FUNÇÕES1 – Noção Intuitiva de função   Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. O...
2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por            y = 3x+1...
2º) Seja uma relação de A={-4,-3,-2,-1,0} em B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,} definida por F(x)= 2x + 5.   Fazendo um diagrama , ...
6º) Dada a função f:RR/ f(x)=3x + 1, calcule:    a) f(-2)=   b) f(-1) =   c) f(0)=   d) f(3)=   e) f(5)=           1   f...
10º) Seja a função definida por f(x)= 3x2  2x  1. Determine os valores de x para que se tenha :    b) f(x) = 0          ...
4º) Seja uma relação de A={-3,-2,-1,0,3} em B ={-4,-2,-1,0,2,3,4,5,10} definida por F(x) = 2x + 4.   Fazendo um diagrama ,...
10º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :    a) f(x) = – 1        ...
3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO        O sistema cartesino é constituído por dois eixos , x e y , perpendicu...
3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,0), B(3,0) , C(5,0), D(-4,0), E(-2,0), F(0,2), G(0,4) ,    H(0,-3), I (0,-5...
Exercícios1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,1), B(1,3) , C(-2,5), D(-4,2), E(-3,-4), F(-2,4), G(0,-2) e    H(...
4 – GRÁFICOS4.1 - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU       Toda a função do tipo F : R  R / F(x) = ax + b é chamada função do 1º gra...
Pelos exemplos podemos concluir que o gráfico da função do 1ºgrau é sempre uma reta. Logo bastamdois pontos para traçar es...
Pelos exemplos podemos concluir também que :    se a > 0 a função do 1º grau é crescente.    Se a < 0 a função do 1º gra...
1e)f(x) = 1 – 2x   f) f(x) =     x 1                              2                                       14
4.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU       Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x que...
Então , pelos exemplos podemos dizer que:   Geometricamente, raiz ou zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, representa o...
2º) Faça o gráfico das funções f(x) = x – 2 , g(x) = –2x + 1 e h(x) = 3x - 2, num mesmo sistema   cartesiano. Identifique ...
2º) Dada a função f(x) = – 3x +6 , determinar os valores de x parta os quais :      a) f(x) = 0                 b) f(x) > ...
c) f(x) = 2x – 1Exercícios:1º) Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1º grau :     a) f(x) = x + 5          ...
xd) f(x) = 2x + 5                                     h) f(x) = 2 +                                                       ...
5.1 - DEFINIÇÃO               Função do 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática   F(x)...
     Se   0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais diferentes.     Se  = 0 , a função f(x) = ax2 + bx +...
Para construir o gráfico da função do 2º grau precisamos marcar pontos no plano cartesiano.Veja alguns exemplos :1º exempl...
Resolução:  Tabela  x     y4º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 2x – 4 .            Resolução:  Tabela ...
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  1. 1. FUNÇÕES1 – Noção Intuitiva de função Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemosuma situação : Exemplo : Seja um quadrado de lado l . l Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática : Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o quePode ser verificado pela tabela seguinte : Medida do Medida do Lado (l) Perímetro (p) 1m 2m 3,5 m 3m 4,5 m 7m 10 m Pela tabela , observamos que :  A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável  A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável  A todos os valores de l estão associados valores de p  A cada valor de l está asociado um único valor de pDizemos então: a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.2 – Noção de função através de conjuntos 1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de de A em B expressa por y = 2x –3 , com x  A e y  B , temos : 1
  2. 2. 2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por y = 3x+1 , com x  A e y  B , temos :3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por y = x2 , com x  A e y  B , temos :4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por y =  x , com x  A e y  B , temos :OUTROS EXEMPLOS1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3, com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 2
  3. 3. 2º) Seja uma relação de A={-4,-3,-2,-1,0} em B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,} definida por F(x)= 2x + 5. Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem.3º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula y = x2 + 2, com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.4º)Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,12} e uma relação de A em B expressa por y= x2- 4 , faça um diagrama e diga se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem.5º) Dada a função f:R  R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5). 3
  4. 4. 6º) Dada a função f:RR/ f(x)=3x + 1, calcule: a) f(-2)= b) f(-1) = c) f(0)= d) f(3)= e) f(5)= 1 f) f( )= 27º) Sendo f:R R/f(x)=x2 3x 10 , calcule: a) f(2)= b) f(1)= c) f(0)= d) f(3)= e) f(5)= 1 f) f( ) 28º) Dada a função f(x)=  4x + 3 , determine os valores de x para que: 1 a) f(x) =  4 b) f(x) = 29º) Seja a função definida por f(x)= x2  3x  4. Determine os valores de x para que se tenha : a) f(x) =  6 b) f ( x) = 14 4
  5. 5. 10º) Seja a função definida por f(x)= 3x2  2x  1. Determine os valores de x para que se tenha : b) f(x) = 0 b) f ( x) = 4EXERCÍCIOS1º) Seja uma relação de A={-1,0,1,3} em B={-2,-1,0,2,4,6,8} expressa pela fórmula y=2x. Faça um diagrama e diga se temos ou não uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem.2º) Dados A={-2,-1,1,3} e B={-8,-4,-1,1,10,27,30} e uma relação de A em B expressa por y=x3 , faça um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem.3º) Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,13} e uma relação de A em B expressa por y=3x – 1 , faça um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 5
  6. 6. 4º) Seja uma relação de A={-3,-2,-1,0,3} em B ={-4,-2,-1,0,2,3,4,5,10} definida por F(x) = 2x + 4. Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem.5º) Dada a função f:RR/ f(x )= 5x + 2, calcule: a ) f ( 2)  b) f (3)  c ) f ( 4 )  d ) f ( 1)  3 e) f    4  1 f ) f    56º) Dada a função f:RR/ f(x )= 7x – 30 , calcule os valores de x para que : 5 a) f ( x)  26 b) f ( x)  87º) Dada a função f:RR/ f(x )= 4x + 3, calcule: a) f(-3)= e) f(5)= 2 b) f(-2) f(    3  1 c) f(0)= g)      5 d) f(2)=8º) Determine o conjunto imagem da função f: {-2,0, 3 } R / f(x)= x2 + 3 .9º) Dada a função f(x)= 8x + 7 , determine os valores de x para que: 7 a) f(x) = 55 b) f(x) = 3 6
  7. 7. 10º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha : a) f(x) = – 1 b) f(x) = 911º) Dadas as funções f(x)= 2x –3 e g(x) = –3x + 2, calcule o valor de f(1) + g(–2).12º) Dada a função f(x)= 20x –30, calcule o valor de x para que se tenha: a) f(x) = 30 b) f(x) = –20 113º) Dada a função f(x) = 1 – x , calcule : 5 1 a) f(0)= d) f( )  5 2 b) f(–1)= e) f(– )  3 c) f(2)=14º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha : b) f(x) = 12 b) f(x) = 0 7
  8. 8. 3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO O sistema cartesino é constituído por dois eixos , x e y , perpendiculares entre si. O eixo x édenominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Essas eixos dividem o planoem quatro regiões chamadas quadrantes. Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Cada ponto é determinado por um parordenado ( x , y ). Esse par ordenado representa as coordenadas do ponto. Vamos marcar alguns pontos no plano. Acompanhe os exemplos :1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,4), B(5,3) , C(-2,3), D(-4,1), E(-3,-1), F(-1,4), G(2,-3) e H(3,-5).2º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(-2,1), B(-1,4) , C(2,-3), D(4,-1), E(3,1), F(5,4), G(-3,-3) e H(-4,-5). 8
  9. 9. 3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,0), B(3,0) , C(5,0), D(-4,0), E(-2,0), F(0,2), G(0,4) , H(0,-3), I (0,-5) e J(0,-1).4º) Marque no plano cartesiano os pontos A(1,3), B(0,4), C(-2,3), D(-2,1), E(-1,-1), F(1,-1) e G(2,1). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?5º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(0,2), B(3,2), C(3,1), D(5,3), E(3,5), F(3,4) e G(0,4). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos? 9
  10. 10. Exercícios1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,1), B(1,3) , C(-2,5), D(-4,2), E(-3,-4), F(-2,4), G(0,-2) e H(3,-5).2º) Marque no plano cartesiano os pontos A(4,1), B(2,5), C(-2,5), D(-4,1), E(-4,-2), F(-2,-4) ,G(2,-4) e H(4,-2). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,0), B(3,2), C(2,4), D(0,4), E(-1,3), F(-1,2) e G(0,0). Unaos pontos na ordem dada. Que figura obtemos? 10
  11. 11. 4 – GRÁFICOS4.1 - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Toda a função do tipo F : R  R / F(x) = ax + b é chamada função do 1º grau. Assim são funções do 1º grau :  f(x) = 5x + 7  f(x) = - 7x + 4  f(x) = 4x  f(x) = x – 3  f(x) = 2x – 54.2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Para construir o gráfico de uma função devemos encontrar pontos que satisfaçam a função.Para isso atribuímos valores para x e calculamos o valor de y, montando uma tabela.Veja os exemplos:1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 1 . Resolução: Tabela x y2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – 3x+ 1 . Resolução: Tabela x y 11
  12. 12. Pelos exemplos podemos concluir que o gráfico da função do 1ºgrau é sempre uma reta. Logo bastamdois pontos para traçar esse gráfico. Veja os exemplos:1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x +2 . Resolução: Tabela x y2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = –2x+ 3 . Resolução: Tabela x y 12
  13. 13. Pelos exemplos podemos concluir também que :  se a > 0 a função do 1º grau é crescente.  Se a < 0 a função do 1º grau é decrescenteExemplos: 1º) Diga se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes e justifique: a) F(x) = 3x + 2 b) F(x) = –4x – 7 c) F(x) = 3 – 2x d) F(x) = – 7 + 5xEXERCÍCIOS 1º) Construa, num sistema cartesiano, o gráfico das funções, dizendo em cada caso se a função écrescente ou decrescente : a) f(x) = x + 2 b) f(x) = -1 + 3x c) f(x) = - x+ 2 d) f(x)= -1 - 3x 13
  14. 14. 1e)f(x) = 1 – 2x f) f(x) = x 1 2 14
  15. 15. 4.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x que anula a função,ou seja, torna f(x) = 0.Exemplos : 1º ) Calcular a raiz da função f(x) = 3x – 12 .2º) Calcular a raiz de cada função abaixo : 3x a) f(x) = –3x + 5 b) f(x) = 5x +10 c) f(x) = 8 54.4 - INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA RAIZ Vamos construir o gráfico e calcular a raiz de cada função abaixo :a) f(x) = x – 2 b) f(x) = – 2x + 6 15
  16. 16. Então , pelos exemplos podemos dizer que: Geometricamente, raiz ou zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, representa o “corte” no eixo x.EXERCÍCIOS1º) Calcule as raízes das seguintes funções do 1º grau : a) f(x) = 2x – 6 d) f(x) =3 – 3x x b) f(x) = – 2x + 4 e) f(x) = – 2 2 x c) f(x) = 2x – 10 f) f(x) = 2 + 2 g) f(x) = 10x + 25 16
  17. 17. 2º) Faça o gráfico das funções f(x) = x – 2 , g(x) = –2x + 1 e h(x) = 3x - 2, num mesmo sistema cartesiano. Identifique como crescente ou decrescente cada uma das funções.4.5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU A função do 1º grau f(x) = ax+b , conforme os valores atribuídos a x , pode ser positiva ( f(x) >0 )pode ser negativa ( f(x)<0 ) ou pode ser igual a zero ( f(x) = 0 ). Em outras palavras a função podevariar entre positiva, negativa ou nula. Observe os exemplos :1º) Dada a função f(x) = 2x – 4 , determinar os valores de x parta os quais : a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0 17
  18. 18. 2º) Dada a função f(x) = – 3x +6 , determinar os valores de x parta os quais : a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0Pelos exemplos podemos estabelecer o seguinte resumo :Exemplos:1º) Estude a variação do sinal de cada função do 1º grau abaixo : a) f(x) = 5x – 15 b) f(x) = – 2x – 8 18
  19. 19. c) f(x) = 2x – 1Exercícios:1º) Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1º grau : a) f(x) = x + 5 e) f(x) = –3x + 6 b) f(x) = – 3x + 9 f) f(x) =1 - 5x x c) f(x) = 2 – 3x g) f(x) = 1 3 19
  20. 20. xd) f(x) = 2x + 5 h) f(x) = 2 + 22º) Para que valores de x a função f(x) = 5x + 3 é positiva ?3º) Para que valores de x a função f(x) = – 3x – 5 é negativa ?5 - FUNÇÃO DO 2º GRAU ( OU FUNÇÃO QUADRÁTICA ) 20
  21. 21. 5.1 - DEFINIÇÃO Função do 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática F(x) = ax2 + bx + c , com a, b, c números reais e a  0. Assim, são funções polinomiais do 2º grau : f(x) = 3x2 +5x + 8 y = – x2 – 3x – 4 f(x) = x2 – 9 y = – 2x2 + 6x f(x) = x2 – 2x + 1 y = 4x2 f(x) = 5 – 3x + 5x25.2 - RAÍZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU Os valores reais de x para os quais se tem f(x) = 0 são denominados raízes ou zeros da funçãodo 2º grau .EXEMPLOS: 1º) Determinar as raízes de cada uma das funções abaixo : 2a) f(x) = x – 3x – 10b) f(x) = x2 – 8x + 16c) f(x) = x2 – 3x + 8PELOS EXEMPLOS PODEMOS OBSERVAR QUE : 21
  22. 22.  Se   0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais diferentes. Se  = 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais iguais. Se  < 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c não tem raízes reais.EXERCÍCIOS1º) Calcule a raíz de cada função do 2º grau abaixo : a) f(x) = x2 – 25 b) y = x2 – 10x + 21 c) f(x) = – x2 + 6x d) f(x) = x2 + 4x + 8 e) y = – x2 + x + 6 f) f(x) = – 4x2 + 4x – 16 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 22
  23. 23. Para construir o gráfico da função do 2º grau precisamos marcar pontos no plano cartesiano.Veja alguns exemplos :1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2 . Resolução: Tabela x y2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 +2 . Resolução: Tabela x y3º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3 . 23
  24. 24. Resolução: Tabela x y4º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 2x – 4 . Resolução: Tabela x y 24
  25. 25. 25

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