Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

189 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
189
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 20FotometriaFotometria ´e a medida da luz proveniente de um objeto. At´e o fim daIdade M´edia, o meio mais importante de observa¸c˜ao astronˆomica era o olhohumano, ajudado por v´arios aparatos mecˆanicos para medir a posi¸c˜ao doscorpos celestes. Depois veio a inven¸c˜ao do telesc´opio, no come¸co do s´eculoXVII, e as observa¸c˜oes astronˆomicas de Galileo. A fotografia astronˆomicainiciou no fim do s´eculo XIX e, durante as ´ultimas d´ecadas, muitos tipos dedetectores eletrˆonicos s˜ao usados para estudar a radia¸c˜ao electromagn´eticado espa¸co. Todo o espectro electromagn´etico, desde a radia¸c˜ao gama at´e asondas de r´adio s˜ao atualmente usadas para observa¸c˜oes astronˆomicas.Apesar de observa¸c˜oes com sat´elites, bal˜oes e espa¸conaves poderem serfeitas fora da atmosfera, a grande maioria das observa¸c˜oes ´e obtida da su-perf´ıcie da Terra.Como a maioria das observa¸c˜oes utiliza radia¸c˜ao eletromagn´etica e po-demos obter informa¸c˜oes sobre a natureza f´ısica da fonte estudando a dis-tribui¸c˜ao de energia desta radia¸c˜ao, introduziremos alguns conceitos para acaracteriza¸c˜ao dessa radia¸c˜ao.λ =cνν =cλc = λν• λ ≡ comprimento de onda• ν ≡ freq¨uˆencia• c 300 000 km/s ≡ velocidade da luz187
  2. 2. 20.1 Grandezas t´ıpicas do campo de radia¸c˜aoA grandeza mais caracter´ıstica de um campo de radia¸c˜ao ´e uma constantechamada intensidade espec´ıfica monocrom´atica Para melhor entende-la, va-mos antes revisar o conceito de ˆangulo s´olido.20.2 ˆAngulo s´olidoAssim como podemos entender um ˆangulo plano como um setor de umc´ırculo, definido como a raz˜ao entre o arco e o raio do c´ırculo, podemos en-tender um ˆangulo s´olido como um ”setor”de uma esfera, definido pela raz˜aoentre o elemento de ´area na superf´ıcie da esfera e o seu raio ao quadrado:rωAaαrα =arω =Ar2A unidade de ˆangulo s´olido (dω = sen θdθdφ) ´e o esferorradiano (sr).O maior ˆangulo plano ´e aquele que subtende toda circunferˆencia doc´ırculo, e vale 2π radianos; o maior ˆangulo s´olido subtende toda a ´areasuperficial da esfera, e vale 4π esferorradianos.20.3 Intensidade espec´ıficaQuando a luz ´e emitida de uma fonte isotr´opica em um meio homogˆeneo,(que n˜ao depende da dire¸c˜ao) ela se expande esf´ericamente, em todas asdire¸c˜oes. ´E como se a fonte estivesse no centro de uma esfera, composta de4π ˆangulos s´olidos unit´arios, e cujo raio vai aumentando `a medida que a luz188
  3. 3. se propaga. A energia que atravessa a unidade de ´area da fonte, por unidadede tempo e por unidade de ˆangulo s´olido, ´e chamada intensidade espec´ıfica:I⊥ =dEdt dA dωSe consideramos apenas a energia emitida em um intervalo de compri-mentos de onda [ν, ν +dν], chamamos a intensidade espec´ıfica de intensidadeespec´ıfica monocrom´atica:Iν⊥ =dEdt dA dω dνNum caso mais geral a energia n˜ao se propaga isotr´opicamente. (Porexemplo, se observamos a fonte atrav´es de um orif´ıcio em uma placa opacacolocada na frente dela). Nesse caso, a energia que atravessa a unidade de´area n˜ao ´e a mesma em todas as dire¸c˜oes, mas vai depender do ˆangulo (θ)entre a dire¸c˜ao considerada e a normal ´a ´area, ou seja:Iν =dE cos θdt dA dω dν(20.1)IPSdωdAθGeralmente, a intensidade espec´ıfica ´e medida em J m−2s−1sr−1Hz−1 nosistema MKS, ou erg cm−2s−1sr−1Hz−1 no sistema cgs.Podemos, tamb´em, definir a intensidade espec´ıfica monocrom´atica porintervalo de comprimento de onda, notando que, por defini¸c˜ao:Iν |dν| = Iλ |dλ|. (20.2)A intensidade espec´ıfica integrada em todo o espectro de freq¨uˆencias ´edada por:I =∞oIν dν =∞oIλ dλ. (20.3)189
  4. 4. A intensidade espec´ıfica n˜ao varia com a distˆancia da fonte, pois a quan-tidade de energia dentro do ˆangulo s´olido permanece sempre a mesma.Outra grandeza de grande interesse ´e o fluxo, que ´e o que se mede real-mente.20.4 FluxoO fluxo (F) ´e a energia por unidade de ´area e por unidade de tempo quechega ao detector. Formalmente, o fluxo em uma certa freq¨uˆencia, em umdado ponto e em uma dada dire¸c˜ao, ´e a quantidade l´ıquida de energia radi-ante cruzando a unidade de ´area, por unidade de tempo, e por intervalo defreq¨uˆencia, ou seja,dFν =dE cos θdAdtdν= Iν⊥ cos θdω (20.4)que integrando nos d´a o fluxo em uma freq¨uˆencia (ν)Fν = Iνdω =2π0π20Iν⊥ cos θsen θdθdφ (20.5)O fluxo, portanto, significa potˆencia atrav´es de uma superf´ıcie, e ´e ex-presso em erg cm−2s−1, ou em watt m−2. O fluxo integrado no espectrode freq¨uˆencias ser´a:F =∞oFν dν =∞oFλ dλ.Ao contr´ario da intensidade espec´ıfica, o fluxo de radia¸c˜ao cai com o qua-drado da distˆancia (r), de forma que o fluxo que chega na Terra ´e muitomenor do que o fluxo na superf´ıcie do astro, estando dilu´ıdo por um fatorde 1r2 .Para uma estrela esf´erica de raio R, o fluxo na sua superf´ıcie ser´a:F(R) =L4πR2(20.6)onde L ´e a luminosidade intr´ınseca, que ´e a energia total emitida por unidadede tempo em todas as dire¸c˜oes.O fluxo a uma distˆancia r da estrela ser´a:F(r) =L4πr2(20.7)190
  5. 5. Nesse caso, F(r) ´e o fluxo integrado sobre toda a superf´ıcie da estrela, e aluminosidade da estrela L pode ser obtida diretamente multiplicando o fluxodela proveniente pela ´area sobre a qual o fluxo se distribui, integrado sobretodas as freq¨uˆencias.Para objetos extensos (os que n˜ao tˆem aparˆencia estelar), podemos de-finir, ainda, o brilho superficial, que ´e o fluxo por unidade de ´area angulardo objeto. Assim como a intensidade espec´ıfica, o brilho superficial n˜aodepende da distˆancia, pois tanto o fluxo como a ´area angular do objeto di-minuem com o quadrado da distˆancia entre o objeto e o observador. Porexemplo, o fluxo do Sol, na Terra, ´e 25 vˆezes maior do que o fluxo do Solem J´upiter, que est´a 5 vˆezes mais distante. Mas o fluxo por unidade de ´area(brilho superficial) do Sol ´e o mesmo na Terra e em J´upiter, pois o tamanhoangular do Sol em J´upiter ´e 25 vˆezes menor do que na Terra, compensandoo decaimento do fluxo.A figura abaixo mostra um objeto extenso com unidade de ´area A que,a uma distˆancia d, tem tamanho angular Ω. ´E f´acil imaginar que, quando daumenta, Ω diminui.ΩAd20.5 MagnitudesO brilho aparente de um astro ´e o fluxo medido na Terra e, normalmente, ´eexpresso em termos da magnitude aparente m, que por defini¸c˜ao ´e dada por:m = −2, 5 log F + const. (20.8)Por que o brilho de um astro ´e medido em magnitudes? H´a 2000 anosatr´as, o grego Hiparco (160-125 a.C.) dividiu as estrelas vis´ıveis a olho nude acordo com seu brilho aparente, atribuindo magnitude 1 `a mais brilhantee 6 `as mais fracas. Em 1856, Norman Robert Pogson (1829-1891) propos(Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 17, p. 12) que o sis-tema, baseado na percep¸c˜ao de brilho do olho humano, ´e logar´ıtmico, e o191
  6. 6. fluxo correspondente a uma estrela de primeira magnitude (m=1) era 100vezes mais brilhante que uma estrela de magnitude 6, de modo que:m1 − m2 = K logF1F2−→ 1 − 6 = K logF1F2−5 = K log(100) −→ K = −2, 5como na defini¸c˜ao anterior. Logo:m2 − m1 = −2, 5 logF2F1(20.9)Mais precisamente, 2, 5125 = 100. A constante (const.) na defini¸c˜ao demagnitude (eq. 20.8) define o ponto zero da escala. Normalmente, utiliza-sea magnitude aparente da estrela Vega como m ≡ 0.Para compara¸c˜ao m(S´ırius)=-1,46, m(Lua cheia)=-12,8, m(Sol)=-26,74.As magnitudes dos planetas, no brilho m´edio, s˜ao: m(Merc´urio) = -1,9,m(Vˆenus) = -4,4, m(Marte)= -2,0 , m(J´upiter) = -2,7, m(Saturno) = 0,6,m(Urano)=5,5, m(Netuno)=7,8 e m(Plut˜ao)=15.Uma estrela de magnitude visual V = 0 tem um fluxo observado deFλ = 3.69 × 109 ergcm−2s−1˚A−1 que corresponde a cerca de 1000 f´otonscm−2s−1˚A−1. O n´umero de f´otons detectado no filtro V ´e de cerca de106 f´otons cm−2s−1.A pupila do olho humano, quando adaptada ao escuro, tem aproxima-damente 7 mm. Um telesc´opio com 7 cm de diˆametro, tem uma ´area (70mm/7 mm)2=100 vezes maior e portanto capta 100 vezes mais f´otons. Destamaneira este telesc´opio de 7 cm de abertura permite observar 5 magnitudesmais fracas do que o olho humano, ou seja, at´e magnitude 6+5=11.20.5.1 Sistemas de magnitudesQuando medimos uma estrela, o fluxo obtido depende da sensibilidade es-pectral do equipamento, ou seja, do conjunto telesc´opio + filtro + detector.Se chamamos de Φ(λ) a eficiˆencia espectral do equipamento, normalizada,temos:Fobs =∞0Φ(λ)F(λ)dλ F(λo)∞0Φ(λ)dλ, (20.10)onde F(λo) ´e o fluxo no comprimento de onda efetivo do filtro.Um sistema de magnitudes ´e definido por seu Φ(λ) e por sua constante(const.). Um sistema muito usado ´e o sistema UBV, desenvolvido por Ha-rold Lester Johnson (1921-1980) e William Wilson Morgan (1906-1994) em192
  7. 7. 1951, que define magnitudes em trˆes bandas espectrais: U de ultravioleta,B de blue (azul), e V de visual (amarelo). Essas magnitudes tˆem seus com-primentos de onda efetivos em 3600 ˚A, 4200 ˚A e 5500 ˚A.Assim, a magnitude aparente na banda V, por exemplo, ´e:V = −2, 5 log FV + const. (20.11)Para determinar a constante (const.) do sistema, usamos estrelas padr˜o-es, ou seja, estrelas que tˆem magnitudes bem determinadas.Vega ´e a estrela Alfa Lyrae, a uma distˆancia de d=25 anos-luz, a 5a. estrelamais brilhante no c´eu, com Teff=9500 K, log g = 4, 0, fλ(U) = 4, 35 ×10−12W cm−2 µm−1, fλ(B) = 7, 20 × 10−12W cm−2 µm−1 e fλ(B) = 3, 92 ×10−12W cm−2 µm−1.ComoV = −2, 5 log FV + const.eFobs =∞0Φ(λ)F(λ)dλobtemos:mV = −2, 5 log∞0ΦVF(λ)dλ − 13, 74mB = −2, 5 log∞0ΦBF(λ)dλ − 12, 97mU = −2, 5 log∞0ΦUF(λ)dλ − 13, 87193
  8. 8. elog fλ(V ) = −0, 4mV − 8, 43onde fλ(V ) ´e o fluxo em ergs cm−2 s−1 ˚A−1 fora da atmosfera em 5500˚A. eaindalog Fλ(V ) = −0, 4mV − 8, 85 − 2 log (R/R )onde Fλ(V ) ´e o fluxo em ergs cm−2 s−1 ˚A−1 na fotosfera da estrela em 5500˚A.Ou sejafλ(V = 0) = 3, 631×10−9ergs cm−2s−1 ˚A−1= 3, 631×10−8Watts m−2µm−1oufν(V = 0) = 3631 Janskys = 3631 × 10−26W m−2Hz−1Tabela 20.1: Magnitude do c´eu, por segundo de arco ao quadradoCor Comprimento de onda Do espa¸co Lua Nova Lua CheiaU 3700˚A 23,2 22,0B 4400˚A 23,4 22,7 19,4V 5500˚A 22,7 21,8 19,7R 6400˚A 22,2 20,9 19,9I 8000˚A 22,2 19,9 19,2J 1,2µm 20,7 15,0 15,0H 1,6µm 20,9 13,7 13,7K 2,2µm 21,3 12,5 12,520.5.2 ´Indices de corEm qualquer sistema de magnitudes multicor define-se os´ındices de cor comoa raz˜ao entre os fluxos em duas bandas diferentes, ou equivalentemente, comoa diferen¸ca entre duas magnitudes do sistema. Por exemplo, subtraindo amagnitude V da magnitude B temos o ´ındice de cor B − V , subtraindoa magnitude B da magnitude U temos o ´ındice de cor U − B, e assimpor diante. Como veremos adiante, os ´ındices de cor s˜ao importantes paradeterminar a temperatura das estrelas. Os ´ındice de cor tˆem valores t´ıpicosde d´ecimos ou cent´esimos de magnitudes.194
  9. 9. 20.5.3 Magnitude absolutaA magnitude aparente de uma estrela mede seu brilho aparente, que dependede sua distˆancia. Por exemplo, ser´a S´ırius, com m=-1,42, intrinsicamentemais brilhante do que Vega, com m=0? Para podermos comparar os brilhosintr´ınsecos de duas estrelas, precisamos usar uma medida de brilho queindependa da distˆancia. Para isso, definimos como magnitude absoluta (M)a magnitude te´orica que a estrela teria se estivesse a 10 parsecs de n´os.M = −2, 5 log[F(10 pc)] + const. (20.12)A diferen¸ca entre a magnitude aparente e a absoluta ´e dada por:m − M = −2, 5 log[F(r)] + 2, 5 log[F(10 pc)] = −2, 5 logF(r)F(10 pc)(20.13)ComoF(r)F(10 pc)=F(R)4πR24πr2F(R)4πR24π(10 pc)2=(10 pc)2r2=100 pc2r2(20.14)onde R ´e o raio da estrela, ou seja,m − M = −2, 5 log100 pc2r2(20.15)oum − M = 5 log r − 5 (20.16)o chamado m´odulo de distˆancia. Nesta f´ormula a distˆancia da estrela, r,tem que ser medida em parsecs.Logo,r(pc) = 10m−M+5520.5.4 Magnitude bolom´etricaSe tiv´essemos um equipamento que tivesse 100% de sensibilidade em todosos comprimentos de onda, teoricamente poder´ıamos obter o fluxo em todoo intervalo espectral. A magnitude correspondente ao fluxo em todos oscomprimentos de onda ´e a magnitude bolom´etrica mbol.L = 4πR2∞0Fνdν = 4πR2Fbol195
  10. 10. pois∞0Fνdν =V−0Fνdν + FV +∞V+FνdνNa pr´atica, ´e dif´ıcil medir a magnitude bolom´etrica porque a atmosferaimpede a passagem de certos intervalos espectrais, de forma que se determinaessa magnitude a partir da magnitude visual (mV ≡ V ) como:mbol = mV − C.B. (20.17)onde C.B. ´e a corre¸c˜ao bolom´etrica, que por defini¸c˜ao tem valores pr´oximosa zero para estrelas parecidas com o Sol, e valores maiores para estrelas maisquentes ou mais frias do que o Sol.Como a magnitude bolom´etrica absoluta do Sol ´e Mbol = 4, 72, a mag-nitude bolom´etrica absoluta de uma estrela qualquer ´e dada porMbol = 4, 72 − 2, 5 logLL(20.18)mas precisamos levar em conta o efeito da atmosfera da Terra e do materialinterestelar.20.5.5 Sistema de Str¨omgrenUm dos sistemas de banda intermedi´aria mais usado ´e o definido em 1963pelo dinamarquˆes Bengt Georg Daniel Str¨omgren (1908-1987), no QuarterlyJournal of the Royal Astronomical Society, 4, 8, consistindo de filtros comlargura entre 180 e 300˚A, centrados em 3500, 4110, 4670 e 5470˚A, cujasmagnitudes s˜ao chamadas: u, v, b e y.20.5.6 Extin¸c˜ao atmosf´ericaEmbora a atmosfera seja praticamente transparente na faixa vis´ıvel (3500 ˚Aa 6500 ˚A), ela absorve fortemente no ultravioleta (1000 ˚A a 3500 ˚A) e emv´arias bandas do infravermelho (1 µm a 1 mm), de modo que n˜ao podemosmedir ultravioleta do solo, e infravermelho somente acima de 2000 m dealtura.Na atmosfera, existem v´arios componentes que difundem a luz em todasas dire¸c˜oes (mol´eculas, part´ıculas s´olidas de poeira e fuma¸ca), causando umaextin¸c˜ao cont´ınua, em todos os comprimentos de onda. A extin¸c˜ao ´e tantomaior quanto maior for a quantidade de ar atravessada pela luz. ´E por196
  11. 11. Figura 20.1: Curvas de transmiss˜ao dos filtros de Str¨omgren.esse motivo que podemos olhar diretamente para o Sol quando ele est´a nohorizonte.A atmosfera da Terra afeta as medidas, de forma que as magnitudesobservadas devem ser ajustadas aos valores que ter´ıamos se as observa¸c˜oesfossem feitas fora da atmosfera. O efeito da atmosfera ´e o de absorver eespalhar a radia¸c˜ao em outras dire¸c˜oes, processos esses que s˜ao descritospor um coeficiente de absor¸c˜ao k, usualmente medido em cm−1.dF = −F · k · ds ⇒dFF= −k · dsx+dxxdx zdsIoICZ197
  12. 12. F(x + dx) = F(x) − kF(x)ds,dF = F(x + dx) − F(x) = −kF(x)dsPara distˆancias zenitais pequenas, podemos aproximar a atmosfera por umacamada plana de espessura constante e, ent˜ao, podemos escrever dx =ds cos z → ds = sec zdx, onde z ´e a distˆancia zenital,dFF= −k sec z dxSendo H a altura da atmosfera, Fo o fluxo no topo da atmosfera e F oque chega ao observador. Ent˜ao:FFodFF= −k sec zHodxelnFFo= −k sec zH −→ F = Foe−k sec z H.O termo k sec z H ´e a espessura ´otica τ. Temos, assim, a espessura ´oticaexpressa em fun¸c˜ao da distˆancia zenital z e, supondo que a camada at-mosf´erica ´e formada por camadas plano-paralelas, ela pode ser expressa porτ = τo sec z, onde τo = kH ´e a espessura ´otica na dire¸c˜ao do zˆenite, e ofluxo ser´a:F = Foe−τ= Foe−τosec z(20.19)Em magnitudes, essa equa¸c˜ao fica:m = −2, 5 log Fo + (2, 5 log e) τo sec z = mo + K · Xm = mo + 1, 086 τo sec z = mo + 1, 086 τ = mo + K · X (20.20)onde K = 1, 086τo ´e o coeficiente de extin¸c˜ao, e X = sec z ´e a massa de ar.Um exemplo de aplica¸c˜ao deste conceito ´e considerarmos uma estrelaobservada a uma distˆancia zenital de 45o. Como sec 45o = 1, 41 e usando umcoeficiente kH = 0, 46, t´ıpico de observa¸c˜oes ´oticas, obtemos F = 0, 52 Fo,ou seja, a atmosfera terrestre absorve 48% da luz da estrela ao observarmosa 45o do zˆenite.A diferen¸ca (m − mo) ´e a extin¸c˜ao atmosf´erica em magnitudes e ´e deter-minada atrav´es de estrelas padr˜oes para as quais mo ´e conhecido.A constante K ´e caracter´ıstica do meio e depende do comprimento deonda, sendo mais correto escreverm(λ) = mo(λ) + K(λ) · X198
  13. 13. Para o sistema UBV, e para locais situados acima de 2000 m de altitude,os valores dos coeficientes m´edios de extin¸c˜ao s˜ao: K(U) 0, 48, K(B)0, 25 e K(V ) 0, 14.No nosso exemplo de observarmos uma estrela a 45o do zˆenite, vemosque a extin¸c˜ao atmosf´erica neste caso equivale a 0, 48 sec 45o = 0, 68 mag emU, 0, 25 sec 45o = 0, 35 mag em B e 0, 14 sec 45o = 0, 20 mag em V.Como vemos, os coeficientes de extin¸c˜ao decrescem de U para V, indi-cando que os comprimentos de onda menores s˜ao mais absorvidos e espa-lhados do que os maiores, e portanto a luz azul ´e mais extinguida do que avermelha. Portanto, a extin¸c˜ao torna as estrelas mais avermelhadas.20.5.7 Extin¸c˜ao interestelar e Excesso de corAl´em da extin¸c˜ao atmosf´erica, ´e necess´ario levar em conta tamb´em a ex-tin¸c˜ao interestelar, devido `a poeira interestelar concentrada principalmenteno plano da Gal´axia e que tamb´em extingue e avermelha a luz das estrelas.Essa extin¸c˜ao foi descoberta por Robert Julius Trumpler (1886-1956), em1930.A extin¸c˜ao interestelar em magnitudes ´e representada pela letra A comum subscrito indicando a banda espectral a que se refere, por exemplo, aextin¸c˜ao interestelar na banda B ´e AB e na banda V ´e AV .Aλ1 − Aλ2 = 2, 5 logF0 (λ1)F0 (λ2)− logF (λ1)F (λ2)onde F0 ´e o fluxo real e F o fluxo observado. Michael J. Seaton, em seuartigo de 1979 no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 187,73, apresenta a varia¸c˜ao da extin¸c˜ao com o comprimento de onda.Se n˜ao existisse extin¸c˜ao interestelar, a magnitude visual absoluta MVde uma estrela de magnitude aparente V0 (j´a corrigida por extin¸c˜ao at-mosf´erica), localizada a uma distˆancia d seria:MV = V0 − 5 log d(pc) + 5Considerando que a magnitude aparente V est´a afetada por avermelha-mento interestelar, V0 = V − AV , a magnitude visual absoluta ser´a:MV = V − AV − 5 log d(pc) + 5onde AV ´e a extin¸c˜ao interestelar no visual, em magnitudes, e ´e da ordemde 1 magnitude por kiloparsec.199
  14. 14. Similarmente, a magnitude azul absoluta ser´a:MB = B − AB − 5 log d(pc) + 5e o ´ındice de cor da estrela ´e:MB − MV = (B − V ) − (AB − AV )ou(B − V )0 = (B − V ) − EB−Vonde (B−V )0 = MB −MV ´e o´ındice de cor intr´ınseco e EB−V = (AB −AV ),´e o excesso de cor.Vemos assim que, embora a magnitude aparente uma estrela dependa desua distˆancia, o ´ındice de cor n˜ao depende da distˆancia e, por isso, ´e muito´util para determinar a temperatura da estrela.Em princ´ıpio, poder´ıamos obter a temperatura de uma estrela medindoo fluxo em dois comprimentos de onda diferentes, como U e B, ou B e V.A raz˜ao dos fluxos (diferen¸ca de magnitudes) ´e uma fun¸c˜ao somente detemperatura, j´a que a distˆancia se anula. Na pr´atica, precisamos de dois´ındices de cor, (U-B) e (B-V), devido `a poeira interestelar na dire¸c˜ao daestrela, que reduz U, B e V diferencialmente, j´a que ´e maior a redu¸c˜ao paracomprimentos de onda menores. Conseq¨uentemente, existe uma distor¸c˜aonos valores observados dos´ındices em rela¸c˜ao aos valores reais, mas podemosremover as distor¸c˜oes medindo dois ´ındices, isto ´e, podemos corrigir poravermelhamento interestelar. Na ausˆencia de avermelhamento interestelar,as cores (B-V) e (U-B) das estrelas se encontram em um curva ondulada.Se a estrela a ´e encontrada fora dessa curva, assumimos que ela sofreuavermelhamento interestelar e movemos a medida para cima ao longo dadiagonal de inclina¸c˜ao conhecidaEU−BEB−V= 0, 72at´e que esteja sobre a curva. O deslocamento de a at´e a , ´e o excesso de cor.200
  15. 15. A corre¸c˜ao ao fluxo observado em V, FobsV , tamb´em pode ser obtida doavermelhamento, j´a que a poeira interestelar produz uma raz˜ao constantede fluxos:AV = R · EB−Vou seja:V = −2, 5 log FobsV − AV − CVonde CV ´e a constante do sistema e a magnitude absoluta visual ser´a:MV = −2, 5 log FobsV − AV − 5 log d(pc) + 5O valor de R est´a entre 3,0 e 5,0, dependendo da dire¸c˜ao na Gal´axia, devido`a varia¸c˜ao no tamanho e composi¸c˜ao qu´ımica dos gr˜aos de poeira. O valormais prov´avel, fora das regi˜oes de grande extin¸c˜ao, ´e de R=(2.99 ± 0.27),de acordo com Edward L. Fitzpatrick & Derck Massa (2007, AstrophysicalJournal, 663, 320).20.6 Teoria da Radia¸c˜ao20.6.1 O corpo negroEm 1859-60, Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), de Heidelberg, definiuum corpo negro como um objeto que absorve toda a luz que incide sobreele, sem refletir nada da radia¸c˜ao. Um corpo com essa propriedade, emprinc´ıpio, n˜ao pode ser visto e, portanto, ´e negro. Para tal corpo estar emequil´ıbrio termodinˆamico, ele deve irradiar energia na mesma taxa em que aabsorve, do contr´ario ele esquentaria ou esfriaria, e sua temperatura varia-ria. Portanto, um corpo negro, al´em de ser um absorsor perfeito, ´e tamb´em201
  16. 16. um emissor perfeito. Em 1886, Samuel Pierpont Langley (1834-1906) usouseu espectro-bolˆometro para medir a distribui¸c˜ao de radia¸c˜ao para diversasfontes de calor, de baixas e altas temperaturas. Em 1893, o alem˜ao Wi-lhelm Wien (1864-1928), do Physikalisch-Technische Reichsanstalt (PTR),instituto de metrologia alem˜ao, descobriu empiricamente a chamada Lei deWien:hνmax = 2, 821 k T.Em 1895, os alem˜aes Wien e Otto Richard Lummer (1860-1925) propuseramque um corpo negro n˜ao existe na natureza, mas poderia ser constru´ıdo, de-monstrando que a radia¸c˜ao emergente de um pequeno buraco em um corpooco, com paredes internas `a mesma temperatura, tem a mesma forma daradia¸c˜ao de um corpo negro. Lummer e Ernst Pringsheim (1859-1917) des-cobriram que corpos n˜ao negros tamb´em obedecem `a lei do deslocamento deWien, por´em com valor distinto da constante; dessa forma, a temperaturados corpos pode ser medida com a mesma f´ormula. Em 1899, Lummer,Pringsheim, Heinrich Leopold Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum(1857-1927), tamb´em do PTR, mediram a forma do espectro e observa-ram que a forma derivada classicamente por Wien era v´alida para altasfreq¨uˆencias, mas simplesmente n˜ao funcionava para baixas freq¨uˆencias.Em 1900, o f´ısico alem˜ao Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) daUniversidade de Berlim 1, postulou que a energia eletromagn´etica s´o pode sepropagar em quanta discretos, ou f´otons, cada um com energia E = hν. Comessa quantiza¸c˜ao da energia, ele pode deduzir teoricamente a intensidade deum campo de radia¸c˜ao, como demonstrado a seguir.A intensidade espec´ıfica monocrom´atica (energia por unidade de compri-mento de onda, por unidade de tempo, por unidade de ´area, e por unidadede ˆangulo s´olido) de um corpo que tem uma temperatura uniforme T queest´a em equil´ıbrio termodinˆamico com seu pr´oprio campo de radia¸c˜ao, isto´e, ´e opaco, ´e chamada Iλ ≡ Bλ(T) e ´e dada pela Lei de Planck:Bλ(T)dλ = −cE4πdnb(p),1Max Karl Ernest Ludwig Planck nasceu em 23 de abril de 1858 na cidade de Kiel, nonorte da Alemanha. Cursou a Universidade de Munique e depois foi para Berlin estudarcom Hermann von Helmoltz (1821-1894) e Gustav Kirchhoff (1824-1887). Obteve seu dou-torado em Munique em 1879, com uma tese sobre o segundo princ´ıpio da termodinˆamica.Em 1885 tornou-se professor na Universidade de Kiel e quatro anos mais tarde na Uni-versidade de Berlin, onde passou a catedr´atico em 1892. Permanceu no cargo at´e seus 70anos, quando aposentou-se e passou a dar palestras sobre ciˆencia e religi˜ao. Morreu em 4de outubro de 1947.202
  17. 17. 2000 4000 6000 80000102030T=10 000KT=7000KT=5500KT=9000KLei de Planckonde E ´e a energia da part´ıcula, c ´e a velocidade da luz, e dnb(p) ´e o n´umerode f´otons com momentum p, associado `a energia E, e ´e dado pela distribui¸c˜aode momentum p de Bose-Einstein de um g´as de b´osons de spin s [veja se¸c˜ao(23.1)]:dnb(p) =(2s + 1)exp[(E − µ)/kT] − 14πp2dph3,sendo µ o potencial qu´ımico [se¸c˜ao (23.9.1)], que depende da densidade depart´ıculas (n´umero de part´ıculas por unidade de volume, N) e ´e obtidointegrando-se:N =∞0n(p)dp.O termo (2s + 1) representa o n´umero de part´ıculas (estados independen-tes) poss´ıveis com mesma energia E, e o termo h−3 ´e necess´ario devidoao princ´ıpio da incerteza de Heisenberg, proposto em 1927 por Werner KarlHeisenberg (1901-1976), que define o menor tamanho poss´ıvel da c´elula parao produto do volume de espa¸co e de momentum.203
  18. 18. Para um f´oton, que ´e um b´oson de massa zero e spin 1, E = hν, p = hν/c,λ = c/ν e µ = 0. Com esses valores se pode obter:Bλ(T) =2hc2λ51ehc/λkT − 1(20.21)onde h ´e a constante de Planck, e k = 1, 38 × 10−16ergs/K ´e a constante deBoltzmann.Para escrever a lei de Planck em termos de freq¨uˆencia, precisamos utilizara equa¸c˜ao (20.2), edνdλ= −cλ2obtendoBν = Bλλ2couBν(T) =2hν3c21ehν/kT − 1(20.22)onde, em unidades do sistema internacional:h = constante de Planck = 6, 63 × 10−34Js,c = velocidade da luz = 3 × 108m s−1,k = constante de Boltzmann = 1, 38 × 10−23J K−1.Essa intensidade espec´ıfica n˜ao depende de qualquer propriedade docorpo a n˜ao ser sua temperatura, e Bν tem unidades de W m−2 Hz−1 sr−1.Qualquer corpo em equil´ıbrio termodinˆamico emitir´a f´otons com uma dis-tribui¸c˜ao de comprimentos de onda dada pela Lei de Planck. Esta radia¸c˜ao,chamada de radia¸c˜ao de corpo negro, ou radia¸c˜ao t´ermica, n˜ao depende dadire¸c˜ao de emiss˜ao e n˜ao ´e polarizada.Para o caso mais geral de radia¸c˜ao, propagando-se em um meio com´ındice de refra¸c˜ao (real) µν, a intensidade espec´ıfica ser´a dada por:Iν = µ2νBν(T)20.6.2 Lei de WienComo podemos ver da figura com a Lei de Planck, a freq¨uˆencia em que aintensidade ´e m´axima varia com a temperatura. O m´aximo (e o m´ınimo) de204
  19. 19. qualquer fun¸c˜ao ´e dado para o ponto em que a derivada ´e nula. Derivandoa Lei de Planck Bλ(T) e igualando a derivada a zero,dBλ(T)dλ= −10hc2λ6 ehc/λkT − 1+2hc2λ5hcλ2kTehc/λkTehc/λkT − 12 = 0logohcλkTehc/λkTehc/λkT − 1= 5Fazendo-se a substitui¸c˜ao de vari´aveis x ≡ hcλkT , obt´em-se uma equa¸c˜aotranscendental:e−x+15x − 1 = 0que pode ser resolvida numericamente, obtendo-se:λmaxT = 0, 0028978 K m = 28978000 K ˚A 5383 × 5383 K ˚A (20.23)e o m´aximo de Bν(T) ocorre emhνmax = 2, 821 k T (20.24)Note que λmax n˜ao ´e igual a c/νmax pois Bλ n˜ao ´e igual a Bν. Essa rela¸c˜ao,encontrada empiricamente por Wilhelm Wien, mostra que, `a medida que Taumenta, νmax aumenta, ou λmax diminui. Dessa maneira, se explica porquequando se aquece uma barra de ferro, ela torna-se primeiro vermelha e depoisesverdeada e azulada.20.6.3 Lei de Stefan-BoltzmannEm 1884, o matem´atico austr´ıaco Josef Stefan (1835-1893) e seu aluno na´epoca, o tamb´em austr´ıaco Ludwig Boltzmann (1844-1906), descobriramempiricamente que o fluxo (energia por unidade de ´area, por unidade detempo) de um corpo negro de temperatura T ´e dado por:F = 2ππ/20cos θ senθ dθ∞0Bν(T)dν = σT4onde σ = 5, 67 × 10−5ergs cm−2 K−4 s−1 = 5, 67 × 10−8W m−2 K−4 ´e a cons-tante de Stefan-Boltzmann. Essa lei pode ser demonstrada considerandoque:B(T) ≡∞0Bνdν =2hc2∞0ν3dνehνkT − 1205
  20. 20. e definindo-se α ≡ hνkT ,B(T) =2hc2kTh4 ∞0α3dαeα(1 − e−α)=2hc2kTh46∞n=01(n + 1)4=2hc2kTh4π415=σπT4Uma estrela n˜ao ´e um corpo negro, pois suas camadas externas, de ondeprov´em a radia¸c˜ao, n˜ao est˜ao exatamente em equil´ıbrio t´ermico. 2Escrevemos para o fluxo na fotosfera da estrela:F ≡ σT4ef (20.25)definindo um parˆametro chamado temperatura efetiva Tef. Portanto, parauma estrela esf´erica de raio R, a luminosidade ´e obtida multiplicando-se ofluxo pela ´area da fotosfera 4πR2:L = 4πR2σT4ef (20.26)A temperatura efetiva de uma estrela ´e, portanto, a temperatura de umcorpo negro que emite a mesma quantidade de energia por unidade de ´areae por unidade de tempo que a estrela.3Exemplo: energia do Sol na Terra: a luminosidade do Sol, isto ´e, aenergia total emitida pelo Sol ´e L = 3, 9 × 1033ergs/s, sendo que 1 Joule2Nas estrelas n˜ao acontece o equil´ıbrio termodinˆamico propriamente dito, pois as ca-madas que a comp˜oem n˜ao est˜ao todas `a mesma temperatura, sendo tanto mais quentesquanto mais pr´oximas est˜ao do n´ucleo, onde a energia ´e gerada. Mas o transporte dessaenergia para as camadas superiores se d´a sem altera¸c˜ao significativa da distribui¸c˜ao de tem-peratura das camadas intermedi´arias, de forma que cada camada permanece em equil´ıbriotermodinˆamico com ela mesma. Isso denomina-se equil´ıbrio termodinˆamico local.3A defini¸c˜ao de temperatura de um objeto astronˆomico n˜ao ´e ´unica, pois depende dom´etodo que estamos usando para medi-la. Assim, a temperatura de uma estrela medidapela lei de Wien (a partir da intensidade em um comprimento de onda), ´e ligeiramentediferente da sua temperatura medida pela lei de Stefan-Boltzmann (a partir da lumino-sidade e do raio). Esta ´ultima ´e a temperatura efetiva, enquanto a primeira ´e chamadatemperatura de brilho. Pode-se ainda definir a temperatura de cor, determinada a partirda raz˜ao de fluxos em dois comprimentos de onda diferentes. Essas temperaturas n˜ao s˜aoiguais porque os corpos astronˆomicos n˜ao s˜ao corpos negros perfeitos.206
  21. 21. = 107 ergs. Como o raio do Sol ´e de R = 700 000 km, segue da equa¸c˜ao(20.26) que a temperatura efetiva do Sol ´e Tef = 5400 K.A energia que atinge a Terra por unidade de ´area e de tempo, por de-fini¸c˜ao de fluxo, ´e de:F⊕ =L4πr2onde r ´e a distˆancia do Sol `a Terra, de 1 unidade astronˆomica (UA) = 150milh˜oes de km.Portanto, a potˆencia luminosa interceptada pela Terra, que tem umasec¸c˜ao reta πR2⊕, onde R⊕ ´e o raio da Terra, R⊕ = 6400 km, ´e dada por:P = πR2⊕F⊕ = πR2⊕L4πr2Devido `a rota¸c˜ao da Terra, o fluxo m´edio incidente ´e obtido dividindo apotˆencia interceptada na Terra pela ´area total da Terra, 4πR2⊕.¯F⊕ =P4πR2⊕=L16πr2= 3, 5 × 105ergs s−1cm−2A Terra absorve 61% da luz incidente, refletindo os outros 39%. Aenergia absorvida aquece a Terra, que irradia como um corpo negro a umataxa σT4 por unidade de ´area. Logo:σT4⊕ = 0, 61 ¯F⊕o que resulta em uma temperatura para a Terra de T⊕ = 249 K.De fato, devido ao efeito estufa do g´as carbˆonico (CO2) e da ´agua, atemperatura da Terra ´e de 290 K. Portanto, o efeito estufa mant´em a ´aguana superf´ıcie da Terra acima do ponto de congelamento, de 273 K. A escalade temperatura que usamos quotidianamente ´e a Celsius [Anders Celsius(1701-1744)], comumente chamada de escala cent´ıgrada. A rela¸c˜ao entre osdois sistema ´e: T(C)=T(K)-273, ou seja, 0o C=273 K.207

×