1. Bab 7 Lingkaran
Bab 7
Lingkaran
7.1. Bagian-Bagian Lingkaran
7.1.1. Mengenal Lingkaran
Penjelasan Guru :
 Pengertian : Lingkaran adalah garis lengkung bertemu kedua ujungnya
dan semua titik yang terletak pada garis lengkung itu.
-Makalah Matematika Semester 2 - 27 -
O
Titik O = titik pusat
O
Daerah diarsir = luas lingkaran
O
Garis lengkung lingkaran
yang berwarna hijau =
keliling lingkaran

2. Bab 7 Lingkaran
-Makalah Matematika Semester 2 - 28 -

3. Bab 7 Lingkaran
7.1.2. Unsur-Unsur Lingkaran
Penjelasan Guru :
• AB jika dihubungkan akan menjadi diameter
Diamater adalah garis
Diamater = 2 x jari-jari
• OC, OB, OA adalah jari-jari jadi panjangnya
pasti sama .Panjang jari-jari = ½ diameter
• Garis lengkung BC disebut Busur
Busur adalah garis lengkung pada segitiga
Busur paling besar  lingkaran
• AC disebut tali busur
Tali busur adalah garis yang menghubungkan
antara titik satu dengan titik yang lain tanpa
melalui titik pusat.
Tali busur paling besar = diameter
“ Diameter pasti tali busur, sedangkan tali busur belum tentu diameter”
• OBC disebut juring
Juring adalah suatu area / luasan yang dibatasi oleh 2 jari-jari dan busur,
penulisannya selalu diawali dari titik pusat terlebih dahulu.
• BCB disebut tembereng
Tembereng adalah area yang dibatasi oleh busur dan tali busur.
Tembereng paling besar = ½ luas lingkaran.
• OM disebut apotema
Apotema adalah jarak tali busur terhadap pusat lingkaran.
“Semakin panjang apotema, tali busur semakin pendek, semakin pendek
apotema, tali busur semakin panjang”
Luas Tembereng = Luas Juring - Luas Segitiga
Luas Segitiga = Luas Juring - Luas Tembereng
Luas Juring = Luas Segitiga + Luas Tembereng
OC2
= apotema2
+ MC2
-Makalah Matematika Semester 2 - 29 -
O
A
B
C
Mapotema

4. Bab 7 Lingkaran
7.1.3. Menentukan Nilai  (pi)
Penjelasan Guru :
 Nilai π dapat ditentukan dari :
diameter
lingkarankeliling
 π adalah sebuah huruf yunani
 Bilangan π tidak dapat dinyatakan secara tepat dalam bentuk pecahan
decimal maupun pecahan biasa. Bilangan π merupakan bilangan irasional yang
berada antara 3,141 dan 3,142.
 Nilai pendekatan π :
1. dengan pecahan biasa, maka π =
7
22
2. dengan pecahan decimal, maka nilai π = 3,14
(pembulatan sampai dua tempat desimal)
(kadang-kadang ditulis pi) adalah
sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan
perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai
dalam 20 tempat desimal adalah
3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam
matematika, sains, dan teknik yang menggunakan π, yang
menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang
penting.
adalah bilangan irasional, yang berarti nilai π tidak
dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.
Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya,
sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10
tempa t de simal adalah 3,14159265358.
-Makalah Matematika Semester 2 - 30 -

5. Bab 7 Lingkaran
7.1.4. Melukis Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga
a. Lingkaran Dalam Segitiga
Penjelasan Guru :
• Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga
dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan
titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan
lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari
lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga.
• Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi
sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah
menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis
bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.
Gambar di atas salah satu contoh lingkaran dalam pada segitiga.
-Makalah Matematika Semester 2 - 31 -

6. Bab 7 Lingkaran
Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam :
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. P.ÐKemudian, lukislah
garis bagi Q sehinggaÐ.
2) Lukislah garis bagi P di titik O.Ðmemotong garis bagi .
3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O
ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran
tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.
-Makalah Matematika Semester 2 - 32 -

7. Bab 7 Lingkaran
b. Lingkaran Luar Segitiga
Penjelasan Guru :
 Pengertian Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua
titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-
sisi segitiga.
Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA
= O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis
sumbu sisi-sisi segitiga
Gambar di atas merupakan contoh lingkaran luar pada segitiga
-Makalah Matematika Semester 2 - 33 -

8. Bab 7 Lingkaran
Perhatikan langkah-langkah berikut :
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis
sumbu PQ.
2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.
3) Hubungkan O dan Q.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut
merupakan lingkaran luar ΔPQR.
-Makalah Matematika Semester 2 - 34 -

9. Kalau Keliling itu tepi – tepinya saja ,
jangan sampai dalamnya….. Tetapi
kalau Luas dalamnya juga harus
ikuttt…… : P.Hendar berkata
Bab 7 Lingkaran
7.2. Menghitung Besaran-Besaran Lingkaran
7.2.1. Keliling Lingkaran
Penjelasan Guru :
 π
d
k
=  d =  k = d

-Makalah Matematika Semester 2 - 35 -
O
k gambar = 1 kel.O
k gambar = ½ kel.O
k gambar = ¼ kel.O
k = 2πr d = 2r

10. 1 2
3 4 5 6
7 8 9 10
11 12
Bab 7 Lingkaran
7.2.2. Luas Lingkaran
Penjelasan Guru :
Pengertian Luas  Luas adalah luas daerah yang dibatasi oleh busur
lingkaran atau keliling lingkaran.
Perhatikan gambar diatas !
Daerah yang diarsir merupakan luas daerah lingkaran atau Luas Lingkaran.
a. Menghitung Pendekatan Luas Lingkaran Menghitung Persegi Satuan
Perhatikan gambar disamping !
Hitunglah luas lingkaran tersebut ! (r = 2 cm)
Caranya :
i. ½ petak (persegi) atau lebih dihitung satu
persegi
(ii) kurang dari ½ petak dihitung nol (0) atau
dihilangkan
Ternyata terdapat 4 persegi utuh dan 8 persegi
yang luasnya ½ luas petak atau lebih.
Jadi luas lingkaran tersebut mendekati 12 cm2
.
-Makalah Matematika Semester 2 - 36 -
O

11. Bab 7 Lingkaran
b. Menentukan Rumus Luas Lingkaran
Untuk menentukan luas lingkaran, lakukan kegiatan berikut !
1. Buatlah lingkaran dengan r = 2 cm
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 2 bagian sama besar dan berilah warna
yang berbeda
3. Bagilah lingkaran itu menjadi juring yang besar sudutnya 30º
4. Bagilah salah satu juring menjadi 2 bagian sama besar
5. Untuk selanjutnya lihatlah gambar di bawah ini
6. Kemudian juring-juring di atas susunlah seperti gambar di bawah ini
Ternyata hasil dari susunan juring yang diletakkan secara berdampingan
membentuk bangun yang menyerupai persegi panjang.
-Makalah Matematika Semester 2 - 37 -
112
2
3
4
5
6
78
11
10
9 b
a
1 122 3 4
5678
11
10 ba

12. Bab 7 Lingkaran
c. Menghitung Besarnya Perubahan Luas jika Ukuran Jari-Jari Berubah
-Makalah Matematika Semester 2 - 38 -
r1
= 14 r2
= 14
14 : 42 = 1 : 3
kel.O1
= 88 kel.O1
= 88
88 : 64 = 1 : 3
Luas O1
= 616 Luas O1
= 5544
616 : 5544 = 1 : 9
616 : 5544 = 12
: 32
k1
: k2
= 2πr1
: 2πr2
k1
: k2
= r1
: r2
L1
: L2
= πr1
2
: πr2
2
L1
: L2
= r1
2
: r2
2
kesimpulan
kesimpulan
kesimpulan

13. Bab 7 Lingkaran
7.2.3. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
Penjelasan Guru :
360
POQ∠
=
kell.O
PQ∩
=
OLuas
QL.juringOP
°
°
360
180
2
1
=
kell.O
PQ∩
Dari gambar di atas dapat diperoleh :
1. kell.O
12
1BC =∩ 1. L O = 3 . L.juring OCD
2. BC.4DC ∩=∩ 2. L OCD = 4 . L.juring OBC
3. DCAD ∩=∩ 3. L.juring OAD = L.juring ODC
4. kell.O = 12.BC∩ 4. L O = L.juring OBC . 12
5. kell.O = 3 . BC∩ 5. L.juring OBC = ½ L O
-Makalah Matematika Semester 2 - 39 -
O
1800
QP
PQ2kell.O
kell.O
2
1PQ
∩=
=∩
O
300
D
1200
C
B
A

14. Bab 7 Lingkaran
Soal-Ku !
1. Sebutkan 10 hal yang kamu dapat dari gambar disamping!
2. Hitunglah luas gambar disamping jika diketahui
luas juring OAB = 15 cm2
!
-Makalah Matematika Semester 2 - 40 -
O
A
B
C
D 30º
45º
O
A
B
50º

15. Bab 7 Lingkaran
3. Hitunglah luas dan keliling gambar di samping
jika diketahui luas juring OPQ = 123 cm2
!
4. Diketahui jari-jari lingkaran yaitu 9 dengan luas 254,36 cm2
, berapakah luas
lingkaran yang jari-jarinya 4 cm?
5. Hitunglah daerah arsiran :
a. Luas
b. Keliling
-Makalah Matematika Semester 2 - 41 -
O Q
P
72º
100º100º
10 cm

16. Bab 7 Lingkaran
7.2.4. Menyelesaikan Soal - Soal Cerita yang Berhubungan
dengan Keliling dan Luas Lingkaran
Penjelasan Guru :
 Panjang jari-jari sebuah roda 28 cm. Berapakah panjang lintasannya jika
roda itu berputar atau menggelinding sebanyak 250 kali ?
Penyelesaian :
r = 28 cm
k = 2πr
k = 2 . . 28
k = 176 cm
panjang lintasan roda berputar 250 kali = 250 x 176 cm
= 44000 m
Soal-ku !
1. Sebuah lapangan yang berbentuk persegi panjang akan dicat sebagian yaitu
seluas 1 lingkaran dengan jari-jari 10, panjang persegi panjang = 15 cm dan
lebarnya = 5 cm. Hitunglah daerah lapangan yang tidak ikut dicat !
2. Sebuah roda memiliki panjang lintasan 75.360 m, dan diketahui r = 50.
Hitunglah :
a. Keliling roda
b. Berapa kali roda itu berputar
-Makalah Matematika Semester 2 - 42 -

17. Bab 7 Lingkaran
7.2.5. Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Penjelasan Guru :
∠ AOB adalah sudut pusat
∠ PQR adalah sudut keliling
• Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya terdapat di dalam lingkaran
• Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terdapat pada keliling
lingkaran
Jika sudut pusat dan sudut keliling sama-sama
berhadapan dengan 1 busur maka berlaku
rumus :
Sudut Pusat = 2 x sudut keliling
Sudut Keliling = ½ sudut pusat
Besar CBD = ao
+ Bo
COD = 2ao
+ 2bo
= 2 (ao
+ bo
)
COD = 2 CBD
CBD = ½ COD
Sifat-Sifat Sudut Keliling
Penjelasan Guru :
1. Sudut Keliling Menghadap Diameter Lingkaran
“Besar tiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90o
”
-Makalah Matematika Semester 2 - 43 -
O
A
B
P
R
Q
A
bº
ºº
bº
ººaº
aº
2bº
2aº
180º - 2aº 180º - 2bº
C
D
B
O
1800
BA
C
D

18. Bab 7 Lingkaran
2. Sudut-sudut keliling yang menghadap Busur yang sama
“Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama
besar”
Soalku !
1. Hitunglah besar :
a. BAC
b. Sudut refleks OBC
2. Hitunglah besar :
a. LKM
b. LMK
3. Isilah sudut yang belum ada !
-Makalah Matematika Semester 2 - 44 -
O
B
D
C
A
60º
O 70º
º
A
B
C
O
MK
L
2x x
O
55º
20º
60º
D
C
B
A

19. Bab 7 Lingkaran
4. Isilah sudut yang belum terisi !
5. Isilah sudut yang belum tertulis !
-Makalah Matematika Semester 2 - 45 -
O
30º
D C
BA
O
30º
Q
S
R
P
T
80º
80º

20. Bab 7 Lingkaran
Mungkin ini adalah bilangan ghoib pertama dalam matematika yang diajarkan saat qt SD.
Tahukah kmu klo sebenarnya Pi ini adalah panjang keliling lingkaran yang berdiameter 1
satuan. Silahkan lihat gambar dulu gan di sini
Jadi… misalkan qt punya roda yang diameternya 1 meter trus qt ukur kelilingnya dengan
cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang dibutuhkan
adalah sekitar 3.14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini
selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3.14159. Pi juga biasanya diartikan sebagai 1
putaran penuh lingkaran atau 2 pi = 360derajat.
Note:
- Pi bukan phi , klo phi tu gelombang ratio
- 360 derajat = 2 pi Radian, jadi 180 derajat tu 1 pi radian gan..
22/7 itu angka yang mendekati pi, tapi bukan pi, pi sebenarnya
3,1415926535897932384626433832 7…
Fakta-Fakta Menarik Mengenai Phi
Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani phi
untuk mewakili nilai yang dikatakan. Namun, pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi
simbol ini untuk mewakili bilangan.
Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai yang paling akurat untuk
phi. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil.
Sebagian besar orang pada waktu itu tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki
jumlah sudut yang tak terbatas. Nilai dari phi adalah banyaknya diameter lingkaran yang
akan dipaskan dengan keliling lingkaran.
Nilai dari phi adalah 22 / 7 dan ditulis sebagai = 22 / 7 atau = 3,14.
Nilai phi dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,1415926535897932384626433832
79502884197169399375 105820974944
592307816406286208998628034825 3421170679…
Fakta menarik lainnya adalah Anda tidak akan menemukan nol dalam 31 digit pertama dalam
dari phi.
Di samping perhitungan geometri sehari-hari, nilai phi juga digunakan dalam berbagai
persamaan ilmiah termasuk rekayasa genetika, mengukur reaksi, distribusi normal, dan
sebagainya.
Tahukah Anda bahwa phi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit
dipahami?
Fakta menarik lainnya tentang phi diambil dari huruf Yunani “Piwas”. Itu juga merupakan
Abjad Yunani yang ke-16.
Seorang pengusaha di Cleveland, AS, menerbitkan buku pada pada tahun 1931 untuk
mengumumkan bahwa nilai pi adalah 256/81.
Jika Anda mencetak miliaran dari desimal phi, maka angka itu akan merentang dari New
York City ke Kansas.
-Makalah Matematika Semester 2 - 46 -

21. Bab 7 Lingkaran
Fakta-Fakta Menarik Lainnya Lagi Mengenai Phi
Tahukah Anda Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo?? Ia membutukan
waktu sekitar 116 jam untuk menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal Phi dengan
komputer.
Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai phi,
yaitu :
/ 4 = 4 * arc tan (1 / 5) - arc tan (1 / 239).
Pada tahun 1949, ia juga menghabiskan waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037
tempat desimal phi menggunakan ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Computer).
Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh hidupnya
untuk menghitung 35 tempat desimal pertama phi.
Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Phi adalah sebuah bilangan irasional,
dan pada tahun 1882, Ferdinand Lindemann yang juga Ahli matematika terkenal
membuktikan Phi adalah bilangan yang sulit dipahami.
Ada orang yang hafal semua angka desimal phi. Orang tersebut membuat lagu dan musik
berdasarkan digit dari phi. Dalam kehidupan ini, memang terdapat banyak fakta yang
menarik dan menyenangkan mengenai phi.
-Makalah Matematika Semester 2 - 47 -