Determinante SLIDS

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Determinante: Conceito, Representação, Determinante de ordem 1, 2, 3 e teoremas

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Determinante SLIDS

  1. 1. DETERMINANTES Se você gostou Contribua com o Autor Deposite Qualquer quantia. AGENCIA: 0634 – Caixa Econômica Federal C/C nº 4777-0 Fazendo isso você estará ajudando muito.
  2. 2. Determinantes Conceito: Em Matemática, determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela associado. Cada matriz tem um único determinante. Em fim determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
  3. 3. Representação: Representamos o determinante de uma matriz colocando os termos da matriz entre barras verticais simples. Veja: Se a matriz é Indicamos seu determinante assim: Ou simplesmente det A. I mportante: Só calculamos determinante de matriz quadrada.
  4. 4. Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante da matriz A de ordem n = 1, é o próprio número que origina a matriz. Em particular definimos o determinante de uma matriz A = (a 11 ), de 1ª ordem, o valor do seu único elemento a 11 , ou seja: Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz A = [10]?
  5. 5. Determinante de uma matriz de ordem 1 Exemplo 02 – Qual é o determinante da matriz B=[–14]? Exemplo 03 – Qual é o determinante da matriz
  6. 6. Determinante de uma matriz de ordem 2 Calculamos o determinante de uma matriz quadrada 2 x 2 fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária dessa matriz. Demonstração:
  7. 7. Determinante de uma matriz de ordem 2 Exemplo 01 –Calcule o determinante da matriz Exemplo 02 –Qual é o determinante da matriz
  8. 8. Determinante de uma matriz de ordem 2 Exemplo 03 –Calcule o determinante da matriz
  9. 9. Determinante de uma matriz de ordem 3 Para obtermos o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizamos uma regra prática denominada regra de Sarrus (pronuncia-se Sarrí). A regra de Sarrus, foi provavelmente escrita no ano de 1833.   Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1- Repita a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz. 2- Faça três traços em diagonal começando do primeiro elemento da matriz para baixo, depois faça mais três traços em diagonal, começando do último elemento da primeira linha. 3- Multiplique os números cortados pelos traços, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. Depois realize a operação final.
  10. 10. Determinante de uma matriz de ordem 3 Demonstração: Seja a matriz Qual é o seu determinante?
  11. 11. Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo 01 - Calcule o determinante da matriz 12 1 18 6 4 9
  12. 12. Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo 02 - Calcule o determinante da matriz 0 – 24 – 6 0 2 40
  13. 13. Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo 03 - Calcule o determinante da matriz 4 3
  14. 14. Cofator Dada uma matriz A quadrada de ordem n por n com n ≥ 2, e a ij um elemento dessa matriz, chamamos de cofator de a ij o produto de (−1) i + j . pelo determinante D ij da Mariz que se obtém quando se retira da matriz A a linha i e a coluna j. O cofator de a ij será indicado por C ij .   Então: C ij = (−1) i + j . D ij . Exemplo 01 – Dada a matriz A = calcule o cofator de a 11 . Solução:
  15. 15. Cofator Exemplo 02 – Dada a matriz B = calcule o cofator de b 21 . Solução:
  16. 16. Teorema Fundamental de Laplace   Segundo o Teorema de Laplace o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ou seja multiplica cada elemento pelo seu cofator depois soma. Demonstração: Calcule o determinante da matriz pela 1ª linha Pelo teorema de Laplace temos
  17. 17. Teorema Fundamental de Laplace   Calculando o cofator: Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:   det A = a 11 (a 22 .a 33 – a 23 .a 32 ) – a 12 (a 21 .a 33 – a 23 .a 31 ) + a 13 (a 21 .a 32 – a 22 . a 31 )
  18. 18. Teorema Fundamental de Laplace   Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz pela 1ª linha Pelo teorema de Laplace temos: Calculando o cofator: Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:   det A = 1 . 1 + 2 . (−5) + 3 . 1 det A = 1 −10 + 3 det A = − 6
  19. 19. Teorema Fundamental de Laplace   Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz pela 2ª linha Pelo teorema de Laplace temos: Calculando o cofator: Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:   det B = 2 . (−9) + 0 . 10 + 0 . 3 det B = −18 + 0 + 0 det B = − 18
  20. 20. Determinante de uma matriz de ordem 4 ou maior que 4   Para calcularmos o determinantes de uma matrizes de ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem. Para isso aplicaremos o teorema de Laplace tantas vezes quantas forem necessárias, até chegarmos a um determinante de ordem 3. Daí podemos aplicar a regra de Sarrus. Veja:
  21. 21. Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz pela 1ª coluna. Det A= det A = 1.[1 . ] + 0. [−1. ] + 1. [1. ] + 1. [−1. ] Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3. Substituindo temos: det A = 1.[1.0] + 0. [−1.8] + 1. [1.8] + 1. [−1.0] Logo det A = 1.0 + 0.−8 + 1.8 + 1.0 -> det A= 0 + 0 + 8 + 0 det A= 8 24+0+8 – 0 –8 –24 32 – 32 = 0 24+0+16 – 0 –8 –24 40 – 32 = 8 24+0+16 – 0 –8 –24 40 – 32 = 8 12+12+24 –24–12–12 48 – 48 = 0

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