Determinantes<br />Conceito:<br />Em Matemática, determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela ass...
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Estude Determinante: Conceito, Representação, Determinante de Ordem 1, Determinante de Ordem 2, Determinante de Ordem 3, Determinante de Ordem maior que 4, Teorema de Laplace, Teorema de Binet, Teorema de Jacobi.

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Determinantes: Por Valtenir

  1. 1. Determinantes<br />Conceito:<br />Em Matemática, determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela associado. Cada matriz tem um único determinante. Em fim determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.<br />Representação<br />Representamos o determinante de uma matriz colocando os termos da matriz entre barras verticais simples.<br />Se a matriz é A =, Podemos representar ou indicar o seu determinante assim: det A = . Ou simplesmente det A.<br />Vale lembrar que o determinante só é possível em matriz quadrada.<br />Determinante de uma matriz de ordem 1<br />O determinante da matriz A de ordem n = 1, é o próprio número que origina a matriz. Em particular definimos o determinante de uma matriz A = (a11), de 1ª ordem, o valor do seu único elemento a11, ou seja :<br />det A = <br />Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz ?<br />det A = <br /> Exemplo 02 – Qual é o determinante da matriz ?<br />det B = <br />Exemplo 03 – Qual é o determinante da matriz ?<br />det C = <br />Exemplo 04 – Qual é o determinante da matriz ?<br />det D = <br />Exemplo 05 – Qual é o determinante da matriz ?<br />det E = <br />Exercício 01<br />1- Dê a definição de determinante.<br />2- Como representamos o determinante de uma matriz?<br />3- Qual é o determinante da matriz <br />4- Qual é o determinante da matriz <br />5- Diga qual é o determinante da matriz <br />6- Escreva o determinante da matriz <br />Determinante de uma matriz de ordem 2<br />Calculamos o determinante de uma matriz quadrada 2 x 2 fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária dessa matriz. Ou seja, calculamos o determinante de uma matriz de 2ª ordem multiplicando os elementos da diagonal principal, menos o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. <br />Exemplo genérico <br />Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz .<br />det de A = <br /> Logo det A = 3<br />Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz .<br />det de B = <br /> Logo det B = 25<br />Exemplo 03 – Calcule o determinante da matriz .<br />det de C = <br /> Logo det C = 1<br />Exemplo 04 – Calcule o determinante da matriz .<br />det de D = <br /> Logo det D = 11<br />Exercício 02<br />1- Como calcular o determinante de uma matriz de 2ª ordem?<br />2- Calcule o valor dos determinantes abaixo:<br /> <br /> <br /> <br />3- Seja a matriz e a matriz A = , calcule o detrminante da matriz A . B.<br />4- Qual é o determinante da matriz C = A . B, tal que e ?<br />5- Seja a matriz A =(aij) 2x2, talque aij = 2i+j, e a matriz B = (bij)2x2, tal que bij = i –2j. Calcule o det A e o det B.<br />Livro pg. 102 questão 1; pg. 103 questões 3, 5;<br />Determinante de uma matriz de 3ª ordem<br />Para obtermos o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizamos uma regra prática denominada regra de Sarrus (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de Sarrus, foi provavelmente escrita no ano de 1833.<br /> Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: <br />1- Repita a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz. <br />2- Faça três traços em diagonal começando do primeiro elemento da matriz para baixo, depois faça mais três traços em diagonal, começando do último elemento da primeira linha.<br />3- Multiplique os números cortados pelos traços, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. Depois realize a operação final.<br />Exemplo genérico: - Seja a matriz qual é seu determinante?<br /> <br />Exemplo 01 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 12.<br /> <br />Exemplo 02 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 54.<br />Exemplo 03 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real positivo 72.<br />Exemplo 04 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real 0.<br />Exemplo 05 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real positivo 31.<br />Exemplo 06 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real negativo −1.<br />Exemplo 07 –Calcule o determinante da matriz .<br />Portanto, o determinante procurado é o número real negativo −6.<br />Exercício 03<br />1- Usando a regra de Sarrus calcule o determinante da matriz .<br />2- Calcule o determinante da matriz , pela regra de Sarrus.<br />3- Usando Sarrus, Calcule o determinante da matriz .<br />4- Calcule os determinantes abaixo pela regra de Sarrus.<br />a) b) <br /> <br />c) d) <br />e) f)<br />g) h)<br />5- Qual é o determinante da matriz A=(aij)3x3, tal que aij = i + j?<br />6- Calcule o determinante da transposta da matriz A=(aij)3x3, tal que aij = i – j?<br />Livros pg. 104 questão 8, 14;<br />Cofator<br />Dada uma matriz A quadrada de ordem n por n com n ≥ 2, e aij um elemento dessa matriz, chamamos de cofator de aij o produto de (−1)i + j . pelo determinante Dij da Mariz que se obtém quando se retira da matriz A a linha i e a coluna j. O cofator de aij será indicado por Cij.<br />Então: Cij = (−1)i + j . Dij.<br />Cij = (−1)i + j . Dij C11 = (−1)1 + 1 . C11 = (−1)2 . (1.3 −2.1)C11 = 1 . (3 −2)C11 = 1 . 1C11 = 1Exemplo 01 – Dada a matriz A = calcule o cofator de a11.<br />Solução:<br /> <br />Exemplo 02 – Dada a matriz B = calcule o cofator de b21.<br />Cij = (−1)i + j . Dij C21 = (−1)2 + 1 . C21 = (−1)3 . (4.3 −6.6)C21 = −1 . (12 −36)C21 = −1 . −24C21 = 24Solução:<br /> <br />Exemplo 03 – Sendo a matriz C = calcule o cofator de c12.<br />Solução:<br />Cij = (−1)i + j . Dij C12 = (−1)1 + 2 . C21 = (−1)3 . (3. (−5) – 7.1)C21 = −1 . (−15 −7)C21 = −1 . −22C21 = 22 <br />Exercício 04<br />1- Dada a matriz A = calcule os cofatores C11, C13, C22, C31 e C33.<br />2- Escreva a matriz A = (aij)3x3, tal que aij = i + j, e depois escreva a matriz B de ordem 3 x 3 de modo que cada elemento de B seja o cofator do elemento que ocupa a mesma posição em A.<br />3- Seja a matriz C= calcule o cofator de −4, de 5, de −6 e de 2<br />Teorema Fundamental de Laplace<br />Segundo o Teorema de Laplace o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ou seja pega cada elemento e multiplica pelo seu cofator depois soma.<br />Veja como calcular o determinante da matriz A = Pela 1ª linha<br />Pelo teorema de Laplace det A = a11 .C11 + a12 . C12 + a13 . C13<br />Calculando o cofator:<br />C11 = (−1)1+1 . = 1 . a22 . a33 – a23 . a32<br />C12 = (−1)1+2 . = −1 . a21 . a33 – a23 . a31<br />C13 = (−1)1+3 . = 1 . a21 . a32 – a22 . a31<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:<br /> det A = a11 (a22 . a33 – a23 . a32) – a12 (a21 . a33 – a23 . a31) + a13 (a21 . a32 – a22 . a31)<br />Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz A = pela primeira linha.<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:det A = 1 . 1 + 2 . (−5) + 3 . 1det A = 1 −10 + 3det A = − 6Pelo teorema de Laplace det A = 1. C11 + 2 . C12 + 3 . C13<br />Calculando o cofator:<br />C11 = (−1)1+1 . = 1 . (1 . 3 – 2 . 1) = 1. (3 − 2) = 1 . 1 = 1<br />C12 = (−1)1+2 . = −1 . (3 . 3 – 2 . 2) = −1 . (9 −4) = −1 . 5 = −5<br />C13 = (−1)1+3 . = 1 . (3 . 1 – 1 . 2) = 1 . (3 −2) = 1 . 1 = 1<br />Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz A = pela primeira coluna.<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:det A = 1 . 1 + 3 . (−3) + 2 . 1det A = 1 − 9 + 2det A = − 6Pelo teorema de Laplace det A = = 1. C11 + 3 . C21 + 2 . C31<br />Calculando o cofator:<br />C11 = (−1)1+1 . = 1 . (1 . 3 – 2 . 1) = 1. (3 − 2) = 1 . 1 = 1<br />C21 = (−1)2+1 . = −1 . (2 . 3 – 3 . 1) = −1 . (6 − 3) = −1 . 3 = −3<br />C31 = (−1)3+1 . = 1 . (2 . 2 – 3 . 1) = 1 . (4 −3) = 1 . 1 = 1<br />Note que o resultado é o mesmo anterior. Isso por que tanto faz calcularmos o determinantes pelos elementos de uma linha como pelos elementos de uma coluna. Este é o teorema fundamental de Laplace. Segundo ele qualquer linha ou qualquer coluna que utilizarmos no cálculo o resultado é o mesmo.<br /> Exemplo 03 – Calcule o determinante da matriz B = pela primeira segunda linha.<br />Pelo teorema de Laplace det B = = 2. C21 + 0 . C22 + 0 . C23<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:det B = 2 . (−9) + 0 . 10 + 0 . 3det B = −18 + 0 + 0det B = − 18Calculando o cofator:<br />C21 = (−1)2+1 . = −1 . (3 . 3 – 2 . 0) = −1. (9 − 0) = −1 . 9 = −9<br />C22 = (−1)2+2 . = 1 . (4 . 3 – 2 . 1) = 1 . (12 − 2) = 1 . 10 = 10<br />C23 = (−1)2+3 . = −1 . (4 . 0 – 3 . 1) = −1 . (0 −3) = −1 . −3 = 3<br />Exemplo 04 – Calcule o determinante da matriz B = pela segunda coluna.<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:det B = 3 . (−6) + 0 . 10 + 0 . 4det B = −18 + 0 + 0det B = − 18Pelo teorema de Laplace det B = = 3. C12 + 0 . C22 + 0 . C32<br />Calculando o cofator:<br />C12 = (−1)1+2 . = −1 . (2 . 3 – 0 . 1) = −1. (6 − 0) = −1 . 6 = −6<br />C22 = (−1)2+2 . = 1 . (4 . 3 – 2 . 1) = 1 . (12 − 2) = 1 . 10 = 10<br />C32 = (−1)3+2 . = −1 . (4 . 0 – 2 . 2) = −1 . (0 −4) = −1 . −4 = 4<br />Note que o resultado é o mesmo que o de cima. Na aplicação do teorema de Laplace é melhor escolher a linha ou a coluna que tiver o maior número de zeros, pois assim os cálculos ficam mais fáceis. <br />Exemplo 05 – Calcule o determinante da matriz C = pela primeira linha.<br />Pelo teorema de Laplace det C = = 1. C11 + 2 . C12 + 3 . C13<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:det C = 1. 10 + 2 . (−4) + 3 . 0det C = 10 −8 + 0det C = 2Calculando o cofator:<br />C11 = (−1)1+1 . = 1 . (5 . 8 – 6 . 5) = 1. (40 − 30) = 1 . 10 = 10<br />C12 = (−1)1+2 . = −1 . (2 . 8 – 6 . 2) = −1 . (16 − 12) = −1 . 4 = −4<br />C13 = (−1)1+3 . = 1 . (2 . 5 – 5 . 2) = 1 . (10 −10) = 1 . 0 = 0<br />Exemplo 06 – Calcule o determinante da matriz C = pela primeira coluna.<br />Pelo teorema de Laplace det C = = 1. C11 + 2 . C21 + 2 . C31<br />Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:det C = 1.10 + 2 .(−1) + 2 .(−3)det C = 10 −2 −6det C = 2Calculando o cofator:<br />C11 = (−1)1+1 . = 1 . (5 . 8 – 6 . 5) = 1. (40 − 30) = 1 . 10 = 10<br />C21 = (−1)2+1 . = −1. (16 – 15) = −1 .1 = −1<br />C31 = (−1)3+1 . = 1 . (12 – 15 = 1 . (−3) = −3<br />Determinante de uma matriz de ordem 4 ou maior que 4<br />Para calcularmos o determinantes de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem. Para isso aplicaremos o teorema de Laplace tantas vezes quantas forem necessárias, até chegarmos a um determinante de ordem 3. Daí podemos aplicar a regra de Sarrus.<br />Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz A = pela primeira coluna.<br />Pelo teorema de Laplace det A = = 1. C11 + 0 . C21 + 1 . C31 + 1 . C41<br />det A = 1.(−1)1+1.+0.(−1)2+1.+1.(−1)3+1. + 1. (−1)4+1 . =<br />det A = 1.[1 .] + 0. [−1 .] + 1. [1 . ] + 1. [−1 . ] =<br />Observe que o determinante é de ordem três, então podemos continuar com Laplace ou aplicar Sarrus:<br />det A = 1.[1 . (2 . C11+ 3 . C12 + 2 . C13)] + 0. [−1 . (2 . C11 + 3 . C12 + 4 . C13)] + 1. [1 . (2 . C11 + 3 .C12 + 4 . C13)] + 1. [−1 . (2 . C11 + 3 . C12 + 4 . C13)] =<br />det A=1.[1.(2.{1.}+3.{−1}+ 2 .{1.})] +0. [−1.(2.{1.} +3.{−1.}+4.{1.})]+1.[1.(2.{1.}+3.{−1.}+ 4.{1.})] +1.[−1.(2.{1.}+3.{−1.}+4.{1. })] =<br />det A=1.[1.(2.{1.8}+3.{−1.8}+2 .{1.4})] + 0. [−1.(2.{1.8}+3.{−1.8}+4.{1.4})] + 1.[1.(2.{1.8}+3.{−1.8}+ 4.{1.4})] + 1.[−1.(2.{1.0}+3.{−1.0}+4.{1.0})] =<br />det A=1.[1.(2.8 + 3. (−8) + 2 .4)] + 0. [−1.(2.8+3.−8+4.4})] + 1.[1.(2.8+3.−8} + 4.4})] + 1.[−1.(2.0+3.0+4.0})] =<br />det A=1.[1.(16 −24) + 8)] + 0. [−1.(16−24+16)] + 1.[1.(16−24 + 16)] + 1.[−1.(0+0+0})] =<br />det A=1.[1. (−8) + 8] + 0. [−1.(−8)+16] + 1.[1.(−8) + 16] + 1.[−1.0] =<br />det A=1.[0 + 0. 24 + 1.8 + 1.0 =<br />det A=1.[0 + 0 + 8 + 0] =<br />det A=1.8<br />det A = 8<br />Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz B = pela primeira linha.<br />Pelo teorema de Laplace det B = = 5. C11 + 0 . C12 + 0 . C13 + 0 . C14<br />det B = 5.(−1)1+1.+ 0 . C12 + 0 . C13 + 0 . C14 -> det B = 5 . 1.+ 0 + 0 + 0<br />Vamos quebrar esse determinante pela 1ª coluna = 2 . C11 + 2 . C21 + 0 . C31<br />2 . (1. ) + 2. (−1 . ) + 0<br />2 . (1. (−4) + 2. (−1. 8) + 0<br />2 . (−4) + 2. (−8) + 0<br />−8 −16 + 0<br />−24<br />Agora devemos multiplicar 5. (1. (−24) + 0 + 0 + 0) então:<br />det B = 5. (1. (−24) + 0 + 0 + 0<br />det B = 5. (−24) + 0 + 0 + 0<br />det B = −120 + 0 + 0 + 0<br />det B = −120<br />Exemplo 03 – Calcule o determinante da matriz C = pela terceira coluna.<br />Pelo teorema de Laplace det C = = 0. C13 + 3 . C23 + 0 . C33 + 0 . C43<br />det C = 0 . C13 + 3.(−1)2+3. + 0 . C33 + 0 . C43 -> det C = 0 + 3.(−1). +0+0<br />Vamos quebrar esse determinante pela terceira linha = 3. C31 + 0 . C32 + 0 . C33<br />3. [(−1)3+1 . ] + 0 + 0<br />3 . (1. 1) + 0 + 0<br />3 . 1+ 0 + 0<br />3 <br />Agora devemos fazer 0 + 3 . (−1) . 3 + 0 + 0, então:<br />det C = 0 + 3 . −3 + 0 + 0<br />det C = 0 −9 + 0 + 0<br />det C = −9<br />Exemplo 04 do livro – Calcule o determinante da matriz D = pela terceira coluna.<br />Pelo teorema de Laplace na 3ª linha pois tem 2 zeros det D = = 0. C31 + 0 . C32 + 1 . C33 + 5 . C34<br />det D = 0 . C31 +0 . C32 + 1.(−1)3+3. + 5 . (−1)3+4. <br />det D = 0 . C31 + 0 . C32 + 1. (1. ) + 5 . [(−1). ]<br />Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3. <br /> <br />3 −12 + 0 – 0 – 6 – 4 = −19 12 −16−4 – 6 – 8 – 16 = −38 <br /> <br />Agora vamos substituir os valores dos determinantes de ordem 3 na operação:<br />det D = 0 . C31 + 0 . C32 + 1. (1. ) + 5 . [(−1). ]<br />det D = 0 . C31 + 0 . C32 + 1. (1.(−19)) + 5 . [(−1).(−38)]<br />det D = 0 + 0 + 1. (−19) + 5. 38<br />det D = 0 + (−19) + 190<br />det D = 171<br />Exemplo 05–Calcule o determinante da matriz A = pela primeira coluna e depois aplicar Sarrus.<br />Pelo teorema de Laplace det A = = 1. C11 + 0 . C21 + 1 . C31 + 1 . C41<br />det A = 1.(−1)1+1.+0. C21 +1.(−1)3+1. + 1. (−1)4+1 . =<br />det A = 1.[1 . ] + 0. C21 + 1. [1. ] + 1. (−1) . =<br />Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3. <br /> <br />24 +0 + 8 – 0 – 8 – 24 = 0 24 + 0 + 16 − 0 – 8 – 24 = 8 12 + 12 + 24 − 24 – 12 – 12 = 0<br />Agora vamos substituir os valores dos determinantes de ordem 3 na operação:<br />det A = 1.[1 . ] + 0. C21 + 1. [1. ] + 1. (−1) . =<br />det A = 1 . [1. 0] + 0 . C21 + 1. [1. 8] + 1. (−1 . 0)<br />det A = 1 . 0 + 0 + 1. 8 + 1 .0<br />det A = 0 + 0 + 8 + 0<br />det A = 8<br />Exercício 04<br />1- Dada a matriz A = , Calcule seu determinante pela 1ª linha utilizando o teorema fundamental de Laplace.<br />2- Dada a matriz A = , Calcule seu determinante pela 1ª coluna utilizando o teorema fundamental de Laplace.<br />3- Utilizando Laplace calcule os determinantes abaixo<br />a) pela primeira linha b) pela primeira coluna<br />4- Sendo a matriz A =(aij) 3x3, tal que aij = i –j, calcule seu determinante pela 3ª linha.<br />5- Calcule o determinante da matriz C = pela primeira linha.<br />6- Calcule o determinante da matriz D = pela terceira coluna e pela segunda linha.<br />7- Calcule o determinante da matriz E = pela terceira coluna ou pela terceira linha.<br />Propriedades dos Determinantes<br />Propriedade (1) Fila de zeros<br />Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A, forem iguais a zero, o seu determinante será nulo (igual a zero) isto é det A = 0.<br />Exemplo 01 – Qual é o determinante de A = ?<br />det A = = 0 ou simplesmente det A = 0. __ (Note que a 1ª coluna só tem zeros)<br />Exemplo 02 – Qual é o determinante de B = ?<br />det B = = 0 ou simplesmente det B = 0. ____ (Note que a 2ª linha só tem zeros)<br />A justificativa é feita usando o teorema de Laplace.<br />Propriedade (2) Fila Iguais<br />Se os elementos de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é det de A = 0.<br />Exemplo 01 – Qual é o determinante de A = ?<br />det A = = 0 ou simplesmente det A = 0. (Note que a 2ª coluna e a 4ª os elementos são iguais).<br />Exemplo 02 – Qual é o determinante de B = ?<br />det B = = 0 ou simplesmente det A = 0. ____ (Note que a 1ª linha e a 2ª os elementos são iguais).<br />A justificativa é feita usando o teorema de Jacobi. (combinação entre duas fileiras)<br />Propriedade (3) Fila Proporcionais<br />Se uma matriz quadrada A possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é det A = 0.<br />Exemplo 01 – Qual é o determinante de A = ?<br />det A == 0 ou det A = 0 – (Note que a 3ª linha é o dobro da 1ª. Elas são proporcionais).<br />Exemplo 02 – Qual é o determinante de B = ?<br />det B == 0 ou det B = 0 ____ (Note que a 1ª coluna é o triplo da 3ª. Elas são proporcionais).<br />Propriedade (4) Determinante da Transposta<br />O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é det (A) = det( At ).<br />Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz A = e o determinante da transposta de A?<br /> 15 – 8 = 7 se atransposta de At = , então<br />15 – 8 = 7<br />Note que det A = det At<br />Exemplo 02 – Qual é o determinante da matriz B = e o determinante da transposta de B?<br /> 20 – 30 = – 10 se atransposta de Bt = , então<br />20 – 30 = –10 <br />Note que det B = det Bt<br />Propriedade (5) Determinante da Matriz Triangular<br />O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior ou ambas), é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.<br />Exemplo 01 – Qual é o determinante de A = ?<br /> 20 – 0 = 20 Note que a mesma coisa que multiplicar os elementos da diagonal principal<br />4.5 = 20<br />Exemplo 02 – Qual é o determinante de B = ?<br /> <br /> 0 0 0 4 0 0<br />Det B = 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 4 Note que é o mesmo que multiplicar os elementos da diagonal principal <br /> <br /> 1 . 1 . 4 = 4<br />Propriedade (6) Teorema de Binet<br />Dada duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, temos que o determinante do produto de A . B é igual ao produto do determinante de A pelo determinante de B. ou seja det (A . B) = det A . det B.<br />Exemplo 01 – Seja A = e B = Qual é o determinante de (A . B) e o det A . det B?<br />A . B = então 50 – 54 = – 4 <br />Note que é o mesmo que:<br />det A . det B pois = 6 – 2 = 4 = 3 – 4 = – 1 <br />e 4 . ( –1) = –4<br />Propriedade (7) Teorema de Jacobi<br />O determinante de uma matriz quadrada não se altera se multiplicarmos os elementos de uma linha ou coluna por uma mesmo número e adicionarmos à outra linha ou coluna paralela.<br />Exemplo 01 – Qual é o determinante de A = ?<br />det A = = 6 – 2 = 4 note que o det A é igual a 4.<br />Agora vamos Multiplicar os elementos da 1ª linha por 2 e somar os resultados à 2ª linha.<br /> L1. 2 = 4 4 L1 + L2 = 4+1 4+3 = 5 7 então a nova matriz é: e seu determinante é:14 – 10 = 4 Note que o determinante é o mesmo da primeira matriz.<br /> <br />Exemplo 02 – Qual é o determinante de A = ?<br />Agora vamos Multiplicar os elementos da 2ª linha por 3 e somar os resultados à 1ª linha. L2. 3 = 3 12 18 L2 + L1 = 3+0 12+0 18 + 1 3 12 19 então a nova matriz é: B= e seu determinante é: det B= 48 + 216 + 38 – 228 – 36 – 48det B = 302 – 312det B = –10Note que o det A é igual ao det B.Det A = <br />det A = 0 + 0 + 2 – 12 – 0 – 0<br />det A = 2 – 12<br />det A = –10<br />Pesquisa Seminário<br />Teorema de Jacobi (Biografia de Jacobi)<br />Teorema de Binet (Biografia de Binet)<br />Regra de Chió (Biografia de Chió)<br />Determinante de Vandermonde<br />Calculo de um determinante pelo Método do Escalonamento<br />

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