Chuong5-_Chung.pdf

Bài giảng môn: PHƯƠNG PHÁP SỐ
Chương V: Tính gần đúng đạo hàm, tích phân xác định
Ngô Mạnh Tưởng (email: nmtuong@ictu.edu.vn)
Ngày 23 tháng 10 năm 2022
Ngô Mạnh Tưởng (email: nmtuong@ictu.edu.vn) Bài giảng môn: PHƯƠNG PHÁP SỐ Chương V: Tính gần đúng đạo hàm, tích phân xác định
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 1 / 11

Mục đích
Trong chương này trình bày một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và
tích phân xác định
Sinh viên nắm được các cách giải và vận dụng vào giải bài tập.
NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG
1 Tính gần đúng đạo hàm
2 Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang
3 Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình chữ nhật trung tâm
4 Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức Simpson
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 2 / 11

Công thức hình thang
Bài toán:
Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, b]. Tính gần đúng I =
b
R
a
f (x)dx với mọi x thuộc [a b].
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 3 / 11

Công thức hình thang
Bài toán:
b
R
a
1 Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia a = x0, x1, . . . , xn = b có
độ dài là h =
b − a
n
, xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n.
2 Lập bảng tính giá trị:
i xi yi
0 x0 = a y0 = f (x0)
1 x1 = a + h y1 = f (x1)
. . . . . . . . .
3 Công thức gần đúng: I ≈ h
y0 + yn
2
+ y1 + y2 + · · · + yn−1

.
4 Tính sai số (nếu có) bởi công thức: |R| ≤
(b − a)h2
12
M, với M = max
x∈[a,b]
|f 00
(x)|
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 3 / 11

Ví dụ
Ví dụ: Tính gần đúng tích phân I =
1
R
0
dx
1+x
bằng công thức hình thang với số đoạn chia n = 10
và đánh giá sai số.
Giải. Ta có h = 0.1 và bảng giá trị
i xi yi
0 0 1
1 0.1 0.9091
2 0.2 0.8333
3 0.3 0.7692
4 0.4 0.7143
5 0.5 0.6667
6 0.6 0.6250
7 0.7 0.5882
8 0.8 0.5556
9 0.9 0.5263
10 1 0.5
P
= 7.6877
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 4 / 11

Ví dụ
Áp dụng công thức ta có
Iht = h
10
X
i=0
yi −
y0 + y10
2
!
= 0.1 × (7.6877˘1.5000/2) = 0.6938.
Bây giờ ta ước lượng sai số của giá trị tính được. Ta có
f 0
(x) = −
1
(1 + x)2
, f 00
(x) =
2
(1 + x)3
.
Do đó M2 = max
0≤x≤1
|f 00(x)| = 2. Áp dụng công thức ước lượng sai số suy ra |R| ≤ 2
12
(0.1)2 =
0.0017. Vậy I = 0.6938 ± 0.0017 trong khi giá trị đúng của tích phân là I = ln 2 = 0.6931.
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 5 / 11

Công thức hình chữ nhật trung tâm
Bài toán:
b
R
a
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 6 / 11

Công thức hình chữ nhật trung tâm
Bài toán:
b
R
a
1 Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia a = x0, x1, . . . , xn = b có
độ dài là h =
b − a
n
, xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n và xi+1/2 =
1
2
(xi + xi+1).
i xi xi+1/2 yi+1/2
0 x0 = a – –
1 x1 = a + h x1/2 =
1
2
(x0 + x1) y1/2 = f (x1/2)
. . . . . . . . . . . .
3 Công thức gần đúng: I ≈
h
2
y1/2 + y3/2 + · · · + y(2n−1)/2

.
(b − a)h2
24
M, với M = max
x∈[a,b]
|f 00
(x)|
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 6 / 11

Ví dụ
Ví dụ: Bằng công thức hình chữ nhật trung tâm hãy tính gần đúng tích phân I =
1
R
0
dx
1 + x
, với số
đoạn chia n = 5 và đánh giá sai số. số đoạn chia n = 5 và đánh giá sai số.
Giải: Với h = 0.2 ta lập bảng giá trị
n xi xi+1/2 yi+1/2
0 0 - -
1 0.2 0.1000 0.9091
2 0.4 0.3000 0.7692
3 0.6 0.5000 0.6667
4 0.8 0.7000 0.5882
5 1.0 0.9000 0.5263
P
= 3.4595
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 7 / 11

Ví dụ
Áp dụng công thức ta có
Iht = h
5
X
i=1
yi+1/2 = 0.2 × 3.4595 = 0.6919.
Bây giờ ta ước lượng sai số của giá trị tính được. Ta có
f 0
(x) = −
1
(1 + x)2
, f 00
(x) =
2
(1 + x)3
.
Do đó M2 = max
0≤x≤1
|f 00(x)| = 2. Say ra ước lượng sai số |R| ≤ 2
24
(0.2)2 = 0.0033.
Vậy I = 0.6919 ± 0.0033 = (0.6886, 0.6952) trong khi giá trị đúng của tích phân là I = ln 2 =
0.6931.
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 8 / 11

Công thức Simpson
Bài toán:
b
R
a
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 9 / 11

Công thức Simpson
Bài toán:
b
R
a
1 Chia [a, b] thành n = 2m (n là số chẵn) đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
a = x0, x1, . . . , xn = b có độ dài là
h =
b − a
n
=
b − a
2m
, xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n.
i xi yi
0 x0 = a y0 = f (x0)
1 x1 = a + h y1 = f (x1)
. . . . . . . . .
3 Công thức gần đúng: I ≈
h
3
(y0 + y2m + 4δ1 + 2δ2) , trong đó
δ1 = y1 + y3 + · · · + y2m−1, δ2 = y2 + y4 + · · · + y2m−2.
(b − a)h4
180
M, với M = max
x∈[a,b]
f (4)
(x)
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 9 / 11

Ví dụ
Ví dụ: Tính gần đúng tích phân I =
1
R
0
dx
1+x
bằng công thức Simpson với số đoạn chia n = 10 và
đánh giá sai số.
Giải. Ta có h = 0.1. Lập bảng giá trị của hàm tại các điểm nút
n xi y0, y10 y2m−1 y2m+2
0 0 1
1 0.1 0.9091
2 0.2 0.8333
3 0.3 0.7692
4 0.4 0.7143
5 0.5 0.6667
6 0.6 0.625
7 0.7 0.5882
8 0.8 0.5556
9 0.9 0.5263
10 1 0.5
δ1 = 3.4595 δ2 = 2.7282
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 10 / 11

Ví dụ
Vậy
I ≈
0.1
3
(1 + 0.5 + 4 × 3.4595 + 2 × 2.7282) = 0.69314666,
trong khi giá trị đúng của tích phân là I = ln 2 =0.69314718. Như vậy, sai số thực sự của công
thức Simpson là 0.00000052.
Bây giờ ta đánh giá sai số theo Định lý. Ta có
f (x) =
1
(1 + x)
, f (4)
(x) =
24
(1 + x)5
.
Do đó M4 = max
0≤x≤1
f (4)(x) = 24 và ta có đánh giá
|R| = |I − Isim| ≤
24 × (1 − 0)
180
× 0.14
= 0.00001333.
Ngày 23 tháng 10 năm 2022 11 / 11

Chuong5-_Chung.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Chuong5-_Chung.pdf

Similar to Chuong5-_Chung.pdf (20)

Chuong5-_Chung.pdf