇒ τF = −F · d Quando θ é agudo, isto é, 0 < θ < 90o , teremos cos θ > 0, e o trabalho será positivo. Quando θ é obtuso, isto é, 90o < θ < 180o , teremos cos θ < 0, e o trabalho é negativo.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 4 / 21
  5. 5. TRABALHO TOTAL Frequentemente encontramos situações em que um corpo está sob a ação de várias forças. O trabalho total realizado durante um deslocamento é simplemente a soma dos trabalhos realizados por cada força: τtotal = τF1 + τF2 τF3 + τF4 + . . . − → Sendo FR a resultante das forças que atuam no corpo, é possível − → demonstrar que o trabalho total é igual ao trabalho de FR : τFR = τtotal = τF1 + τF2 τF3 + τF4 + . . .Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 5 / 21
  6. 6. EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco apoiado em uma superfície horizontal é puxado para a direita, pela aplicação de uma força → − F de intensdade F = 100 N. Além dessa força, o bloco está sob → − − → a ação de outras três forças: o peso P , a normal FN e a força de − → atrito FA . Suponhamos que P = 90 N, FA = 20 N, senθ = 0, 60 e → − cos θ = 0, 80. Para um deslocamento d tal que d = 5, 0 m, vamos calcular o trabalho de cada força e o trabalho total.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 6 / 21
  7. 7. CONTINUAÇÃO Resolução: → − Trabalho da força F : τF = F · d · cos θ = (100) · (5, 0) · (0, 80) =⇒ τF = 400 J − → Trabalho da força de atrito FA : τFA = FA · d · cos 180o = (20) · (5, 0) · (−1) =⇒ τFA = −100 JProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 7 / 21
  8. 8. CONTINUAÇÃO −→ → − Como as forças FN e P são perpendiculares ao deslocamento, seus trabalhos são nulos: τP = τFN = FN ·d · cos(π/2) = 0 ou P =0 Portanto, o trabalho total é: τtotal = τF + τFA + τP + τFN = (400 J) + (−100 J) + 0 + 0 = 300 J τtotal = 300 JProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 8 / 21
  9. 9. TRABALHO DA FORÇA PESO Consideremos uma região próxima da superfície da Terra, de modo que a aceleração da gravidade possa ser considerada constante. Suponhamos que uma partícula vá de um ponto A a um ponto B.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro 2 (UFPB VIRTUAL) 9 / 21
  10. 10. TRABALHO DA FORÇA PESO Usando-se o Cálculo Integral é possível mostrar que o trabalho → − realizado pelo peso ( P ) da partícula é dado por: τAB = P · h onde h é o desnível entre os pon- tos A e B, independentemente da trajetória seguida. Na figura ao lado exemplificamos dois caminhos ligando A a B. O trabalho do peso é o mesmo em qualquer desses ca- minhos.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 10 / 21
  11. 11. TRABALHO DA FORÇA PESO Indo de A para B, a partícula moveu-se a favor do peso e, assim, o trabalho é positivo. Se a par- tícula fosse de B para A, subindo, portanto, estaria se movendo con- tra o peso e nesse caso o trabalho do peso seria negativo: τBA = −P · h Quando o trabalho de uma força depende apenas do ponto inicial e do ponto final e não da trajetória seguida, a força é chamada conservativa. Assim, o peso é uma força conservativa.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 11 / 21
  12. 12. ENERGIA CINÉTICA Consideremos uma partícula de massa m, que passa por um ponto A com velocidade −A e por um → ν ponto B com velocidade −B , ao ν→ longo de uma trajetória qualquer, sob a ação de um número qualquer de forças, constantes ou variáveis. Usando o Cálculo Integral é possível demosntrar que o trabalho total realizado por essas forças, entre os pontos A e B (τAB ), é dado por: m · ν2 m · ν2 B A τAB = − (2) 2 2 Final InicialProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 12 / 21
  13. 13. ENERGIA CINÉTICA A energia cinética (EC ) de um corpo de massa m e velocidade ν é definida do seguinte modo: m · ν2 EC = (3) 2 mν2 Desse modo, na equação (2), 2 B é a energia cinética no ponto B mν2 (ECB ) e é a energia cinética no ponto A (ECA ). Podemos, então, 2 A dar outra forma à equação (2): τAB = ECB − ECA = ∆EC (4) onde ∆EC é a variação da energia cinética. As equações (2) e (4) são os modos matemáticos de enunciar o Teorema da Energia Cinética (TEC): O trabalho total das forças atuantes numa partícula é igual à variação da energia ci- nética dessa partícula.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 13 / 21
  14. 14. EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula de massa m = 4, 0 kg é abandonada do alto de um tobogã, passando pelo ponto A com velocidade νA = 3, 0 m/s e pelo ponto B com velocidade νB = 8, 0 m/s. Durante o movimento, o bloco esteve sob a ação de apenas três forças: o peso, a normal e a força de atrito. Sendo g = 10 m/s2 , calculemos o trabalho da força de atrito no trecho AB.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 14 / 21
  15. 15. CONTINUAÇÃO Resolução: Durante o movimento, a força nor- mal não se mantém constante, pois a trajetória é curva. Assim, mesmo que conhecêssemos o coeficinte de atrito µ, não teríamos um va- lor constante para a força de atrito e, assim, não poderíamos calcular o seu trabalho pela fórmula τ = F · d · cos θ. Vamos, então, utilizar o Teorema da Energia Cinética. As energias cinéticas da partícula nos pontos A e B são: mν2A (4, 0) · (3, 0)2 ECA = = = 18 =⇒ ECA = 18 J 2 2 mν2B (4, 0) · (8, 0)2 ECB = = = 128 =⇒ ECB = 128 J 2 2Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 15 / 21
  16. 16. CONTINUAÇÃO − → O trabalho de FN é nulo e o trabalho do peso é: τP = +P · h = +mgh = (4, 0) · (10) · (5, 0) = 200 =⇒ τP = 200 J De acordo com o Teorema da Energia Cinética: mν2B mν2A τtotal = τFA + τP + τFN = − 2 2 τFA + 200 + 0 = 128 − 18 ∴ τtotal = −90 J τtotal = −90 JProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 16 / 21
  17. 17. EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco de massa m = 6, 0 kg tem → − movimento retilíneo sobre uma superfície horizontal, sendo F a → − resultante de todas as forças que atuam no bloco. A força F tem diração constante, mas intensidade variável, e, de acordo com o gráfico, o bloco passa pelo ponso s = 0 com velocidade ν0 = 5 m/s Vamos calcular a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de espaço s = 8 m e a força média nesse percurso.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 17 / 21
  18. 18. CONTINUAÇÃO Resolução: → − O trabalho de F é dado pela área da região colorida na figura. Pode- mos calcular essa área dividindo a região em um retângulo e um triân- gulo. 4 · (30) τF = (8) · (30) + = 300 J 2 Aplicando o Teorema da Energia Cinética: mν2 mν20 (6, 0) · v 2 (6, 0) · (5)2 √ τF = − =⇒ 300 = − ∴ ν = 5 5 m/s 2 2 2 2Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 18 / 21
  19. 19. CONTINUAÇÃO → − Vamos calcular também a intensidade da força média ( F ), que corresponde a uma força constante que realizaria o mesmo trabalho nesse percurso. Sendo Fm cosntante e paralela ao deslocamento, temos: Fm · d = τF =⇒ Fm · (8, 0) = 300 ∴ Fm = 37, 5 N Fm = 37, 5 NProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 19 / 21
  20. 20. BIBLIOGRAFIA UTILIZADA Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch Moysés - 4. ed. - São Paulo: Blucher, 2002. Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. - Rio de Janeiro: LTC, 2007. Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio, José Luiz - 2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 20 / 21
  21. 21. OBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum da semana, para que possamos esclarecê-las. O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo o curso. Portanto aproveitem este material! ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012 FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro E (UFPB VIRTUAL) 21 / 21

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