Estática Aplicada às Máquinas_3 - Corpos rigidos sistemas equivalentes de forças

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Aula ministrada pelo docente Maycon Athayde da disciplina de Estática Aplicada às Máquinas ministrada na Multivix 2013_2.

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Estática Aplicada às Máquinas_3 - Corpos rigidos sistemas equivalentes de forças

  1. 1. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática Prof. Maycon Athayde
  2. 2. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 2 Contents introdução Forças externas e internas Princípio de transmissibilidade: Forças equivalentes Vetor produtos de dois vetores Momento de uma força sobre um ponto Teorema de VARIGON Componentes retangulares do momento de uma força Amostra Problema 3.1 Produto escalar de dois vetores Produto escalar de dois vetores: Aplicações Produtos triplo misto de três vetores Momento de uma força torno de um eixo Dado Amostra Problema 3.5 Momento de um Casal Além de Casais Casais podem ser representados por vetores Resolução de uma força em uma força em O e um par Amostra Problema 3.6 Sistema de Forças: Redução a uma força e um par Redução adicional de um sistema de forças Amostra Problema 3.8 Amostra Problema 3.10
  3. 3. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 3 introdução •O tratamento de um corpo como uma única partícula não é sempre possível. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos específicos de aplicação das forças deve ser considerada. •A maioria dos corpos em mecânica elementares são consideradas rígidas, ou seja, as deformações reais são pequenas e não afetam as condições de equilíbrio ou de movimento do corpo. •Capítulo corrente descreve o efeito das forças exercidas sobre um corpo rígido e como a substituição de um determinado sistema de forças com um sistema equivalente simples. –momento de uma força sobre um ponto –momento de uma força sobre um eixo –momento devido a um par •Qualquer sistema de forças que actuam sobre um corpo rígido pode ser substituído por um sistema equivalente que consiste de uma força que actua num dado ponto e um binário.
  4. 4. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 4 Forças externas e internas •As forças que actuam sobre os corpos rígidos são divididos em dois grupos: –As forças externas –forças internas •As forças externas são mostradas num diagrama de corpo livre. •Se sem oposição, cada força externa pode conferir um movimento de translação ou de rotação, ou de ambos.
  5. 5. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 5 Princípio de transmissibilidade: Forças equivalentes •? Princípio de transmissibilidade - Condições de equilíbrio ou de movimento não são afetados pela transmissão de uma força ao longo de sua linha de ação NOTA: F e F 'são forças equivalentes.?. •Mover o ponto de aplicação da força F para o pára-choque traseiro não afeta o movimento ou as outras forças que atuam sobre o caminhão. •Princípio da transmissibilidade nem sempre se aplicam na determinação de forças internas e deformações.
  6. 6. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 6 Vetor produto de dois Vetors • Conceito de momento de uma força sobre um ponto é mais facilmente compreendida através de aplicações do produto Vetor ou produto cruzado. • Vetor produto de dois Vetors P e Q é definido como a V Vetor que satisfaz as condições seguintes: • Linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém P e Q. • Magnitude de V é • Direção de V é obtido a partir da regra da mão direita. V  PQsin • Produto Vetor: - Não é Comutativo, - Não é distributivo, - Não é associativo, Q P  PQ   P Q1 Q2  PQ1  PQ2 PQ S  PQ S
  7. 7. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 7 Produto Vetor: Componentes retangulares • Produtos Vetor de Vetores unidade cartesianas, 0 0 0                      i k j j k i k k i j k j j k j i i i j i k k i j                         • Produtos Vetor em termos de coordenadas retangulares V Pxi Py j Pzk  Qxi Qy j Qzk                   P Q P Q k P Q P Q i P Q P Q j x y y x y z z y z x x z          x y z x y z Q Q Q P P P i j k     - +
  8. 8. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 8 Momento de uma força sobre um ponto • A Vetor força é definida por sua magnitude e direção. O seu efeito sobre o corpo rígido também depende disso ponto de aplicação. • O momento de F sobre O é definido como MO  r F • O Vetor MO momento é perpendicular ao plano que contém O e o vetor F. • Qualquer força F ', que tem a mesma grandeza e direcção, como F, é equivalente se também tem a mesma linha de acção e, portanto, produz o mesmo momento • Amplitude da MO mede a tendência da força para causar a rotação do corpo em torno do eixo ao longo MO. • O sentido do momento pode ser determinado pela regra da mão direita. MO  rF sin  Fd
  9. 9. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 9 Momento de uma força sobre um ponto •Estruturas bidimensionais tem comprimento e largura, mas negligenciável profundidade e são submetidos a forças contidas no plano da estrutura. •O plano da estrutura contém o ponto S e da força F. MO, o momento da força de cerca de O é perpendicular ao plano. •Se a força tende a girar a estrutura dos ponteiros do relógio, no sentido da Vetor momento é para fora do plano da estrutura e a magnitude do momento é positivo. •Se a força tende a rodar a estrutura de sentido anti-horário, o sentido do momento é a Vetor para dentro do plano da estrutura e a magnitude do momento é negativo.
  10. 10. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 10 Varignon’s Theorem •No momento em que cerca de obter O ponto da resultante das várias forças simultâneas é igual à soma dos momentos dos vários momentos em torno do mesmo ponto O. •Teorema de VARIGON torna possível substituir a determinação direção do momento de uma força F pelos momentos de duas ou mais forças que compõem F.     2121FrFrFFr
  11. 11. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 11 Componentes retangulares do momento de uma força yF zF i zF xF  j xF yF k F F F x y z i j k M M i M j M k z y x z y x x y z O x y z                     O momento de F sobre O, F F i F j F k M r F r xi yj zk x y z O                 ,   
  12. 12. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 12 Componentes retangulares do momento de uma força O momento de F sobre B, M r F B A B      /       F F i F j F k x x i y y j z z k r r r x y z A B A B A B A B A B                      /       x y z B A B A B A B F F F x x y y z z i j k M        
  13. 13. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 13 Componentes retangulares do momento de uma força Para estruturas bidimensionais,   xF yFx M M M xF yF k y O Z O y x             x x F y y Fx M M M x x F y y Fx k A B y A B O Z O A B y A B           
  14. 14. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 14 Problema3.1 1.força vertical de 100 libras é aplicada à extremidade de uma alavanca que está ligada a um veio de O. 2.Determine: 1.momento cerca de O, 2.A força horizontal em A que cria o mesmo momento, 3.menor força em A, que produz o mesmo momento, 4.localização para uma força vertical de 240 kg para produzir o mesmo momento, 5.se qualquer das forças do b, c, e d é equivalente à força inicial.
  15. 15. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 15 Problema3.4 A placa rectangular é suportada pelos suportes em A e B e por um fio CD. Sabendo que a tensão do fio é de 200 N, determinar o momento em torno de uma força exercida pelo arame em C. Solução: O MA momento da força F exercida pelo fio é obtido por meio da avaliação do produto Vetor, FrMACA  
  16. 16. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 16 Produto Escalar de Dois Vetores • O produto Escalar ou ponto-produto entre dois vetores P e Q é definido como PQ  PQcos scalar result   • Produto Escalar: - São Comutativo, - são distributiva, - não são associativos, P Q Q P          1 2 1 2 P Q Q P Q P Q              PQ S  undefined    • Produtos escalares com os componentes da unidade cartesianas, i  i 1 j  j 1 k  k 1 i  j  0 j  k  0 k  i  0             P Q P i P j P k  Q i Q j Q k  x y z x y z                2 2 2 2 P P P P P P P Q P Q P Q P Q x y z x x y y z z             
  17. 17. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 17 Produto Escalar de Dois Vetores: Aplicação • Angulo entre dois veotres: PQ P Q P Q P Q P Q PQ P Q P Q P Q x x y y z z x x y y z z           cos cos   • Projeção dos vetores nos seus dados eixos: OL OL P P Q P Q P Q PQ P P P OL           cos cos cos Projeção de através de     x x y y z z OL P P P P P      cos  cos  cos     • Para um eixo definido por um vetor unitário:
  18. 18. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 18 Produtos triplo misto de três Vetors • Produto triplo misto de três Vetors, S PQ Re sultadoEscalar    • Os seis produtos triplos misto formado a partir de S, P e Q têm magnitudes iguais, mas não é o mesmo sinal,       S Q P P S Q Q P S  S P Q P Q S Q S P                                              x y z x y z x y z z x y y x x y z z y y z x x z Q Q Q P P P S S S S P Q P Q S P Q S P Q P Q S P Q P Q             • Avaliando o produto triplo misto,
  19. 19. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 19 Momento de uma força torno de um eixo Dado • MO momento de uma força F aplicada no ponto A cerca de um ponto O, M r F O      • momento escalar MOL em torno de um eixo OL é a projeção do Vetor MO momento para o eixo, M M r F OL O             • Momentos de F sobre os eixos coordenados z y x y x z x z y M xF yF M zF xF M yF zF      
  20. 20. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 20 Momento de uma força torno de um eixo Dado • Momento de uma força sobre um eixo arbitrário,   A B A B A B BL B r r r r F M M                  • O resultado é independente do ponto B ao longo do eixo dado.
  21. 21. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 21 Problema3.5 a)sobre A b)sobre o bordo AB e c)AG sobre a diagonal do cubo. d)Determine a distância perpendicular entre AG e FC. Um cubo é acionado por uma força P, como mostrado. Determinar o momento de P
  22. 22. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 22 Momento de um Binário • Duas forças F e -F com a mesma magnitude, linhas paralelas de ação, e sentido oposto são ditas para formar um binário. • Momento de um binário,     M rF Fd r F r r F M r F r F A B A B             sin           • Vetor momento do binário é independente da escolha da origem dos eixos de coordenadas, ou seja, é um Vetor livre que pode ser aplicado em qualquer ponto com o mesmo efeito.
  23. 23. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 23 Momento de um binários Dois binários terão momentos iguais se • 1 1 2 2 F d  F d • os dois binários se encontram em planos paralelos, e • os dois binários têm o mesmo sentido, ou a tendência para provocar a rotação na mesma direcção.
  24. 24. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 24 Adição de binário • Consideremos dois planos intersectando P1 e P2, com cada uma contendo um par 2 2 2 1 1 1 in plane in plane M r F P M r F P           • Vetores Resultantes Também Formam binários   1 2 M r R r F F            • Pelo teorema de VARIGON 1 2 1 2 M M M r F r F              • Soma de dois binário também é um binário que é igual à soma dos dois Vetor binário
  25. 25. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 25 binários podem ser representados por vetores •Um binário pode ser representada por um Vetor com magnitude e direcção igual ao momento do binário. •Vetors binários podem obedecer à lei de adição de Vetors. •Vetors binários Vetors são livres, ou seja, o ponto de aplicação não é significativa. •Vetors binários pode ser resolvido em Vetors componentes.
  26. 26. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 26 ReSolução de uma força em uma força em O e um par •Força Vetor F não pode ser simplesmente transferido para O sem modificar sua ação sobre o corpo. •Colocar Vetors força iguais e opostas em O não produz nenhum efeito líquido sobre o corpo. •As três forças pode ser substituída por uma força equivalente a Vetor e binários Vetor, ou seja, um sistema de força-binário.
  27. 27. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 27 ReSolução of a Force Into a Force at O and a Couple • Movendo F de A para um ponto diferente O’ requer a adição de um binário de vetores diferentes MO’ M r F O      ' • O momento de F sobre O e O’ está relacionado,   M s F M r F r s F r F s F O O                  '        ' • Movendo o sistema de binários de força de O para O’ requer a adição de um momento de força de O sobre O’.
  28. 28. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 28 Problema3.6 Determinar os componentes do binário único equivalente aos binários mostrados. Solução: •Anexar 2 forças iguais e opostas lb na direção +/- x em A, produzindo, assim, três casais para que os componentes de momento são facilmente computados. •Alternativamente, calcule a soma dos momentos das quatro forças em torno de um único ponto arbitrário. O ponto D é uma boa escolha, apenas duas das forças vão produzir contribuições momento não zero.
  29. 29. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 29 Sistema de Forças: Redução de uma Força e Casal • Um sistema de forças pode ser substituída por uma colecção de sistemas de força-par actuando num dado ponto O • A força e binários Vetors podem ser combinados em um Vetor força resultante e um binário resultante Vetor, R  F M  r  F R O      • O sistema de força-binário em O podem ser movidas para S 'com a adição do momento de R cerca de O, M M s R R O R O        ' • Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem ser reduzidos para o mesmo sistema de força-binário.
  30. 30. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 30 Redução adicional de um sistema de forças •Se a força resultante ea binário em O são perpendiculares entre si, que podem ser substituídas por uma única força atuando ao longo de uma nova linha de ação. •sistema de força-binário resultante para um sistema de forças será mutuamente perpendiculares se: •1) As forças são concorrentes, •2) as forças são coplanares, ou •3) as forças são paralelas?.
  31. 31. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 31 Redução adicional de um sistema de forças • Sistema de forças coplanares é reduzidos para o sistem forças que são mutuamente perpendiculares R O R M   and • O sistema pode ser reduzido a uma única força movendo a linha de acção até que o seu momento sobre O torna R O M  R  • Em termos de coordenadas retangulares, R y x O xR  yR  M
  32. 32. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 32 Problema3.8 Para o feixe, reduzir o sistema de forças mostrados em (a) um sistema de-força binário equivalente em A, (b) um sistema binário de forças equivalente em B, e (c) uma força única ou resultante. Nota: Uma vez que as reações de apoio não estão incluídos, o sistema dado não vai manter o feixe em equilíbrio. Solução: a)Calcule a força resultante das forças mostradas e o binário resultante para os momentos das forças sobre A. b)Calcule a força resultante das forças mostradas eo binário resultante para os momentos das forças sobre A. c)Determinar o ponto de aplicação da força resultante de tal modo que o seu momento sobre o A é igual ao binário resultante a A.
  33. 33. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática 3 - 33 Problema3.10 Três cabos estão ligados ao suporte, conforme mostrado. Substitua as forças com um sistema força-binário equivalente em A. Solução: • Determinar a posição Vetors relativos dos pontos de aplicação das forças dos cabos com relação a A. • Resolve as forças em componentes rectangulares. • Calcule a força equivalente, R  F   • Calcule o casal equivalente, M  r  F R A   

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