Η Ασκηση της Ημέρας

1. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Για x κοντά στο 2 θέτουμε  
 
 



f x 2
h x
3f x x
Τότε ισοδύναμα θα έχουμε:
                                 3f x x h x f x 2 3f x h x xh x f x 2 f x 3h x 1 xh x 2 1
Επειδή το  

x 2
1
h x
2
lim , για τιμές του x κοντά στο 2 η h παίρνει τιμές όσο κοντά στο
1
2
θέλουμε και συνεπώς μεγαλύτερες του
1
3
.
Εναλλακτικά:       
 
           
 x 2 x 2
1 1 1 1
h x h x 0 h x 0 x ά 2
2 3 3 3
lim lim
Δηλαδή
  3h x 1 0 για x κοντά στο 2
Οπότε από τη σχέση  1 προκύπτει:  
 
 



xh x 2
f x
3h x 1
για x κοντά στο 2
Άρα
 
 
 
  
  

 


    
  
x 2
x 2 x 2
x 2
1
2 2xh x 2xh x 2 2f x 2
13h x 1 3h x 1 3 1
2
lim
lim lim
lim
β) α τρόπος
Έχουμε βρει ότι  
  
x 2
f x 2 0lim , άρα   f x 0 για x κοντά στο 2
Οπότε διαιρώντας για x κοντά στο 2 τη σχέση :          2 2
x 4x 2 f x g x x 4x 10
με   f x 0 παίρνουμε:
 
 
 
    
 
2 2
x 4x 2 x 4x 10
g x
f x f x
Όμως
 
 
 



    
   

x 2
x 2
x 2
2
2 x 4x 2x 4x 2 6
3
f x f x 2
lim
lim
lim
και
Λύνει ο Βασίλης Σαλεβουράκης
Άσκηση Α

2. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
 
 
 



  
   

x 2
x 2
x 2
2
2 x 4x 10x 4x 10 6
3
f x f x 2
lim
lim
lim
Άρα από το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε ότι  
 
x 2
g x 3lim
β τρόπος
Βρίσκουμε     
      
x 2 x 2
2 2
x 4x 2 x 4x 10 6lim lim
Άρα από το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε ότι:    

x 2
f x g x 6lim
Έχουμε βρει ότι  
  
x 2
f x 2 0lim ,
άρα,   f x 0 για x κοντά στο 2
Οπότε
 
   
 
    
 

 

    

x 2
x 2 x 2
x 2
f x g xf x g x 6
g x 3
f x f x 2
lim
lim lim
lim

3. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Έχουμε
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 










 


 

   
     
    

 
 
   
  
 

 


    

x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
f x 2 1
3f x x 2
f x 21 1
x3 2f x
3
f x 2 3
x 2f x
3
x x
f x 2
33 3
x 2f x
3
x
2
331
x 2f x
3
x 6 1
3f x x 2
x 6
0 x ά 2
3f x x
lim
lim
lim
lim
lim
lim
Οπότε,  
 

 
   


x 2
x 6 2 6
3f x x 8
x 6 1
3f x x 2
|||}
Δηλαδή
  
  
x 2
3f x x 8lim
Άρα
       
       
x 2 x 2
3f x 3f x x x 8 2 6lim lim
Τελικά
Λύνει ο Παύλος Τρύφων
Άσκηση Α

4. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
 
    
 


    x 2
x 2 x 2
x 2
3f x3f x 6
f x 2
3 3 3
lim
lim lim
lim






        

x 2
x 2
f(x) 2 x
α) Έστω h(x)= , f(x) , άρα
3f(x) x 3
1
limh(x)= και 3h(x)f(x) - xh(x) = f(x) - 2 (3h(x) - 1)f(x) = xh(x) - 2 .
2
1 1
Είναι, lim(3h(x) 1) 3 1 0 3h(x) 1 0, κοντά στο 2.
2 2
xh(x) 2
Τότε f(x)=
3h(  

 

    
   
        
    
  
  
x 2 x 2
2 2
x 2
2
1
2 2
xh(x) 2 2limf(x) lim 2.
1x) 1 3h(x) 1 3 1
2
) g : , -x 4x 2 f(x)g(x) x 4x 10, για κάθε x . (1)
Eίναι, limf(x) 2 0 f(x) 0, κοντά στο 2 .
x 4x 2 x
Τότε, (1) g(x)
f(x)
   

 
  
    
       

 

2
2 2
2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2
4x 10
.
x
ί
x 4x 2 x 4x 10 6
lim{ x 4x 2} lim{x 4x 10} 6 lim =lim = =-3.
f(x) f(x) 2
Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, είναι και limg(x) 3.
Δ=16+4w=4(4+w) 0, οπότε u=-2- 4 

w :απορρίπτεται, γιατί πρέπει u>-2, για w>-4, ή
u=-2+ 4 w : δεκτή.
Λύνει η Ντίνα Ψαθά
Άσκηση Α
Άσκηση Β

5. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
  2
Έστω f(u)=u 4u, u . Είναι -4 0, αλλά f(-4)=f(0)=0, άρα η f δεν είναι 1-1, οπότε
δεν αντιστρέφεται. Δεν είναι δηλαδή το u συνάρτηση του w=f(u).
Άρα δεν είναι αποδεκτή η αντικατάσταση


 
  

1
2
g u
u=-2 4 w.
Έστω g(u)=u +4u, u [-2,+ ) A. Για κάθε u>-2, g'(u)=2(u+2)>0, άρα η g είναι γνησίως
αύξουσα, άρα και 1-1 στο [-2,+ ), συνεπώς αντιστρέφεται.
Eίναι και συνεχής, άρα D =g(A)=[g(-2), lim g


    1 2 2
(u))=[-4,+ ).
Αν g(u)=w, u -2 g (w)=u και u 4u=w u 4u-w=0 .


      


1
Τότε g (w) u 2 4 w,w 4.
Άρα στη συγκεκριμένη επίλυση, εφόσον u 0 , άρα -2<u<0 και -4<w<0, μόνο η αντικα-
τάσταση u=-2+ 4 w είναι αποδεκτή και άρα αυτή οδηγεί σε λύση.

6. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Έχουμε: f : , έτσι ώστε:  


x 2
f(x) 2 1
lim , 1
3f(x) x 2
α) Έστω
 
 


 
 
      
1
x 2
1
limh(x)f(x) 2
h(x) 2
3f(x) x 3h(x) 1 f(x) x h(x) 2
, τότε προκύπτει:
 
 

x h(x) 2 1
f(x) , h(x)
3h(x) 1 3
, για κάθε x κοντά στο 0
x 2
 
 
 
    
  
x 2 x 2
1
2 2
x h(x) 2 2limf(x) lim 2
13h(x) 1 3 1
2
β) Έχουμε την σχέση          2 2
x 4x 2 f(x)g(x) x 4x 10, x 2
Επειδή

 
x 2
limf(x) 2 , θα είναι f(x) 0, για κάθε x κοντά στο 0
x 2 , οπότε
      
  
2 2
x 4x 10 x 4x 2
2 g(x)
f(x) f(x)
και επειδή

 
 

2
x 2
x 4x 10 6
lim 3
f(x) 2
και

  
  

2
x 2
x 4x 2 6
lim 3
f(x) 2
Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι:

 
x 2
limg(x) 3
Θεωρώ ότι ο Συλλογισμός στο σύνολο του είναι ορθός, πρέπει όμως να απορριφθεί η
περίπτωση:
   u 2 4 w διότι το w 0, οπότε προκύπτει ότι  u 4, άτοπο, αφού 
u 0 .
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος
Άσκηση Α
Άσκηση Β

7. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Είναι
 
 


x 2
f x 2 1
lim
3f x x 2
.
Θεωρούμε συνάρτηση  
 
 
 

  

f x 2
h x , 3f x x 0
3f x x
κοντά στο 2
Τότε  

x 2
1
limh x
2
και κοντά στο 2 θα έχουμε:
      
       
        
   
   
  
f x 2 h x 3f x x
f x 2 3h x f x xh x
f x 1 3h x 2 xh x 1
  
        
x 2
1 3 1
lim 1 3h x 1 3 1 0
2 2 2
άρα   1 3h x 0 κοντά στο 2
οπότε   1 3h x 0 κοντά στο 2
Κοντά στο 2 η    
 
 

 

2 xh x
1 f x
1 3h x
άρα
 
 
  
 
 
     
    
x 2 x 2
1
2 2
2 xh x 2 1 12limf x lim 2
1 3 11 3h x 1 3 1
2 2 2
β)
Για κάθε x ισχύει:
            2 2
x 4x 2 f x g x x 4x 10 2
 
  
x 2
limf x 2 0 άρα   f x 0 κοντά στο 2
Η  
 
 
   
 
 
         
     
2 2 2 2
x 4x 2 x 4x 10 x 4x 10 x 4x 2
2 g x g x
f x f x f x f x
Λύνει ο Τρύφωνας Ζωϊτσάκος
Άσκηση Α

8. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
 
     
  

2
x 2
x 4x 2 4 8 2
lim 3
f x 2
και
 
   
  

2
x 2
x 4x 10 4 8 10
lim 3
f x 2
Από Κ.Π και  
 
x 2
limg x 3
Έχουμε    u 2 4 w
Αν    u 2 4 w τότε  u 4 όταν 
w 0 άρα απορρίπτεται
Αν    u 2 4 w τότε 
u 0 όταν 
w 0 άρα δεκτή
Επομένως θα πάρουμε μόνο τη δεύτερη περίπτωση.
Άσκηση Β

9. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)
Με  
 
 



f x 2
g x
3f x x
και για x κοντά στο 2 ισχύει:  

x 2
1
limg x
2
. Λύνοντας ως προς f
έχουμε:         f x 3g x 1 xg x 2 κι επειδή είναι  
  
x 2
1
lim(3g x 1) 0
2
θα ισχύει
  3g x 1 0 κοντά στο 2. Άρα  
 
 



xg x 2
f x
3g x 1
και  
 
x 2
limf x 2.
β)
Iσχύουν     
      2 2
x 2 x 2
lim x 4x 2 lim x 4x 10 6 και από το κριτήριο παρεμβολής θα
είναι:     

x 2
lim f x g x 6 . Άρα  
   
  
   
x 2 x 2
g x f x 6
limg x lim 3
f x 2
.
Θα μπορούσαμε να διαιρέσουμε και τη δεδομένη ανισότητα με  f x που είναι  0 κοντά
στο 2 αφού ισχύει  
 
x 2
limf x 2.
Τότε θα είχαμε:
 
 
 
    
 
2 2
x 4x 2 x 4x 10
g x
f x f x
και από το κριτήριο παρεμβολής πάλι
θα είχαμε:  
 
x 2
limg x 3.
Επίσης από τη δεδομένη ανισότητα έχουμε:           2 2
x 4x 4 f x g x 6 x 4x 4 και
από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι:           
   
x 2 x 2
lim f x g x 6 0 lim f x g x 6 και
όμοια με πριν έχω το όριο.
Θα αποδείξουμε ότι στη σχέση    u 2 w 4 (1) δεν μπορεί να ισχύει το « ».
Από τη C της  2
w u 4u για  
  u 0 w 0 και   1 w 0, άρα  w 4 0.
Επίσης 
 u 2 2 δηλαδή  u 2 0 και η (1) δίνει   u 2 w 4 .
Άρα δεν μπορεί να ακολουθηθεί η πρώτη πορεία λύσης που δίνει το ζητούμενο όριο ίσο
με 0, αλλά η δεύτερη που δίνει το ζητούμενο όριο ίσο με
2
3
.
Λύνει ο Κώστας Δεββές
Άσκηση Α
Άσκηση Β

10. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α)

 

     


      

 

    
  
x 2
x 2 x 2
f(x) 2 1
έ h(x) ό limh(x) .
3f(x) x 2
xh(x) 2
ύ f(x) έ : f(x)
3h(x) 1
1
2 2
xh(x) 2 2ά limf(x) lim 2
13h(x) 1 3 1
2
β) Παίρνουμε τα όρια στην δοσμένη σχέση και έχουμε:
   

 
         
       
 
       
2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2 x 2
lim( x 4x 2) limf(x)g(x) lim(x 4x 10) 6 limf(x)g(x) 6
ά limf(x)g(x) 6 έ (x) f(x)g(x)
(x) (x)
έ g(x) ώ limg(x) lim 3
f(x) f(x)
Στην αλλαγή μεταβλητής πρέπει να ισχύει η προϋπόθεση   0 0
g(x) u ά x
Στην συγκεκριμένη λύση δεν ισχύει αυτή η προϋπόθεση αφού
 
 
       2 2
0
u 0 u 0
g(x) w u 4u u lim w lim(u 4u) 0
Και
          
    
2
0
g(x) w u 4u 0 u(u 4) 0 u 0 ή u 4
ά w 0 ά x 0
Η σωστή λύση είναι να πάρουμε συζυγή παράσταση και με το γνωστό τρόπο θα βγεί το
όριο
2
3
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος
Άσκηση Α
Άσκηση Β

11. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
ΠΡΟΤΑΣΗ 1Η : Αν


0x x
lim f(x)=λ 0 τότε υπάρχει διάστημα  0 0
x -δ, x +δ
ώστε η συνάρτηση παίρνει τιμές διαφορετικές από το 0
(εκτός ενδεχομένως από το σημείο 0
x όπου μπορεί και να μην ορίζεται)
ΠΡΟΤΑΣΗ 2Η : Αν


0x x
lim f(x)=λ 0 τότε υπάρχει διάστημα  0 0
x -δ, x +δ
ώστε  α) f x 0 αν λ>0  β) f x 0 αν λ< 0
α) Θεωρούμε συνάρτηση  
 
 
f x -2
h x =
3f x -x
(σχέση 1) με
x 2
1
limh(x)=
2
Από τη σχέση (1) κάνοντας πράξεις παίρνουμε :         3h x -1 f x =x h x -2
Επειδή  
   x 2
1
lim 3h x -1 = 0
2
σύμφωνα με την πρόταση (1)
η συνάρτηση   3 h x -1 0 κοντά στο 2 οπότε :  
 
 


x h x -2
f x =
3 h x -1
και παίρνοντας το όριο και στα δύο μέλη βρίσκουμε ότι :


x 2
limf(x)= 2
β) Επειδή

 
x 2
limf(x)= 2 0 σύμφωνα με την πρόταση (2)  f x 0 κοντά στο 2
Διαιρώντας και τα μέλη της δοσμένης ανίσωσης με το  f x παίρνουμε :
   
 
 
 
     
2 2
2 2 -x +4x+2 x -4x+10
-x +4x+2 f x g x x -4x+10 g x
f x f x
και παίρνοντας το όριο και στα άκρα βρίσκουμε ότι :


x 2
limg(x)= 3
ΠΡΟΤΑΣΗ : Έστω    u=f x και ψ=g u .
Αν   
 
0 0
0 0 0x x u u
lim f(x)=u , f x u για x x και lim g(u)=λ
τότε υπάρχει το όριο της σύνθεσης   g f x στο 0
x και ισχύει :
         0 0 0x x x x u u
lim gof x = limg f x = lim g u =λ
Σχετικά με την αντικατάσταση : u x-2 δεν παρουσιάζει κάποιο πρόβλημα
γιατί  x-2 0 για x 2
Λύνει ο Γιώργος Κουρεμπανάς
Άσκηση Α
Άσκηση Β

12. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Για τη δεύτερη όμως αντικατάσταση 2
w=u +4u σύμφωνα με την παραπάνω
πρόταση πρέπει :  2
u +4u 0 για κάθε u 0
Όμως  2
u +4u 0 για u 0 και u=-4 οπότε η συνθήκη
  0 0
f x u για x x δεν ικανοποιείται .
Συνεπώς η παραπάνω αντικατάσταση δεν οδηγεί σε σωστό υπολογισμό
του ορίου βρίσκοντας δύο τιμές του u (τους αριθμούς 0 και -4)
Προφανώς επειδή  -
u 0 από τις δύο λύσεις της εκφώνησης η πρώτη
οδηγεί στο ότι 
 u 4 ενώ η δεύτερη στο ότι :  -
u 0 συνεπώς
η δεύτερη αντικατάσταση οδηγεί στον σωστό υπολογισμού του ορίου

13. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Για x κοντά στο 0
x 2 , θεωρούμε τη συνάρτηση  
 
 



f x 2
h x
3f x x
, με  

x 2
1
limh x
2
,
οπότε  
 
 
       

     

f x 2
h x 3f x h x xh x f x 2
3f x x
        
 
 

     

xh x 2
3h x 1 f x xh x 2 f x
3h x 1
καθώς κοντά στο 2 η h παίρνει τιμές
κοντά στο
1
2
, άρα    3h x 1 0 κοντά στο 0
x 2 .
Άρα  
 
  
 

   
  
x 2 x 2
1
2 2
xh x 2 2limf x lim 2
13h x 1 3 1
2
.
β) Δείξαμε ότι :  
 
x 2
limf x 2 , άρα η f παίρνει αρνητικές τιμές κοντά στο 2 ,
οπότε για x κοντά στο 0
x 2 η δεδομένη σχέση γίνεται :
   
 
 
 
 

    
         
f x 0 2 2
2 2 x 4x 2 x 4x 10
x 4x 2 f x g x x 4x 10 g x
f x f x
.
 
  
  

2
x 2
x 4x 2 6
lim 3
f x 2
και
 
 
  

2
x 2
x 4x 10 6
lim 3
f x 2
, άρα από κριτήριο παρεμβολής
είναι  
 
x 2
limg x 3 .
Γνωρίζουμε ότι
    
  
   
   
    
2 2
22x 2 x 2 x 2
x 5 3 x 4 x 2 4 2
lim lim lim
x 2 6 3x 5 3x 2 x 5 3
.
Για τον προτεινόμενο τρόπο :
Αφού 
x 2 είναι και 
u 0 .
Αν    u 2 4 w με 
w 0 τότε  

    
w 0
lim 2 4 w 4 και όχι 0 . Άρα δεν
μπορούμε να αντικαταστήσουμε το u με το   2 4 w .
Λύνει ο Αθανάσιος Μπεληγιάννης
Άσκηση Α
Άσκηση Β

14. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
Άρα ο προτεινόμενος τρόπος δεν οδηγεί σε σωστή λύση.
α) Θέτουμε
 
 
 
 
      
       
       
      
 
 
 
 
 
 
 


 

  

  
  
  

    



   
 
x 2
1
g x
3
x 2 x 2
f x 2 1
g x limg x
3f x x 2
g x 3f x x f x 2
3g x f x xg x f x 2
3g x f x f x xg x 2
xg x 2
f x 3g x 1 xg x 2 f x
3g x 1
1
2 2
xg x 2 2limf x lim 2
13g x 1 3 1
2
β)
 
 
   
 



   

 
  

2
.
x 2
x 22
x 2
lim x 4x 2 6
limf x g x 6
lim x 4x 10 6
Θέτουμε        
    
x 2
x f x g x lim x 6
Με   f x 0 έχουμε  
 
 
 
 
  
 
     
x 2 x 2
x x 6
g x limg x lim 3
f x f x 2
Η παράλειψη στην δοθείσα άσκηση είναι οι στην επίλυση του τριωνύμου
αφού  
         u 0 2 4 w 0 4 w 2 κάτι όμως που είναι αδύνατο.
Άρα η συγκεκριμένη λύση πρέπει να απορριφθεί.
Λύνει ο Παναγιώτης Βιώνης
Άσκηση Α
Άσκηση Β

15. ___________________________________________________________________________
13 ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2017-΄18
α) Έστω  
 
 



f x 2
h x
3f x x
.
Είναι:
 

x 2
1
limh x
2
και          
 
 

    

xh x 2
f x 2 3h x f x xh x f x
3h x 1
κοντά στο 2.
Οπότε,  
 
  
 

   
  
x 2 x 2
1
2 2
xh x 2 2limf x lim 2
13h x 1 3 1
2
.
β) Είναι  
  
x 2
limf x 2 0 , επομένως   f x 0 κοντά στο 2.
Οπότε, για x κοντά στο 2, από τη δοθείσα έχουμε:
 
 
 
    
 
2 2
x 4x 10 x 4x 2
g x
f x f x
.
Όμως, ισχύει:
    
    
  
2 2
x 2 x 2
x 4x 10 x 4x 2
lim lim 3
f x f x
.
Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, είναι  
 
x 2
limg x 3.
Λύνει Νίκος Ελευθερίου
Άσκηση Α