Escoamento incompressível de fluidos não viscosos

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Disciplina ofertada na Faculdade Multivix em Vitória-ES.

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Escoamento incompressível de fluidos não viscosos

  1. 1. Mecânica dos Fluidos 2 Prof. João Felipe Bassane Engenharias 1 Escoamento incompressível de fluidos não viscosos
  2. 2. 2 Capítulo 4 – Escoamento incompressível de fluidos não viscosos Neste capítulo, em vez das equações de Navier-Stokes, nós vamos estudar a equação de Euler, que se aplica a um fluido sem viscosidade. Embora não existam fluidos reais sem viscosidade, muitos problemas de escoamento (especialmente em aerodinâmica) podem ser analisados com sucesso pela aproximação de μ = 0. 4.1) Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito: a equação de Euler A equação de Euler é dada por: 𝜌 𝐷𝑉 𝐷𝑡 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 → 𝐷𝑉 𝐷𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉
  3. 3. 3 • Em termos das coordenadas retangulares: 4.1) Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito: a equação de Euler 𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 = 𝜌𝑔 𝑥 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥
  4. 4. 4 • Em termos das coordenadas cilíndricas: 4.1) Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito: a equação de Euler
  5. 5. 5 4.2) As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente A equação de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido verticalmente para cima é dada por:
  6. 6. 6 4.2) As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente A equação de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido verticalmente para cima é dada por: − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑠 − 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑠 Para escoamento permanente: − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑠 − 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑠
  7. 7. 7 4.3) A equação de Bernoulli – Integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente. A equação de Euler apesar de ser mais simples que outras equações equivalentes de escoamentos viscosos ainda apresenta dificuldades consideráveis para a sua solução. Uma aproximação conveniente para um problema de escoamento em regime permanente é integrar a equação de Euler ao longo de uma linha de corrente. − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑠 − 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑠
  8. 8. 8 4.3) A equação de Bernoulli – Integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente. − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑠 − 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑠
  9. 9. 9 4.3) A equação de Bernoulli – Integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente. 𝑝 𝜌 + 𝑉2 2 + 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Equação de Bernoulli Restrições para o uso da equação de Bernoulli: 1) Escoamento permanente; 2) Ausência de atrito; 3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente; 4) Escoamento incompressível
  10. 10. 10 4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Pressão estática – É a pressão utilizada na dedução da equação de Bernoulli (pressão termodinâmica). É a pressão “sentida” pela partícula fluida em movimento. Como medir a pressão de um fluido em movimento? Nestes casos a tomada de pressão é um pequeno orifício perfurado na parede do tubo de modo a ter seu eixo perpendicular à superfície.
  11. 11. 11 4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Como medir a pressão de um fluido em movimento? Numa corrente de fluido afastada da parede, ou onde as linhas de corrente são curvas, medições precisas da pressão estática podem ser feitas com o emprego criterioso de uma sonda de pressão estática.
  12. 12. 12 4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Pressão de estagnação – É a pressão obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. Este termo é usualmente chamado de pressão dinâmica
  13. 13. 13 4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Pressão de estagnação – É a pressão obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. A equação acima estabelece que a pressão de estagnação (ou total) é igual à pressão estática mais a pressão dinâmica. Exemplo: Uma maneira de descrever as três pressões é imaginar o vento batendo contra a palma de sua mão em regime permanente. A pressão estática será a pressão atmosférica; a pressão maior que você sente no centro da palma da sua mão será a pressão de estagnação; e o acréscimo de pressão (em relação pressão atmosférica) será a pressão dinâmica.
  14. 14. 14 4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Resolvendo a equação para V temos: Assim, se a pressão de estagnação e a pressão estática puderem ser medidas em um ponto, a equação acima dará a velocidade local do escoamento. A pressão de estagnação é medida por meio de um sonda com orifício posicionada na direção do escoamento e em sentido oposto a ele. Tal instrumento é chamado de sonda de pressão total (ou de estagnação) ou tubo pitot (ou tubo de Pitot)
  15. 15. 15 Exemplo 1 Dados: 𝜌 𝑎𝑟 = 1,23 𝑘𝑔/𝑚3 𝜌 𝐻𝑔 = 13600 𝑘𝑔/𝑚3
  16. 16. 16 Exemplo 2
  17. 17. 17 Exemplo 3
  18. 18. 18 4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e Piezométrica Se dividirmos a equação de Bernoulli por g, obtemos: 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑉2 2𝑔 + 𝑧 = 𝐻 Onde H é altura de carga total do escoamento. Ela mede a energia mecânica total em unidades de metros. Definindo a altura de carga total como sendo a linha de energia LE e através dela encontramos uma aproximação gráfica muito útil. 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑉2 2𝑔 + 𝑧 = 𝐿𝐸
  19. 19. 19 4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e Piezométrica A linha de energia pode ser medida usando um tubo pitot (carga total). Colocando este tubo no escoamento mede-se a pressão total, 𝑝0 = 𝑝 + 𝜌𝑉2 𝑣 , de modo que isso causará um aumento de altura na coluna de um mesmo fluido ℎ = 𝑝0 𝜌𝑔 = 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑉2 2𝑔 . Definindo z como a posição vertical do tubo pitot medida a partir de algum ponto referencial, a altura de coluna de fluido, medida a partir do ponto referencial, será: ℎ + 𝑧 = 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑉2 2𝑔 + 𝑧 = 𝐿𝐸 = 𝐻 Ou seja, a altura da coluna, medida a partir do ponto referencial, anexado a um tubo Pitot indica diretamente a LE.
  20. 20. 20 4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e Piezométrica A Linha Piezométrica é definida por: 𝐿𝑃 = 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑧 Ela pode ser medida utilizando a tomada de pressão estática, que causará um aumento de altura na coluna de um mesmo fluido ℎ = 𝑝 𝜌𝑔 . Se a posição da tomada é também z então a altura da coluna do fluido, medida a partir do ponto referencial será h + z = 𝑝 𝜌𝑔 + 𝑧 = 𝐿𝑃 Ou seja, a altura da coluna anexada à tomada de pressão estática indica diretamente a LP.
  21. 21. 21 4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e Piezométrica A partir das linhas de energia e piezometrica podemos obter: 𝐿𝐸 − 𝐿𝑃 = 𝑉2 2𝑔 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎
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