SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 19
Baixar para ler offline
Решение заданий
В9
(геометрический смысл
производной)
по материалам открытого
банка задач ЕГЭ по
математике
На рисунке изображен график у = f ′(x) –
производной функции f(x), определенной на
интервале (–8; 8). Найдите количество точек
экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [–
6; 6].
Решение:
В точке экстремума
производная функции
равна 0 либо не
существует.
Видно, что таких
точек принадлежащих
отрезку [–6; 6] три.
При этом в каждой
точке производная
меняет знак либо с
«+» на «–», либо с
«–» на «+».
Ответ: 3.
№1
+
– –
+
у = f ′(x)
На рисунке изображен график у = f ′(x) –
производной функции f(x), определенной на
интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4]
функция f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:
Заметим, что на
отрезке [–8; –4]
производная функции
отрицательна, значит,
сама функция
убывает, а значит,
наименьшее значение
на этом отрезке она
принимает на правом
конце отрезка, то есть
в точке –4.
Ответ: –4.
№2
–
у = f ′(x)f(x)
Решение:
Заметим, что на
интервале (–4; 8)
производная в точке
хо = 4 обращается в
0 и при переходе
через эту точку
меняет знак
производной с «–»
на «+», точка 4 и
есть искомая точка
экстремума функции
на заданном
интервале.
№3
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной
функции f(x), определенной на интервале (–8; 10).
Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале
(– 4; 8).
.
Ответ: 4.
–
+
у = f ′(x)
№4
На рисунке изображен график у = f ′(x) –
производной функции f(x), определенной на
интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в
которых касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.
Ответ: 4.
Решение:
Если касательная к графику
функции f(x) параллельна
прямой у = –2x + 2 или
совпадает с ней, то ее
угловой коэффициент k = –
2, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых
производная функции
f ′(x) = –2. Для этого на
графике производной
проведем прямую у = –2, и
посчитаем количество точек
графика производной,
лежащих на этой линии.
Таких точек 4.
у = f ′(x)
у = –2
№5
На рисунке изображен график функции у = f(x),
определенной на интервале (–6; 5). Определите
количество целых точек, в которых производная
функции отрицательна.
Ответ: 6.
Решение:
Заметим, что
производная функции
отрицательна, если сама
функция f(x) убывает, а
значит, необходимо
найти количество целых
точек, входящих в
промежутки убывания
функции.
Таких точек 6:
х = −4, х = −3, х = −2,
х = −1, х = 0, х = 3.
–2 –1–3–4 0 3
у = f(x)
–6 5
у
х
0
у = f(x)
–6 6
у
х
2
4 6
3 5
1
№6
На рисунке изображен график функции у = f(x),
определенной на интервале (–6; 6). Найдите
количество точек, в которых касательная к графику
функции параллельна прямой у = –5.
Ответ: 6.
Решение:
Прямая у = −5
горизонтальная,
значит, если
касательная к
графику функции ей
параллельна, то она
тоже горизонтальна.
Следовательно,
угловой коэффициент
в искомых точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это
точки экстремума.
Таких точек 6.
у = –5 –5
№7
На рисунке изображен график у = f(x) – производной
функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите
значение производной функции f(x) в точке хо.
Ответ: 1,25.
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому
коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой
функции в данной точке.
В нашем случае k > 0, так как
α – острый угол (tg α > 0).
Чтобы найти угловой
коэффициент, выберем две точки
А и В, лежащие на касательной,
абсциссы и ординаты которых −
целые числа.
Теперь определим модуль
углового коэффициента. Для
этого построим треугольник ABC.
tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25
у = f(x)
4А
В
С
5хо
α
α
180°− α
№8
На рисунке изображен график функции у = f(x),
определенной на интервале (–10; 2) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо.
Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
Ответ: −0,75.
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому
коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой
функции в данной точке.
В нашем случае k < 0, так как
α– тупой угол (tg α < 0).
Чтобы найти угловой
коэффициент, выберем две точки
А и В, лежащие на касательной,
абсциссы и ординаты которых −
целые числа.
Теперь определим модуль
углового коэффициента. Для
этого построим треугольник ABC.
tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 =
0,75
8 А
В
С
6
хо
α
у = f(x)
.
На рисунке изображен график производной у = f
′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11;
11).
Найдите количество точек максимума функции f(x) на
отрезке [−10; 10].
у
х
у = f ′(x)
0
Решение:
В точке
экстремума
производная
функции
равна 0 либо не
существует.
Видно, что таких
точек
принадлежащих
отрезку [−10; 10]
пять.
В точках х2 и х4
производная
меняет знак с
«+» на «−» –
это точки
максимума.
–
+
–
+
–
+
х1 х2 х3 х4 х5
max max
Ответ: 2.
f(x)
–10
10
№9
Прямая у = 4х – 4 является касательной к
графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите а.
Решение:
Производная функции в точке касания должна
совпадать с угловым коэффициентом прямой.
Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания,
имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15.
Найдем значение исходной функции в точке
касания:
ахo
2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11.
Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:
19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1.
А значит a = 15.
Ответ: 15.
№10
Прямая у = – 4х – 5 является касательной к
графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b,
учитывая, что абсцисса точки касания больше
0.
Решение.
Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4,
откуда b = – 4 – 18хо.
Аналогично задаче №12 найдем хо:
9xo
2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5,
9xo
2 – 4xo – 18хо
2 + 20 + 4хo + 5 = 0,
– 9xo
2 + 25 = 0,
хо
2 = 25/9.
Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3.
Условию задачи соответствует только
положительный корень, значит xo = 5/3,
следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3, имеем b = –34.
Ответ: –34.
№11
Прямая у = 2х – 6 является касательной к
графику функции х2 + 12х + с. Найдите с.
Решение.
Аналогично предыдущим задачам обозначим
абсциссу точки касания хо и приравняем значение
производной функции в точке хо угловому
коэффициенту касательной.
2хо + 12 = 2, откуда xo = –5.
Значение исходной функции в точке –5 равно:
25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6,
откуда с = 19.
Ответ: 19.
№12
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета
в метрах,
t – время в секундах, измеренное с начала движения.
Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент
времени t = 6с.
Решение.
Так как мгновенная скорость точки в момент
времени to, прямолинейного движения,
совершаемого по закону х = х(t), равна значению
производной функции х npu t = to,
искомая скорость будет равна
x′ (t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,
x′ (6) = 6 – 2 = 4 м/с.
Ответ: 4.
№13
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета
в метрах,
t – время в секундах, измеренное с начала движения. В
какой момент времени (в секундах) ее скорость была
равна 4 м/с?
Решение.
Так как мгновенная скорость точки в момент
времени to, прямолинейного движения,
совершаемого по закону х = х(t), равна значению
производной функции х npu t = to,
искомая скорость будет равна
x′ (to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,
Т.к. по условию, x′ (to) = 4, то to – 2 = 4, откуда
to = 4 + 2 = 6 м/с.
Ответ: 6.
№14
Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к
графику функции у = х2 + 8х + 6.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику
функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее
угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из
уравнения у = 4х +11) равен значению
производной функции в точке хо:
k = f ′(xo) = 4
Производная функции
f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
Значит, для нахождения искомой точки касания
необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4,
откуда хо = – 2.
Ответ: – 2.
№15
Прямая у = 3х + 11 является касательной к
графику
функции у = x3 − 3x2 − 6x + 6.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее
угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной
функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2
− 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет
два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых
касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6 имеет угловой
коэффициент, равный 3.
Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая
у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции
в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению
касательной.
Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8,
а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим,
что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению
касательной, так как 8 = −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению
касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11.
Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1.
Ответ: −1.
№16
На рисунке изображен график функции у = f(x),
определенной на интервале (–8; 6).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение:
Точки экстремума – это
точки минимума и
максимума.
Видно, что таких точек
принадлежащих
промежутку (–8; 6)
пять.
Найдем сумму их
абсцисс:
-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4
= 6.
Ответ: 6.
№17
у = f ′(x)
′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10;
8).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти
промежутки.
у = f ′(x)
+ +
Решение:
Заметим, что функция
f(x) возрастает, если
производная функции
положительна; а значит,
необходимо найти сумму
целых точек, входящих в
промежутки возрастания
функции.
Таких точек 7:
х = −3, х = −2, х = 3,
х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.
Их сумма:
−3+(−2)+3+4+5+6+7 =
753-3
Ответ: 20.
№18

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

тест
тесттест
тестsvetlup
 
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
 ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/ ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/Khishighuu Myanganbuu
 
Разбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика lРазбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика lDEVTYPE
 
ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18kuzinolga
 
Разбор задач модуля "Теория графов ll"
Разбор задач модуля "Теория графов ll"Разбор задач модуля "Теория графов ll"
Разбор задач модуля "Теория графов ll"DEVTYPE
 
задание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetзадание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetLeva Sever
 
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляЛинейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляDEVTYPE
 
неравенства с двумя переменными
неравенства с двумя переменныминеравенства с двумя переменными
неравенства с двумя переменнымиTatyana Zubareva
 
исследование функций
исследование функцийисследование функций
исследование функцийkillaruns
 
10 a n_r
10 a n_r10 a n_r
10 a n_r4book
 
Застосування похідної
Застосування похідноїЗастосування похідної
Застосування похідноїTatyana Zubareva
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integralDimon4
 
Use of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signatureUse of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signatureAndrei Poliakov
 
Линейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачЛинейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачDEVTYPE
 
Уравнение касательной
Уравнение касательнойУравнение касательной
Уравнение касательнойEkaterina
 
алгоритмизация метода касательных
алгоритмизация метода касательныхалгоритмизация метода касательных
алгоритмизация метода касательныхColegiul de Industrie Usoara
 
Решение неравенств 9 класс
Решение неравенств 9 классРешение неравенств 9 класс
Решение неравенств 9 классNataliaRegen
 
Основы теории графов - I
Основы теории графов - IОсновы теории графов - I
Основы теории графов - IDEVTYPE
 

Mais procurados (20)

тест
тесттест
тест
 
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
 ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/ ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
 
Разбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика lРазбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика l
 
ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18
 
Разбор задач модуля "Теория графов ll"
Разбор задач модуля "Теория графов ll"Разбор задач модуля "Теория графов ll"
Разбор задач модуля "Теория графов ll"
 
задание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetзадание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvet
 
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляЛинейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
 
неравенства с двумя переменными
неравенства с двумя переменныминеравенства с двумя переменными
неравенства с двумя переменными
 
исследование функций
исследование функцийисследование функций
исследование функций
 
10 a n_r
10 a n_r10 a n_r
10 a n_r
 
Застосування похідної
Застосування похідноїЗастосування похідної
Застосування похідної
 
555
555555
555
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integral
 
Use of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signatureUse of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signature
 
10474
1047410474
10474
 
Линейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачЛинейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задач
 
Уравнение касательной
Уравнение касательнойУравнение касательной
Уравнение касательной
 
алгоритмизация метода касательных
алгоритмизация метода касательныхалгоритмизация метода касательных
алгоритмизация метода касательных
 
Решение неравенств 9 класс
Решение неравенств 9 классРешение неравенств 9 класс
Решение неравенств 9 класс
 
Основы теории графов - I
Основы теории графов - IОсновы теории графов - I
Основы теории графов - I
 

Semelhante a геометрический смысл производной

Uravnenie kasat
Uravnenie kasatUravnenie kasat
Uravnenie kasatAlex_Tam
 
Geometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egje
Geometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egjeGeometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egje
Geometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egjeИван Иванов
 
Neravenstva s dvumya_peremennymi
Neravenstva s dvumya_peremennymiNeravenstva s dvumya_peremennymi
Neravenstva s dvumya_peremennymiIvanchik5
 
десять способов решений кв. ур ий
десять способов решений кв. ур ийдесять способов решений кв. ур ий
десять способов решений кв. ур ийNovikovaOG
 
kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.pptkasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.pptssuser12dca4
 
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_iPrimenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_iDimon4
 
read to grafics of function
read to grafics of functionread to grafics of function
read to grafics of functionviktoriya71
 
19 pascal urok_3
19 pascal urok_319 pascal urok_3
19 pascal urok_3Ann Eres
 
Kasatelnaya k grafiku_funkcii
Kasatelnaya k grafiku_funkciiKasatelnaya k grafiku_funkcii
Kasatelnaya k grafiku_funkciiIvanchik5
 
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАsilvermlm
 
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornyaFunkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornyaИван Иванов
 
решение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравненийрешение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравненийЛюдмила Щецова
 
10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku
10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku
10.b uravnenie kasatelnoi po grafikuNarvatk
 
метод пособие
метод пособиеметод пособие
метод пособиеoquzaman
 
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".silvermlm
 

Semelhante a геометрический смысл производной (20)

Uravnenie kasat
Uravnenie kasatUravnenie kasat
Uravnenie kasat
 
8
88
8
 
Geometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egje
Geometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egjeGeometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egje
Geometricheskij smysl proizvodnoj_v_zadaniyah_egje
 
Neravenstva s dvumya_peremennymi
Neravenstva s dvumya_peremennymiNeravenstva s dvumya_peremennymi
Neravenstva s dvumya_peremennymi
 
десять способов решений кв. ур ий
десять способов решений кв. ур ийдесять способов решений кв. ур ий
десять способов решений кв. ур ий
 
kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.pptkasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt
 
Chjotnye i nechjotnye_funkcii
Chjotnye i nechjotnye_funkciiChjotnye i nechjotnye_funkcii
Chjotnye i nechjotnye_funkcii
 
000
000000
000
 
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_iPrimenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
 
read to grafics of function
read to grafics of functionread to grafics of function
read to grafics of function
 
19 pascal urok_3
19 pascal urok_319 pascal urok_3
19 pascal urok_3
 
23
2323
23
 
Kasatelnaya k grafiku_funkcii
Kasatelnaya k grafiku_funkciiKasatelnaya k grafiku_funkcii
Kasatelnaya k grafiku_funkcii
 
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
 
113
113113
113
 
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornyaFunkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
Funkciya arifmeticheskogo kvadratnogo_kornya
 
решение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравненийрешение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравнений
 
10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku
10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku
10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku
 
метод пособие
метод пособиеметод пособие
метод пособие
 
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
 

Mais de tkachenko_anna

лето сош 53 2017 год
лето сош 53   2017 годлето сош 53   2017 год
лето сош 53 2017 годtkachenko_anna
 
лето сош 53 2017 год
лето сош 53   2017 годлето сош 53   2017 год
лето сош 53 2017 годtkachenko_anna
 
направления и критерии оценивания
направления и критерии оцениваниянаправления и критерии оценивания
направления и критерии оцениванияtkachenko_anna
 
организация и проведение сочинения
организация и проведение сочиненияорганизация и проведение сочинения
организация и проведение сочиненияtkachenko_anna
 
правила работы с бланками
правила работы с бланкамиправила работы с бланками
правила работы с бланкамиtkachenko_anna
 
егэ 2016.советы психолога
егэ 2016.советы психологаегэ 2016.советы психолога
егэ 2016.советы психологаtkachenko_anna
 
для вас, родители
для вас, родителидля вас, родители
для вас, родителиtkachenko_anna
 
лето сош 53 2016 год
лето сош 53   2016 годлето сош 53   2016 год
лето сош 53 2016 годtkachenko_anna
 
Всероссийские проверочные работы
Всероссийские проверочные работыВсероссийские проверочные работы
Всероссийские проверочные работыtkachenko_anna
 
лето сош 53 2015 год
лето сош 53   2015 годлето сош 53   2015 год
лето сош 53 2015 годtkachenko_anna
 
особенности егэ в 2015
особенности егэ в 2015особенности егэ в 2015
особенности егэ в 2015tkachenko_anna
 
аттестация педагога1
аттестация педагога1аттестация педагога1
аттестация педагога1tkachenko_anna
 

Mais de tkachenko_anna (20)

лето сош 53 2017 год
лето сош 53   2017 годлето сош 53   2017 год
лето сош 53 2017 год
 
лето сош 53 2017 год
лето сош 53   2017 годлето сош 53   2017 год
лето сош 53 2017 год
 
направления и критерии оценивания
направления и критерии оцениваниянаправления и критерии оценивания
направления и критерии оценивания
 
организация и проведение сочинения
организация и проведение сочиненияорганизация и проведение сочинения
организация и проведение сочинения
 
правила работы с бланками
правила работы с бланкамиправила работы с бланками
правила работы с бланками
 
порядок гиа
порядок гиапорядок гиа
порядок гиа
 
N17 5 (1)
N17 5 (1)N17 5 (1)
N17 5 (1)
 
N17 4
N17 4N17 4
N17 4
 
N17 1
N17 1N17 1
N17 1
 
N17 2
N17 2N17 2
N17 2
 
N17 3
N17 3N17 3
N17 3
 
егэ 2016.советы психолога
егэ 2016.советы психологаегэ 2016.советы психолога
егэ 2016.советы психолога
 
для вас, родители
для вас, родителидля вас, родители
для вас, родители
 
лето сош 53 2016 год
лето сош 53   2016 годлето сош 53   2016 год
лето сош 53 2016 год
 
ОГЭ
ОГЭОГЭ
ОГЭ
 
Всероссийские проверочные работы
Всероссийские проверочные работыВсероссийские проверочные работы
Всероссийские проверочные работы
 
чтения
чтениячтения
чтения
 
лето сош 53 2015 год
лето сош 53   2015 годлето сош 53   2015 год
лето сош 53 2015 год
 
особенности егэ в 2015
особенности егэ в 2015особенности егэ в 2015
особенности егэ в 2015
 
аттестация педагога1
аттестация педагога1аттестация педагога1
аттестация педагога1
 

геометрический смысл производной

  • 1. Решение заданий В9 (геометрический смысл производной) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике
  • 2. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6]. Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+». Ответ: 3. №1 + – – + у = f ′(x)
  • 3. На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом конце отрезка, то есть в точке –4. Ответ: –4. №2 – у = f ′(x)f(x)
  • 4. Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале. №3 На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8). . Ответ: 4. – + у = f ′(x)
  • 5. №4 На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней. Ответ: 4. Решение: Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = – 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4. у = f ′(x) у = –2
  • 6. №5 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Ответ: 6. Решение: Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции. Таких точек 6: х = −4, х = −3, х = −2, х = −1, х = 0, х = 3. –2 –1–3–4 0 3 у = f(x) –6 5 у х
  • 7. 0 у = f(x) –6 6 у х 2 4 6 3 5 1 №6 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5. Ответ: 6. Решение: Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f ′(х) = 0. В нашем случае – это точки экстремума. Таких точек 6. у = –5 –5
  • 8. №7 На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо. Ответ: 1,25. Решение: Значение производной функции f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k > 0, так как α – острый угол (tg α > 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25 у = f(x) 4А В С 5хо α α
  • 9. 180°− α №8 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо. Ответ: −0,75. Решение: Значение производной функции f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k < 0, так как α– тупой угол (tg α < 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75 8 А В С 6 хо α у = f(x)
  • 10. . На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. у х у = f ′(x) 0 Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума. – + – + – + х1 х2 х3 х4 х5 max max Ответ: 2. f(x) –10 10 №9
  • 11. Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите а. Решение: Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15. Найдем значение исходной функции в точке касания: ахo 2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11. Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем: 19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1. А значит a = 15. Ответ: 15. №10
  • 12. Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Решение. Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = – 4 – 18хо. Аналогично задаче №12 найдем хо: 9xo 2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5, 9xo 2 – 4xo – 18хо 2 + 20 + 4хo + 5 = 0, – 9xo 2 + 25 = 0, хо 2 = 25/9. Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34. №11
  • 13. Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику функции х2 + 12х + с. Найдите с. Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo = –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19. №12
  • 14. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с. Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to, искомая скорость будет равна x′ (t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2, x′ (6) = 6 – 2 = 4 м/с. Ответ: 4. №13
  • 15. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с? Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to, искомая скорость будет равна x′ (to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2, Т.к. по условию, x′ (to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6 м/с. Ответ: 6. №14
  • 16. Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х + 6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо: k = f ′(xo) = 4 Производная функции f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8. Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4, откуда хо = – 2. Ответ: – 2. №15
  • 17. Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x3 − 3x2 − 6x + 6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3. Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной. Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11. Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1. Ответ: −1. №16
  • 18. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6. Ответ: 6. №17 у = f ′(x)
  • 19. ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. у = f ′(x) + + Решение: Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции. Таких точек 7: х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7. Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 753-3 Ответ: 20. №18