Mat sistemas de numeracao nao decimais

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Mat sistemas de numeracao nao decimais

  1. 1. Sistemas de Numeração Não Decimais Sistemas de Numeração PosicionalO método que conhecemos para escrever os números utiliza um sistema de numeração posicional. Issosignifica que a posição ocupadapor cada algarismo em um número altera seu valor.Por exemplo; Em nosso sistema usual de numeração - sistema decimal , utilizamos um total de 10 algarismos,a saber :0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9, por isso, afirmamos que trabalhamos na base 10 de numeração, pois utilizamosum total de10 algarismos.Quando escrevemos o número 374, sabemos que o algarismo 3 representa 300 unidades, 30 dezenas ou 3 x 210 unidades, o algarismo 7 1 0representa 70 unidades, 7 dezenas ou 7 x 10 unidades e o 4 representa 4 unidades ou 4 x 10 unidades.Assim, podemos escrever : 2 1 0374 = 3 x 10 + 7 x 10 + 4x10 Base de um Sistema de NumeraçãoA base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos utilizados para a escrita de todos osnúmeros. O sistema de base 10é usualmente empregado em nosso dia-a-dia, embora não seja a única base de numeração utilizada.Quando adquirimos uma dúzia de laranjas, duas dúzias de rosas, cinco dúzias de bananas ou uma grosa (doze dúzias ) de parafusosestaremos trabalhando na base duodecimal (base 12) de numeração.Quando marcamos o tempo em dias, horas, minutos e segundos estamos trabalhando com a base 60 denumeração, ou na basesexagesimal.Os computadores utilizam a base 2 ( sistema binário ) e os programadores, por facilidade, usam em geral umabase que seja umapotência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) também a base 8 = 23 sistema octal ouoctagenário Explicação Gráfica de um Sistema de NumeraçãoNo quadro abaixo, temos 43 unidades. Vamos contá-la em alguns sistemas de numeração.
  2. 2. Sistema DecimalNo Sistema Decimal contamos de dez em dez e sabemos que cada 10 unidades de 1ª ordem equivalem a 1unidade de 2ª ordem. Cada10 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 10 unidades de 3ª ordem equivalem a 1unidade de 4ª ordem, eassim sucessivamente No sistema decimal contamos de 10 em 10. Com isso formamos 4 grupos de 10 e mais 3 unidades. E dessa forma 43 unidades será representada como: 4 grupos de 10 ( dezenas ) + 3 unidades = 43(10)Sistema de Base 2 ( Sistema Binário )No Sistema Binário contamos de dois em dois e sabemos que cada 2 unidades de 1ª ordem equivalem a 1unidade de 2ª ordem. Cada2 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 2 unidades de 3ª ordem equivalem a 1unidade de 4ª ordem, eassim sucessivamente. No sistema binário contamos de 2 em 2. Com isso formamos 21 grupos de 2 e mais 1 unidade. Como cada dois grupos desses 21 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 21 : 2 = 10 unidades de terceira ordem e uma unidade de segunda ordem de resto. Como cada dois grupos desses 10 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 10 : 2 = 5 unidades de quarta ordem e zero unidades de terceira ordem. Como cada dois grupos desses 5 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 5 : 2 = 2 unidades de quinta ordem e uma unidade de quarta ordem. Como cada dois grupos desses 2 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 2 : 2 = 1 unidade de sexta ordem e zero unidades de
  3. 3. quinta ordem.Dessa forma : 43(10) = 101011(2)Sistema de Base 3 ( Sistema Ternário )No Sistema Ternário contamos de três em três e sabemos que cada 3 unidades de 1ª ordem equivalem a 1unidade de 2ª ordem. Cada3 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 3 unidades de 3ª ordem equivalem a 1unidade de 4ª ordem, eassim sucessivamente. No sistema ternário contamos de 3 em 3. Com isso formamos 14 grupos de 3 e mais 1 unidade. Como cada 3 grupos desses 14 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 14 : 3 = 4 unidades de terceira ordem e 2 unidades de segunda ordem de resto. Como cada 3 grupos desses 4 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 4 : 3 = 1 unidades de quarta ordem e uma unidade de terceira ordem. Dessa forma : 43(10) = 1121(3)Sistema de Base 4 ( Sistema quaternário )No Sistema Quaternário contamos de quatro em quatro e sabemos que cada 4 unidades de 1ª ordemequivalem a 1 unidade de 2ªordem. Cada 4 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 4 unidades de 3ª ordemequivalem a 1 unidade de 4ªordem, e assim sucessivamente. No sistema quaternário contamos de 4 em 4. Com isso formamos 10 grupos de 4 e mais 3 unidades. Como cada 4 grupos desses 10 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 10 : 4 = 2 unidades de terceira ordem e 2 unidades de segunda ordem de resto. Como cada 3 grupos desses 4 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 4 : 3 = 1 unidades de quarta ordem e uma unidade de terceira ordem. Dessa forma : 43(10) = 223(4)Sistema de Base 8 ( Sistema octal ou octagenário)No Sistema de base oito contamos de oito em oito e sabemos que cada 8 unidades de 1ª ordem equivalem a 1unidade de 2ª ordem.Cada 8 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 8 unidades de 3ª ordem equivalem a 1unidade de 4ª ordem, eassim sucessivamente.
  4. 4. No sistema octal contamos de 8 em 8. Com isso formamos 5 grupos de 8 e mais 3 unidades. Como a quantidade 5 grupos é inferior a 8, já concluímos a transformação solicitada Dessa forma : Dessa forma : 43(10) = 53(8)NotaçãoQuando escrevemos numa base diferente da decimal, grifamos o número com um índice que determina a suabase de numeração.Sempre que um número for apresentado sem índice que indique sua base de numeração, entenderemos que abase é dez.Sempre que outra base for utilizada, essa base terá de ser, obrigatoriamente, indicada.Se o número ABC estiver escrito na base n, escreveremos : ABC(n) ou ABCn ou (ABC)nNa base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.Na base 2 utilizamos apenas 2 algarismos: 0 e 1. Exemplo: 1001(2) ; 100010101(2)Na base 4 utilizamos apenas os 4 primeiros algarismos: 0, 1, 2 e 3. Exemplo: 3201(4) ; 22031(4)Na base 7 utilizamos os 7 primeiros algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Exemplo: 562(7) ; 3405(7)Na base 8, seriam os 8 primeiros os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Exemplo: 753(8) ; 6714(8)Na base 16, seriam os 10 algarismos usados na base 10 e mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representandorespectivamente 10, 11, 12,13, 14 e 15 unidades. Exemplo: 9AE0(16) ; 84CD(16)De um modo geral, temos que uma base b qualquer utilizará b algarismos, onde b varia entre 0 e b - 1. Mudança de Base Mudança da Base Decimal para uma Base QualquerPara transformarmos da base decimal para uma base qualquer devemos dividir sucessivamente o número e aseguir os quocientesobtidos pelo algarismo representativo dessa base até que a divisão não seja mais possível.Só um exemplo tornará mais clara essa definição.Exemplo 01 - Transforme para a base 5 o número 269. Como a base 5 trabalha em grupos de 5, devemosdividir, sucessivamente, essas269 unidades por 5.
  5. 5. ou dessa forma, mais práticaE lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremosa nossa solução:269 = 2034(5)Esse número não pode ser lido como dois mil e trinta e quatro na base cinco, já que essa leitura é específicada base decimal.O correto será: dois, zero, três, quatro na base cinco.Exemplo 02 - Transforme para a base 8 o número 531. Como a base 8 trabalha em grupos de 8, devemosdividir, sucessivamente, essas531 unidades por 8. ou dessa forma, mais práticaE lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremosa nossa solução:531 = 1023(8)Esse número não pode ser lido como mil e vinte e três na base oito, já que essa leitura é específica da basedecimal. O correto será:um, zero, dois, três na base cinco.Exemplo 03 - Transforme para a base 2 o número 97. Como a base 2 trabalha em grupos de 2, devemos dividir,sucessivamente, essas97 unidades por 2.E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremosa nossa solução:97 = 1000011(2)Como já sabemos, esse número deverá ser lido como: um, zero, zero, zero, zero, um, um na base dois.Exemplo 04 - Transforme para a base 12 o número 1579, considerando A = 10 e B = 11. Como a base 12trabalha em grupos de 12,devemos dividir, sucessivamente, essas 1579 unidades por 12.
  6. 6. E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, e,também, lembrando queA = 10 e B = 11, teremos a nossa solução: 1579 = AB7(12) Mudança de uma Base Qualquer para a Base Decimal1° Método: Para transformarmos o número, de n algarismos, ABC...YZ escrito numa base b para a basedecimal, teremos:A . b(n - 1) + B . b(n - 2) + C . b(n - 3) + D .b(n - 3) + ....... + X . b2 + Y . b1 + Z . b0Só um exemplo tornará mais clara essa transformação.Exemplo 05 - Transforme para a base decimal o número 1246(7).Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 7 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim : (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3) (4 - 4)1.7 +2.7 +4.7 +6.7 = 1 . 73 + 2 . 72 + 4 . 71 + 6 . 70 = 343 + 98 + 28 + 6 = 475Exemplo 06 - Transforme para a base decimal o número 302(4).Se o número possui 3 algarismos, a primeira potência de 4 terá o expoente 3 - 1 = 2, assim :3 . 4(3 - 1) + 2 . 4(3 - 2) + 2 . 4(3 - 3)= 3 . 42 + 2 . 41 + 2 = 3 . 16 + 2 . 4 + 2 = 48 + 8 + 2 = 582° Método : Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos aplicar ométodo Prático:"Desce multiplicando e sobe somando". Apliquemos esse método:Exemplo 07 - Transforme para a base decimal o número 652(8)Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 8 è 6 x 8 = 48 e sobesomando pelo próximoalgarismo: 48 + 5 = 53 e o processo continua: o resultado 53 desce multiplicando pela base 8 è 53 x 8 = 424 esobe somando como próximo e último algarismo: 424 + 2 = 426.Assim 652(8) = 426(10)Exemplo 08 - Transforme para a base decimal o número 10212(3)Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 3 è 1 x 3 = 3 e sobesomando pelo próximoalgarismo: 3 + 1 = 4 e o processo continua: o resultado 4 desce multiplicando pela base 3 è 4 x 3 = 12 e sobesomando com opróximo e último algarismo: 424 + 2 = 426.Assim 652(8) = 426(10)3° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemosaplicar um segundo método Prático: Método das sucessivas divisões. Esse algoritmo é a aplicação contráriado método para atransformação da base decimal para uma base qualquer. Apliquemos esse método:Exemplo 09 - Transforme para a base decimal o número 7182(9)
  7. 7. Se o número possui quatro algarismos, faremos três divisões sucessivas com o divisor 9 e escreveremos onúmero 7182 de baixo paracima, o algarismo 7 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim :Com isso , teremos que : 7182(9) = 5.258(10) = 5.258Exemplo 10 - Transforme para a base decimal o número 345(6)Se o número possui três algarismos, faremos duas divisões sucessivas com o divisor 6 e escreveremos onúmero 345 de baixo paracima, o algarismo 3 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim :Com isso , teremos que : 345(6) = 137(10) = 137Exemplo 11 - Transforme para a base decimal o número AB3G8(16)Se o número possui cinco algarismos, faremos quatro divisões sucessivas com o divisor 16 e escreveremos onúmero AB3E8 de baixopara cima, o algarismo A será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Não podemosesquecer que na base 16,temos : A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 e F = 15. Assim :
  8. 8. Com isso , teremos que : AB3G8(16) = 701 416(10) = 701.416Observação Importante: Quando transformamos um número na base decimal para uma base menor que 10, onúmero, se lido na basedecimal será sempre maior que o correspondente decimal.Exemplo : 345(6) = 137(10) 345(10) > 137(10)Mudança de uma Base não-decimal para uma Base não-decimal.Nesse caso transformamos o número inicial para a base decimal e transformamos dessa para a base nãodecimal solicitadaExemplo 11 - Transforme para a base 8 o número 4312(5).1ª Etapa: Vamos transformar 4312(5) para a base decimal.Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 5 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim : (4 - 1) (4 - 2) (4 - 3) (4 - 4)4.5 +3.5 +1.5 +2.5 = 4 . 53 + 3 . 52 + 1 . 51 + 2 . 50 = 500 + 75 + 5 + 2 = 5822ª Etapa:Vamos transformar 582(10) para a base 8.
  9. 9. E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremosa nossa solução:582 = 1106(8) e 4312(5) = 1106(8)Exemplo 12 - Transforme para a base 7 o número 10010(2).1ª Etapa: Vamos transformar 10010(2) para a base decimal.Se o número possui 5 algarismos, a primeira potência de 2 terá o expoente 5 - 1 = 4, assim : (5 - 1) (5 - 2) (5 - 3) (5 - 4) (5 - 5)1.2 +0.2 +0.2 +1.2 +0.2 = 1 . 16 + 0+ 0 + 2 + 0 = 182ª Etapa: Vamos transformar 18(10) para a base 7.E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e o único resto, teremos anossa solução:18 = 24(7) e 10010(2) = 24(7)Exercícios PropostosI - Transforme para a base binária ( base 2 ).01) 29 02) 47 03) 75 04) 123II - Transforme para a base ternária ( base 3 ).05) 23 06) 34 07) 69 08) 158III - Transforme para a base quaternária ( base 4 ).09) 47 10) 51 11) 98 12) 183IV - Transforme para a base 5.13) 61 14) 87 15) 129 16) 266V - Transforme para a base 6.17) 78 18) 93 19) 145 20) 297VI - Transforme para a base 7.21) 29 22) 72 23) 161 24) 328
  10. 10. VII - Transforme para a base octal ( base 8 ).25) 36 26) 189 27) 377 28) 675VIII - Transforme para a base 9.29) 98 30) 107 31) 783 32) 1.044IX - Transforme para a base 12, sendo A = 10 ; B = 11 .33) 1.143 34) 1.709 35) 18.993X - Transforme para a base 14, sendo A = 10 ; B = 11 ; C = 12 e D = 13.36) 1.132 37) 4.880 38) 37.866XI - Transforme para a base 16, sendo A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15.39) 1.020 40) 32.228 41) 43.981XII - Transforme para a base decimal.42) 1011(2) 43) 110101(2) 44) 1010111(2) 45) 120(3)46) 2132(4) 47) 3301(4) 48) 4032(5) 49) 451(6)50) 5264(7) 51) 753(8) 52) 1641(8) 53) 5834(9)54) 2A5A(11) 55) 7AAB(12) 56) ACB(15) 57) 50AF(16)XIII - Transforme para a base solicitada.58) 132(4) = ..................... (2) 59) 10110(2) = ..................... (7) 60) 1432(5) = ..................... (8)61) 645(7) = ..................... (12) 62) 1402(8) = ..................... (16) 63) ACD1(16) = ................... (3)64) Em que base de numeração o número 216, escrito na base decimal, é representado por 1000 ?65) Em que base de numeração o número 324, escrito na base sete, é representado por 131 ?66) Determine o valor de M, de tal maneira que MMMM(4) = 255 ?67) Determine a representação de P = 14654(b), na base b+1 ?68) Em que base de numeração o cubo de 12 é igual a 1750 ? base 869) Quantos números de 3 algarismos existem na base 9 ?70) Quantos algarismos serão utilizados para numerarmos, na base 7, as 65 páginas de um livro ?
  11. 11. 71) Em paginar um livro no sistema de base 5, um aluno encontrou 146 algarismos. Quantas são as páginasdesse livro ?72) Escreva na base 2x o número 4444(x)Questões de Concurso73) ( CEFET RJ ) Escrevendo o número 324 num sistema de base 3 obtemos :a) 110000 b) 101110 c) 122010 d) 210010 e) 11211074) ( CEFET RJ ) A data 25 / 11 / 89. se for escrita no sistema de base 8, será :a) 30 / 10 / 70 b) 13 / 31 / 131 c) 31 / 13 / 131 d) 31 / 13 / 113 e) 52 / 11 / 78 75) ( CEFET RJ ) Escreva o numeral 745 no sistema de base 16, sabendo que, nesse sistema, os símbolossão 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.a) A4B5 b) 2E9 c) 2BA1 d) 21CD e) 1EF76) ( F.C.Chagas ) Num sistema de numeração de base 4, faz-se a contagem do seguinte modo :1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30 ... O número 42 no sistema de base 4 é composto de :a) 4 algarismos iguais b) 3 algarismos iguais c) 2 algarismos iguaisd) 3 algarismos distintos e) 2 algarismos distintos

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