¸˜Equacoes diferenciais para engenheiros:                  ¸˜    teoria, modelacao e exerc´cios                           ...
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´PrefacioEste texto foi escrito como material de apoio a unidade curricular An´ lise Ma-                                  ...
iiria em particular. Assim, compreender e saber manipular equacoes diferenciais e                                         ...
´Indice Geral    Lista de figuras                                                                 v1   ED de ordem–1       ...
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´INDICE GERAL                                                                        v          3.3.1   Matriz fundamental...
vi   ´     INDICE GERAL
Lista de Figuras 1.1   Crescimento exponencial e decrescimento exponencial. . . . . . . .     5 1.2   Representacao gr´ fic...
viii   LISTA DE FIGURAS
Cap´tulo 1   ı    ¸˜Equacoes diferenciais deprimeira ordemMuitas s˜ o as leis b´ sicas, e mais recentemente tamb´ m muitos...
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1.1. ALGUNS EXEMPLOS                                                                 3                                    ...
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1.1. ALGUNS EXEMPLOS                                                                          5    e                      ...
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1.1. ALGUNS EXEMPLOS                                                                          7Repare que α e negativo (≃ ...
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¸˜         ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS                                                      9aplicando logaritmos naturai...
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¸˜         ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS                                                    11Ent˜o a solucao ´nica ´   a  ...
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¸˜1.5. CAMPO DE DIRECCOES                                                          31                          ¸˜      ∴ o...
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  1. 1. ¸˜Equacoes diferenciais para engenheiros: ¸˜ teoria, modelacao e exerc´cios ı Teresa Paula C. Azevedo Perdico´ lis u Sandra Isabel Ventura Ricardo UTAD, 18 de Agosto de 2010
  2. 2. 2
  3. 3. ´PrefacioEste texto foi escrito como material de apoio a unidade curricular An´ lise Ma- ` atem´ tica III, das licenciaturas em Engenharia Civil e Engenharia Mecˆ nica, lec- a acionada pelas docentes nos anos lectivos de 2008/09 e 2009/10.Pretendemos com este texto apresentar uma abordagem simples a teoria das equacoes ` ¸˜diferenciais ordin´ rias, a qual pode ser facilmente compreendida por alunos que te- anham conhecimentos de C´ lculo em Rn , nomeadamente conhecimentos de c´ lculo a a ´diferencial e de c´ lculo integral, assim como conhecimentos de Algebra Linear, do- aminando c´ lculo matricial, resolucao de sistemas de equacoes lineares, c´ lculo de a ¸˜ ¸˜ adeterminantes e determinacao de valores e de vectores pr´ prios. ¸˜ oEstas notas pretendem ser uma mistura entre teoria e aplicacoes das equacoes Di- ¸˜ ¸˜ferencias, focando-se muitas vezes em problemas concretos da “vida real” comomotivacao para o estudo da teoria, mas tamb´ m para mostrar a enorme aplica- ¸˜ ebilidade que este ramo da matem´ tica tem em diversas areas do conhecimento: a ´Engenharia, Biologia, Medicina, Ciˆ ncias Sociais, etc. Sendo este um texto diri- egido a alunos de Engenharia, um relevo especial e dado a problemas desta area, ´ ´procedendo-se a sua modelacao e resolucao mediante os conhecimentos expostos. ` ¸˜ ¸˜Introduzem-se e desenvolvem-se conceitos e t´ cnicas anal´ticas para a resolucao de e ı ¸˜equacoes diferenciais ordin´ rias. ¸˜ aNa verdade, sendo as leis da F´sica geralmente escritas como equacoes diferenciais, ı ¸˜elas destacam-se como instrumento de linguagem no que toca a Ciˆ ncia e Engenha- e i
  4. 4. iiria em particular. Assim, compreender e saber manipular equacoes diferenciais e ¸˜ ´sem d´ vida essencial para qualquer aluno de Engenharia. uRelativamente a organizacao deste texto, cada cap´tulo e composto por uma s´ntese ` ¸˜ ı ´ ıde resultados te´ ricos, alguns dos quais apresentados sem demonstracao. O nosso o ¸˜objectivo foi fornecer aos nossos alunos de Engenharia ferramentas para resolverproblemas, sendo os alunos convidados a recorrer as referˆ ncias bibliogr´ ficas sem- ` e apre que desejarem ir mais al´ m na compreens˜ o dos conte´ dos apresentados. A e a uenfase e dada assim aos resultados e a aplicacao dos mesmos, sendo apresentadosˆ ´ ` ¸˜ao longo do texto numerosos exemplos, que visam facilitar a compreens˜ o do que ae exposto. Estes exemplos podem ser exemplos de aplicacao directa de resultados´ ¸˜te´ ricos ou exemplos de modelacao de problemas concretos. Finalmente, os alunos o ¸˜s˜ o convidados a exercitar a aplicacao dos conhecimentos adquiridos, mediante a a ¸˜resolucao duma listagem de exerc´cios com que terminamos cada cap´tulo. ¸˜ ı ı Teresa Paula Azevedo Perdico´ lis u Sandra Isabel Ventura Ricardo
  5. 5. ´Indice Geral Lista de figuras v1 ED de ordem–1 1 1.1 Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Separacao de vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ a 9 1.3 Classificacao de ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¸˜ 1.4 Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¸˜ 1.5 Campo de direccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ¸˜ 1.6 ED lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7 ED n˜ o lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 a 1.8 Equacao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ¸˜ 1.9 Equacao de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ¸˜ 1.10 Equacoes omog´ neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ¸˜ e 1.11 Equacoes diferenciais exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ¸˜ 1.11.1 ED exactas: obtencao de factor integrante . . . . . . . . . . 55 ¸˜ 1.12 AplicacoesCircuitos el´ ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ¸˜ e 1.13 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ¸˜ 1.14 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ı2 ED de ordem–2 ou superior 79 2.1 Solucao de ED Homog´ neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 ¸˜ e 2.2 Solucao de ED n˜ o homog´ neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 ¸˜ a e iii
  6. 6. iv ´ INDICE GERAL 2.3 M´ todo da reducao de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 e ¸˜ 2.4 ED homog´ neas com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 93 e 2.4.1 Ra´zes reais e distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 ı 2.4.2 Ra´zes reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ı 2.4.3 Ra´zes complexas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . 97 ı 2.5 ED n˜ o homog´ neas: M. coeficientes indeterminados . . . . . . . . 99 a e 2.6 ED n˜ o homog´ neas: M. variacao de parˆ metros . . . . . . . . . . 108 a e ¸˜ a 2.7 Equacao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 ¸˜ 2.8 Aplicacoes: sistemas mecˆ nicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 ¸˜ a 2.8.1 Movimento harm´ nico simples (ou n˜ o amortecido) . . . . 118 o a 2.8.2 Movimento harm´ nico amortecido . . . . . . . . . . . . . . 121 o 2.8.3 Movimento harm´ nico forcado . . . . . . . . . . . . . . . . 122 o ¸ 2.8.4 Aplicacoes: Circuitos el´ ctricos . . . . . . . . . . . . . . . 123 ¸˜ e 2.9 Equacoes diferenciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . 127 ¸˜ 2.10 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ı3 Sistemas de ED lineares de ordem–1 143 3.1 Conceitos b´ sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 a 3.1.1 Equacoes diferenciais lineares de ordem n e sistemas dife- ¸˜ renciais lineares de ordem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.1.2 Forma matricial de um sistema linear . . . . . . . . . . . . 147 3.1.3 Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.4 Dependˆ ncia e independˆ ncia linear . . . . . . . . . . . . . 150 e e 3.1.5 Sistemas n˜ o homog´ neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 a e 3.2 Sistemas Lineares homog´ neos com coeficientes constantes . . . . . 153 e 3.2.1 A matriz A tem valores pr´ prios reais distintos . . . . . . . 154 o 3.2.2 A matriz A tem valores pr´ prios reais repetidos . . . . . . . 156 o 3.2.3 A matriz A tem valores pr´ prios reais complexos . . . . . . 165 o 3.3 Variacao de parˆ metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 ¸˜ a
  7. 7. ´INDICE GERAL v 3.3.1 Matriz fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.3.2 Variacao de parˆ metros ou variacao das constantes arbitr´ rias 172 ¸˜ a ¸˜ a 3.3.3 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.4 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 ¸˜ 3.5 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 ı4 Transformada de Laplace 185 4.1 Definicao e existˆ ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 ¸˜ e 4.2 A tabela de transformadas e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . 187 4.3 A TL de outras funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 ¸˜ 4.4 Propriedades da TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.5 A transformada de Laplace Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.6 Aplicacoes: circuitos e sistemas mecˆ nicos . . . . . . . . . . . . . 195 ¸˜ a 4.7 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 ı Bibliografia 203 Referˆ ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 e
  8. 8. vi ´ INDICE GERAL
  9. 9. Lista de Figuras 1.1 Crescimento exponencial e decrescimento exponencial. . . . . . . . 5 1.2 Representacao gr´ fica de algumas solucoes de (1.26). . . . . . . . . 21 ¸˜ a ¸˜ 1.3 Exemplo de uma solucao particular definida por ramos. . . . . . . . 23 ¸˜ 1.4 Interpretacao geom´ trica do Teorema de Picard. . . . . . . . . . . . 27 ¸˜ e 1.5 Campo de direccoes para a equacao diferencial (1.32). . . . . . . . 33 ¸˜ ¸˜ 1.6 Uma solucao de (1.32). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ¸˜ 1.7 Campo de direccoes para a equacao log´stica, com β = 3.5 e δ = 1.8. 35 ¸˜ ¸˜ ı 1.8 Solucoes para a equacao log´stica, com β = 3.5 e δ = 1.8. . . . . . 35 ¸˜ ¸˜ ı 1.9 Exemplo de um circuito el´ ctrico simples. . . . . . . . . . . . . . . 58 e 2.1 Sistema mola–massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.2 Exemplo de um circuito com trˆ s componentes. . . . . . . . . . . . 124 e vii
  10. 10. viii LISTA DE FIGURAS
  11. 11. Cap´tulo 1 ı ¸˜Equacoes diferenciais deprimeira ordemMuitas s˜ o as leis b´ sicas, e mais recentemente tamb´ m muitos fen´ menos biol´ gicos a a e o oe sociais, que s˜ o expressos por equacoes matem´ ticas. Sempre que estas equacoes a ¸˜ a ¸˜ ¸˜envolvem derivadas, chamam-se equacoes diferenciais (ED). Pretende-se mostrarno in´cio deste primeiro cap´tulo como surgem algumas destas equacoes e ilustrar ı ı ¸˜como pode ser a sua solucao obtida. ¸˜Ao modelar um dado problema atrav´ s de uma equacao diferencial, a maior difi- e ¸˜culdade surge em descrever uma situacao real quantitativamente. De forma a ob- ¸˜ter um modelo, e usualmente necess´ rio recorrer a assercoes simplificativas que ´ a ¸˜tornem essa mesma situacao pass´vel de ser representada em termos matem´ ticos. ¸˜ ı aAssercoes usuais s˜ o, por exemplo: (i) assumir que o movimento de uma dada ¸˜ amassa no espaco e um ponto e (ii) n˜ o existe friccao na resistˆ ncia do ar. Tais ¸ ´ a ¸˜ eassercoes, n˜ o sendo de modo algum realistas, permitem ao cientista (investigador) ¸˜ aobter informacao valiosa sobre o problema real ainda que servindo-se de modelos ¸˜extremamente ideais. Uma vez entendida uma parte do problema, o modelo podeser tornado mais complexo de forma a ter em conta outros factores observados. No 1
  12. 12. 2 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1entanto e sempre importante manter os modelos manuse´ veis, isto e, modelos para ´ a ´os quais seja poss´vel calcular uma solucao, exacta ou anal´tica. ı ¸˜ ı1.1 Alguns exemplosExemplo 1.1 (Queda livre) Segundo a lei da gravidade de Newton, a gran-deza da forca gravitacional da terra num dado corpo e directamente proporcional ¸ ´a sua massa m e inversamente proporcional ao quadrado da distˆ ncia dessa mesma` amassa ao centro da Terra r. Temos ent˜ o que: a km F= r2sendo k a constante de proporcionalidade. Pela segunda lei de Newton, temosainda: d2r k 2 = 2. (1.1) dt r drObservacao 1 A velocidade v = ¸˜ e negativa, pois a medida que um objecto ´ ` dtcai a sua distˆ ncia ao centro da Terra diminui. Mais ainda, a sua aceleracao a ¸˜ dv d 2 ra= = 2 e tamb´ m negativa, pois a medida que o objecto cai, a velocidade ´ e ` dt dtdiminui (´ cada vez mais negativa). Temos ent˜ o que k e uma constante negativa. e a ´Seja R o raio m´ dio da Terra (i.e. r = R). Denotamos a aceleracao da gravidade e ¸˜na superf´cie da Terra por a(R) = −g. Ent˜ o considerando (1.1): ı a k −g = a(R) = , R2temos k = −gR2 . Voltando a (1.1), obtemos: d 2 r −gR2 = 2 (1.2) dt 2 rsendo g ≃ 9.81m/seg2. Seja r = R + h, onde h e a altura do corpo a partir da ´ dr dhsuperf´cie da Terra, ent˜ o ı a = e a equacao (1.2) vem ¸˜ dt dt d 2h −gR2 = . dt 2 (R + h)2
  13. 13. 1.1. ALGUNS EXEMPLOS 3 R2Se h e muito pequeno temos que ´ ≃ 1, obtendo ent˜ o: a (R + h)2 d2h = −g. (1.3) dt 2Integrando ambos os membros da equacao relativamente a t, temos: ¸˜ h′ (t) = −gt +C1 .A constante C1 pode ser determinada considerando, por exemplo, t = 0. ObtemosC1 = h′ (0), ou seja, C1 e o valor da velocidade inicial. Temos ent˜ o que a veloci- ´ adade do corpo, em qualquer instante, e dada por: ´ h′ (t) = −gt + h′ (0) (1.4)Voltando a integrar: t2 h(t) = −g + h′ (0)t +C2 2Determinamos C2 considerando, por exemplo, t = 0. Obtemos C2 = h(0), ou seja,C2 e a altura inicial. Ent˜ o a altura do corpo, em qualquer instante, e dada por: ´ a ´ t2 h(t) = −g + h′ (0)t + h(0). (1.5) 2Por exemplo, suponhamos que uma bola cai do alto de um edif´cio com altura ıh(0) = 44.145 m e velocidade inicial h′ (0) = 0. Quanto tempo demora a bola achegar ao ch˜ o? aTemos: t2 h(t) = −981 + 4414.5. 2Donde resulta 490.5t 2 = 4414.5 ou seja t 2 = 9. Como t = −3 n˜ o tem qualquer asignificado f´sico, vem que t = 3 segundos. ıA solucao da equacao diferencial do Exemplo 1.1 foi obtida directamente por integra- ¸˜ ¸˜cao. Se tal fosse sempre poss´vel, ent˜ o as equacoes diferenciais seriam uma aplicacao¸˜ ı a ¸˜ ¸˜directa do c´ lculo integral e seria desnecess´ ria toda uma teoria sobre as equacoes a a ¸˜
  14. 14. 4 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1diferenciais. No entanto, a determinacao da solucao da maioria das equacoes dife- ¸˜ ¸˜ ¸˜renciais implica o uso de t´ cnicas mais avancadas e espec´ficas. e ¸ ıVamos iniciar com um tipo cl´ ssico de equacao diferencial para a qual e poss´vel a ¸˜ ´ ıdeterminar a solucao: ¸˜Exemplo 1.2 Sendo α uma constante, resolva a seguinte equacao diferencial: ¸˜ dy = α y, y(0) = 10. (1.6) dx ¸˜Resolucao: Reescrevemos a equacao (1.6) ¸˜ dy = α dx ye depois integramos dy = α dx you ln |y| = α x +C (Se ln a = b ent˜o a = eb ). aTemos: |y| = eα x+C = eα x eCou ainda: y = keα x , com k = ±eC (1.7)Verifiquemos o resultado obtido. dySeja y(x) = keα x ent˜ o a = k (α eα x ) = α (keα x ) = α y, donde se conclui que y = dxkeα x satisfaz (1.6). Isto e, a equacao (1.6) tem uma infinidade de solucoes, uma ´ ¸˜ ¸˜para cada concretizacao de k. Determinamos a solucao do problema (1.6) mediante ¸˜ ¸˜o uso da condicao inicial y(0) = 10. De facto, ¸˜ y(0) = 10 ⇒ keα 0 = 10 ⇒ k = 10,ou seja y = 10eα x e uma solucao unica para o problema de valor inicial (1.6). ´ ¸˜ ´
  15. 15. 1.1. ALGUNS EXEMPLOS 5 e e ¸˜Ao m´ todo utilizado no Exemplo 1.2 chamamos m´ todo de separacao de vari´ veis, auma vez que a t´ cnica utilizada consiste na separacao das vari´ veis independente e e ¸˜ adependente, colocando-as em membros diferentes da equacao. ¸˜Se α > 0, temos que eα x cresce exponencialmente. Se α < 0, temos que eα x decaiexponencialmente (ver Fig. 1.1). Se α = 0, ent˜ o n˜ o existe crescimento, ou seja a ay = e0 = 1 mant´ m-se constante. e y y y = eα x , α > 0 y = eα x , α < 0 0 0 x x Figura 1.1: Crescimento exponencial e decrescimento exponencial.Como observ´ mos no Exemplo 1.2, a resolucao da equacao diferencial conduziu- a ¸˜ ¸˜nos a uma infinidade de solucoes (y = keα x , com k uma constante arbitr´ ria). Con- ¸˜ atudo, do ponto de vista f´sico, n˜ o interessa ter uma infinidade de solucoes. Esta ı a ¸˜dificuldade e facilmente suplantado particularizando o valor de y para um valor par- ´ticular de x, i.e. y(x0 ) = y0 . Chama-se a este valor particular uma condicao inicial ¸˜e viabiliza uma solucao unica para o problema. Este conceito ser´ ilustrado nos ¸˜ ´ aexemplos seguintes.Exemplo 1.3 (Lei do arrefecimento de Newton) A lei do arrefecimentode Newton diz que a taxa da variacao da diferenca de temperatura entre um ob- ¸˜ ¸jecto e o seu meio involvente e proporcional a diferenca de temperaturas. Seja ∆T ´ ` ¸a diferenca de temperatura no instante t. Dado que matematicamente a taxa de ¸variacao e expressa por uma derivada, podemos ent˜ o escrever a lei do arrefeci- ¸˜ ´ amento de Newton como: d∆T = α ∆T, (1.8) dt
  16. 16. 6 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1com α negativo, dado que a temperatura est´ a diminuir. A partir do Exemplo 1.2, afacilmente se conclui que ∆T (t) = ∆T (0)eα t . (1.9) ¸˜Chama-se a (1.9) solucao geral da equacao diferencial (1.8), dado qualquer solucao ¸˜ ¸˜de (1.8) ser desta forma. ∆T (0) e uma constante arbitr´ ria que denota a diferenca ´ a ¸de temperatura em t = 0.Como ilustracao pr´ tica, consideremos uma panela de agua a ferver (100◦ C) que ¸˜ a ´e retirada do lume e deixada a arrefecer a temperatura da cozinha, que sabemos´ `ser de 20◦ C. Dois minutos depois a temperatura da panela e 80◦ C. Qual ser´ a ´ atemperatura da panela 5 minutos depois de ter sido retirada do lume?Uma vez que a diferenca inicial da temperatura e dada por: ¸ ´ ∆T (0) = 100◦ − 20◦ = 80◦ ,a igualdade (1.9) toma a forma ∆T (t) = 80eα t . (1.10)Quando t = 2 minutos, temos: ∆T (2) = 80◦ − 20◦ = 60◦ ,Se susbstituirmos t = 2 em (1.10) temos: 60 = 80eα 2 ,e ainda 3 60 = = eα 2 , 4 80Aplicando o logaritmo natural, vem: 3 1 3 2α = ln ⇔ α= ln . 4 2 4
  17. 17. 1.1. ALGUNS EXEMPLOS 7Repare que α e negativo (≃ −0.1438), o que faz sentido dado que a temperatura ´est´ a diminuir. aSubstituimos de seguida α na equacao (1.9) e relembrando que eln x = x e a ln b = ¸˜ln ba temos:   t/2 3 3 ln t/2 ln  4 4 ∆T = 80e = 80e t/2 3 = 80 . (1.11) 4A equacao (1.11) e uma solucao particular de (1.7), pois e unicamente determinada ¸˜ ´ ¸˜ ´pelas condicoes especificadas para esta situacao particular. ¸˜ ¸˜Finalmente, de forma a determinar a temperatura da agua ao fim de 5 minutos, ´comecamos por determinar a diferenca de temperatura: ¸ ¸ 5/2 3 ∆T (5) = 80 ≃ 38.97, 4que somamos de seguida a temperatura da cozinha. Temos ent˜ o que 5 minutos ` aap´ s a panela ser retirada do lume, a agua se encontra a temperatura de 58.97◦ C. o ´ `Exemplo 1.4 (Envelhecimento do carbono) O envelhecimento do car-bono e uma t´ cnica usada por arqueologistas e ge´ logos, entre outros, que preten- ´ e odam estimar a idade de certos utens´lios ou vest´gios arqueol´ gicos. A t´ cnica e ı ı o e ´baseada em certas propriedades do atomo de carbono. No seu estado natural, o ´atomo de carbono 12C tem 6 prot˜ es e 6 neutr˜ es. Outro isotopo do carbono e 14C´ o o ´que tem dois neutr˜ es e dois n´ cleos adicionais. o u 14C e radioactivo, i.e., emite um ´electr˜ o e atinge o estado est´ vel 14 N. Assumimos que existe uma raz˜ o constante a a ana atmosfera entre 14C e 12C. Esta suposicao e apoiada experimentalmente, dado ¸˜ ´que se verificou que embora 14C esteja permanentemente a desaparecer devido a `degradacao radioactiva, tamb´ m novo 14C est´ permanentemente a ser produzido ¸˜ e adevido ao bombardeamento c´ smico do nitrog´ nio na atmosfera superior. Plantas o ee animais n˜ o distinguem entre a 12C e 14C, de modo que no momento da morte a
  18. 18. 8 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1raz˜ o entre 12C e 14C no organismo e a mesma que a raz˜ o presente na atmosfera. a ´ aNo entanto, esta raz˜ o muda ap´ s a morte, dado que 14C e transformado em 14 N, a o ´sem que seja produzido mais 14C.Atrav´ s de observacoes, os cientistas chegaram a conclus˜ o que o 14C se degrada e ¸˜ ` aa uma taxa proporcional a sua massa, sendo a sua meia-vida de aproximadamente ` 15730 anos. Isto significa que tendo inicialmente 1g de 14C, resta-nos g ao fim de 25730 anos, tendo sido a outra metade convertida em 14 N.Como exemplo, consideremos agora o seguinte problema: Os vest´gios de um or- ıganismo s˜ o desenterrados e determina-se que a quantidade de 14C presente e de a ´40% da de um organismo vivo semelhante. Qual e a idade aproximada dos vest´gios ´ ıencontrados? ¸˜Resolucao: Seja M(t) a massa de 14C dos vest´gios encontrados. ıSabendo que 14C se degrada a uma taxa proporcional ` sua amassa, temos: dM = −α M, dtsendo α a constante de proporcionalidade. Ent˜o M(t) = ce−α t, acom c = M0 a quantidade inicial de 14C. Com t = 0, M(0) = M0 ; 1t = 5730, M(5730) = M0 . Usamos este facto para determinar α : 2 1 1 M0 = M0 e−α ·5730 ⇔ e−α ·5730 = . 2 2Ent˜o a 1/5730 t/5730 −α 5730 1 −α 1 −α t 1 e = ⇔ e = e e = , 2 2 2donde 1 t/5730 M(t) = M0 . 2Sabemos que t anos ap´s a morte do organismo M(t) = 0.4M0 e oqueremos determinar t. Fazemos ent˜o: a t/5730 1 0.4M0 = M0 , 2
  19. 19. ¸˜ ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS 9aplicando logaritmos naturais: t 1 5730 ln (0.4) ln 0.4 = ln ⇔ t= 5730 2 1 ln 2ou seja aproximadamente 7575 anos.Esta t´ cnica de envelhecimento do carbono tem sido usada com sucesso em in´ meras e uocasi˜ es. Foi esta mesma t´ cnica que permitiu datar os Manuscritos do mar morto o ecom cerca de dois mil anos.Nos Exemplos 1.1–1.4 determin´ mos a solucao de equacoes diferenciais muito sim- a ¸˜ ¸˜ples, usando o m´ todo de separacao de vari´ veis. Este m´ todo tamb´ m pode ser e ¸˜ a e eusado para resolver equacoes diferenciais mais elaboradas, como iremos mostrar na ¸˜pr´ xima seccao. o ¸˜Os exemplos considerados ilustram tamb´ m que da resolucao de equacoes diferen- e ¸˜ ¸˜ciais muito simples se pode encontrar solucao para aplicacoes f´sicas mais diversi- ¸˜ ¸˜ ıficadas. ¸˜ ´1.2 Separacao de variaveisVamos aprender agora a resolver algumas equacoes um bocadinho mais complica- ¸˜das do que as que resolvemos at´ aqui. eConsidere-se a equacao diferencial ¸˜ dy = f (x, y) (1.12) dxe suponhamos que f (x, y) e factoriz´ vel no produto: ´ a f (x, y) = g(x)h(y), (1.13)
  20. 20. 10 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1onde g(x) e h(y) s˜ o funcoes de uma s´ vari´ vel. Sempre que isto ocorre, a equacao a ¸˜ o a ¸˜ ı ¸˜ e ¸˜(1.12) e pass´vel de resolucao pelo m´ todo da separacao de vari´ veis. Para resol- ´ aver a equacao, substituimos (1.13) em (1.12): ¸˜ dy = g(x)h(y), dxou 1 dy = g(x), (1.14) h(y) dxIntegrando ambos os membros da equacao (1.13) em relacao a x, obtemos: ¸˜ ¸˜ 1 dy dx = g(x)dx +C, h(y) dxe 1 dy = g(x)dx +C. (1.15) h(y)Se ambos os integrais de (1.15) forem calcul´ veis, ent˜ o a solucao da equacao dife- a a ¸˜ ¸˜rencial (1.12) e feita atrav´ s do c´ lculo dos integrais. ´ e a dx √Exemplo 1.5 Resolva a equacao ¸˜ = t 1 − x2 . dt ¸˜Resolucao: ¸˜ Reescrevemos a equacao como dx dx √ = tdt ⇒ √ = tdt +C 1 − x2 1 − x2Calculando os integrais, obtemos: t2 arcsin x = +C 2ou seja t2 x = sin +C . 2Existe um n´mero infinito de soluc˜es, uma para cada valor u ¸o π πde C com C ≤ . (Porquˆ C ≤ ?)Para determinadas condic˜es e ¸o 2 2iniciais, vai existir uma soluc˜o ´nica. Suponhamos por ¸a u 1exemplo x(0) = . Ent˜o a 2 1 02 1 π = sin +C = sinC e C = arcsin = 2 2 2 6.
  21. 21. ¸˜ ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS 11Ent˜o a solucao ´nica ´ a ¸˜ u e t2 π x(t) = sin + . 2 6Repare que se x(0) = 2 n˜o existe solucao, pois a func˜o seno a ¸˜ ¸as´ toma valores no intervalo [−1, 1] . oExemplo 1.6 (Velocidade de escape) No Exemplo 1.1 estud´ mos o mo- avimento de um corpo em queda livre, i.e. sujeito a forca de gravidade da Terra. ` ¸Nesse exemplo assumimos ser pequena a altura a que se encontra o corpo, h, re-lativamente ao raio da Terra R. No entanto, se pretendermos estudar a equacao ¸˜do movimento de um sat´ lite de comunicacoes ou de um ve´culo interplanet´ rio, e ¸˜ ı aa distˆ ncia r do objecto ao centro da Terra poder´ ser considerada grande em a arelacao a R. Assim a assercao que fizemos para obter a equacao (1.3) deixa de ser ¸˜ ¸˜ ¸˜v´ lida. Retomemos a equacao (1.2): a ¸˜ d2r R2 = −g 2 dt 2 r dre considerando v = , temos pela regra da cadeia: dt d 2 r dv dv dr dv 2 = = =v . (1.16) dt dt dr dt drAssim, a equacao (1.2) pode ser reescrita como: ¸˜ dv R2 v = −g 2 , (1.17) dr ronde g e R s˜ o constantes. Separando as vari´ veis e integrando obtemos a a dr vdv = −gR2 +C, r2ou seja 1 2 gR2 v = +C. 2 rSupondo que no instante inicial o objecto se encontra a superf´cie da Terra, temos ` ıent˜ o que: a 1 gR2 v(0)2 = +C. 2 R
  22. 22. 12 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1ou 1 v(0)2 − gR = C. 2Ent˜ o a R2 v2 = 2g + v(0)2 − 2gR. (1.18) rPara que o objecto escape a forca gravitacional da Terra, e necess´ rio que v > 0 em ` ¸ ´ a √cada instante t. Se escolhermos v(0) = 2gR, os dois ultimos termos da equacao ´ ¸˜(1.18) cancelam-se mutuamente, e temos que v2 > 0 para todo o r. Observemos √que uma escolha para v(0) inferior a 2gR vai permitir que o segundo membro daequacao (1.18) possa ser zero, bastando para tal que o valor de r seja suficiente- ¸˜mente grande. Assim sendo, para que o objecto escape a atraccao gravitacional ` ¸˜ √da Terra e necess´ rio que ele tenha velocidade inicial m´nima de v(0) = 2gR ≃ ´ a ı11.2km/seg. A esta velocidade m´nima chama-se velocidade de escape. ıA substituicao (1.16) pode sempre ser usada para reduzir uma equacao que contenha ¸˜ ¸˜a segunda derivada numa que contenha somente a primeira derivada, sendo para talnecess´ rio que a vari´ vel independente n˜ o apareca explicitamente na equacao. a a a ¸ ¸˜Exemplo 1.7 (Crescimento log´stico) Seja P(t) a populacao de uma esp´ - ı ¸˜ ecie no instante t. A taxa de crescimento individual de uma populacao e definido ¸˜ ´como o crescimento de uma populacao dividido pelo tamanho da populacao. Por ¸˜ ¸˜exemplo, se considerarmos a taxa de natalidade igual a 3.2 em cada 100 e a taxa demortalidade igual a 1.8 em cada 100, ent˜ o a taxa de crescimento e 3.2 − 1.8 = 1.4 a ´ 1.4 dPem cada 100, i.e. = . Escrevemos ent˜ o a = 0.014P. 100 dtConsideremos uma dada populacao cuja taxa de natalidade m´ dia e dada pela ¸˜ e ´constante positiva β . E razo´ vel considerar a taxa m´ dia de mortalidade pro- ´ a eporcional ao n´ mero de indiv´duos da populacao. Populacoes com maior n´ mero u ı ¸˜ ¸˜ ude indiv´duos correspondem a uma maior densidade de indiv´duos, donde a uma ı ımaior competicao por comida e territ´ rio entre os seus membros. Seja δ a cons- ¸˜ o dPtante que representa esta proporcionalidade. Sendo a taxa de crescimento da dt
  23. 23. ¸˜ ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS 13 1 dPpopulacao, ent˜ o ¸˜ a ser´ a taxa de crescimento por indiv´duo nessa populacao. a ı ¸˜ P dtSer´ l´cito considerar ent˜ o a seguinte equacao diferencial que governa o cresci- a ı a ¸˜mento da populacao: ¸˜ 1 dP = β − δ P. P dtMultiplicando ambos os membros desta equacao por P, temos: ¸˜ dP = P (β − δ P) . (1.19) dt ´ ¸˜Esta e a equacao log´stica. O crescimento expresso por esta equacao chama-se ı ¸˜crescimento log´stico. Separemos as vari´ veis: ı a dP = dt +C. (1.20) P (β − δ P)Decompondo a fraccao nos seus elementos simples, temos: ¸˜ 1 1 δ = + . P (β − δ P) β P β (β − δ P)Substituimos estes elementos simples em (1.20) e temos: 1 1 ln |P| − ln |β − δ P| = t +C β βou ainda 1 P ln = t +C. (1.21) β β −δPAplicando a funcao exponencial a ambos os membros, vem: ¸˜ P P = eβ t+β C ⇒ = C1 eβ t . (1.22) β −δP β −δPPara t = 0 obtemos P(0) = C1 . β − δ P(0)Substituindo o valor obtido para C1 em (1.22), vem: P(t) P(0) = eβ t . β − δ P(t) β − δ P(0)
  24. 24. 14 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1Facamos o produto cruzado para depois resolver em ordem a P(t) : ¸ P(t) [β − δ P(0)] = P(0) [β − δ P(t)]eβ t β P(t) − δ P(t)P(0) = β P(0)eβ t − δ P(0)P(t)eβ t P(t) β − δ P(0) + δ P(0)eβ t = β P(0)eβ t ,dividindo ambos os membros por P(0)eβ t : β P(0)eβ t β P(t) = = . (1.23) β − δ P(0) + δ P(0)eβ t β δ+ − δ e−β t P(0)Uma vez que β > 0, e−β t tende para zero com t. Temos ent˜ o que a populacao tem a ¸˜ β βum limite de crescimento . Facilmente se verifica ainda que com P = em (1.19) δ δ dPvem = 0, i.e. a populacao e constante. ¸˜ ´ dtAprendemos como resolver uma equacao diferencial de primeira ordem quando se- ¸˜par´ vel. No entanto nem sempre e muito claro ver se a equacao e ou n˜ o separ´ vel. a ´ ¸˜ ´ a aPor exemplo, e obvio que se f (x, y) = ex cos y e separ´ vel. Mas j´ n˜ o e t˜ o obvio ´ ´ ´ a a a ´ a ´que f (x, y) = 2x2 + y − x2 y + xy − 2x − 2 e separ´ vel. Damos, de seguida condicoes ´ a ¸˜que permitem decidir sobre a separabilidade das vari´ veis numa equacao diferen- a ¸˜cial.
  25. 25. ¸˜ ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS 15 ´ ¸˜ ´ Quando e que uma equacao diferencial e separ´ vel? aTeorema 1 Suponhamos que f (x, y) = g(x)h(y), onde g e h s˜ o diferenci´ veis. a aEnt˜ o a f (x, y) fxy (x, y) = fx (x, y) fy (x, y). (1.24)Dem. Facamos ¸ fx (x, y) = g′ (x)h(y) fy (x, y) = g(x)h′ (y) fxy (x, y) = g′ (x)h′ (y) f (x, y) fxy (x, y) = g(x)h(y)g′ (x)h′ (y) = g′ (x)h(y) g(x)h′ (y) = fx (x, y) fy (x, y)Teorema 2 Seja D = (x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < r2 , com a, b ∈ R e r ∈ R+ ,uma bola do plano-xy. Suponhamos que f , fx , fy e fxy existem e s˜ o cont´nuas em a ıD, f (x, y) = 0 e a equacao (1.24) se verifica. Ent˜ o existem funcoes continuamente ¸˜ a ¸˜diferenci´ veis g(x) e h(y) tais que, para cada (x, y) ∈ D, a f (x, y) = g(x)h(y). dyExemplo 1.8 Seja = f (x, y) com f (x, y) = 2x2 + y − x2 y + xy − 2x − 2. dxEnt˜ o: a fx (x, y) = 4x − 2xy + y − 2 fy (x, y) = 1 − x2 + x fxy (x, y) = −2x + 1 f (x, y) fxy (x, y) = 2x2 + y − x2 y + xy − 2x − 2 (−2x + 1) = −4x3 − xy + 2x3 y − 3x2 y + 6x2 + 2x + y − 2 fx (x, y) fy (x, y) = (4x − 2xy + y − 2) 1 − x2 + x = 2x − xy + y − 2 − 4x3 + 2x3 y − 3x2 y + 6x2
  26. 26. 16 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1Donde se conclui a partir do Teorema 2 que f (x, y) e separ´ vel. ´ a ¸˜Resolucao: dy = 2x2 + y − x2 y + xy − 2x − 2 dx = (y − 2)(−x2 + x + 1) = ··· dyExemplo 1.9 Seja = f (x, y) com f (x, y) = 1 + xy. Ent˜ o: a dx fx (x, y) = y fy (x, y) = x fxy (x, y) = −1 f (x, y) fxy (x, y) = 1 + xy e fx (x, y) fy (x, y) = xyComo as duas ultimas express˜ es n˜ o s˜ o iguais, conclui-se a partir do Teorema 2 ´ o a aque f (x, y) n˜ o e separ´ vel. a ´ a dyUma equacao diferencial da forma ¸˜ = f (ax + by + c) , n = 0 pode sempre reduzir- dxse a uma equacao diferencial de vari´ veis separ´ veis, atrav´ s da substituicao ¸˜ a a e ¸˜ du dy u = ax + by + c ⇒ = a+b . dx dx dy 1Exemplo 1.10 Resolva a equacao diferencial ¸˜ = . dx x + y + 1 1Resolucao: Consideramos f (u) = e em conformidade u = x+y+ ¸˜ u du dy1⇒ = 1+ . dx dx
  27. 27. ¸˜ ´1.2. SEPARACAO DE VARIAVEIS 17 ¸ a ¸˜Efectuamos esta mudanca de vari´vel na equacao diferenciale obtemos: du 1 −1 = ⇔ dx u du 1 + u ⇔ = ⇔ dx u u ⇔ du = dx ⇒ 1+u u ⇔ du = dx +C 1+u uComo calcular du? 1+uTemos que saber calcular primitivas de func˜es racionais. ¸o ¸˜Posto isto, e sendo a funcao integranda uma fracc˜o racional ¸a o ¸ ¸˜impr´pria, temos que comecar por reduzi-la a uma fraccaoracional pr´pria, i.e.: o u 1 = 1− . 1+u 1+uProssigamos agora com o c´lculo das primitivas: a 1 1− du = dx +C ⇔ 1+u ⇔ u − ln |1 + u| = x +C ⇔Voltando ` vari´vel original, escrevemos: a a ⇔ x + y + 1 − ln |1 + x + y + 1| = x +C ⇔ ⇔ y + c = ln |2 + x + y| ⇔ ⇔ ey+c = 2 + x + y ⇔ ⇔ 2 + x + y = Cey .Temos assim a solucao impl´cita da equac˜o diferencial. ¸˜ ı ¸aConsideremos ent˜ o outros exemplos: a
  28. 28. 18 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1 dy 1. Consideremos a equacao diferencial ¸˜ = (x+y+1)2 . Reduzimos esta equacao ¸˜ dx diferencial a uma equacao diferencial de vari´ veis separ´ veis efectuando a se- ¸˜ a a guinte mudanca de vari´ vel f (u) = u2 . ¸ a dx 1 − t − x 2. Consideremos a equacao diferencial ¸˜ = . Reduzimos esta equacao ¸˜ dt t +x diferencial a uma equacao diferencial de vari´ veis separ´ veis efectuando a ¸˜ a a 1−u seguinte mudanca de vari´ vel f (u) = ¸ a . u dy √ 3. Consideremos a equacao diferencial ¸˜ = 2 + y − 2t + 3. Reduzimos esta dx equacao diferencial a uma equacao diferencial de vari´ veis separ´ veis efectu- ¸˜ ¸˜ a a √ ando a seguinte mudanca de vari´ vel f (u) = 2 + u. ¸ a dy 4. Consideremos a equacao diferencial ¸˜ = 1+ey−t+5 . Reduzimos esta equacao ¸˜ dx diferencial a uma equacao diferencial de vari´ veis separ´ veis efectuando a se- ¸˜ a a guinte mudanca de vari´ vel f (u) = 1 + eu . ¸ aExerc´cio 1 Calcule a solucao de cada uma das equacoes diferenciais acima ı ¸˜ ¸˜enumeradas. ¸˜ ¸˜1.3 Classificacao de equacoes diferenciaisFicou claro, no estudo efectuado nas ultimas seccoes, que grande e a variedade de ´ ¸˜ ´equacoes diferenciais resultantes de fen´ menos que nos s˜ o familiares. Torna-se ¸˜ o aent˜ o necess´ rio estudar classes mais restritas destas equacoes. a a ¸˜Comecemos por classificar as equacoes diferenciais. A classificacao mais obvia ser´ ¸˜ ¸˜ ´ auma baseada na natureza das derivadas da equacao. Uma equacao diferencial diz-se ¸˜ ¸˜ ¸˜equacao diferencial ordin´ ria (ODE) se involve somente derivadas ordin´ rias, i.e. a aem ordem a uma s´ vari´ vel independente e de uma ou v´ rias vari´ veis dependentes. o a a aExemplo 1.11 Considerem-se os seguintes exemplos:
  29. 29. ¸˜1.4. SOLUCOES 19 dy 1. − 5y = 1 dx 2. (t + y) dt − 4ydy = 0 du dv 3. − = t, u(t) e v(t) dt dt d2y dy 4. 2 − 2 + 6x = 0 dx dxUma equacao que involva derivadas parciais, de uma ou mais vari´ veis dependentes ¸˜ a ¸˜e, obviamente, de duas ou mais vari´ veis independentes, diz-se equacao diferencial a`as derivadas parciais.Exemplo 1.12 Considerem-se os seguintes exemplos: ∂x ∂y 1. =− x(t, ?), y(t, ?) ∂t ∂t ∂x ∂x 2. t + k = x, x(t, z) ∂t ∂z ¸˜Definicao 1 A ordem da derivada mais elevada envolvida na equacao diferen- ¸˜cial, determina a ordem da equacao diferencial. ¸˜Exemplo 1.13 Considerem-se os seguintes exemplos: dy 1. + 2yx = 1 primeira ordem dx d 2 y dy 2. + +x = 0 segunda ordem dx2 dx d 3 y y2 3. = terceira ordem dx3 x2Quanto a estrutura, as equacoes diferenciais classificam-se em equacoes diferenciais ` ¸˜ ¸˜lineares e n˜ o lineares. Definimos equacao diferencial linear na Seccao 1.6. a ¸˜ ¸˜ ¸˜1.4 Solucoes ¸˜Definicao 2 Uma funcao y, definida no intervalo I, que possui derivadas at´ a ¸˜ e`ordem n, e tal que uma vez substitu´da na equacao diferencial de ordem–n a reduz ı ¸˜
  30. 30. 20 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1a uma identidade, diz-se solucao dessa equacao diferencial. Simbolicamente, isto ¸˜ ¸˜significa que a solucao da equacao diferencial ¸˜ ¸˜ F x, y, y′ , . . ., y(n) = 0 (1.25)e uma funcao y(x), cujas derivadas y′ (x), y′′ (x), . . ., y(n) existem e satisfazem a equacao´ ¸˜ ¸˜(1.31) para todos os valores da vari´ vel independente x em todo o intervalo em que a(1.31) est´ definida. a`A solucao tamb´ m se chama curva integral ou simplesmente integral da ED. ¸˜ eObservacao 2 O intervalo I pode ser da forma (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] com a, b ¸˜valores finitos ou infinitos.As aplicacoes f´sicas que descrevemos nesta seccao (e.g. Exemplos 1.1, 1.3 e 1.4) ¸˜ ı ¸˜correspondem a problemas para os quais sabemos existir solucao. No entanto, e ¸˜ ´importante distinguir a realidade f´sica do modelo matem´ tico dado pela equacao ı a ¸˜diferencial que representa o problema. Pois o nosso racioc´cio poder´ estar comple- ı atamente errado e as equacoes apresentadas n˜ o apresentarem qualquer ligacao com ¸˜ a ¸˜a realidade.Existem equacoes diferenciais para as quais n˜ o existe solucao. Por exemplo: ¸˜ a ¸˜ 2 dy +3 = 0 dx 2 dyn˜ o tem obviamente solucao, pois a ¸˜ + 3 ≥ 3 !!! dxPor outro lado, a equacao ¸˜ 2 dy + y2 = 0 dxtem y = 0 como unica solucao. ´ ¸˜A equacao ¸˜ dy +y = 0 dxtem um n´ mero infinito de solucoes y = ce−x para toda a constante c. u ¸˜
  31. 31. ¸˜1.4. SOLUCOES 21Uma equacao diferencial tem usualmente uma infinidade de solucoes. ¸˜ ¸˜Ao determinar a solucao de uma equacao diferencial de ordem–n, ¸˜ ¸˜ F x, y, y′ , . . . , y(n) = 0, ∀t ∈ Iesperamos obter uma fam´lia de solucoes de n parˆ metros G(x, y, c1 , . . . , cn ) = 0. ı ¸˜ a ¸˜ a ¸˜Cada concretizacao dos parˆ metros fornece uma solucao particular, ou seja umasolucao livre de parˆ metros. ¸˜ a ¸˜Chamamos solucao singular a uma solucao da equacao diferencial que n˜ o per- ¸˜ ¸˜ atence a fam´lia de parˆ metros. ` ı aSe a fam´lia de parˆ metros cont´ m todas as solucoes da equacao diferencial, ent˜ o ı a e ¸˜ ¸˜ a ¸˜chama-se solucao geral.Exemplo 1.14 Consideremos a equacao diferencial ¸˜ dy = 2xy (1.26) dx 2cuja solucao geral e y = cex . Cada concretizacao da constante c fornece uma ¸˜ ´ ¸˜solucao particular. A Figura 1.3 mostra algumas concretizacoes de c, isto e algu- ¸˜ ¸˜ ´mas solucoes de (1.26). ¸˜ 200 c>0 100 0 c=0 −100 c<0 −200 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figura 1.2: Representacao gr´ fica de algumas solucoes de (1.26). ¸˜ a ¸˜A y ≡ 0, representada a vermelho na figura, chamamos solucao trivial. ¸˜
  32. 32. 22 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1Se y ≡ 0 (i.e., y e identicamente igual a zero) e solucao da equacao diferencial num ´ ´ ¸˜ ¸˜intervalo I, ent˜ o chama-se a y ≡ 0 solucao trivial dessa equacao diferencial em I. a ¸˜ ¸˜Exemplo 1.15 A equacao diferencial do Exemplo 1.2 pode ser reescrita na ¸˜forma y′ − α y = 0. E f´ cil verificar que y(x) = keα x , ´ a k ∈ R, e solucao para todo ´ ¸˜o real x : y′ (x) − α y(x) = (keα x )′ − α (keα x ) = α keα x − α keα x = 0.Exerc´cio 2 ı 1. Prove que y1 = c1 cos(4x) e y2 = c2 sin(4x) s˜ o solucoes de a ¸˜ d2y + 16y = 0. dx2 2. Prove que y = ex y = e−x y = c1 ex y = c2 e−x y = c1 ex + c2 e−x d 2y com c1 , c2 ∈ R, s˜ o solucoes de 2 − y = 0. a ¸˜ dxExemplo 1.16 Consideremos os seguintes exemplos: 1. y = cx4 e solucao da equacao diferencial xy′ − 4y = 0. ´ ¸˜ ¸˜   −x4 , x < 0 2. y = e solucao da mesma equacao, i.e. ´ ¸˜ ¸˜  x4 , x ≥ 0   −1, x < 0 c= A constante c n˜ o e unica em todo o intervalo. a ´´  1, x ≥ 0A solucao particular 2. e solucao, mas n˜ o pode ser obtida a partir da fam´lia de ¸˜ ´ ¸˜ a ıparˆ metros por uma escolha unica de c. a ´
  33. 33. ¸˜1.4. SOLUCOES 23 15 10 c=1 5 0 −5 c = −1 −10 −15 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figura 1.3: Exemplo de uma solucao particular definida por ramos. ¸˜A solucao da equacao diferencial pode estar na forma impl´cita ou expl´cita. Se ¸˜ ¸˜ ı ıapresentamos a solucao na forma y = f (x), ent˜ o a solucao est´ na forma expl´cita. ¸˜ a ¸˜ a ıSe a apresentamos na forma f (x, y) = c, onde c e uma constante, ent˜ o a solucao ´ a ¸˜est´ na forma impl´cita. a ıExemplo 1.17 1. A solucao y = 2e3x e uma solucao expl´cita da equacao ¸˜ ´ ¸˜ ı ¸˜ diferencial do Exemplo 1.15. 2. Considere a equacao diferencial ¸˜ dy x = . dx y Ap´ s separacao de vari´ veis obt´ m-se o ¸˜ a e ydy = xdx y2 x2 = +c 2 2 y2 − x2 = 2c = C Temos a solucao na sua forma impl´cita. ¸˜ ı Nota 1 De facto, n˜ o e l´cito apresentar a solucao deste problema na sua a ´ ı ¸˜ √ forma expl´cita, pois y = ± x2 +C n˜ o e funcao. ı a ´ ¸˜
  34. 34. 24 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1Como vimos nas Seccoes 1.1 e 1.2, muitas s˜ o as situacoes em que estamos interes- ¸˜ a ¸˜sados em resolver uma equacao diferencial de primeira ordem: ¸˜ dy = f (x, y) dxsujeita a condicao adicional ` ¸˜ y(x0 ) = y0 .Este e um exemplo de um problema de valor inicial. Chamamos a esta condicao ´ ¸˜ ¸˜adicional condicao inicial e a x0 o valor inicial. Formalizemos: ¸˜Definicao 3 Um problema de valor inicial (PVI) consiste numa equacao di- ¸˜ferencial de qualquer ordem e num conjunto de condicoes iniciais (o n´ mero de ¸˜ ucondicoes iniciais e igual a ordem da equacao diferencial) que dever˜ o ser satisfei- ¸˜ ´ ` ¸˜ atas pela solucao da equacao diferencial e das suas sucessivas derivadas no valor ¸˜ ¸˜inicial.Exemplo 1.18 Considerem-se os seguintes exemplos de PVIs: 1. dy = 2y − 3x, dx y(0) = 2 2. x′′ (t) + 5x′(t) + (sint)x(t) = 0, x(1) = 0 x′ (1) = 7 ¸˜Definicao 4 Definimos solucao de um PVI de ordem–n como uma funcao com ¸˜ ¸˜derivadas at´ a ordem–n, que satisfaca a equacao diferencial e a(s) condicao(˜ es) e` ¸ ¸˜ ¸˜ oinicial(is).
  35. 35. ¸˜1.4. SOLUCOES 25Exemplo 1.19 A funcao y(x) = 2e3x e solucao do PVI ¸˜ ´ ¸˜ dy = 3y, dx y(0) = 2 dy d 3xpois y(0) = 2e3·0 = 2e0 = 2 e =2 e = 3 2e3x = 3y. dx dxAtencao, y ≡ 0 e solucao da equacao diferencial do Exemplo ??, mas n˜ o solucao ¸˜ ´ ¸˜ ¸˜ a ¸˜do PVI, pois n˜ o verifica a condicao inicial. a ¸˜Observacao 3 As condicoes impostas a y(x) e as suas (n − 1) primeiras deriva- ¸˜ ¸˜ `das s˜ o dadas num unico ponto, i.e., y(x0 ), y′ (x0 ), . . . , y(n−1) (x0 ). a ´ 1. dy = f (x, y) dx y(x0 ) = y0 PVI de ordem–1 2. d2y = f (x, y, y′ ) dx2 y(x0 ) = y0 y′ (x0 ) = y′ 0 PVI de ordem–2Ao analisar um PVI, duas quest˜ es fundamentais surgem: o 1. Existe solucao? ¸˜ 2. A solucao (se existir) e unica? ¸˜ ´´Geometricamente, a segunda quest˜ o traduz-se em questionar se de entre todas as asolucoes do PVI, definido em I, existe uma unica cujo gr´ fico passa pelo ponto ¸˜ ´ a(x0 , y0 ).
  36. 36. 26 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1   dy − xy1/2 = 0Exemplo 1.20 Consideremos o seguinte PVI dx , para o qual  y(0) = 0queremos determinar a solucao. ¸˜ ¸˜Resolucao: Vamos determinar a soluc˜o utilizando separacao ¸a ¸˜de vari´veis: a dy = xy1/2 ⇔ dx dy ⇒ = tdt ⇔ y1/2 y=0?! x2 ⇔ y1/2 = +c ⇔ 4 x4 ⇔ y= +C ∧ y(0) = 0 16 x4 ⇒C = 0 ⇒y= 16No entanto, a solucao trivial y ≡ 0 ´ tamb´m soluc˜o. ¸˜ e e ¸a Maisainda, a solucao trivial ´ soluc˜o singular (pois n˜o pode ¸˜ e ¸a aser obtida a partir da fam´lia de parˆmetros). ı aComo vemos a soluc˜o deste PVI n˜o ´ ´nica. ¸a a e uAntes de tentarmos determinar a solucao de um PVI, e desej´ vel investigar primeiro ¸˜ ´ aa existˆ ncia/unicidade dessa mesma solucao. e ¸˜O resultado seguinte, originalmente devido a Cauchy, mas generalizado por Picard,e uma das condicoes mais populares devido a facilidade da sua aplicacao.´ ¸˜ ` ¸˜Teorema 3 (Teorema de Picard) Seja R uma regi˜ o rectangular defi- anida no plano xOy e tal que a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d. O ponto (x0 , y0 ) pertence aointerior de R. Se f e ∂ f /∂ y s˜ o funcoes cont´nuas no rectˆ ngulo R, ent˜ o existe um a ¸˜ ı a a
  37. 37. ¸˜1.4. SOLUCOES 27intervalo I, centrado em x0 , e uma unica funcao y(x), x ∈ I, que satisfaz o PVI ´ ¸˜ dy = f (x, y), y(x0 ) = y0 . dx Figura 1.4: Interpretacao geom´ trica do Teorema de Picard. ¸˜ e ¸˜Observacao 4 Em geral n˜ o e poss´vel determinar um intervalo I em que essa a ´ ısolucao esteja definida sem antes determinar essa mesma solucao. ¸˜ ¸˜ ´ ¸˜O Teorema 3 e uma condicao suficiente de existˆ ncia e unicidade de solucao, dado e ¸˜fornecer crit´ rios capazes de garantir a existˆ ncia de uma unica solucao. Nome- e e ´ ¸˜adamente, requer a a verificacao da continuidade das funcoes. Se f e ∂ f /∂ y no ¸˜ ¸˜rectˆ ngulo R que cont´ m o ponto inicial (x0 , y0 ). Dado a garantia deste teorema ser a es´ para uma pequena regi˜ o em torno do ponto inicial, dizemos ser este resultado o aum teorema de existˆ ncia e unicidade local. Ilustramos de seguida a aplicacao do e ¸˜Teorema 3:Exemplo 1.21 O PVI dy = x2 + y3 dx y(0) = 1tem solucao unica? ¸˜ ´
  38. 38. 28 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1 ¸˜Resolucao: Sejam f (x, y) = x2 +y3 e ∂ f /∂ y = 3y2 funcoes cont´nuas ¸˜ ıem todo o R×R, ent˜o obviamente tamb´m o ser˜o na regi˜o a e a aR. Est´ assim demonstrada a existˆncia de solucao ´nica. a e ¸˜ u x 1Exemplo 1.22 Retomemos o Exemplo 1.20. Temos ent˜ o que ∂ f /∂ y = a , 2 y1/2n˜ o estando esta funcao definida no ponto (0, 0). Dado ser o Teorema 3 uma condicao a ¸˜ ¸˜suficiente, nada se pode concluir sobre a existˆ ncia de solucao unica, mas de facto e ¸˜ ´n˜ o se pode garantir a sua existˆ ncia. a eCaso n˜ o estejamos interessados na unicidade de solucao, mas somente na sua a ¸˜existˆ ncia existe um resultado tamb´ m muito conhecido: e eTeorema 4 Nas condicoes do Teorema de Picard, a continuidade da funcao ¸˜ ¸˜f (x, y) em R e condicao suficiente para garantir a existˆ ncia de pelo menos uma ´ ¸˜ esolucao do PVI. ¸˜O Teorema de Picard um de entre os v´ rios resultados de existˆ ncia/unicidade de a esolucao. Em diferentes situacoes, as condicoes podem ser relaxadas permitindo ¸˜ ¸˜ ¸˜ainda tirar as mesmas conclus˜ es. Ao longo do nosso estudo abordaremos alguns odestes resultados. ¸˜Definicao 5 Um problema de valores de fronteira (PVF) e constitu´do por ´ ıuma equacao diferencial se um conjunto de condicoes adicionais que a solucao ¸˜ ¸˜ ¸˜da equacao diferencial, bem com as sucessivas derivadas, deve satisfazer. As ¸˜condicoes adicionais devem ser dadas para pelo menos dois valores distintos da ¸˜vari´ vel independente. aExemplo 1.23 Considerem-se os seguintes exemplos de PVF
  39. 39. ¸˜1.4. SOLUCOES 29 1. d2y + 5xy = cos x dx2 y(0) = 0 y′ (1) = 2 2. dy + 5xy = 0 dx y(0) = 2 y(1) = 2Para n = 2, definimos: d 2y dy a2 (x, y) 2 + a1 (x, y) + a0 (x, y)y = g(x) (1.27) dx dx  y(a) = y0  Condicoes de fronteira ¸˜ (1.28) y(b) = y1 com a, b ∈ I.Para n = 2, outras escolhas poss´veis de condicoes de fronteira s˜ o: ı ¸˜ a     y′ (a) = y  y(a) = y  y′ (a) = y 0 0 0 , ou (1.29)  y(b) = y  y′ (b) = y  y′ (b) = y 1 1 1onde y0 , y1 s˜ o constantes arbitr´ rias. a aSeja:   α y(a) + β y′ (a) = γ 1 1 1 (1.30)  α y(b) + β y′ (b) = γ 2 2 2Atencao, ter˜ o de ser sempre duas condicoes, dado ser dois a ordem do problema. ¸˜ a ¸˜Nota 2 O Teoremema de Picard s´ se aplica a PVIs. oVejamos:
  40. 40. 30 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1Exemplo 1.24 Consideremos a equacao diferencial y′′ + 16y = 0, que tem ¸˜como solucao geral y = c1 cos 4x + c2 sin 4x. De seguida consideramos diferentes ¸˜condicoes de fronteira que nos permitir˜ o calcular os parˆ metros. ¸˜ a a   y(0) = 0 1. π  y = 0 2 ¸˜ Resolucao:   0 = c 1  0 = c sin 2π 2 temos ent˜o a solucao (0, c2 ) a ¸˜ ¸˜ ∴ o PVF tem um n´mero infinito de solucoes: u y = c2 sin 4t.   y(0) = 0 2. π  y = 0 8 ¸˜ Resolucao:   0 = c 1  0 = c 2 temos ent˜o a soluc˜o y = (0, 0) a ¸a ¸˜ u ∴ o PVF tem solucao ´nica.   y(0) = 0  y π 3. = 1 2 ¸˜ Resolucao:   0 = c1  1 = c2 sin π 2 Imposs´vel! ı
  41. 41. ¸˜1.5. CAMPO DE DIRECCOES 31 ¸˜ ∴ o PVF n˜o tem solucao. aAinda que ao longo de todo este curso nos debrucemos sobre o estudo/aprendizagemde m´ todos que nos permitem determinar a solucao de diferentes ED, o facto e que e ¸˜ ´muitas s˜ o as equacoes diferenciais provenientes de aplicacoes para as quais n˜ o e a ¸˜ ¸˜ a ´poss´vel obter uma solucao anal´tica. Dito de outro modo, muitas s˜ o as equacoes ı ¸˜ ı a ¸˜diferenciais para as quais e imposs´vel obter uma solucao exprimıvel em termos de ´ ı ¸˜funcoes elementares. ¸˜Existem diferentes formas para abordar esta dificuldade, nomeadamente: 1. Optar por uma solucao num´ rica ¸˜ e 2. Proceder a um estudo qualitativo da ED, i.e., perceber como se comportam as solucoes da ED. Quest˜ es pertinentes deste t´ pico s˜ o por exemplo: ¸˜ o o a • As solucoes da equacao diferencil crescem ilimitadamente com x? ¸˜ ¸˜ • As solucoes da equacao diferencial tendem para zero? ¸˜ ¸˜ • As solucoes oscilam entre determinados valores? ¸˜ ¸˜1.5 Campo de direccoesConsidere-se a equacao diferencial de ordem–1 na sua forma normal ¸˜ y′ = f (x, y). (1.31)Considerando determinadas condicoes, e uma condicao inicial, o PVI associado ¸˜ ¸˜a equacao (1.31) tem uma solucao unica. Ou seja, existe uma unica funcao que` ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜satisfaz o PVI: y′ (x) = f (x, y) y(x0 ) = y0
  42. 42. 32 ´ CAPITULO 1. ED DE ORDEM–1com (x0 , y0 ) arbitr´ rio. A funcao y(x) e uma curva do plano–xy, da qual conhecemos a ¸˜ ´a tangente em cada ponto. A tangente a curva y(x) em cada ponto (x, y) e dada por f (x, y). ` ´Conhecemos ent˜ o a direccao da curva y(x) em cada ponto (x, y) do xy-plano em a ¸˜que a funcao f (x, y) est´ definida. Chama-se campo de direccoes da equacao di- ¸˜ a ¸˜ ¸˜ferencial, y′ = f (x, y), ao conjunto de todas estas direccoes no plano. O que e ¸˜ ´interessante e o facto de podermos usar a nocao de campo de direccoes para tracar ´ ¸˜ ¸˜ ¸um esboco da solucao duma equacao diferencial no plano-xy sem chegar a calcular ¸ ¸˜ ¸˜essa mesma solucao. Se achar muito dif´cil resolva este mesmo problema para a ¸˜ ıequacao diferencial do exerc´cio seguinte. ¸˜ ıExemplo 1.25 Retomemos o PVI do Exemplo 1.2 y′ = 2xy (1.32) y(0) = 1.Temos que y′ (x) > 0 se xy > 0 (i.e. quadrantes I e III) y′ (x) < 0 se xy < 0 (i.e. quadrantes II e IV).Para tracar o campo de direccoes, comecamos por determinar onde o coeficiente ¸ ¸˜ ¸angular e constante: ´ y′ = c, c ∈ R. (1.33)Obtemos desta forma a fam´lia de curvas 2xy = c, onde c e uma constante, a que ı ´chamamos isoclinas.
  43. 43. ¸˜1.5. CAMPO DE DIRECCOES 33Para o Exemplo ch1-1.5-ex25, calculamos de seguida as isoclinas: c = 0 ⇔ x = 0∨y = 0 1 c = 1 ⇔ 2xy = 1 ⇔ y = 2x 1 c = 2 ⇔ 2xy = 2 ⇔ y = x 1 c = −1 ⇔ 2xy = 1 ⇔ y = − 2x 1 c = −2 ⇔ 2xy = 2 ⇔ y = − xA Figura 1.5 mostra o campo de direccoes para esta equacao diferencial. ¸˜ ¸˜ 2 y(x) 1 0 -2 -1 0 1 2 x -1 -2 Figura 1.5: Campo de direccoes para a equacao diferencial (1.32). ¸˜ ¸˜Para a solucao particular em causa, escolhemos a curva que passa no ponto (0, 1). ¸˜Temos ent˜ o: a ¸˜Observacao 5 e aconselh´ vel esbocar sempre um n´ mero razo´ vel de curvas, de ´ a ¸ u aforma a podemos ilustrar convenientemente o comportamento de todas as solucoes ¸˜da equacao diferencial. ¸˜Exemplo 1.26 Debrucemo-nos agora sobre o campo de direccoes da equacao ¸˜ ¸˜ dPlog´stica do Exemplo 1.7, ı = P (β − δ P) , onde β e δ s˜ o constantes positivas. a dt ¸˜Resolucao: No Exemplo 1.7 determinamos a soluc˜o desta equac˜o ¸a ¸a

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