Решение задач на собственные значения

Методы вычислений
Вычисление собственных значений матрицы

Кафедра теоретической механики
yudintsev@termech.ru

Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)

14 апреля 2012 г.

Задача на собственные значения и векторы [1], [2]

Для известной матрицы A найти вектор x и число λ такие, что

Ax = λx (1)

или
(A − λE)x = 0 (2)

λ – собственное число матрицы A
x – собственный вектор матрицы A
(A − λE) – характеристическая матрица
Определитель ||A − λE|| – характеристический (вековой)
определитель матрицы A

Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 2 / 36

Характеристическое уравнение

 
a11 − λ a12 ... a1n
 a21
 a22 − λ ... a2n  =0
 ... ... ... ... 
an1 an2 . . . ann − λ
или
λn − p1 λn−1 − p2 λn−2 − p3 λn−3 − . . . − pn−1 λ − pn = 0
Коэффициенты полинома характеристического уравнения:
n
p1 = i=1 aii = trA (след матрицы A).
pk равен сумме всех диагональных миноров k-го порядка.
pn равен определителю матрицы A.


Свойства собственных значений

Собственные значения матрицы A равны собственным значениям
транспонированной матрицы AT .
Собственные значения треугольной матрицы совпадают с её
диагональными элементами.
Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические
полиномы.
Матрица B называется подобной матрице A, если существует
такая неособенная матрица C, что:

B = C−1 AC


Собственные значения и собственные векторы матрицы

Частичная проблема собственных значений
Определение одного или нескольких собственных чисел: поиск
максимального или минимального собственного числа

Полная проблема собственных значений
Определение всех собственных чисел матрицы


Задачи механики, приводящие к проблеме собственных
значений

Исследование устойчивости механических систем.
Определение собственных частот и форм механической системы.
Определение главных центральных осей и главных моментов
инерции твердого тела .


Методы решения

Прямые методы
Решение характеристического (векового) уравнения исходной или
подобной матрицы

λn − p1 λn−1 − p2 λn−2 − p3 λn−3 − . . . − pn−1 λ − pn = 0

Метод Крылова, метод Данилевского, ...
Итерационные методы
Собственные значения и собственные векторы определяются как
пределы некоторых последовательностей с заданной точностью.

Метод вращений (метод Якоби), степенной метод, ...


Степенной метод

Степенной итерационный метод

Дана матрица A с действительными положительными
коэффициентами (положительная матрица).
Для положительной матрицы справедлива теорема Перрона:
положительная квадратная матрица A имеет положительное
собственное значение λ1 ;
λ1 имеет алгебраическую кратность 1;
λ1 строго превосходит абсолютную величину любого другого
собственного значения этой матрицы.



Степенной итерационный метод

Обозначим собственные числа матрицы A

λ1 , λ2 , λ3 , . . . λn

|λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > . . . > |λn |
Собственные векторы

x1 , x2 , x 3 , . . . xn

Найти максимальное по модулю собственное число λ1 и
соответствующий собственный вектор x1



Алгоритм

Выбираем произвольный вектор y0
Строим последовательность

yk = Ayk−1 , k = 1, 2 . . .

На каждой итерации вычисляем отношение
(i)
(k) yk
λ1 = (i)
,
yk−1

где i – номер любой компоненты вектора yk .



Алгоритм
Доказательство

Разложение вектора y0 по собственным векторам (в базисе
собственных векторов)
n
y0 = cj xj
j=1

n n
Ay0 = cj Axj = cj λj xj
j=1 j=1

разложение собственных векторов в базисе единичных векторов
e1 , e2 , . . . en
n
xj = xji ei
i=1



Алгоритм

n n n n n
yk = A k y0 = cj λk xj =
j cj λk
j xji ei = cj xji λk ei
j
j=1 j=1 i=1 i=1 j=1

Тогда i-я компонента вектора yk определяется следующим образом
n
(i)
yk = cj xji λk
j
j=1

i-я компонента вектора yk+1 :
n
(i)
yk+1 = cj xji λk+1
j
j=1



Алгоритм

Рассмотрим отношение
(i)
yk+1 c1 x1i λk+1 + c2 x2i λk+1 + . . . + cn xni λk+1
1 2 n
(i)
= k + c x λk + . . . + c x λk
yk c1 x1i λ1 2 2i 2 n ni n

Учитывая, что |λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > . . . > |λn |
k+1 k+1
(i) c2 x2i λ2 cn xni λn
yk+1 1+ c1 x1i λ1 + ... + c1 x1i λ1
(i)
= λ1 k k
→ λ1 при k → ∞
yk 1+ c2 x2i λ2
+ ... + cn xni λn
c1 x1i λ1 c1 x1i λ1



Алгоритм
Определение собственного вектора, соответствующего λ1

Для k-го шага итерации
n n
yk = A k y0 = cj λk xj = c1 λk x1 +
j 1 cj λk xj =
j
j=1 j=2
 
n k
cj λj
c1 λk x1 +
1 xj  (3)
c1 λ1
j=2

Для больших k
yk ≈ c1 λk x1
1

Т.к. собственный вектор определяется с точностью до множителя,
поэтому
x1 ≈ y k


Метод скалярных произведений


Модификация степенного метода.
Метод скалярных произведений сходится в 2 раза быстрее, чем
степенной метод
Формируются две последовательности

yk = Ayk−1 , и yk = AT yk−1 , k = 1, 2, 3, . . . y0 = y0

Наибольшее по модулю собственное число определяется как
следующее отношение скалярных произведений
2k
λ2 yk · y k A k y0 · A T k y0
λ1 + O = = k−1
λ1 yk−1 · yk A y0 · AT k y0




Приближенное значение второго собственного числа
(i) (i)
yk − λ1 yk−1
λ2 ≈ (i) (i)
yk−1 − λ1 yk−2


Метод обратных итераций

Определение |λ|min
Метод обратных итераций

Пусть
|λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > . . . > |λn |
Тогда для собственных чисел обратной матрицы A−1
1 1 1 1
| |>| |>| | > ... > | |
λn λn−1 λn−2 λ1
Формируют итерационную последовательность
yk = A−1 yk−1
Вычисляют соотношения
(i) (i)
1/λ(k) = yk /yk−1 ,
n

Чтобы не вычислять обратную матрицу A−1 , yk определяют,
решая СЛАУ
Ayk = yk−1

Методы исчерпывания


Пусть найдено первой собственное число и соответствующий
собственный вектор
(1) (2) (3) (n)
λ1 , x1 = (x1 , x1 , x1 , . . . x1 )

Как найти вторую пару: λ2 , x2 ?



Алгоритм

Алгоритм основан на преобразовании подобия матриц
Матрица B подобна матрице A если существует такая неособая
матрица H, что
B = HAH−1
тогда если
Ax = λx
то
HAH−1 (Hx) = λHx ⇒ By = λy



Алгоритм

Сформируем матрицу H из компонент 1-го собственного вектора
1
0 0 ... 0
 
(1)
 (1)  x1
x1 
− x1
(2) 
 (2)   x(1) 1 0 . . . 0
 x1 

 1 
 (3)   x(3) 
x1 =  x 1  , H1 =  − 1
 x(1) 0 1 . . . 0 (4)
 . 
  
 1
 .   . . . .

.  . . . . 0
(n)
. . . . 
x1  (n)
x1

− (1) 0 0 ... 1
x1

Произведение матрицы H1 и собственного вектора x1 :

H1 x1 = e1 = (1, 0, 0, 0, . . . , 0)



Метод исчерпывания
Алгоритм

Умножив левую и правую часть Ax1 = λ1 x1 на H1

Ax1 = λ1 x1 или H1 AH−1 (H1 x1 ) = λ1 (H1 x1 )
1

Т.к. H1 x1 = e1
H1 AH−1 e1 = λ1 e1
1

и
λ 1 b1
A2 = H1 A1 H−1 =
1 0 B2
Матрица B размерности n − 1 подобна матрице A и имеет
собственные числа
λ2 , λ3 , . . . λn


Метод Якоби

Метод Якоби (метод вращений)

Найти все собственные значения симметричной матрицы A

Ax = λx

Метод Якоби основан на преобразовании подобия симметричной
матрицы A
Λ = QT AQ
Q – ортогональная матрица: Q−1 = QT
Λ – диагональная матрица, составленная из собственных чисел
Столбцы матрицы Q являются собственными векторами матрицы
A
AQ = ΛQ




Суть метода вращений заключается в построении
последовательности R1 , R2 , . . ., уменьшающей внедиагональные
элементы матрицы A

(R1 R2 R3 . . .)T · A · (R1 R2 R3 . . .) → Λ

Эта последовательность преобразований матрицы A приводит её
к диагональной матрице, у которой на главной диагонали стоят
собственные числа.
Точность решения характеризуется суммой квадратов
внедиагональных элементов

σ(A) = |aij |2
i=j



Диагонализация тензора инерции

Тензор инерции твердого тела в базисе xyz
недиагональный
 
Jx −Jxy −Jxz
J = −Jxy Jy −Jyz 
−Jxz −Jyz Jz
Тензор инерции твердого тела в главном
базисе x y z диагональный
 
Jx 0 0
J =  0 Jy 0 
0 0 Jz

Базис xyz можно совместить с x y z тремя
последовательными поворотами вокруг осей
x, y и z.



Матрицы вращений

Пусть на k-ой итерации матрица A(k) имеет максимальный по модулю
внедиагональный элемент ak (i < j)
ij

 
a11 a12 ... ... a1,n−1 ann
 a21 a22 ... ... a2,n−1 a2n 
 
... ... ... ... ... ...
A(k) = a
 i1 ai2 ... aij ...

ain 
 
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... ... an,n−1 ann

Необходимо найти такую ортогональную матрицу R(k) , чтобы в
результате преобразования подобия произошло обнуление элемента ak .
ij




Построим матрицу вращения, отличающейся от единичной матрицы
элементами aii = ajj = cos ϕ, aij = − sin ϕ, aji = sin ϕ
 
1 0 ... 0 ... 0 ... 0
0 1 ... 0 ... 0 ... 0
. . . . . . .
 
. . . . . . .
. . . . ... . . .
0
 0 ... cos ϕ(k) ... − sin ϕ(k) ... 0
(k) (k)
0 ... 0 0 ... 0 ... 0
Rij (ϕ ) =  .
. . . . . . . .

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.

0 ... 0 0 ... 0 ... 0
 
0
 ... 0 sin ϕ(k) ... cos ϕ(k) ... 0
0 ... 0 0 ... 0 ... 0
0 ... 0 0 ... 0 ... 1




Рассмотрим результат произведения
(k)T (k)
A(k+1) = Rij A(k) Rij
(k)
Элементы матрицы B(k) = A(k) Rij отличаются от элементов
матрицы A(k) только в i и j столбцах
(k) (k) (k)
bνi = aνi cos ϕ(k) + aνj cos ϕ(k) ,
(k) (k) (k)
bνj = −aνi sin ϕ(k) + aνj cos ϕ(k) ,
(k)T
Элементы матрицы A(k+1) = Rij B(k) отличаются от элементов
матрицы B(k) только в i и j строках
(k+1) (k) (k)
aνi = bνi cos ϕ(k) + bνj sin ϕ(k) ,
(k+1) (k) (k)
aνj = −bνi sin ϕ(k) + bνj cos ϕ(k) ,



(k) (k)
Учитывая, что aij = aji

(k+1) (k) (k)
aij = bij cos ϕ(k) + bjj sin ϕ(k) =
(k)
= (−aii sin ϕ(k) + aij cos ϕ(k) ) cos ϕ(k) +
(k) (k)
+ (−aji sin ϕ(k) + ajj cos ϕ(k) ) sin ϕ(k) =
(k) 1 (k) (k)
= aij cos 2ϕ(k) + (ajj − aii ) sin 2ϕ(k) (5)
2
ϕ(k) выбирается из условия

(k)
(k+1) (k)
2aij
aij = 0 → tg2ϕ = (k) (k)
aii − ajj



Оценка погрешности

(k) 1 (k) (k) (k)
σ(Ak+1 ) = σ(A(k) )−2(aij )2 + (ajj −aii ) sin 2ϕ(k) +2aij cos 2ϕ(k) )2 =
2
(k) 1 (k) (k)
= σ(A(k) ) − 2(aij )2 + (2aij ) = σ(A(k) ) − 2(aij )2
2
(k)
Т.к. aij – максимальный по модулю элемент, то

(k) (k) σ(A(k) )
σ(A(k) ) ≤ n(n − 1)(aij )2 → (aij )2 ≥
n(n − 1)




(k) σ(A(k) )
Поскольку (aij )2 ≥ n(n−1)

(k) 2σ(A(k) )
σ(A(k+1) ) = σ(A(k) ) − 2(aij )2 ≤ σ(A(k) ) − = qσ(A(k) )
n(n − 1)
где
2
q =1− , 0 ≤ q < 1, n ≥ 2
n(n − 1)
σ(A(k+1) ) ≤ qσ(A(k) ) ≤ . . . ≤ q (k+1) (A(0) ) →

σ(A(k) ) = q k σ(A(0) )

при k → ∞, σ(A(k) ) → 0



Пример. Итерация 0 [3]

Найти собственные значения матрицы
 
4 2 1
A = 2 5 3
1 3 6

с точностью σ(A) < ε = 0.3
a23 = 3, i = 2, j = 3 → ϕ(0) = arctan[2aij /(aii − ajj )] = −0.7033
Матрица вращения
   
1 0 0 1 0 0
R(0) = 0 cos ϕ(0) − sin ϕ(0)  = 0 0.76 0.65
0 sin ϕ(0) cos ϕ(0) 0 −0.65 0.76



Пример. Итерация 1

 
4 0.87 2.06
A(1) = R(0)T AR(0) = 0.87 2.46 −0.03
2.06 −0.03 8.54

σ(A(1) ) = 0.872 + 2.062 + 0.032 > ε

a13 = 2.06, i = 1, j = 3 → ϕ(1) = arctan[2aij /(aii − ajj )] = −0.3693

cos ϕ(1) 0 − sin ϕ(1)
   
0.933 0 0.361
(1)
R = 0 1 0 = 0 1 0 
sin ϕ(1) 0 cos ϕ (1) −0.361 0 0.933




 
3.19 0.819 0.005
A(2) = R(1)T A(1) R(1) = 0.819 2.46 0.28 
0.005 0.28 9.38

σ(A(2) ) = 0.8192 + 0.282 + 0.0052 > ε

a12 = 0.819, i = 1, j = 2 → ϕ(2) = arctan[2aij /(aii − ajj )] = 0.5758

cos ϕ(2) − sin ϕ(2) 0
   
0.8388 −0.5445 0
R(2) =  sin ϕ(2) cos ϕ(2) 0 = 0.5445 0.8388 0
0 0 1 0 0 1




 
3.706 0.0003 0.1565
A(3) = R(2)T A(2) R(2) = 0.0003 1.929 0.232 
0.1565 0.232 9.38
√
σ(A(3) ) = 0.00032 + 0.15652 + 0.2322 = 0.07839 < ε

Собственные числа

λ1 ≈ 3.706, λ2 ≈ 1.929, λ3 ≈ 9.38



Задание 7

Построить программу определения собственных чисел и
собственных векторов симметричной матрицы, используя метод
Якоби.
Проверить работу программы, определив собственные числа
матрицы
 
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.5000 1.0000 0.6667 0.5000 0.4000
 
A = 0.3333 0.6667 1.0000 0.7500 0.6000
 
0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 0.8000
0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

λ = (0.1560, 0.2728, 0.5010, 1.0035, 3.0666)


Источники

Список использованных источников

Соллогуб А. В. Козлов Д. И.
Применение ЭВМ в задачах проектирования летательных
аппаратов.
Куйбышевский авиационный институт, 1971.
Клунникова М. М. Распопов В. Е.
Лекции по курсу «Численные методы».
Сибирский федеральный университет, 2007.
Ревизников Д. Л. Формалёв В. Ф.
Численные методы.
Физматлит, 2004.


Решение задач на собственные значения

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Решение задач на собственные значения

Similar to Решение задач на собственные значения (20)

More from Theoretical mechanics department

More from Theoretical mechanics department (20)

Решение задач на собственные значения