1. DESARROLLO
ACTIVIDAD
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ecuaciones de Primer Grado
Método de Igualación, sustitución y reducción
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada
una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra
(Convirtiendo así un problema difícil en uno mas fácil).
A las ecuaciones con una sola incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las
ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones
previas.Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un
método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método ( el
de igualación, por ejemplo ).
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta por su solución para
obtener así ecuaciones con menos incógnitas.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de
incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un
número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos
ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la
suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar
ambas ecuaciones.

2. Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se
obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la
ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una
ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras
ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al
miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

3. Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener
la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
se tiene que
que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos
una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .

4. Sistema de ecuaciones de Segundo grado
Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que se
resolverán simultáneamente. Hallar la solución de un sistema consiste en encontrar una
solución común a todas las ecuaciones del sistema.
Llamamos a un sistema de orden m x n si tiene
m ecuaciones y n variables.
Ejemplo 1
2x-y=3 ecuación (1)
x+3y =2 ecuación (2)
Sistema de orden 2 (ecuaciones 1 y 2 ) y 2 (variables, x y) o para decirlo en forma corta:
2 x 2
Ejemplo 2
5 x + 3 y = 10 (1)
y=2x-5 (2)
x=y+3 (3)
¿Cuántas ecuaciones tiene este sistema? _____ ¿Cuántas variables? _____
¿Cuál es el orden de este sistema? _______
Sistema 2 X 2
Un sistema 2 X 2 consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables.
La solución de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto solución de
ambas ecuaciones.
Ejemplo: La solución del sistema de ecuaciones
es (x, y) = (2,4) esto es: x = 2, y = 4.
↓ ↓
Para la verificación utilizaremos uno de los siguientes métodos para resolver un sistema 2 X2
Método Gráfico, Sustitución, Eliminación o Reducción
A. Gráfico
La gráfica de cada ecuación de este sistema es una recta por lo tanto un sistema 2 x 2 consta de
dos líneas en un mismo plano. Resolver este sistema por el método gráfico consiste en dibujar

5. ambas líneas en un Plano Cartesiano e identificar cualquier punto en común, es decir un punto
de intersección, dado por un par ordenado de la forma (x, y).
Posibles soluciones de un sistema 2x2
Sistema determinado
La solución es única, el punto de intersección
Sistema inconsistente
Ambas líneas tienen la misma inclinación por
lo tanto no hay intersección entre ellas,
decimos que son líneas paralelas.
Este sistema no tiene solución.
Sistema dependiente
Este sistema consta de dos ecuaciones
equivalentes por lo que el conjunto solución
es un conjunto infinito
B. Método de Sustitución
Este método es recomendable cuando al menos una de las dos ecuaciones es fácil para despejar
en una de las variables.
Ejemplo 1
Sistema de Paso 1. Paso 2. Paso 3.
Ecuaciones Despeja para una Sustituye en la Sustitución “hacia
ecuación para una otra ecuación yresuelve la atrás”
de las dos variables nueva ecuación para la
la ecuación variable que queda
y=3x– La ecuación (1) Conozco x = 7, puedo
Sustituye en la ecuación
2 (1) para y sustituir en cualquiera
(2) la variabley por su
y = 5 + 2 x (2) y = 3 x – 2 (1) de las ecuaciones (1) o
expresión 3 x – 2
(2) para y. Sustituyo
¡ya está despejada! en (1)
3x–2=5+2x (2)
y = 3(7) – 2
Resuelve para x
y = 21 – 2
3x–2x=5+2
y = 19
x=7
Solución del sistema: (x,y) = (7,19)

6. Ejemplo 2
Paso [1] x ya está despejada en (1) à Paso [2] Sustituye y resuelve:
2 y - ( 3 y – 10 ) = 8 ecuación (2)
2 y - 3 y + 10 = 8
-y = 8 – 10
y = _____ ¿Ya terminé ?
Sustituye el valor encontrado para y en la ecuación (1)
x = 3 y – 10.
x = 3(2) – 10
x = -4
Solución al sistema ( -4 , 2 )
C. Método de Eliminación
Objetivo
· eliminar una de las dos variables al sumar o restar dos de las ecuaciones del sistema.
· los coeficientes de la variable que deseo eliminar deben ser valores opuestos (sumar
ecuaciones) o iguales (restar)
Ejemplo 1
Sistema de Paso [1]: Coeficientes Paso [2]: Sumar (o Paso [3]: Sustitución
Ecuaciones iguales u restar) ambas “hacia atrás”
opuestos(multiplica ecuaciones y resuelve
por un # conveniente
si es necesario)
No es necesario pues Al sumar (1) y (2) Sustituyo x = 2 en
los coeficientes obtengo: cualquiera de las
de yson opuestos 8 x = 16 ecuaciones. En la (2)
x = 16/8 5(2) – 3 y = 10
x= 2 Resuelvo:
- 3 y = 10 - 10
-3y=0
y =0
La solución del sistema es (x, y) = (2,0)

7. Ejemplo 2
Los coeficientes no se eliminan al sumar o restar por lo tanto nuestro objetivo será utilizar una
de las propiedades de equivalencia de ecuaciones para obtener en ambas ecuaciones el mismo
coeficiente. Esto es, puedo multiplicar TODA la ecuación (1) por 3 para que los coeficientes de
la x sean opuestos.
Procedimiento
Paso [1] Para eliminar la variable x multiplica la ecuación (1) por 3.
3[x - 2y = 7] à 3( x) - 3(2y) = 3(7)
3 x - 6 y = 21 (1 nueva)
Paso [2] Sumar ambas:
3 x - 6 y = 21 (1 nueva)
-3 x + y = 4 (2)
_________________
-5 y = 25
y = -5
Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (1) (2) del sistema. Escojo (1)
x – 2(-5) = 7
x + 10 = 7
x = -3
La solución del sistema es (x, y) = ( -3, -5).
ACTIVIDAD 2
ANEXO COPIA DE LA GUIA Y DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS