matematika teknik

1. 1
MATEMATIKA TEKNIK KIMIA I
Oleh
Ir. Drs. Faisal RM., MSIE., Ph.D
Program Studi Teknik Kimia
Fakultas Teknologi Industri
Universitas Islam Indonesia
2011

2. KKOONNTTRRAAKK KKUULLIIAAHH
1. Tidak boleh nitip tanda tangan kehadiran kuliah,
jika ditemukan buat curang nitip tanda tangan,
maka yang menitip dan dititip, maka nilai ujian akhir
semester diberi nilai E.
2. Tidak boleh buat curang dalam mngerjakan KUIS,
UTS dan UAS, seperti nyontek catatan kuliah ketika
ujian bersifat tutup buku atau nyontek lembaran
jawaban teman atau kerjasama. Jika ditemukan
kejadian seperti itu oleh pengawas dan tercatat
dalam berita acara ujian, maka nilai ujiannya yang
bersangkutan diberi nilai E.
3. Berpakaian rapi, sopan, dan bersepatu, tidak boleh
pakai sandal dan kaos oblong tanpa krah.
4. Mahasiswi berpakaian busana muslimah, tidak
ketat dan tidak menampakkan kontur tubuh.

3. SILABUS
1. Pendahuluan
2. Fungsi Beta, Gama, deret, suku
sisa, Variabel Teknik Kimia
Kompleks
3. Teori Residu, Vektor dan Matriks
4. Penyusunan dan Penyelesaian
Analitis Persamaan Differensial
Ordiner(Deret, Fungsi, Bessel
dan Fungsi Legendre).
5. Penyelesaian Analitis Persamaan
Differensial Parsial (Metode
substitusi, Pemisahan variabel,
Laplace Transform,Fourier
Transform)
3

4. LITERATUR
1. Mickley, Sherwood and Reed. 1975.” Applied
Mathematics in Chemical Engineering”, McGraw-
Hill, New York USA
2. Rice. 1995. “Applied Mathematics and Modelling
for Chemical Engineering, New York, John
Wiley&Son.
4

5. NNOORRMMAA PPEENNIILLAAIIAANN
NA = 10%xNPR+20%xNKuis+35%xNUTS+35%xNUAS
Nilai Pekerjaan
rumah
Nilai Ujian
Akhir
Semester
Nilai Tugas
Nilai Proyek
Akhir Nilai
UjianTengah
Semester

6. PPEERRIINNGGKKAATT NNIILLAAII
1. A (4.00) 8. C+ (2.25)
2. A- (3.75) 9. C (2.00)
3. A/B (3.50) 10. C- (1.75)
4. B+ (3.25) 11. C/D (1.50)
5. B (3.00) 12. D+ (1.25)
6. B- (2.75) 13. D (1.00)
7. B/C (2.50) 14. E (0.00)

7. NILAI DAN RENTANG ANGKA
No Nila
i
Angka No Nilai Angka
1. A 90 - 100 8 C+ 55 - 59
2. A- 85 - 89 9 C 50 - 54
3. A/B 80 - 84 10 C- 45 - 49
4. B+ 75 - 79 11 C/D 40 - 44
5. B 70 - 74 12 D+ 35 - 39
6. B- 65 - 69 13 D 30 - 34
7. B/C 60 - 64 14 E 0 - 29

8. PERINGKAT KELULUSAN
NO IPK PREDIKET
KELULUSA
N
3.50 < IPK £ 4.00
1. Kumlaud
2. Sangat
memuaskan
2.75 < IPK £ 3.50
2.00 < IPK £ 2.75
3. IPK < 2.00
Memuaskan
4. Tidak Lulus

9. PENDAHULUAN
1. DASAR : Fisika, Kimia, Matematika dan Kimia Fisika
2. Dalam Matematika Teknik Kimia diharapkan Mahasiswa
mampu:
 Membaca/memahami berbagai masalah fisika/kimia
 Menyusun masalah Teknik Kimia dalam bahasa matematika
 Menyelesaikan masalah Teknik Kimia yang telah tersusun
 Menginterpretasikan hasilnya
3. Hasil Kuantitatif Model Matematika
4. Tools/Informasi:
 Hukum Konversi (neraca massa dan Panas)
 Persamaan Kecepatan
 Persamaan Kesetimbangan (Distribusi Kesetimbangan
 Equation of State
 Persamaan Gerak

10. PENDAHULUAN
5. Cara Penyelesaian : - Analitik - Numeris
6. Asumsi diperlukan dalam penyusunan masalah Teknik Kimia
ke dalam bahasa matematika dan persamaan yg disusun/
diperoleh harus dapat menjelaskan pokok persoalannya, dan
persamaan persamaan matematika ini merupakan model
T ?
T0 T = f(x)
x
Persamaan Matematika
Merupakan model matematika
(Pers. Aljabar, PD Ordiner, PD Parsial, PD Berhingga)
7. Proses yang terjadi dapat:
 Ajeg (Steady State)
 Tidak Ajeg (Unsteady State)

11. PENDAHULUAN
8. NERACA MASSA:
1) Tanpa reaksi Kimia:
é
- úû
êë
ù
é
êë
Massa Flow
Out of System
Mass Flow
into System
2) Dengan Reaksi Kimia:
ù
úû
é
= úû
êë
ù
Change of Mass
Inside System
é
- úû
é
+ úû
é
- úû
é
Mass
Mass
Massa Flow
Mass Flow
3) Neraca Massa dapat dikenakan untuk:
 Neraca massa Total (komponen A + B + C)
 Neraca massa Komponen (Komponen A/B/C)
9. NERACA PANAS (Energi)
ù
úû
é
= úû
êë
ù
êë
ù
êë
ù
êë
ù
êë
Change of Mass
Inside System
Consumption
Generation
Out of System
into System
ù
úû
é
= úû
êë
ù
é
- úû
êë
ù
é
êë
Rate of Energy
Accumulation
Rate of Energy
Out of System
Rate of Energy
into System

12. PENDAHULUAN
9. NERACA PANAS (Energi)
Untuk System Terbuka:
é
ù
é
+
ù
Flow of Internal
é
- +
ù
é
Work done by
Syst. on suroundings
Heat added
to Syst by :
- Conduction
- Convection
- Radiation
Kinetics Pot.En
Flow of Internal
Kinetics Potensial
10. PERSAMAAN KESETIMBANGAN
a). Kesetimbangan kimia:
aA + bB cC + dD
K = (C)c (D)d /(A)a (B)b
b). Kesetimbangan Uap dan Cairan
Y = k x = m x
c). Relative Volatility (Campuran Biner)
Y = α x / (1+ (α-1)x)
ù
ú úû
é
=
ê êë
ù
ú úû
ê êë
+
-
ú ú ú ú ú
û
ê ê ê ê ê
ë
ú úû
ê êë
ú úû
ê êë
+
Rate of Change
Internal,kinetics,Pot.Energy
Inside System
(Shaft Work Pv Work
- Reaction
Out of System
into System

13. PENDAHULUAN
11. EQUATION OF STATE
 Berhubungan dengan berbagai sifat fisika/kimia bahan: density, entalphy
 Entalphy Cairan h = Cp. T
 Entalphy Gas/Uap H = Cp. T + λ W
 ρv , ρg = f(T)
 Cp = f(T) = a + bT + cT2
 P.V = n.R.T; n/V = P/R.T; ρ = M.P/R.T
12. PERSAMAAN KECEPATAN
 Untuk Massa Hukum Fick NA = - D. dCA / dx
 Untuk Panas Hukum Fourier q = - dT/dx
 Untuk Momentum Hukum Newton
13.Kinematika Kimia
t = -m.dV / dx
Kecepatan Reaksi: aA +b B cC
Kecepatan Rekasi
kC C
( ) /
E RT
bB
aA
G =
k f T
, a dan b konstante, k : konstante kecepatan reaksi
= = a
-

14. 1. Neraca Massa
Neraca Massa adalah hal yang paling mendasar dalam Chemical Engineering Tools,
kita belajar pertama kali di pelajaran ATK, secara sederhana dapat dikatakan bahwa
massa total yang memasuki suatu sistem akan sama dengan massa keluarnya
meskipun jenis senyawanya berbeda beda, sistem di sini adalah alat ataupun overall
pabrik. Neraca massa juga dapat didetailkan menjadi neraca unsur bahwa apabila
ada senyawa terdiri dari unsur2 misal C,H,O maka massa unsur C masuk = massa
unsur C keluar, begitu pula dengan unsur H dan O.
2. Neraca Panas
Neraca panas mempelajari tentang energi, kita banyak belajar pada pelajaran heat
transfer dan thermodinamika. pada prinsipnya : total energy masuk + energy
dibangkitkan -total energy keluar-energy berubah bentuk =akumulasi energy.
Energy dapat dibangkitkan dari senyawa kimia seperti pembakaran ataupun reaksi
kimia yang lain. Energy dalam suatu sistem dapat dideteksi lewat suhu sistem,
Energy boleh saja berubah bentuk dari panas ke gerak, dari listrik ke panas, tetapi
hasil akhirnya akan tetap sama jumlahnya.

15. 3. Keseimbangan
Keseimbangan adalah salah satu Anugerah Tuhan di Dunia, ada siang ada malam,
ada baik pasti ada buruk, ada nikmat pasti ada sedih......Keseimbangan di bidang
teknik kimia mengacu kepada titik yang sifatnya seakan akan statis, padahal tidak
statis ! kesimbangan adalah apabila kecepatan transfer massa/panas dari kedua
sistem memiliki kecepatan yang sama, jumlah kedua sistem yang seimbang tidak
harus sama...Keseimabnagn dapat berupa keseimbangan reaksi, keseimbangan
fasa, dan lain lain.
4. Rate Process
Rate Process ( Proses transfer) adalah pedoman untuk mempelajari dan
menganalisa proses kecepatan dalam perpindahan massa maupun perpindahan
panas. Kita sudah belajar di pelajaran Proses Transfer dan sejujurnya inilah yang
paling sulit dipelajari di Teknik Kimia. Dalam tugas Prarancangan Pabrik Kimia ini
tidak akan terlalu banyak digunakan, mungkin dalam tataran pendidikan
selanjutnya akan banyak dipelajari.

16. 5. Ekonomi
Dalam urusan kehidupan dunia, kita sepenuhnya harus memperhatikan aspek
ekonomi, khusus dalam bidang teknik kima apapun yang kita rancang, kita produksi
harus selalu memperhitungkan aspek ekonomi. Teknik kimia adalah ilmu yang
sifatnya open minded atau ilmu yang untuk menyelesaikan satu masalah dapat
dilakukan dengan berbagai cara, tinggal dioptimasi mana yang paling mudah dan
menguntungkan secara ekonomi.Untuk apa kita susah2 merancang kalau jelas jelas
kita tahu akan rugi
6. Humanitas
Humanitas mengharuskan kita sebagai orang teknik kimia harus selalu
mempertimbangkan lingkungan dan aspek sosial dalam menjalankan profesi kita,
harus bertanggungjawab terhadap resiko2 sosial dan lingkungan terhadap apapun
yang kita berbuat. Kalau ada sarjana teknik kimia yang dijadwal ronda saja ga
mau...ya bukan sarjana teknik kimia

17. PPEENNDDAAHHUULLUUAANN
Studi Kasus 2
Untuk menaikan suhu m kg suatu zat cair dengan kalor
jenisnya c J.Kg-1.K dari T1 menjadi T2. Bagaimana model
perubahan kalornya?.
Jawabannya
Hukum kekekalan enerji
rate of input – rate of output = rate of accumulation
17
Accumulation
m, c, T
pemanasa
n

18. PENDAHULUAN
rate of input – rate of output = rate of accumulation
dQ – 0 = m . c . dT
dQ = m . c . dT
2
ò = ò
dQ mc dT
1
. .
T
T
. . ] . .( ) 2 1
Q = m c T 2
= m c T -
TT
T 1 18
Jika m = 0.5 Kg dan c = 400 J.Kg-1. K
t1 = 280 C t2 = 400 C. T1 = 273 + 28 = 3010 K;
T2 = 273 + 40 =3130K
Maka Q = m. c (T2 – T1) = 0.5 x 400 x ( 313 - 301)= 2400 J

19. PENDAHULUAN
Studi Kasus 3
Jika 75 g air yang suhunya 200C dicampur dengan 50 g air yang suhunya
1000C. Berapa suhu campurannya?.
19
m1 , c , dT m2 , c , dT
Jawabannya
rate of input – rate of output = rate of accumulation
dQ - =
dQ
1 2
m . c . dT - 0 =
m . c .
dT
1 2
ò ò
m c dT m c dT
a
- =
. . 0 . .
1 2
m c T - T = m c T -
T
. .( ) . .( )
a a
1 1 2 2
T - =
T
75.1.( 293) 50.1.(373- )
a a
T K t C
a a
T
T
0 0
T
T
325 atau 52
0
2
1 a
= =

20. PENDAHULUAN
Studi Kasus 4
Jika isi tangki berbentuk selinder adalah V. Tentukan model
matematik untuk menentukan dimensi tangki minimal?.
Jawabannya
20
h
r
h V
2.p .r

21. PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR
Contoh Soal
Ekstraksi Asam Benzoat (AB) dalam Toluen menggunakan pelarut air
Berapa proporsi Asam Benzoat yang bisa diambil dalam fase air
Toluen R(m3/s) Toluen R (m3/s) Toluen R(m3/s) Air S (m3/s)
AB C (kg/m3 ) AB X (kg/m3 ) AB C (kg/m3) AB 0 (kg/m3)
Air S (m3/s) Air S (m3/s)
Y (kg/m3) AB 0 (kg/m3 ) X
Neraca massa
Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation X R (m3/S) S(m3/s)
(R.C+S.0 ) – (R.X+S.Y) = 0 y (kg/m3 )
R.C = R.X+S.Y, dimana Y= mX
R.C = R.X+S.mX = X (R+S.m), maka X = (R.C)/(R+S.m)
Y = (m.R.C)/(R+S.m)
Proporsi AB yang dapat dipungut E = (S.Y)/(R.C)=((m.S)/(R+S.m))*100%

22. PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR
Ekstraksi Asam Benzoat 2 Tahap
R, C R, X1 R, X2
Tahap 1 Tahap 2
S, Y1 S, Y2 S, 0
Simbol dan asumsi sama dengan contoh diatas
Persamaan kesetimbangan y1= mx1 dan y2= mx2
Neraca Massa AB Tahap 1 Tahap 2
Input AB (kg/s) R.c + S.y2 R.x1 + 0
Output AB (kg/s) R.x1+ S.y1 R.x2 +S.y2
Input - Output = Accumulation
Tahap 1 (R.c + S.y2) - (R.x1+ S.y1) = 0
Tahap 2 (R.x1 + 0) - (R.x2 +S.y2 ) = 0
Tahap 1 (R.c + S.y2) = (R.y1/m+ S.y1)
Tahap 2 (R.y1/m) = (R.x2 +S.mx2 )
y1 = (m.R.x2/R) + (m2.S.x2/R)
y1 = (m.x2) + (m2.S.x2/R)

23. FUNGSI GAMMA DAN BETA
¥
( ) 2 , Jika ( ) 2 1 2 2 b
ò ò
erf x e b d erf x e b d
= - = - =
p
b
0 0
p
x
Bentuk Umum Fungsi Gamma:
¥
= ò >
x t x - 1
e -
tdt x
t
( ) , 0
0
x x x
t + =
t
( 1) . ( )
n n n n
t t
= - - = -
( ) ( 1). ( 1) ( 1)!
Bentuk Umum Fungsi Beta :
= ò - > > - -
x y t x t y dt x y
( , ) (1 ) , 0, 0
x y x y
b t t
( , ) ( ). ( )
( )
1
0
1 1
x +
y
=
t
b
Teorema Fungsi Gamma :
Teorema Fungsi Beta :

24. FUNGSI GAMMA
¥
ò ò
( ) 2 , Jika ( ) 2 1 2 2 b
erf x e b d erf x e b d
= - = - =
p
b
0 0
p
x
X 0 0.01 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0
Erf(x) 0 0.01128 0.11246 0.52049 0.84270 0.96610 0.99532 1
Contoh Soal :
¥
x t
x t e dt x
= >
( ) , 0
¥
- -
=
2
1
Jika (1
t
t e dt
t = u ® dt =
udu
misal 2 . Ini disubstitusikan menjadi
1
2
(1
u
u e udu
) ( ) 2
2
) 2 2 2
2
ò ò ò
ò
ò
ò
¥ ¥
u - u -
u
¥
- -
¥
- -
¥
- -
=
1
= = = =
0 0 0
0
2
2
0
1
2
0
1
2 2 2
t
(1
)
2
p p
p
t
t
t
u e udu e du e du

25. FUNGSI GAMMA DAN BETA
Contoh Soal Fungsi Gamma:
1
τ( ) = τ( + ) = .ττ ) =
. π
2 (7
1 1
1 7
1
7
), maka 3
2
), maka 7
2
t
τ( ) ( )( )
t = - - t =
p
3). Jika (4), maka (4) (4 1)! 3.2.1 6
) 15
2
8
1
-3). (1
2
2
2
2
2). Jika (7
2
2
2
2
2
1). Jika (3
= - = =
t t
Contoh Soal Fungsi Beta :
.15
2)(9
1
60
1)(9
2
96
6.2
p p
p
6.5.4.3.2.1
3
.15
945
8
(9
. 6
1
(11
1
= - -
(4 1)!.(3 1)!
(7 1)!
). (7
2
t t
(3
(3
7
t t
) (4)
2
(3
, 7
2
, 7
2
( )
,4), maka 3
2
b b t t
3). Jika (4,3), maka (4,3) (4). (3)
(4 3)
945
32
)
2
2
4)
2
,4
2
2). Jika (3
1
7
4)
3)(9
2
2
2
(9
8
1
2
)
2
2
)
2
2
)
2
(3
2
), maka 3
2
1). Jika (3
= =
-
+
=
= = =
+
=
=
- - - -
= =
+
=
t
p
t
p
t
b b
p
p
p p
t
t
b b
( )

26. TRANSFORMASI LAPLACE
Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n
ditulis:
Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear:
jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).
Alih Ragam Laplace
Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila
dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan persamaan
differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal :
1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh
dalam satu operasi.
2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persama-an
aljabar dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi per-samaan
aljabar dengan aturan aljabar sederhana untuk memepero-leh solusi
dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melaku-kan alih ragam
Laplace balik.

27. TRANSFORMASI LAPLACE
Definisi Alih-ragam Laplace
Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi
s
untuk bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace
didefinisikan sebagai
atau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)]
Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah
kompleks, s = s + jw.

28. TRANSFORMASI LAPLACE
Contoh:
Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai
f(t) = us(t) = 1 , t > 0
= 0 , t < 0
Alih ragam Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikut
Untuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan
tabel teorema alih-ragam Laplace:
Tabel Teorema alih-ragam Laplace :
Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s)
Penjumlahan dan beda [f1(t) + f2(t)] = F1(s)+F2(s)

29. TRANSFORMASI LAPLACE
Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n
ditulis:
Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear:
jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).
Alih Ragam Laplace
Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila
dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan persamaan
differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal :
1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh
dalam satu operasi.
2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persama-an
aljabar dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi per-samaan
aljabar dengan aturan aljabar sederhana untuk memepero-leh solusi
dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melaku-kan alih ragam
Laplace balik.

30. PERSAMAAN DIFFERENSIAL
DENGAN METODE SERIES
Untuk penyelesaian PD dengan metode series akan
diberikan dua metode yang banyak digunakan pada Teknik
Kimia, yaitu Persamaan Bessel dan Laplace (banyak
dipakai pada pengendalian proses/kontrol).
Persamaan Bessel
Persamaan umum persamaan Bessel adalah :
[ 2 ] [ 2 (1 ) 2 2 ] 0
x d y x a bx r dy
s P r
2 + + + c + dx - b - a - r x + b x y =
2
2
dx
dx
Penyelesaian umum PD Bessel
ù
úû
é
y x e C z ( !d! x ) C z ( ! d
! 1 2
- - s
a bx r x
= + -
êë
p
s
p
s
s
(1 ) / 2 ( / )
a c
= æ -
P s
÷ø
- ö çè
2
2
1 1

31. PERSAMAAN DIFFERENSIAL
DENGAN METODE SERIES
Beberapa kasus :
1. a. Jika d
adalah real dan P atau bilangan bulat maka
s
Zp dinyatakan dengan Jp dan Z-p dinyatakan dengan J-p
b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan
dengan Jn dan Z-p dinyatakan dengan Yn
2. a. Jika adalah imajiner dan P atau bilangan bulat maka Zp
dinyatakan dengan Ip dan Z-p dinyatakan dengan I - p
b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan
dengan In dan Z-p dinyatakan dengan Kn

32. PERSAMAAN DIFFERENSIAL
DENGAN ME TODE SERIES
Studi Kasus 1
Selesaikan PD di bawah ini:
x d y x a b dy
b b
Penyelesaian :
Jika disesuaikan dengan PD Bessel :
a.1 - 2β = a + 2bxr
jadi ; b = 0
a = 1 - 2β
b.
jadi ; c = 0
d = β2
s = β
[ 2 ] 2 2 0
2
2
2 + - + x y =
dx
dx
b 2 x2b = [c + dx2s - b(1- a - r)xP + b2 x2r ]

33. PERSAMAAN DIFFERENSIAL
DENGAN ME TODE SERIES
Jadi; P =
=
=
æ - 2
2
a c
1 1
s
ö çè
- ÷ø
0
1 1 1 2 2
æ - + b
ö çè
b
2
1 2 = 1 b = 1
- ÷ø
b
b
b
b
d
Karena 1
= bilangan real dan P adalah bilangan bulat, maka
2
= =
b
s