Equações do 1º grau                                                           (Parte 2)                                 Pr...
1EQUAÇÕES DO 1º GRAUExpressões algébricas ou literaisSão expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter númer...
2No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmasrepresentam expressões algébricas ou numéricas.As ...
3Conjunto universo e conjunto solução de uma equaçãoConsideremos as seguintes situações:1ª) Dentre os elementos do conjunt...
4•    O conjunto dos números naturais, que representa os valores que a incógnita     x pode assumir, é denominado conjunto...
5Você verifica, também, que o conjunto solução (S) de uma equação é formadopor todos os valores do conjunto universo dado ...
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7► Dada a equação 3 x − 1 = 8 , se somarmos 5 aos dois membros da suaigualdade, teremos:   3x − 1 = 83x − 1 + 5 = 8 + 5   ...
8Já sabemos que suas equações são equivalentes se suas raízes são iguais. Então,vamos calcular as raízes do exemplo acima,...
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Mat equacoes do 1 grau 002

  1. 1. Equações do 1º grau (Parte 2) Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaExpressões algébricas ou literais ................................................................................................ 1Conjunto universo e conjunto solução de uma equação ............................................................ 3Como verificar se o número dado é raiz de uma equação .......................................................... 5Equações equivalentes................................................................................................................ 6 Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes ........................................... 6Os princípios de equivalência .................................................................................................... 6 Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada .......................................... 6 Princípios da igualdade ....................................................................................................... 6 Princípio aditivo da igualdade ......................................................................................... 6 Princípio multiplicativo da igualdade.............................................................................. 7Referências bibliográficas .......................................................................................................... 8
  2. 2. 1EQUAÇÕES DO 1º GRAUExpressões algébricas ou literaisSão expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. Sãotambém denominadas expressões literais.Em muitos problemas podemos usar letras para generalizar uma situação.Veja como podemos expressar o perímetro de alguns polígonos cujos lados têma mesma medida, representada pela letra x.• Triângulo eqüilátero: x + x + x = 3 x• Quadrado: x + x + x + x = 4 x• Pentágono regular: x + x + x + x + x = 5 xAgora, para escrever a expressão do perímetro do retângulo abaixo:Temos:m+n+m+n=m+m+n+n=2m + 2n
  3. 3. 2No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmasrepresentam expressões algébricas ou numéricas.As letras nas expressões são chamadas incógnitas ou variáveis o que significaque o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico.Exemplos:a) Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preçode duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço docaderno e y o preço de cada caneta.b) Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerantecom o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representao preço do salgado e y o preço do refrigerante. Usamos a subtração para saber ovalor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é ovalor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V− (1x+1y) = T.c) Consideremos P = 2A+10 e tomemos A=5. Assim:P = 2⋅5 + 10P = 10 + 10P = 20Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valornumérico da expressão indicada por P.d) As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulasmatemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outrasfiguras planas. Expressão algébrica Objeto matemático Figura A=b·h Área do retângulo A=b·h/2 Área do triângulo P=4a Perímetro do quadrado
  4. 4. 3Conjunto universo e conjunto solução de uma equaçãoConsideremos as seguintes situações:1ª) Dentre os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, qual deles podemoscolocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a equação x + 2 = 6 ?Fazendo a substituição, vemos que o elemento é o número 4, pois:x+2=64+2=6 6=6Assim:• O conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, formado por todos os elementos que a incógnita x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação.• O conjunto {4}, formado pelo elemento de A que torna verdadeira a equação, chama-se conjunto solução da equação.• O número 4 é a solução ou raiz da equação. Equação dada: x + 2 = 6 Conjunto universo: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Síntese: Conjunto solução: S = {4} Solução ou raiz da equação: o número 42ª) Qual é o número natural que podemos colocar no lugar da letra x para tornarverdadeira a equação 3 x = 15 ?Fazendo a substituição, vemos que o número natural é 5, pois: 3x = 153 ⋅ 5 = 15 15 = 15Os demais números naturais não tornam verdadeira a equação.Assim:
  5. 5. 4• O conjunto dos números naturais, que representa os valores que a incógnita x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação.• O conjunto {5}, formado pelo elemento de que torna verdadeira a equação, chama-se conjunto solução da equação.• O número 5 é a solução ou raiz da equação. Equação dada: 3 x = 15 Conjunto universo: U = Síntese: Conjunto solução: S = {5} Solução ou raiz da equação: o número 53ª) Qual é o número inteiro que podemos colocar no lugar da letra y para tornarverdadeira a equação 2 y + 1 = −5 ?Fazendo a substituição, vemos que o número natural é –3, pois: 2 y + 1 = −52 ⋅ (−3) + 1 = −5 − 5 = −5 Equação dada: 2 y + 1 = −5 Conjunto universo: U = Síntese: Conjunto solução: S = {–3} Solução ou raiz da equação: o número –3Pelas situações dadas, você verifica que, dada uma equação, devemosestabelecer inicialmente um conjunto numérico formado por todos os valorespelos quais a incógnita pode ser substituída. Esse conjunto é chamado conjuntouniverso da equação.Assim:• Se U = , a incógnita pode assumir o valor de qualquer número natural.• Se U = , a incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro.• Se U = , a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional.
  6. 6. 5Você verifica, também, que o conjunto solução (S) de uma equação é formadopor todos os valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a equaçãoe, por esse motivo, também pode ser chamado conjunto verdade (V) daequação.O conjunto solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também umconjunto vazio.Como verificar se o número dado é raiz de uma equaçãoCada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transforma a equaçãoem uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para verificarmosse um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos aincógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou nãoverdadeira.Exemplos:a) Verificar se o número 3 é raiz da equação 5 x − 3 = 2 x + 6 . 5x − 3 = 2 x + 65⋅3− 3 = 2⋅3+ 6 15 − 3 = 6 + 6 12 = 12 (V)Logo, o número 3 é raiz da equação 5 x − 3 = 2 x + 6 .b) Verificar se o número –2 é raiz da equação y 2 − 5 y = 3 y + 5 . y2 − 5 y = 3y + 5(−2) 2 − 5 ⋅ (−2) = 3 ⋅ (−2) + 5 4 + 10 = −6 + 5 14 ≠ −1 (F)Logo, o número –2 não é raiz da equação y 2 − 5 y = 3 y + 5 .
  7. 7. 6Equações equivalentesComo reconhecer se duas ou mais equações são equivalentesÉ através do conjunto solução que identificamos as equações equivalentes. Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio) são denominadas equações equivalentes.Exemplo:Consideremos as equações, sendo U = :x + 3 = 10, onde S = {7} Todas as equações apresentam a mesmax = 10 − 3, onde S = {7} solução ou raiz, que é o número 7x = 7, onde S = {7}As equações x + 3 = 10 , x = 10 = 3 e x = 7 apresentam a mesma raiz ou solução.Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes.A forma mais simples de representar essas equações é x = 7 .Os princípios de equivalênciaComo escrever uma equação equivalente a uma equação dadaÉ através do conjunto solução que identificamos as equações equivalentes.Como de uma equação chegamos a uma equação equivalente a ela? Para issoprecisamos utilizar os princípios da igualdade, esses princípios são utilizadostanto para encontrar equações equivalentes como para qualquer tipo deigualdade matemática.Princípios da igualdade►Princípio aditivo da igualdadeEsse princípio diz que em uma igualdade matemática se adicionarmos ummesmo valor aos dois membros de uma equação, obteremos uma equaçãoequivalente à equação dada. Veja o exemplo:
  8. 8. 7► Dada a equação 3 x − 1 = 8 , se somarmos 5 aos dois membros da suaigualdade, teremos: 3x − 1 = 83x − 1 + 5 = 8 + 5 3 x + 4 = 13 (chegamos à outra equação que é equivalente à equação 3 x − 1 = 8)Conforme o princípio aditivo da igualdade, as duas equações são equivalentes.Se acharmos as raízes das duas equações, perceberemos que são iguais, entãoafirmaremos o que esse princípio diz - que as duas são equivalentes. Veja ocálculo das suas raízes: 3x − 1 = 8 3 x + 4 = 13 3x − 1 + 1 = 8 + 1 3 x + 4 − 4 = 13 − 4 3x = 9 3x = 9 1 1 1 1 3x ⋅ = 9 ⋅ 3x ⋅ = 9 ⋅ 3 3 3 3 x=3 x=3 S = {3} S = {3}As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio aditivo da igualdade.►Princípio multiplicativo da igualdadeEsse princípio diz que ao multiplicarmos ou dividirmos os dois membros daigualdade pelo mesmo número, desde que esse seja diferente de zero, obteremosoutra equação que será equivalente à equação dada. Veja o exemplo:► Dada a equação x − 1 = 2 , uma das formas de achar uma equação equivalentea ela é utilizando o princípio multiplicativo da igualdade. Se multiplicarmos osdois membros dessa igualdade por 4, teremos: x −1 = 24 ⋅ ( x − 1) = 4 ⋅ 2 4 x − 4 = 8 (chegamos à outra equação que é equivalente à equação x − 1 = 2)
  9. 9. 8Já sabemos que suas equações são equivalentes se suas raízes são iguais. Então,vamos calcular as raízes do exemplo acima, para verificarmos se realmente sãoequivalentes. x −1= 2 4x − 4 = 8 x −1+1= 2 +1 4x − 4 + 4 = 8 + 4 x=3 4 x = 12 1 1 S = {3} 4x ⋅ = 12 ⋅ 4 4 x=3 S = {3}As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio multiplicativo daigualdade.Referências bibliográficas[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.[5] Matemática no plural (5ª a 8ª Série). Marcos Miani. Editora IBEP.[6] http://www.brasilescola.com

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