SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 34
Системы со сферическими шарнирами
        (Прямой метод Й. Виттенбурга)


       Кафедра теоретической механики
                yudintsev@termech.ru

 Самарский государственный аэрокосмический университет
             им. академика С. П. Королёва
     (национальный исследовательский университет)




                 23 марта 2012 г.
Свойства метода


Метод Й. Виттенбурга




   Й. Виттенбург Динамика систем твердых тел. М.: Мир,
   1980.
   Для записи уравнений используются шарнирные координаты.
   В уравнения движения не входят реакции связей.
   Формируется матрица масс системы.




  Кафедра ТМ (СГАУ)   Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   2 / 34
Структура механической системы      Теория графов


Определения
Граф
Граф G(S, U ) – это совокупность двух множеств - не пустого
множества S (множества вершин) и множества U неупорядоченных
пар различных элементов множества S (множество ребер или дуг).

                                              s4                      s7

                       s2                    u4
                                                                     u6
                       u2                          s3       u5
                                                                      s6
                            s1               u3
                                      u1
                                              s0

   Кафедра ТМ (СГАУ)             Системы со сферическими шарнирами         23 марта 2012 г.   3 / 34
Структура механической системы   Теория графов


Определения



Инцидентность
Пусть s1 , s2 - вершины, u = (s1 , s2 ) - соединяющее их ребро. Тогда
вершина s1 и ребро u инцидентные, вершина s2 и ребро u также
инцидентные.

Смежность вершин и дуг
Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две
вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.




   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   4 / 34
Структура механической системы   Теория графов


Определения

Ориентированный граф
Граф с ориентированными дугами (указано направление дуг).

Маршрут
Чередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой любые
два соседних элемента инцидентные.

Цепь
Маршрут у которого все ребра различны.

Простая цепь
Маршрут у которого все вершины (следовательно и ребра) различны


   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   5 / 34
Структура механической системы   Теория графов


Определения
Связанность вершин
Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их
простая цепь.

Связанный граф
Граф, в котором все вершины связаны

Цикл
Замкнутая цепь Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Ациклический граф
Граф без циклов называется ациклическим.

Дерево
Связанный ациклический граф.
   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   6 / 34
Структура механической системы      Описание структуры


Структура механической системы

   Вершины: s0 , s1 , . . . , sn – тела;
   Дуги: u1 , u2 , . . . , um – шарниры;

                                             s4                        s7

                      s2                    u4
                                                                    u6
                      u2                          s3       u5
                                                                       s6
                           s1               u3
                                     u1
                                             s0



  Кафедра ТМ (СГАУ)             Системы со сферическими шарнирами           23 марта 2012 г.   7 / 34
Структура механической системы    Описание структуры


Функции i+ (α), i− (α)


i+ (α) – индекс тела из которого дуга α выходит
i− (α) – индекс тела в которое дуга α входит
                                                             s4                    s7

                                        s2                   u4
  i+ (1) = 0,     i+ (2) = 1                                                    u6
  i− (1) = 1,     i− (2) = 2
                                       u2                         s3   u5
  i+ (3) = 0,     i+ (4) = 3
                                                                                   s6
  i− (3) = 3,     i− (4) = 4
                                             s1              u3
  ...                                                u1
                                                             s0



   Кафедра ТМ (СГАУ)          Системы со сферическими шарнирами        23 марта 2012 г.   8 / 34
Структура механической системы   Описание структуры


Матрица инцидентности S



         +1 : k = i+ (α)                                                        s4
        

Skα   =   −1 : k = i− (α)
           0 : k = i− (α), k = i+ (α)                          s2             u4
        

        S0 = +1 0            0 0                              u2                 s3
                                                                       u3
           −1 1            1  0
          0 −1            0  0                                    s1
       S=                                                              u1
         0    0           −1 1 
            0  0           0 −1                                                  s0




      Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами        23 марта 2012 г.   9 / 34
Структура механической системы   Описание структуры


Предшествующая дуга и вершина



Предшествующая дуга
Дуга, предшествующая вершине sk (k = 0) – дуга, принадлежащая
пути между s0 и sk и которая инцидентна sk .

Предшествующая вершина
Вершина, предшествующая вершине sk (k = 0) – вершина, которая
связана с sk дугой, предшествующей sk .




   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами       23 марта 2012 г.   10 / 34
Структура механической системы   Описание структуры


Матрица T

              
               +1 : α ∈ пути от si к s0 и направлена к s0
      Tαk   =   −1 : α ∈ пути от si к s0 и направлена от s0
                 0 : α не лежит на пути от si к s0
              


                                                     s2
    
     −1 −1 −1 −1
                                                                                           s4
     0 −1 0  0                                    u2                      s3    u4
  T=                                                              u3
    0   0 −1 −1
      0  0  0 −1                                          s1
                                                                    u1
                                                                            s0


  Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами            23 марта 2012 г.        11 / 34
Структура механической системы   Описание структуры


Свойства матриц S, T



                                        ST = E
                                     TT ST = −1n
                                         0



Правильная нумерация графа со структурой дерева
    для всех вершин sk (k = 0) номер дуги,
    предшествующей sk , равен k;
    номер вершины, предшествующей sk , меньше k.




   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами       23 марта 2012 г.   12 / 34
Уравнения движения


Уравнения движения центра масс




                                  n
                  mi ¨i = Fi +
                     r                 Sia Xc ,
                                            a     i = 1, . . . , n,
                                 a=1

  Кафедра ТМ (СГАУ)     Системы со сферическими шарнирами         23 марта 2012 г.   13 / 34
Уравнения движения


Уравнения движения вокруг центра масс




                        n
           ˙
           Li = Mi +         Sia (cia × Xc + Ya ),          i = 1, . . . , n,
                                         a
                       a=1

  Кафедра ТМ (СГАУ)     Системы со сферическими шарнирами           23 марта 2012 г.   14 / 34
Уравнения движения


Матричная форма

                                  n
              mi ¨i = Fi +
              r                        Sia Xc ,    i = 1, . . . , n
             
             
                                            a
                                 a=1
                                 n                                                               (1)
             
             ˙
              Li = Mi +
             
                                      Sia (cia ×   Xc
                                                     a   + Ya ),       i = 1, . . . , n.
                                a=1


r = [r1 , r2 , . . . rn ]T , L = [L1 , L2 , . . . Ln ]T , F = [F1 , F2 , . . . Fn ]T ,
Xc = [Xc , Xc , . . . Xc ]T , Y = [Y1 , Y2 , . . . Yn ]T , M = [M1 , M2 , . . . Mn ]T
       1    2          n


                                 m¨ = F + SXc ,
                                   r
                                 ˙
                                 L = M + C × Xc + SY

C – (n × n) матрица с элементами: Cia = Sia cia , i, a = 1, . . . , n.

    Кафедра ТМ (СГАУ)           Системы со сферическими шарнирами            23 марта 2012 г.   15 / 34
Уравнения движения




                           m¨ = F + SXc ,
                             r
                           ˙
                           L = M + C × Xc + SY

Умножив 1 уравнение слева на T = S−1 , можно выразить силы
реакции Xc
                        Xc = T(m¨ − F).
                                  x
и исключить их из второго уравнения:

                       ˙
                       L − CT × (m¨ − F) = M + SY
                                  r




   Кафедра ТМ (СГАУ)      Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   16 / 34
Кинематика относительного движения


Кинематика относительного движения тел

                        ˙
                        L − CT × (m¨ − F) = M + SY
                                   r

       r   ˙                      ˙
Между ¨i и ω i , которые входят в L, есть связь, определяемая
кинематикой относительного движения тел в системе.




                       n                        n
         ri = r0 −           dji ,   dji =          Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n.
                       j=1                   a=1

   Кафедра ТМ (СГАУ)           Системы со сферическими шарнирами          23 марта 2012 г.   17 / 34
Кинематика относительного движения




         (ri+ (a) + ci+ (a)a ) − (ri− (a) + ci− (a)a ) = 0, a = 1, . . . , n.             (2)
Полагаем, что c0a = 0 для всех a = 1, . . . , n
                        n
                             Sia (ri + cia ) = 0, a = 1, . . . , n.                       (3)
                       i=0

   Кафедра ТМ (СГАУ)          Системы со сферическими шарнирами       23 марта 2012 г.   18 / 34
Кинематика относительного движения




                             n
                S0a r0 +          (Sia ri + Cia ) = 0, a = 1, . . . , n,                    (4)
                            i=1

Матричная форма
                             r0 ST + ST r + CT 1n = 0.
                                 0                                                          (5)
Умножив (5) слева на TT :

                                 r = r0 1n − (CT)T 1n .                                     (6)

dij – элементы матрицы CT:

                                       n
               dij = (CT)ij =               Taj Sia cia , i, j = 1, . . . , n .             (7)
                                      a=1




   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами          23 марта 2012 г.   19 / 34
Кинематика относительного движения




                                  n
                         dji =         Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n.                       (8)
                                 a=1

Произведения Tai Sja отличны от нуля только для тех дуг ua , которые
принадлежат пути между s0 и si (Tai = 0) и которые инцидентны sj
(sja = 0). Необходимо различать три случая:
 1    sj не лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае ни одна из
      дуг не вносит вклад в сумму (8) и, следовательно, dij = 0;
 2    sj лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае вклад в сумму
      (8) вносят две дуги, обозначим их индексами b и c, и
      следовательно dij = cjb − cjc , поскольку Tbi Sjb = +1, Ti Sj = −1,
      где b - индекс дуги ub , предшествующей вершине si ;
 3    sj и si - одно тело, в этом случае только дуга ub , предшествующая
      si , дает вклад в сумму и, следовательно, dij = cib .


     Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами            23 марта 2012 г.   20 / 34
Кинематика относительного движения




Подставим в уравнение движения

                        ˙
                        L − CT × (m¨ − F) = M + SY
                                   r

вторую производную по времени от r:
                                               ¨
                                  ¨ = ¨0 1n − (CT)T 1n .
                                  r r
      ˙          ¨
      L − CT × m(CT)T 1n − (CT) × (¨0 m1n − F) = M + SY.
                                   r                                                     (9)
                                ¨
gij – элементы матрицы (CT) × m(CT)T :
                              n
                    gij =                   ¨
                                   mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n.                  (10)
                            k=1




   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами       23 марта 2012 г.   21 / 34
Кинематика относительного движения


                              n
                    gij =                  ¨
                                  mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n.                  (11)
                            k=1
Будем различать случаи:
  1 i = j;

  2 s лежит на пути от тела j к телу 0 ⇒ для
     i
    ∀sk : si < sk < sj , dik = dij ;
  3 s лежит на пути от тела i к телу 0 ⇒ для
     j
    ∀sk : sj < sk < si , djk = dji ;
  4 все прочие случаи.

Выражение для gij можно переписать в следующем виде:
                   
                    n mk dik × dik , si = sj
                    k=1             ¨
                   
                   d × n m d , s < s
                                    ¨
                       ij     k=1 k jk       i    j
             gij =      n                                                              (12)
                    k=1 mk dik × d
                                    ¨ ji , sj < si
                   
                   
                   0                       в других случаях.

   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами      23 марта 2012 г.   22 / 34
Дополненное тело. Барицентр.


Дополненное тело




  Кафедра ТМ (СГАУ)        Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   23 / 34
Дополненное тело. Барицентр.


Барицентр


                                              Барицентр тела i – центр масс
                                              дополненного тела Bi
                                              Векторы bij удовлетворяют
                                              уравнениям
                                                 n
                                                      bij mj = 0, i = 1, . . . , n. (13)
                                                j=1

                                              Векторы bij и dij связаны
                                              соотношением

                                               dij = bi0 −bij , i, j = 1, . . . , n. (14)



  Кафедра ТМ (СГАУ)        Системы со сферическими шарнирами       23 марта 2012 г.   24 / 34
Дополненное тело. Барицентр.


Используя
                 dij = bi0 − bij , i, j = 1, . . . , n.
                              
        n mk dik × dik ,
        k=1          ¨         n mk dik × dik , si = sj
                                k=1                    ¨
                              
       d × n m d ,
                     ¨                     ¨ j0 i
                               M d × b , s < s
         ij   k=1 k jk                  ij                j
 gij =     n                →                                                                 (15)
                     ¨
        k=1 mk dik × dji ,                  ¨
                               M bi0 × dji , sj < si
                               
       
                              
                               
       0.                     0, в других случаях.

Подставив выражения (15) в уравнение (9), получим следующую
систему уравнений:
                                                                                        
        n
 ˙
 Li +                  ¨
              mk dik × dik + M                             ¨
                                                      dij × bj0 + bi0 ×               ¨
                                                                                      dji  −
        j=1                                j:si <sj                        j:si <sj
               n                                            n
         −          dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi +
                              r                                  Sia Ya , i = 1, . . . , n, (16)
              j=1                                          a=1


   Кафедра ТМ (СГАУ)            Системы со сферическими шарнирами          23 марта 2012 г.     25 / 34
Тензор инерции дополненного тела




                                                                   i
                                            dm
                                                 ρ
                                                         Ci
                                 ρ′       d ii
                                                     d ik
                             a
                  0                                                         k
                                 П                   а
                                     а       а       а        аi


Момент количества движения тела i относительно шарнирной точки a:

                       Li =              ρ × ρ dm,
                                             ˙                ρ = ρ − dii
                                 m




   Кафедра ТМ (СГАУ)        Системы со сферическими шарнирами               23 марта 2012 г.   26 / 34
Тензор инерции дополненного тела



                                                                   i
                                            dm
                                                 ρ
                                                         Ci
                                 ρ′       d ii
                                                     d ik
                             a
                  0                                                    k
                                 П                   а
                                     а       а       а        аi


Производная Li :
                       dLi
                           =               ρ            ρ ¨
                                          (ρ − dii ) × (¨ − dii )dm,
                        dt           mi

Учитывая, что     m ρdm     = 0:
                              dLi   ˙             ¨
                                  = Li + mi dii × dii .                                   (17)
                               dt
   Кафедра ТМ (СГАУ)        Системы со сферическими шарнирами          23 марта 2012 г.   27 / 34
Тензор инерции дополненного тела



Если выражению
                               dLi    ˙              ¨
                                    = Li + mi dii × dii .
                                dt
                          n            ¨
добавить сумму            k=1 mk dik × dik , то получатся два первых члена в
уравнении
                                                                                           
         n
  ˙
  Li +                  ¨
               mk dik × dik + M                            ¨
                                                      dij × bj0 + bi0 ×               ¨
                                                                                      dji  −
         j=1                               j:si <sj                        j:si <sj
                     n                                        n
                −         dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi +
                                    r                              Sia Ya , i = 1, . . . , n,
                    j=1                                      a=1

Таким образом, первые два члена этого уравнения представляют собой
абсолютную производную по времени от момента количества
абсолютного движения дополненного тела i относительно его
предшествующей шарнирной точки.

   Кафедра ТМ (СГАУ)          Системы со сферическими шарнирами          23 марта 2012 г.       28 / 34
Тензор инерции дополненного тела




Пусть Ki - тензор инерции дополненного тела i по отношению к его
предшествующей шарнирной точке.
Связь между Ki и центральным тензором инерции исходного тела Ji :
                              n
             Ki = Ji +             mk (d2 E − dik dik ), i = 1, . . . , n.
                                        ik                                             (18)
                             k=1

Два первых члена уравнения движения можно выразить, используя
угловую скорость вращения тела ω i :

                         n
                ˙
                Li +                  ¨
                             mk dik × dik = Kiω i + ω i × Kiω i .
                                              ˙                                        (19)
                       j=1




   Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами      23 марта 2012 г.   29 / 34
Уравнения движения




В выражении
                                   n
                                        dij × (mj ¨0 − Fj )
                                                  r
                                  j=1

множитель dij отличен от нуля только для тех значений j, которые
удовлетворяют соотношению si ≤ sj . Учитывая это, преобразуем
уравнения движения к виду
                                                                                          

 Kiω i + ω i × Kiω i + M 
   ˙                                                ¨
                                              dij × bj0 + bi0 × (−¨0 +
                                                                  r                    ¨
                                                                                       dji ) +
                                   j:si <sj                                 j:sj <si
                                                        n
                  +               dij × Fj = Mi +            Sia Ya , i = 1, . . . , n. (20)
                       j:si <sj                        a=1




   Кафедра ТМ (СГАУ)          Системы со сферическими шарнирами        23 марта 2012 г.    30 / 34
Уравнения движения

Вторые производные bj0 и dji :
                   ¨
                  bj0 = ω j × bj0 + ω j × (ω j × bj0 ),
                         ˙                  ω                                                       (21)
          ¨ ji = ω j × dji + ω j × (ω j × dji ), i, j = 1, . . . , n.
          d      ˙                  ω                                                               (22)
                                                                                       
    ˙
  Kiω i + M                 dij × (ω j × bj0 ) + bi0 ×
                                    ˙                                         ω j × dji  =
                                                                              ˙
                  j:si <sj                                         j:sj <si
                                                               n
                                       = Mi + Mi +                 Sia Ya , i = 1, . . . , n. (23)
                                                          a=1
где
                                   

  Mi = −ω i × Kiω i − M 
        ω                                       dij × (ω j × (ω j × bj0 )) − bi0 × ¨0 +
                                                       ω      ω                    r
                                     j:si <sj
                                                

      +bi0 ×              ω j × (ω j × dji ) −
                                 ω                             dij × Fj , i = 1, . . . , n. (24)
               j:sj <si                             j:si ≤sj

      Кафедра ТМ (СГАУ)         Системы со сферическими шарнирами                23 марта 2012 г.   31 / 34
Уравнения движения

Двойные векторные произведения выражаются через матричные
произведения следующим образом:

                 dij × (ω j × bj0 ) = (bj0 · dij E − bj0 dij ) · ω j .
                        ˙                                        ˙

Рассмотрим тензоры:
              
              Ki ,
                                                       i = j,
              
              
              M (b · d E − b d ),                      si < sj ,
                    j0   ij      j0 ij
        Kij =                                                                            (25)
              M (dji · bi0 E − dji bi0 ),
                                                       sj < si ,
              
              
              0,                                       в других случаях.

При помощи тензоров Kij уравнение движения можно записать в
следующем виде:
             n                                  n
                  Kij · ω j = Mi + Mi +
                        ˙                            Sia Ya , i = 1, . . . , n.          (26)
            j=1                                a=1


   Кафедра ТМ (СГАУ)        Системы со сферическими шарнирами         23 марта 2012 г.   32 / 34
Уравнения движения


Уравнения движения
Система со сферическими шарнирами


                     n                                 n
                             ˙
                         Kij ω j = Mi + Mi +                Sia Ya , i = 1, . . . , n               (27)
                  j=1                                 a=1

где                  
                     Ki ,
                                                 i = j,
                     
                     M (b · d E − b d ), s < s ,
                           j0   ij      j0 ij      i     j
               Kij =                                                                                (28)
                     M (dji · bi0 E − dji bi0 ), sj < si ,
                     
                     
                       0,                         в других случаях.
                     

                                     

  Mi = −ω i × Ki · ω i − M 
        ω                                         dij × (ω j × (ω j × bj0 ))+
                                                         ω      ω
                                       j:si <sj
                                                       

        +bi0 ×                ω j × (ω j × dji ) − ¨0  −
                                      ω             r                       dij × Fj , i = 1, . . . n.
                    j:sj <si                                     j:si ≤sj

      Кафедра ТМ (СГАУ)            Системы со сферическими шарнирами             23 марта 2012 г.   33 / 34
Уравнения движения


О координатной форме уравнений

   Выполнение операций необходимо проводить над координатными
   столбцами в одной системе координат.
   Необходимо использовать матрицы ортогональных
   преобразований:
   A(0i) – матрица преобразования координат из базиса i в базис 0
   A(ij) – матрица преобразования координат из базиса j в базис i
   Тензоры Kij в базисе 0 могут быть определены следующим
   образом

             
             A(0i) Ki ,
                                                             i = j,
             
             M (A(ij) b · d E − A(0j) b A(0i) d ),
             
                                                              si < sj ,
     (0)                 j0   ij            j0         ij
   Kij     =
             M (A(ij) dji · bi0 E − A(0j) dji A(0i) bi0 ),
                                                             sj < si ,
             
             
             0,                                              в других случаях.

  Кафедра ТМ (СГАУ)       Системы со сферическими шарнирами   23 марта 2012 г.   34 / 34

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (8)

Углы Эйлера
Углы ЭйлераУглы Эйлера
Углы Эйлера
 
слайды клекции №1
слайды клекции №1слайды клекции №1
слайды клекции №1
 
презентация лекции №17
презентация лекции №17презентация лекции №17
презентация лекции №17
 
Метод отдельных тел
Метод отдельных телМетод отдельных тел
Метод отдельных тел
 
20100926 ontology konev_lecture05
20100926 ontology konev_lecture0520100926 ontology konev_lecture05
20100926 ontology konev_lecture05
 
572
572572
572
 
Những sai lầm trong Điện động lực học đương đại
Những sai lầm trong Điện động lực học đương đạiNhững sai lầm trong Điện động lực học đương đại
Những sai lầm trong Điện động lực học đương đại
 
Lection01
Lection01Lection01
Lection01
 

Mais de Theoretical mechanics department

Python. Объектно-ориентированное программирование
Python. Объектно-ориентированное программирование Python. Объектно-ориентированное программирование
Python. Объектно-ориентированное программирование Theoretical mechanics department
 
Основы языка Питон: типы данных, операторы
Основы языка Питон: типы данных, операторыОсновы языка Питон: типы данных, операторы
Основы языка Питон: типы данных, операторыTheoretical mechanics department
 
Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754
Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754
Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754Theoretical mechanics department
 
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanismDocking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanismTheoretical mechanics department
 
Алгоритмы и языки программирования
Алгоритмы и языки программированияАлгоритмы и языки программирования
Алгоритмы и языки программированияTheoretical mechanics department
 
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a TetherChaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a TetherTheoretical mechanics department
 
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+Theoretical mechanics department
 
On problems of active space debris removal using tethered towing
On problems of active space debris removal using tethered towingOn problems of active space debris removal using tethered towing
On problems of active space debris removal using tethered towingTheoretical mechanics department
 

Mais de Theoretical mechanics department (20)

Космический мусор
Космический мусорКосмический мусор
Космический мусор
 
Основы SciPy
Основы SciPyОсновы SciPy
Основы SciPy
 
Основы NumPy
Основы NumPyОсновы NumPy
Основы NumPy
 
Модификация механизма Йо-Йо
Модификация механизма Йо-ЙоМодификация механизма Йо-Йо
Модификация механизма Йо-Йо
 
Python. Объектно-ориентированное программирование
Python. Объектно-ориентированное программирование Python. Объектно-ориентированное программирование
Python. Объектно-ориентированное программирование
 
Python. Обработка ошибок
Python. Обработка ошибокPython. Обработка ошибок
Python. Обработка ошибок
 
Python: ввод и вывод
Python: ввод и выводPython: ввод и вывод
Python: ввод и вывод
 
Python: Модули и пакеты
Python: Модули и пакетыPython: Модули и пакеты
Python: Модули и пакеты
 
Основы Python. Функции
Основы Python. ФункцииОсновы Python. Функции
Основы Python. Функции
 
Основы языка Питон: типы данных, операторы
Основы языка Питон: типы данных, операторыОсновы языка Питон: типы данных, операторы
Основы языка Питон: типы данных, операторы
 
Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754
Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754
Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754
 
Chaotic motions of tethered satellites with low thrust
Chaotic motions of tethered satellites with low thrust Chaotic motions of tethered satellites with low thrust
Chaotic motions of tethered satellites with low thrust
 
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanismDocking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
 
Алгоритмы и языки программирования
Алгоритмы и языки программированияАлгоритмы и языки программирования
Алгоритмы и языки программирования
 
Deployers for nanosatellites
Deployers for nanosatellitesDeployers for nanosatellites
Deployers for nanosatellites
 
CubeSat separation dynamics
CubeSat separation dynamicsCubeSat separation dynamics
CubeSat separation dynamics
 
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a TetherChaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
 
Основы MATLAB. Численные методы
Основы MATLAB. Численные методыОсновы MATLAB. Численные методы
Основы MATLAB. Численные методы
 
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
 
On problems of active space debris removal using tethered towing
On problems of active space debris removal using tethered towingOn problems of active space debris removal using tethered towing
On problems of active space debris removal using tethered towing
 

Метод Й. Виттенбурга

  • 1. Системы со сферическими шарнирами (Прямой метод Й. Виттенбурга) Кафедра теоретической механики yudintsev@termech.ru Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 23 марта 2012 г.
  • 2. Свойства метода Метод Й. Виттенбурга Й. Виттенбург Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. Для записи уравнений используются шарнирные координаты. В уравнения движения не входят реакции связей. Формируется матрица масс системы. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 2 / 34
  • 3. Структура механической системы Теория графов Определения Граф Граф G(S, U ) – это совокупность двух множеств - не пустого множества S (множества вершин) и множества U неупорядоченных пар различных элементов множества S (множество ребер или дуг). s4 s7 s2 u4 u6 u2 s3 u5 s6 s1 u3 u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 3 / 34
  • 4. Структура механической системы Теория графов Определения Инцидентность Пусть s1 , s2 - вершины, u = (s1 , s2 ) - соединяющее их ребро. Тогда вершина s1 и ребро u инцидентные, вершина s2 и ребро u также инцидентные. Смежность вершин и дуг Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 4 / 34
  • 5. Структура механической системы Теория графов Определения Ориентированный граф Граф с ориентированными дугами (указано направление дуг). Маршрут Чередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой любые два соседних элемента инцидентные. Цепь Маршрут у которого все ребра различны. Простая цепь Маршрут у которого все вершины (следовательно и ребра) различны Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 5 / 34
  • 6. Структура механической системы Теория графов Определения Связанность вершин Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их простая цепь. Связанный граф Граф, в котором все вершины связаны Цикл Замкнутая цепь Замкнутая простая цепь называется простым циклом. Ациклический граф Граф без циклов называется ациклическим. Дерево Связанный ациклический граф. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 6 / 34
  • 7. Структура механической системы Описание структуры Структура механической системы Вершины: s0 , s1 , . . . , sn – тела; Дуги: u1 , u2 , . . . , um – шарниры; s4 s7 s2 u4 u6 u2 s3 u5 s6 s1 u3 u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 7 / 34
  • 8. Структура механической системы Описание структуры Функции i+ (α), i− (α) i+ (α) – индекс тела из которого дуга α выходит i− (α) – индекс тела в которое дуга α входит s4 s7 s2 u4 i+ (1) = 0, i+ (2) = 1 u6 i− (1) = 1, i− (2) = 2 u2 s3 u5 i+ (3) = 0, i+ (4) = 3 s6 i− (3) = 3, i− (4) = 4 s1 u3 ... u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 8 / 34
  • 9. Структура механической системы Описание структуры Матрица инцидентности S  +1 : k = i+ (α) s4  Skα = −1 : k = i− (α) 0 : k = i− (α), k = i+ (α) s2 u4  S0 = +1 0 0 0 u2 s3   u3 −1 1 1 0  0 −1 0 0 s1 S=  u1 0 0 −1 1  0 0 0 −1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 9 / 34
  • 10. Структура механической системы Описание структуры Предшествующая дуга и вершина Предшествующая дуга Дуга, предшествующая вершине sk (k = 0) – дуга, принадлежащая пути между s0 и sk и которая инцидентна sk . Предшествующая вершина Вершина, предшествующая вершине sk (k = 0) – вершина, которая связана с sk дугой, предшествующей sk . Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 10 / 34
  • 11. Структура механической системы Описание структуры Матрица T   +1 : α ∈ пути от si к s0 и направлена к s0 Tαk = −1 : α ∈ пути от si к s0 и направлена от s0 0 : α не лежит на пути от si к s0  s2  −1 −1 −1 −1  s4  0 −1 0 0 u2 s3 u4 T=  u3 0 0 −1 −1 0 0 0 −1 s1 u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 11 / 34
  • 12. Структура механической системы Описание структуры Свойства матриц S, T ST = E TT ST = −1n 0 Правильная нумерация графа со структурой дерева для всех вершин sk (k = 0) номер дуги, предшествующей sk , равен k; номер вершины, предшествующей sk , меньше k. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 12 / 34
  • 13. Уравнения движения Уравнения движения центра масс n mi ¨i = Fi + r Sia Xc , a i = 1, . . . , n, a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 13 / 34
  • 14. Уравнения движения Уравнения движения вокруг центра масс n ˙ Li = Mi + Sia (cia × Xc + Ya ), i = 1, . . . , n, a a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 14 / 34
  • 15. Уравнения движения Матричная форма  n  mi ¨i = Fi +  r Sia Xc , i = 1, . . . , n    a a=1 n (1)  ˙  Li = Mi +   Sia (cia × Xc a + Ya ), i = 1, . . . , n. a=1 r = [r1 , r2 , . . . rn ]T , L = [L1 , L2 , . . . Ln ]T , F = [F1 , F2 , . . . Fn ]T , Xc = [Xc , Xc , . . . Xc ]T , Y = [Y1 , Y2 , . . . Yn ]T , M = [M1 , M2 , . . . Mn ]T 1 2 n m¨ = F + SXc , r ˙ L = M + C × Xc + SY C – (n × n) матрица с элементами: Cia = Sia cia , i, a = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 15 / 34
  • 16. Уравнения движения m¨ = F + SXc , r ˙ L = M + C × Xc + SY Умножив 1 уравнение слева на T = S−1 , можно выразить силы реакции Xc Xc = T(m¨ − F). x и исключить их из второго уравнения: ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 16 / 34
  • 17. Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r r ˙ ˙ Между ¨i и ω i , которые входят в L, есть связь, определяемая кинематикой относительного движения тел в системе. n n ri = r0 − dji , dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. j=1 a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 17 / 34
  • 18. Кинематика относительного движения (ri+ (a) + ci+ (a)a ) − (ri− (a) + ci− (a)a ) = 0, a = 1, . . . , n. (2) Полагаем, что c0a = 0 для всех a = 1, . . . , n n Sia (ri + cia ) = 0, a = 1, . . . , n. (3) i=0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 18 / 34
  • 19. Кинематика относительного движения n S0a r0 + (Sia ri + Cia ) = 0, a = 1, . . . , n, (4) i=1 Матричная форма r0 ST + ST r + CT 1n = 0. 0 (5) Умножив (5) слева на TT : r = r0 1n − (CT)T 1n . (6) dij – элементы матрицы CT: n dij = (CT)ij = Taj Sia cia , i, j = 1, . . . , n . (7) a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 19 / 34
  • 20. Кинематика относительного движения n dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. (8) a=1 Произведения Tai Sja отличны от нуля только для тех дуг ua , которые принадлежат пути между s0 и si (Tai = 0) и которые инцидентны sj (sja = 0). Необходимо различать три случая: 1 sj не лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае ни одна из дуг не вносит вклад в сумму (8) и, следовательно, dij = 0; 2 sj лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае вклад в сумму (8) вносят две дуги, обозначим их индексами b и c, и следовательно dij = cjb − cjc , поскольку Tbi Sjb = +1, Ti Sj = −1, где b - индекс дуги ub , предшествующей вершине si ; 3 sj и si - одно тело, в этом случае только дуга ub , предшествующая si , дает вклад в сумму и, следовательно, dij = cib . Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 20 / 34
  • 21. Кинематика относительного движения Подставим в уравнение движения ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r вторую производную по времени от r: ¨ ¨ = ¨0 1n − (CT)T 1n . r r ˙ ¨ L − CT × m(CT)T 1n − (CT) × (¨0 m1n − F) = M + SY. r (9) ¨ gij – элементы матрицы (CT) × m(CT)T : n gij = ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n. (10) k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 21 / 34
  • 22. Кинематика относительного движения n gij = ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n. (11) k=1 Будем различать случаи: 1 i = j; 2 s лежит на пути от тела j к телу 0 ⇒ для i ∀sk : si < sk < sj , dik = dij ; 3 s лежит на пути от тела i к телу 0 ⇒ для j ∀sk : sj < sk < si , djk = dji ; 4 все прочие случаи. Выражение для gij можно переписать в следующем виде:   n mk dik × dik , si = sj  k=1 ¨  d × n m d , s < s  ¨ ij k=1 k jk i j gij = n (12)  k=1 mk dik × d  ¨ ji , sj < si   0 в других случаях. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 22 / 34
  • 23. Дополненное тело. Барицентр. Дополненное тело Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 23 / 34
  • 24. Дополненное тело. Барицентр. Барицентр Барицентр тела i – центр масс дополненного тела Bi Векторы bij удовлетворяют уравнениям n bij mj = 0, i = 1, . . . , n. (13) j=1 Векторы bij и dij связаны соотношением dij = bi0 −bij , i, j = 1, . . . , n. (14) Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 24 / 34
  • 25. Дополненное тело. Барицентр. Используя dij = bi0 − bij , i, j = 1, . . . , n.    n mk dik × dik ,  k=1 ¨  n mk dik × dik , si = sj  k=1 ¨   d × n m d ,  ¨  ¨ j0 i M d × b , s < s ij k=1 k jk ij j gij = n → (15)  ¨  k=1 mk dik × dji , ¨ M bi0 × dji , sj < si      0. 0, в других случаях. Подставив выражения (15) в уравнение (9), получим следующую систему уравнений:   n ˙ Li + ¨ mk dik × dik + M  ¨ dij × bj0 + bi0 × ¨ dji  − j=1 j:si <sj j:si <sj n n − dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi + r Sia Ya , i = 1, . . . , n, (16) j=1 a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 25 / 34
  • 26. Тензор инерции дополненного тела i dm ρ Ci ρ′ d ii d ik a 0 k П а а а а аi Момент количества движения тела i относительно шарнирной точки a: Li = ρ × ρ dm, ˙ ρ = ρ − dii m Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 26 / 34
  • 27. Тензор инерции дополненного тела i dm ρ Ci ρ′ d ii d ik a 0 k П а а а а аi Производная Li : dLi = ρ ρ ¨ (ρ − dii ) × (¨ − dii )dm, dt mi Учитывая, что m ρdm = 0: dLi ˙ ¨ = Li + mi dii × dii . (17) dt Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 27 / 34
  • 28. Тензор инерции дополненного тела Если выражению dLi ˙ ¨ = Li + mi dii × dii . dt n ¨ добавить сумму k=1 mk dik × dik , то получатся два первых члена в уравнении   n ˙ Li + ¨ mk dik × dik + M  ¨ dij × bj0 + bi0 × ¨ dji  − j=1 j:si <sj j:si <sj n n − dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi + r Sia Ya , i = 1, . . . , n, j=1 a=1 Таким образом, первые два члена этого уравнения представляют собой абсолютную производную по времени от момента количества абсолютного движения дополненного тела i относительно его предшествующей шарнирной точки. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 28 / 34
  • 29. Тензор инерции дополненного тела Пусть Ki - тензор инерции дополненного тела i по отношению к его предшествующей шарнирной точке. Связь между Ki и центральным тензором инерции исходного тела Ji : n Ki = Ji + mk (d2 E − dik dik ), i = 1, . . . , n. ik (18) k=1 Два первых члена уравнения движения можно выразить, используя угловую скорость вращения тела ω i : n ˙ Li + ¨ mk dik × dik = Kiω i + ω i × Kiω i . ˙ (19) j=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 29 / 34
  • 30. Уравнения движения В выражении n dij × (mj ¨0 − Fj ) r j=1 множитель dij отличен от нуля только для тех значений j, которые удовлетворяют соотношению si ≤ sj . Учитывая это, преобразуем уравнения движения к виду   Kiω i + ω i × Kiω i + M  ˙ ¨ dij × bj0 + bi0 × (−¨0 + r ¨ dji ) + j:si <sj j:sj <si n + dij × Fj = Mi + Sia Ya , i = 1, . . . , n. (20) j:si <sj a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 30 / 34
  • 31. Уравнения движения Вторые производные bj0 и dji : ¨ bj0 = ω j × bj0 + ω j × (ω j × bj0 ), ˙ ω (21) ¨ ji = ω j × dji + ω j × (ω j × dji ), i, j = 1, . . . , n. d ˙ ω (22)   ˙ Kiω i + M  dij × (ω j × bj0 ) + bi0 × ˙ ω j × dji  = ˙ j:si <sj j:sj <si n = Mi + Mi + Sia Ya , i = 1, . . . , n. (23) a=1 где  Mi = −ω i × Kiω i − M  ω dij × (ω j × (ω j × bj0 )) − bi0 × ¨0 + ω ω r j:si <sj  +bi0 × ω j × (ω j × dji ) − ω dij × Fj , i = 1, . . . , n. (24) j:sj <si j:si ≤sj Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 31 / 34
  • 32. Уравнения движения Двойные векторные произведения выражаются через матричные произведения следующим образом: dij × (ω j × bj0 ) = (bj0 · dij E − bj0 dij ) · ω j . ˙ ˙ Рассмотрим тензоры:  Ki ,  i = j,   M (b · d E − b d ), si < sj , j0 ij j0 ij Kij = (25) M (dji · bi0 E − dji bi0 ),  sj < si ,   0, в других случаях. При помощи тензоров Kij уравнение движения можно записать в следующем виде: n n Kij · ω j = Mi + Mi + ˙ Sia Ya , i = 1, . . . , n. (26) j=1 a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 32 / 34
  • 33. Уравнения движения Уравнения движения Система со сферическими шарнирами n n ˙ Kij ω j = Mi + Mi + Sia Ya , i = 1, . . . , n (27) j=1 a=1 где  Ki ,  i = j,  M (b · d E − b d ), s < s , j0 ij j0 ij i j Kij = (28) M (dji · bi0 E − dji bi0 ), sj < si ,   0, в других случаях.   Mi = −ω i × Ki · ω i − M  ω dij × (ω j × (ω j × bj0 ))+ ω ω j:si <sj   +bi0 ×  ω j × (ω j × dji ) − ¨0  − ω r dij × Fj , i = 1, . . . n. j:sj <si j:si ≤sj Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 33 / 34
  • 34. Уравнения движения О координатной форме уравнений Выполнение операций необходимо проводить над координатными столбцами в одной системе координат. Необходимо использовать матрицы ортогональных преобразований: A(0i) – матрица преобразования координат из базиса i в базис 0 A(ij) – матрица преобразования координат из базиса j в базис i Тензоры Kij в базисе 0 могут быть определены следующим образом  A(0i) Ki ,  i = j,  M (A(ij) b · d E − A(0j) b A(0i) d ),  si < sj , (0) j0 ij j0 ij Kij = M (A(ij) dji · bi0 E − A(0j) dji A(0i) bi0 ),  sj < si ,   0, в других случаях. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 34 / 34