O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.

Cơ lượng tử tiểu luận2

  • Seja o primeiro a comentar

Cơ lượng tử tiểu luận2

  1. 1. ĐƯỜNG HẦM LƯỢNG TỬ VÀ ỨNG DỤNG Tunneling Effect and Its Applications - Quantum Mechanics V x a        1 Trần Thanh Mong (K37.102.059) Tóm tắt Đường hầm lượng tử là một hiệu ứng lượng tử mô tả sự chuyển dịch của hệ vật chất từ trạng thái này sang trạng thái khác mà thông thường bị ngăn cấm bới các quy luật vật lý cổ điển. Hiệu ứng này có nhiều ứng dụng quan trọng trong cơ học lượng tử, vật lý hạt nhân và các thiết bị hiện đại khác. Hiệu ứng đã được George Gamow đưa ra vào năm 1928 thông qua lý thuyết về sự phân rã alpha của hạt nhân nguyên tử qua hiện tượng xuyên hầm. Trong bài báo này, tôi trình bày về bài toán xuyên hầm lượng tử, sự khác nhau với cổ điển và ứng dụng hiện đại. Abstract Quantum tunneling is a quantum effect describes a physical system transition from this state to another state that is often prohibited by the laws of classical physics. This effect has many important applications in quantum mechanics, nuclear physics and other modern devices. This effect was published by George Gamow in 1928 through the theory of alpha decay of atomic nuclei. In this paper, I presented the problem through quantum tunnel, differences with classic and modern applications. I. Hiệu ứng đường hầm lượng tử - hệ số phản xạ - hệ số truyền qua.  Định nghĩa: Hiệu ứng đường hầm lượng tử là hiệu ứng hạt có thể truyền qua rào thế mặc dù có năng lượng nhỏ hơn năng lượng của rào thế. 1. Bài toán.[1][2] Xét hạt chuyển động một chiều trong rào thế một chiều và trường thế có dạng: 0 0 if ( ) 0 if V x x a
  2. 2. Phương trình Schrodinger trong rào thế này:           ( x )  2 m E  V  ( x )  0 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 d V x x E x m dx    Biến đổi ta được :   2 0  (1.1) a) Trường hợp: E < V0  Miền I ( x ≤ - a ): V = 0. Phương trình (1) trở thành: ( ) 2 ( ) 0   x  k1 x  với kଵ = ටଶ୫୉ ℏమ Phương trình trên bao gồm các nghiệm dạng e୧୩భ୶ và eି୧୩భ୶ Vậy nghiệm pt có dạng: ψଵ(x) = Ae୧୩భ୶ + Beି୧୩భ୶ (1.2) Trong đó Ae୧୩భ୶ đặc trưng cho sóng tới và Beି୧୩భ୶ đặc trưng cho sóng phản xạ. Để đơn giản ta đặt A = 1 thì hàm ψଵ(x) = e୧୩భ୶ + Beି୧୩భ୶  Miền II (−a ≤ x ≤ a): V = V0. Phương trình (1) trở thành: ( ) 2 ( ) 0   x  k 2 x  với ݇ଶ = ටଶ௠(௏బି ா) ℏమ Phương trình trên bao gồm các nghiệm dạng e୩మ୶ và eି୩మ୶ Vậy nghiệm pt có dạng: ߰ଶ(ݔ) = ܥ݁௞మ௫ + ܦ݁ି௞మ௫ (1.3)  Miền III (x > a) với V = 0. Phương trình (1) trở thành: ( ) 2 ( ) 0   x  k1 x  ݒớ݅ ݇ଵ = ටଶ௠ா ℏమ
  3. 3. Phương trình trên bao gồm các nghiệm dạng e୧୩భ୶ và eି୧୩భ୶ Vậy nghiệm pt có dạng: ߰ଷ(ݔ) = ܨ݁௜௞భ௫ + ܪ݁ି௜௞భ௫ Trong đó Fe୧୩భ୶ đặc trưng cho sóng truyền qua rào thế và Heି୧୩భ୶ đặc trưng cho sóng phản xạ sau khi ra xa vô cùng. Vì ở vô cùng không có sự phản xạ nên H = 0. Vậy ta được ߰ଷ(ݔ) = ܨ݁௜௞భ௫ (1.4) (Những miền trên ta chỉ xét sóng truyền theo chiều dương trục 0x và hạt chuyển động từ trái sang phải). k  k  2mV Mặc khác, tôi thấy k1 và k2 liên hệ qua biểu thức:  2  2 0     j i x d x x d x  (1.5)       3 1 2 2  Ta có công thức tính mật độ dòng xác suất cho chuyển động một chiều: * ( ) ( ) * ( ) ( ) 2 m dx dx   Từ các pt (2) (3) (4) lần lượt tôi thế vào pt (5) và tính được mật độ dòng của sóng tới j0, sóng phản xạ jR và sóng truyền qua jT: k + Mật độ dòng sóng tới j0: j 1 0   m + Mật độ dòng sóng phản xạ jR: 2 j B k 1 R    m + Mật độ dòng sóng truyền qua jT: 2 1 j F k T   m Từ đó tôi được: + Hệ số phản xạ R: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng phản xạ tại rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. + Hệ số truyền qua T: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. Biểu thức: 2 R R j B   , 0 j 2 T  j T  F 0 j Áp dụng điều kiện biên và điều kiện liên tục tại x = - a và x = a của hàm sóng cho ta được hệ bốn phương trình đại số tuyến tính cho B, C, D, F:
  4. 4.                                     a a e Be Ce De a a ik e ik Be k Ce k De a a Ce De Fe a a k Ce k De ik Fe ( ) ( ) 1 1 2 2 (1.6) ( ) ( ) 1 1 2 2 (1.7) ( ) ( ) (1.8) ( ) ( ) (1.9)         1 2 1 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 Từ bốn phương trình (1.6) (1.7) (1.8) (1.9) ta biến đổi     a ik a k a k a Be Ce De i k e i k Be Ce De k k Ce De Fe i k Fe Ce De k ik a ik a k a k a k a k a ik a ik a k a k a C ik e ik Be 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 ik k a ik k a k k D ik e i k Be k 2 ik  k a ik F e ik e ik Be k k k ik F e ik e ik Be k k k 1 . 1 1 2 2 2 2 2 2 1 . 1 1 2 2 2 2 2 2 ik k a ik k a ik k a 1 (  ) 1 (   ) 1 (  ) 2 2 2 ik k a ik k a ik k a 1 (  ) 1 (   ) 1 (  ) 2 2 2                                              4 1 2 1 ik a ik a k a k a ik a ik a k a k a k a k a ik a k a k a ik a ik e         1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ik k a 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 ( ) 2 2 1 ( ) 2 k                                                  1 ( 1 2 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2                                                            2 1 2 2 2 1 2 2 1 (2 ) 2 1 2 1 ( 2 ) 2 1 2 1 . . 1 1 . . 1 k a ik k a k a k a ik k a k a ik k F e e B e ik k ik k F e e B e ik k     
  5. 5.        F e ik a e k a e k a B e ik a k ik k ik 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1          k  ik   k  ik  F sh k a B ik k k  k B F sh k a 2 . (2 ) . 4 . (2 ) 1.10     k k ik k     T k k h k a 1 1 1 s ( 2 )      F k k T V h k a T       1 s ( 2 ) 1 1          T k a 1 1 1 s in ( 2 ) F k 5   . .   2 1 2 1  2 2    1 2 2 1 2 2 2 2 2  2 1 1 2 Mặc khác ta có hệ thức: 2 2 T  R  F  B  1 (1.11) Tôi thế pt (10) vào pt (11) và suy ra: 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 4   Chuyển qua thông số R với V0 ta được biểu thức sau: 2 1 0 2 2 E V E 4 ( ) 0  Và R = 1 –T  Nhận xét : Khi E < V0, ta vẫn có hệ số truyền qua T khác 0 (0 < T <1), điều này hoàn toàn không tồn tại trong cơ học cổ điển. Theo cơ học cổ điển thì hạt có mức năng lượng thấp hơn rào thế thì không thể vượt qua rào thế và hạt không thể xuất hiện trong miền III. Nhưng theo cơ học lượng tử, trong miền III vẫn có xác suất tìm thấy hạt chứng tỏ khi T > 0 hạt vượt qua khỏi rào thế. b) Trường hợp E > V0 Tương tự trường hợp E < V0, ta cũng có các nghiệm trên nhưng với chú ý 2 k  i với 0 2 ( ) 0 m E V      và i.shi = sin(iz) ta thu được: 2 2 2 1 1 2 2 1 4      Biểu diễn qua E và V0, ta có:
  6. 6. T V k a T       1 s i n ( 2 ) 1 1 4 ( ) 6 2 1 0 2 2 0 E E  V Và R= 1 – T  Nhận xét: Theo cơ học cổ điển, với năng lượng E > V0 hạt chắc chắn vượt qua rào thế (T = 1, R = 0). Tuy nhiên, biểu thức trên lại chứng tỏ T nhỏ hơn một. Hệ số truyền qua chỉ bằng một nếu sin2(2k2a) = 0, nghĩa là khi 2 2 k a  n k 2 Nếu 2    a   thì 2 n 2 Vậy chỉ khi bề rộng rào thế 2a bằng một số nguyên lần nữa bước sóng de Broglie thì T = 1. Lúc này ta nói rằng rào thế trở nên trong suốt đối với dòng hạt tới. Hình 1: Đồ thị biễu diễn sự phụ thuộc của T vào tỉ số E/Vo . 2. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử về hiệu ứng xuyên hầm. Xét 1 hệ vật chất xuyên qua rào năng lượng trong trường hợp năng lượng thấp hơn rào thế ( E < V).
  7. 7.  Theo quan niệm cơ học cổ điển, điều này không thể xảy ra được vì để cho hệ thức E = K + V được thỏa mãn trong rào thế thì động năng phải nhỏ hơn không (   ). Chứng tỏ xung lượng của hạt bên trong hàng rào thế là   7 2 0 K p 2 m đại lượng ảo. Có thể hiểu theo cách khác là hạt sẽ không bao giờ vượt qua bên kia của rào thế nếu năng lượng thấp hơn thế năng và ngược lại nếu hạt có năng lượng lớn hơn rào thế thì chắc chắn hạt sẽ đi qua rào thế và không hề bị phản xạ.  Theo quan niệm lượng tử, trường hợp này có thể hoàn toàn giải thích được theo hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lượng. Theo hệ thức này ta không thể đo được đồng thời một cách chính xác tọa độ và xung lượng. Vì thế không thể đo đồng thời thế năng (hàm theo tọa độ) và động năng (theo hàm xung lượng). Như vậy để đo được năng lượng toàn phần ta không thể tách rời hai thành phần trên riêng biệt được. Áp dụng hệ thức bất định cho xung lượng và tọa độ ta có: 2 2 2 2 2 ( ) ~ 4 ( ) 4 p x d    (2.1) Mặt khác, T chỉ không quá nhỏ khi 2d 2m(V  E) ~ 1  và giảm theo quy luật hàm mũ. Và ( )2 2 E P m    Thay vào biểu thức (2.1) ta được: ( )2 2 P V E m    Vậy năng lượng khi đo tọa độ của nó còn lớn hơn cả độ chênh lệch V – E nên việc tìm thấy hạt bên trong rào thế hoàn toàn không vi phạm định luật bảo toàn năng lượng (nghĩa là vẫn tồn tại giá trị hàm sóng bên ngoài rào thế). Hiệu ứng đường hầm lượng tử cũng cho phép vật chất có xác suất rất thấp vượt qua hàng rào năng lượng khổng lồ ở hố đen để chui ra bên ngoài….
  8. 8. Tóm lại. sự khác biệt giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ đại trong hệ vật chất xuyên qua hang rào có năng lượng E thấp hơn rào thế năng V là: + Cơ học Cổ điển: xác suất tìm hạt trong miền cấm cổ điển bằng không . + Cơ học lượng: xác suất tìm hạt trong miền cấm khác không. 8 3. Kết luận: Hiệu ứng đường ngầm lượng tử cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng trong tự nhiên như hiện tượng phát electron trong kim loại mà không cần cung cấp nhiệt lượng. Muốn electron thoát ra khỏi bề mặt kim loại, ta cần nung nóng kim loại để nó có đủ năng lượng thắng công cản mà vượt qua hàng rào thế. Tuy nhiên do hiệu ứng đường ngầm nên ngay ở nhiệt độ phòng bình thường (300K) electron cũng có khả năng thoát ra khỏi kim loại. Hiệu ứng xuyên hầm là một trong những bằng chứng rõ ràng về giới hạn của thế giới cổ điển, đồng thời mở ra một cái nhìn mới về thế giới lượng tử huyền bí. Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra đối với kích thước vi mô. Nghĩa là hệ số truyền qua T chỉ đáng kể khi độ rộng hố thế a là rất nhỏ, khi đó hạt thể hiện tính chất sóng của vi hạt và điều đó không thể có với các hạt vĩ mô. Trong bài báo này, tôi đã trình bày sơ lược về bài toán hiệu ứng đường ngầm và khảo sát giới hạn cổ điển, lượng tử của bài toán này. II. Ứng dụng: Kính hiển vi quét chui hầm. [3][4] 1. Nguyên lý hoạt động. Kính hiển vi quét chui hầm là thiết bị quan sát, ghi ảnh dựa trên nguyên tắc quét đầu dò trên bề mặt. Ở mũi dò có kích thước rất nhỏ cỡ như một nguyên tử, nó quét gần bề mặt mẫu. Khi chúng quét sẽ xuất hiện các điện tử di chuyển trên bề mặt sang mũi dò do hiệu ứng chui hầm lượng tử, nó ghi lại và cho các thông tin về cấu trúc bề mặt. Các điện tử chuyển động trên mũi dò theo dạng một chiều và thỏa phương trình Schrodinger.
  9. 9.         9 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 d V x x E x m dx    Như đã chứng minh ở trên thì nếu một hạt có năng lượng E gặp hàng rào thế V0 thì hàm sóng sẽ là nghiệm của phương trình Schrödinger: ߰௡(ݔ) = ܣ݁௜௞೙௫ + ܤ݁ି௜௞೙௫ Với ݇௡= 0 2m E V  Theo quan điểm của cơ học cổ điển thì các điện tử sẽ không đi qua được bên kia rào thế (có nghĩa là để đi tới mũi dò).Tuy nhiên, theo quan điểm của cơ học lượng tử thì vẫn tồn tại giá trị hàm sóng của điện tử ở bên kia rào thế (có nghĩa là có xác suất tìm thấy hạt ở bên ngoài rào thế). Và đây chính là ứng dụng của hiệu ứng chui hầm lượng tử. 2. Một số dạng của kính hiển vi quét chui hầm. Kính hiển vi quét chui hầm phân cực spin. Ngoài ra, người ta còn có thể tạo ra các tính năng khác như như chui hầm với photon hoặc ghi nhận hiệu điện thế... Gần đây, trong khoa học thì kính hiển vi quét chui hầm có những phát triển khác là việc thao tác các nguyên tử với độ chính xác cao trên bề mặt vật rắn, cho phép tạo các chi tiết siêu nhỏ với độ chính xác cao và đang trở thành một phép chế tạo quan trọng trong công nghệ nanô. 3. Ưu, nhược điểm của kính hiển vi quét chui hầm . Kính hiển vi quét chui hầm có khá nhiều ưu điểm, dụng cụ này cho phép tạo ra các phép thao tác trên bề mặt cho quá trình chế tạo, là một kỹ thuật ghi ảnh hình thái học và cấu trúc bề mặt với độ phân giải rất cao và cho ảnh chất lượng cao và không đòi hỏi việc phá hủy mẫu như kính hiển vi điện tử truyền qua. Bên cạnh nhưng ưu điểm trong khoa học như thế nhưng cũng còn một số nhược điểm như tốc độ ghi ảnh thấp, mẫu sử dụng phải là mẫu dẫn điện hoặc bán dẫn và việc đo đạc đòi hỏi bề mặt mẫu siêu sạch và chống rung.
  10. 10. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hoàng Dũng, 1999, Nhập môn Cơ học lượng tử. NXB Giáo dục. 2. Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. 3. J. Tersoff and D. R. Hamann, (1985). Theory of the scanning tunneling 10 microscope, Phys. Rev. B 31, 805 4. James Binney and Skinner, D. (2010). The Physics of Quantum Mechanics: An Introduction (3rd ed.). Cappella Archive.

×