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IntroduçãoIntroduçãoEste trabalho tem 4 objectivos que são: Estudar os sólidos geométricos chamados sólidos platónicos; ...
 Platão foi um filósofo (homem que estuda os problemasda existência humana) e matemático do período clássicoda Grécia Ant...
Quem foi Platão?Quem foi Platão?• Platão nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C., e morreuem 347 a.C.. Quando tinha ce...
Sólidos PlatónicosSólidos Platónicos Há um número infinito de diferentes tipos de poliedros (sólidos com facesplanas), ma...
• Os sólidos platónicos são apenas cinco: otetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e oicosaedro.Sólidos PlatónicosSóli...
HistoriaHistoria Estes sólidos foram adquirindo ao longo do tempo significadosmísticos. Por exemplo, Kepler sentia uma gr...
Modelo de KeplerModelo de Kepler• O modelo de Kepler parte de uma esfera exterior, que representa a órbita deSaturno dentr...
• OCTAEDRO (Modelo do Ar):• As faces deste poliedro os também triângulos equiláteros, mas em cadavértice reúnem-se quatro ...
• Uma curiosidade é que os sólidosplatónicos têm a seguinte coincidênciaquando os agrupamos: o cubo tem seisfaces e oito v...
HistoriaHistoria• Platão tentou encontrar um significado para esta curiosidade e por isso desenvolveuuma teoria segundo a ...
HistoriaHistoria• Segundo Platão, à semelhança do que acontece naordem universal, em que o mundo inteligível comanda eé po...
ConclusãoConclusãoNeste trabalho estudei os sólidos platónicos e descobri como sãogeometricamente iguais. Estes sólidos, q...
BibliografiaBibliografiaDicionário da Língua Portuguesa, 8ª edição, Porto Editora, 1999.Conceição, Alexandra, Almeida, Mat...
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Sólidos platónicos djanyck

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  1. 1. Sólidos PlatónicosSólidos PlatónicosDjanyck Loureno Damião Van-DyckN. 5, Turma BTrabalho de Estudo de MatemáticaEscola Secundária Inês de CastroJunho 2013
  2. 2. IntroduçãoIntroduçãoEste trabalho tem 4 objectivos que são: Estudar os sólidos geométricos chamados sólidos platónicos; Perceber as características geométricas destes sólidos; Compreender porque são apenas cinco e porque foram estudados por Platãoque lhes deu o nome de platónicos; Importância da figura de Platão para a matemática e outras ciências. Este trabalho teve como fonte de pesquisa a internet e, foram tidas variasconsiderações matemáticas sobre o que Platão, relativamente a forma depensar sobre o significado dos cinco sólidos platónicos. Outrosmatemáticos também estudaram estes sólidos. Para melhor compreensão dos sólidos platónicos, ilustrei algumas imagensque encontrei.
  3. 3.  Platão foi um filósofo (homem que estuda os problemasda existência humana) e matemático do período clássicoda Grécia Antiga (cerca 350 a.C.), fundador da primeiraAcademia de ensino superior do mundo ocidental.Pensa-se que o seu nome verdadeiro tenha sidoArístocles http://pt.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%A3o -cite_note-alexander.diogenes.laertius.3.5-14. Platão eraum nome que, provavelmente, fazia referência às suascaracterísticas físicas, como o porte atlético ou osombros largos, ou ainda a sua excelente capacidadeintelectual para tratar diferentes temas.Quem foi Platão?Quem foi Platão?
  4. 4. Quem foi Platão?Quem foi Platão?• Platão nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C., e morreuem 347 a.C.. Quando tinha cerca de 20 anos, conheceu o filósofoSócrates e tornou-se seu aluno até ele morrer. A sua vida foidedicada a estudar e a pensar questões filosóficas e tornou setambém ele um mestre o que o levou a fundar uma Academia emAtenas. Escreveu textos (diálogos) que eram usados comoferramenta de ensino nas mais diversas disciplinas, como afilosofia, a lógica, a retórica (arte de usar a linguagem paracomunicar) e a matemática, entre outras. De entre estes textos,destaca-se Timeu, obra escrita por volta do ano de 350 a.C., naqual Platão demonstra a existência dos chamados sólidosplatónicos.
  5. 5. Sólidos PlatónicosSólidos Platónicos Há um número infinito de diferentes tipos de poliedros (sólidos com facesplanas), mas existem apenas cinco que são regulares e que são chamadossólidos platónicos. A sua designação foi atribuída por Platão, que osdescobriu cerca de 400 a.C.. Os sólidos platónicos são poliedros – sólidoscujas faces têm a forma de polígonos – regulares – todas as faces sãopolígonos geometricamente iguais (chamam-se congruentes) – e todos osseus ângulos são também congruentes. Assim, um poliedro regular temtodas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e todosos seus ângulos iguais. A existência destes sólidos já era conhecidaanteriormente pelos pitagóricos (da escola de Pitágoras de Samos que foium filósofo e matemático grego que nasceu em Samos, entre cerca de 570a.C. e 571 a.C.) e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura enoutros objectos que construíram, mas foi Platão quem observou melhoresta característica. Por isso se chamam platónicos. Platão estudou estessólidos e demonstrou que eram os únicos sólidos com as faces todasiguais.
  6. 6. • Os sólidos platónicos são apenas cinco: otetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e oicosaedro.Sólidos PlatónicosSólidos Platónicos
  7. 7. HistoriaHistoria Estes sólidos foram adquirindo ao longo do tempo significadosmísticos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração ereverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo aexplicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso,interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão daseguinte forma: Cubo Terra• Tetraedro• Fogo• Octaedro• Ar• Icosaedro• Água• Dodecaedro• O Universo
  8. 8. Modelo de KeplerModelo de Kepler• O modelo de Kepler parte de uma esfera exterior, que representa a órbita deSaturno dentro da qual vai increvendo sucesivamente: um cubo, a esfera de Júpiter,um tetraedro, a esfera de Marte, um dodecaedro, a esfera da Terra,um octaedro e finalmente a esfera de Mercúrio.• Também foi Johannes Kepler que procurou extraórdinárias justificações para aassociação de Platão entre poliedros e os Elementos. Por exemplo, justifica aassociação da terra com o cubo porque, assente sobre qualquer uma das suasbases, é o sólido de maior estabilidade. Atribui a associação entre o Universo eoDodecaedro porque este tem 12 faces tal como Zodiaco tem doze signos!!!.•• Os cinco elementos• TETRAEDRO (Modelo do Fogo):• Sólido formado por 4 faces, triângulos equiláteros, e em cada vértice concorre 3faces. O prefixo tetraderiva do grego e significa quatro (quatro faces). Este sólidorepresenta o fogo, porque segundo Platão (séc. IV ac.) o átomo do fogo teria a formade um poliedro com 4 lados (tetraedro).•• Cubo (Modelo da Terra):• O cubo o único poliedro regular com faces quadrangulares. O cubo tem 6 faces, peloque também se pode chamar de hexaedro (hesa significa seis em grego).Este sólidorepresenta a terra, porque Platão acreditava e afirmava que os átomos de terraseriam cubos, os quais permitiam ser colocados perfeitamente lado a lado,conferindo-lhes solidez.•
  9. 9. • OCTAEDRO (Modelo do Ar):• As faces deste poliedro os também triângulos equiláteros, mas em cadavértice reúnem-se quatro triângulos. É formado por 8 faces, pelo que opoliedro se chama octaedro (octa significa oito em grego). Este sólidorepresenta o ar, porque o modelo de Platão para um átomo de ar era umpoliedro com 8 faces (octaedro).•• DODECAEDRO (Modelo do Cosmos):• O dodecaedro o único poliedro regular cujas faces os pentágonosregulares. É formado por 12 faces, pentágonos regulares, e em cadavértice concorre 3 faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Estesólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituídopor átomos com a forma de dodecaedros. • ICOSAEDRO (Modelo da Água):• Neste poliedro os cinco os triângulos equiláteros que se encontram emcada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chamaicosaedro (icosa significa 20 em grego).Este sólido representa a água,porque Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros.Modelo de KeplerModelo de Kepler
  10. 10. • Uma curiosidade é que os sólidosplatónicos têm a seguinte coincidênciaquando os agrupamos: o cubo tem seisfaces e oito vértices e o octaedro tem oitofaces e seis vértices; o dodecaedro temdoze faces e vinte vértices e o icosaedrotem vinte faces e doze vértices; otetraedro fica sozinho mas tem o mesmonúmero de faces e de vértices (quatro).HistoriaHistoria
  11. 11. HistoriaHistoria• Platão tentou encontrar um significado para esta curiosidade e por isso desenvolveuuma teoria segundo a qual os quatro "elementos" - o fogo, o ar, a água e a terra -eram todos sólidos minúsculos. Platão defendia que, uma vez que o mundo sópoderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, estes elementos deveriam ter aforma de sólidos regulares: o fogo era o mais leve e o mais violento dos elementos, por isso deveria ser umtetraedro; a terra era o elemento mais estável, deveria ser o cubo; a água, o elemento mais inconstante e fluído, era um icosaedro, o sólido regularcapaz de rolar mais facilmente; quanto ao ar, Platão observou que "o ar é para a água o que a água é para o ar," econcluiu, de forma um pouco misteriosa, que o ar deve ser um octaedro; por último e para incluir o quinto sólido regular, atribuiu ao dodecaedro arepresentação da forma de todo o universo.
  12. 12. HistoriaHistoria• Segundo Platão, à semelhança do que acontece naordem universal, em que o mundo inteligível comanda eé por sua vez comandado pela Ideia Suprema de Bem,enquanto tal não se der no mundo, a anarquia estaráimplantada no centro de cada homem e de cadasociedade. Considerado o melhor prosador grego,Platão como pensador é um dos grandes génios dahumanidade. O platonismo exerceu profunda influênciaem Platino e nos neoplatónicos, e através deles nosPoderes gregos e em Stº Agostinho, sendo uma dasconstantes não só da Teologia cristã mas também dafilosofia europeia.
  13. 13. ConclusãoConclusãoNeste trabalho estudei os sólidos platónicos e descobri como sãogeometricamente iguais. Estes sólidos, que são apenas cinco, têmtodas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas etodos os seus ângulos iguais. Platão, que foi um importante filósofogrego, descobriu estes sólidos e demonstrou que eram apenascinco os que tinham estas características. Por isso, Platão tentouexplicar uma teoria através dos elementos da Natureza. Fiqueitambém a conhecer outros importantes matemáticos e comoestudaram os sólidos platónicos, encontrando regras matemáticas efórmulas para explicar a sua forma.Gostei de encontrar a explicação da existência entre a Natureza eestes sólidos e de ficar a saber um pouco da história de Platão,como por exemplo, a Academia que ele fundou e que foi a primeiraescola de ensino superior e que tinha escrito na entrada:“não entre ninguém que não saiba geometria”.
  14. 14. BibliografiaBibliografiaDicionário da Língua Portuguesa, 8ª edição, Porto Editora, 1999.Conceição, Alexandra, Almeida, Matilde, Conceição, Cristina e Costa, Rita,Matemática sob Investigação – 5º ano, parte 1, Areal Editores.Pappas, Theoni, Fascínios da Matemática, A descoberta da matemática que nosrodeia, Editora Replicação, 1995.Pereira, Maria Helena da Rocha, Estudos de História da Cultura Clássica, 5ª edição,Fundação Calouste Gulbenkian, 1980.Wells, David, Dicionário de Geometria Curiosa, Gradiva, 1991.http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Keplerhttp://http://pt.wikipedia.org/wiki/PlatãoImagenshttp://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/Manhas/PoliedrosPlatao2.jpghttp://farm1.static.flickr.com/94/280790074_84adcbed6f.jpg (capa)http://www.lutalivresubmission.com.br/imgs/platao.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_KQaw1cjlRQc/SqpWfPSsaEI/AAAAAAAACTA/z5UhrIdKFLM/s320/elementos+da+natureza.jpg

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