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MAIS UM SANGAKU
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Já publicamos anteriormente na RPM 49 (Sangaku - A Geometri...
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A SOLUÇÃO COMPLETA

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Na figura as três circunferências de raios
a, b e c são simultaneamente tange...
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Na edição de Janeiro/2014 da RPM será publicado um artigo meu que estará na página 22 da seção Painéis.

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  1. 1. painéis revista do professor de matemática | no. 80 | 1
  2. 2. seção painéis PAINEL I MAIS UM SANGAKU tiago santos feitosa Já publicamos anteriormente na RPM 49 (Sangaku - A Geometria sagrada) e na RPM 80 (Um sangaku difícil) artigos apresentando sangakus, ou seja, gravuras com problemas geométricos, registradas em tábuas de madeira, feitas no Japão, a partir da segunda metade do século XVII. Essas gravuras, em geral, tinham autoria múltipla de matemáticos profissionais e amadores e eram simultaneamente obras de arte e oferendas aos deuses nos santuários xintoístas e templos budistas. Eram também uma forma de lançar desafios matemáticos. 22 | no. 80 | revista do professor de matemática Há, nos sangakus, um grande número de problemas envolvendo circunferências e elipses com grau de dificuldade, em geral, elevado. Para melhores informações sobre os sangakus e sua história, sugerimos aos interessados a leitura dos textos introdutórios dos dois artigos citados. Neste painel vamos apresentar mais um sangaku que achamos ser interessante para os leitores da revista. O problema apresentado é o seguinte:
  3. 3. b a PAINEL II A SOLUÇÃO COMPLETA painéis Na figura as três circunferências de raios a, b e c são simultaneamente tangentes duas a duas e a uma reta. Prove que 1 1 1 = + . c a b Sérgio Orsi Na seção Em Classe da RPM 65 é apresentado o problema: “colocar os números inteiros de 1 a 9, sem repetição, sobre os lados de um triângulo equilátero de modo que a soma dos quatro números em cada lado seja igual a 20.” A figura abaixo mostra duas soluções do problema. c Solução No triângulo retângulo O1O2L, observando que O1O2 = a + b e O1L = a – b, temos pelo teorema de Pitágoras: (a + b)2 = (LO2)2+ (a – b)2 (LO2)2 = 4ab LO2 = 2 ab a O1 b L O2 M N J K Analogamente, nos triângulos retângulos O1O3M e O2O3N, observando que O1O3 = a + c; O1M = a – c; O2O3= b + c e O2N = b – c, obtemos as igualdades = 2= 2 bc . MO3 ac e NO3 Como JK = MO3 + NO3 = LO2 temos ab = ac + bc . Dividindo todos os termos por abc obtemos 1 c = 1 a + 1 b . Depois disso, na seção Painéis da RPM 81, foi publicada uma generalização do problema para polígonos regulares, com um número qualquer de lados, e foi apresentada uma estratégia para obter uma solução. Há um adendo da RPM observando que a estratégia não fornece todas as possíveis soluções, exibindo uma solução para o triângulo, com soma dos quatro números colocados nos lados igual a 19, que não pode ser obtida com a estratégia considerada. Neste texto, vamos apresentar todos os possíveis valores para a soma dos quatro números a serem colocados nos lados do triângulo equilátero e todas as possíveis soluções para cada soma. Lembrando que estamos considerando os números de 1 a 9, sem repetição, seja SL a soma dos quatro números colocados em cada um dos lados do triângulo e SV a soma dos números colocados nos três vértices do triângulo. Como cada vértice participa da soma dos números de exatamente dois lados, temos 3 × SL = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + SV . Logo, SL = S 45 + SV = 15 + V . 3 3 Observamos que o valor mínimo para a soma SV dos números colocados nos vértices é 1 + 2 + 3 = 6 e o valor máximo é 7 + 8 + 9 = 24. Sendo assim, os revista do professor de matemática | no. 80 | 23
  4. 4. painéis possíveis valores para SL satisfazem: 6 24 ou 17 < SL < 23. 15 + ≤ SL ≤ 15 + 3 3 Considerando ser SL necessariamente inteiro, SV será um múltiplo de 3, levando a apenas 30 soluções para os vértices, apresentadas na tabela ao lado. Foram excluídos os triângulos simétricos, por exemplo, [2, 3, 1], [3, 1, 2], [1, 3, 2], [2, 1, 3] e [3, 2, 1], simétricos de [1, 2, 3] (a notação [2, 3, 1] indica que os números 2, 3 e 1 estão nos vértices). Vamos procurar a solução para a primeira opção da tabela, com vértices 1, 2 e 3 e SL = 17. Para o lado [1, 2] (essa notação indica o lado com os números 1 e 2 nos seus vértices) é necessário escolher dois números que somem 17 – 1 – 2 = 14. Números disponíveis para alocação: 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Pares com soma 14: [5, 9] e [6, 8]. Escolhendo o [5, 9] para o lado [1, 2] obtemos o lado [1, 5, 9, 2]. Para o lado [2, 3] é necessário escolher dois números que somem 17 – 2 – 3 = 12. Números disponíveis para alocação: 4, 6, 7 e 8. Único par com soma 12: [4, 8] Obtemos o lado [2, 4, 8, 3]. Resta o lado [3, 1], no qual a soma dos dois números a serem colocados deve ser 17 – 1 – 3 = 13 e os únicos números disponíveis para a alocação são 6 e 7 cuja soma é 13. Obtemos então o lado [3, 6, 7, 1]. Temos então a Solução 1: [1, 5, 9, 2] [2, 4, 8, 3] [3, 6, 7, 1] Escolhendo o [6, 8] para o lado [1, 2] obtemos o lado [1, 6, 8, 2]. Para o lado [2, 3]: Números disponíveis para alocação: 4, 5, 7 e 9. Único par com soma 12: [5, 7] Obtemos o lado [2, 5, 7, 3]. Para o lado [3, 1] resta [4, 9], cuja soam é 13. Obtemos então o lado [3, 4, 9, 1]. Temos, então a Solução 2: [1, 6, 8, 2] [2, 5, 7, 3] [3, 4, 9, 1] 24 | no. 80 | revista do professor de matemática Vértices SV SL 1, 2, 3 6 17 1, 2, 6 9 18 1, 3, 5 9 18 2, 3, 4 9 18 1, 2, 9 12 19 1, 3, 8 12 19 1, 4, 7 12 19 1, 5, 6 12 19 2, 3, 7 12 19 2, 4, 6 12 19 3, 4, 5 12 19 1, 5, 9 15 20 1, 6, 8 15 20 2, 4, 9 15 20 2, 5, 8 15 20 2, 6, 7 15 20 3, 4, 8 15 20 3, 5, 7 15 20 4, 5, 6 15 20 1, 8, 9 18 21 2, 7, 9 18 21 3, 6, 9 18 21 3, 7, 8 18 21 4, 5, 9 18 21 4, 6, 8 18 21 5, 6, 7 18 21 4, 8, 9 21 22 5, 7, 9 21 22 6, 7, 8 21 22 7, 8, 9 24 23
  5. 5. painéis Se tomarmos, por exemplo, o caso dos vértices 1, 5, 6, que está na 8a linha da tabela, temos SL = 19 e, para o lado [1, 5], por exemplo, teremos que escolher dois números com soma igual a 19 – 1 – 5 = 13. Os números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 4, 7, 8 e 9. O único par com soma 13 é [4, 9], gerando o lado [1, 4, 9, 5]. Para o lado [5, 6] devemos escolher dois números com soma igual a 19 – 5 – 6 = 8. Os números disponíveis para a alocação são: 2, 3, 7 e 8. Não há dois deles com soma 8, logo essa alternativa não oferece solução para o problema. Depois de examinar todas as alternativas, encontramos apenas 18 soluções para o problema, obtidas de 10 linhas da tabela. Essas soluções são: Vértices sV sL 1, 2, 3 6 [1, 5, 9, 2] [2, 4, 8, 3] [3, 6, 7, 1] 17 1, 2, 3 6 [1, 6, 8, 2] [2, 5, 7, 3] [3, 4, 9, 1] 17 1, 4, 7 12 [1, 5, 9, 4] [4, 2, 6, 7] [7, 3, 8, 1] 19 1, 4, 7 12 [1, 6, 8, 4] [4, 3, 5, 7] [7, 2, 9, 1] 19 2, 3, 7 12 [2, 5, 9, 3] [3, 1, 8, 7] [7, 4, 6, 2] 19 2, 3, 7 12 [2, 6, 8, 3] [3, 4, 5, 7] [7, 1, 9, 2] 19 1, 5, 9 15 [1, 6, 8, 5] [5, 2, 4, 9] [9, 3, 7, 1] 20 2, 5, 8 15 [2, 4, 9, 5] [5, 1, 6, 8] [8, 3, 7, 2] 20 2, 5, 8 15 [2, 6, 7, 5] [5, 3, 4, 8] [8, 1, 9, 2] 20 3, 5, 7 15 [3, 4, 8, 5] [5, 2, 6, 7] [7, 1, 9, 3] 20 4, 5, 6 15 [4, 2, 9, 5] [5, 1, 8, 6] [6, 3, 7, 4] 20 4, 5, 6 15 [4, 3, 8, 5] [5, 2, 7, 6] [6, 1, 9, 4] 20 3, 6, 9 18 [3, 4, 8, 6] [6, 1, 5, 9] [9, 2, 7, 3] 21 3, 6, 9 18 [3, 5, 7, 6] [6, 2, 4, 9] [9, 1, 8, 3] 21 3, 7, 8 18 [3, 2, 9, 7] [7, 1, 5, 8] [8, 4, 6, 3] 21 3, 7, 8 18 [3, 5, 6, 7] [7, 2, 4, 8] [8, 1, 9, 3] 21 7, 8, 9 24 [7, 2, 6, 8] [8, 1, 5, 9] [9, 3, 4, 7] 23 7, 8, 9 24 [7, 3, 5, 8] [8, 2, 4, 9] [9, 1, 6, 7] 23 Soluções PARA O LEITOR Deixamos para o leitor determinar todas as soluções (são apenas quatro) do problema: “colocar os números inteiros de 1 a 6, sem repetição, sobre os lados de um triângulo equilátero de modo que a soma dos três números em cada lado seja constante.” revista do professor de matemática | no. 80 | 25

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