Aula 2 - função exponencial

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Material de apoio para Cálculo 1 da Faculdade Pitágoras em Linhares - 2010

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Aula 2 - função exponencial

  1. 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL Introdução Prof. Eraldo Alves dos Santos Cálculo I
  2. 2. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS • Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de equações exponenciais: a) 3x =81 (a solução é x=4) b) 2x-5=16 (a solução é x=9) c) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
  3. 3. • Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a  a  m  n (a  1 e a  0) m n
  4. 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3x=81 Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 • E daí, x=4.
  5. 5. 2) 9x = 1 Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0.
  6. 6.  3 4 81 256 3 4 3)   4) 3 27 3 3 3 81 3  3 4         Resolução: 3 27 3 3 3 3 ; logo ; então 4. 3 4 4 4 4 256 4 Resolução: 4 4 4 3 4 4 4                                 x x x x x x x x x x
  7. 7. 5) 23x-1 = 322x Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10x, de onde x=-1/7.
  8. 8. 6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0. Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0 Fazendo 3x=y, obtemos: y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y: • y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é positiva • y’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2 • Portanto a solução é x=2
  9. 9. FUNÇÃO EXPONENCIAL • Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. • A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
  10. 10. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL • Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0<a<1. • Acompanhe os exemplos seguintes:
  11. 11. 1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) • Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4
  12. 12. 2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) • Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 0 1 2 y 4 2 1 1/2 1/4
  13. 13. • Nos dois exemplos, podemos observar que: - o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; - o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); - os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
  14. 14. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
  15. 15. Atividades de fixação 1) O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por , onde x representa o ano após a aplicação e x=0 o montante em que foi realizada a aplicação. a) Calcule o montante após 1 ano da aplicação inicial. b) Calcule o montante após 10 anos da aplicação inicial. c) Esboce o gráfico. d) Após quanto tempo o montante será de R$80.000,00.
  16. 16. 2) Um automóvel após sua compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na compra é de R$45.000,00: a) Obtenha o valor(V) do carro em função dos anos(x) após a compra do automóvel. b) Calcule o valor do automóvel após: - 1 ano; - 5 anos; - 10 anos. c) Esboce o gráfico desta função. d) Após quanto tempo o valor do automóvel será R$25.000,00.
  17. 17. 3) Estima-se que a população de um país aumente de acordo com a lei sendo t o tempo em anos e P(t) o número de habitantes após t anos. Adotando determine a população desse país daqui a 80 anos. =
  18. 18. Definição de logaritmo sendo b>0 ,a>0 e a1 x    log a b x b a Na igualdade x log b obtemos : a  a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo x= logaritmo
  19. 19. Exemplos : 1) log 32  5 pois 2  32 2) log 16  2 pois 4  16 0 3) log 1 0 pois 5 1 5 2 4 5 2  
  20. 20. Consequências da definição Sendo b>0 ,a>0 e a1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo: log 1 0 log a 1 log a m  m a a a a b a b  log b c b c a a log  log  
  21. 21. Propriedades operatórias dos logaritmos 1) Logaritmo do produto: (a>0, a1, x>0 e y>0) 2) Logaritmo do quociente: (a>0, a1, x>0 e y>0) 3) Logaritmo da potência: (a>0, a1, x>0 e m ) x y x y a a a log ( . )  log  log   a a a log log log     x y x y     m x m x a a log  .log
  22. 22. m n n xm  x Caso particular: como , temos: x m m x x a n n a n m a log  log  .log
  23. 23. Cologaritmo Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a (a>0, a1) e indicamos cologa b o logaritmo inverso desse número b na base a: (a>0, a1 e b>0) b a b a 1 colog  log log 1 log 0 log log , podemos também escrever: 1 Como log b b b b a a a a a       b b a a colog  log
  24. 24. Mudança de base Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se: x a x b b log log  a log
  25. 25. FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).
  26. 26. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0<a<1. • Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:
  27. 27. 1) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1) • Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x 1/4 1/2 1 2 4 y -2 -1 0 1 2
  28. 28. 2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) • Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x 1/4 1/2 1 2 4 y 2 1 0 -1 -2
  29. 29. Nos dois exemplos, podemos observar que o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; • o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; • y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. • Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
  30. 30. a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e Im=IR Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
  31. 31. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS • Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de equações logarítmicas: a)log3x =5 (a solução é x=243) b)log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2) c)log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4) d)logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)
  32. 32. 1) Alguns exemplos resolvidos: log3(x+5) = 2 Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 • log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4 • Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}.
  33. 33. 2) log2(log4 x) = 1 Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 • log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então • log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16 • Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}.
  34. 34. 3) Resolva o sistema: x y log log 7      x y 3.log  2.log  1 Resolução: condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos:log x+log y=7 => log y = 7-log x Substituindo log y na segunda equação temos: • 3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>log x =3 => x=103 Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: • log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104. Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}.
  35. 35. Atividades de Fixação 1) Usa-se a fórmula para discutir a diversidade de certa região, sendo n e i o número de espécies e de indivíduos, respectivamente. Se n=9 e i=200, calcule a diversidade d.
  36. 36. 2) Uma dívida D aumenta 10% ao mês. a) Determine o valor da dívida após: - Um mês; - Dois meses; - N meses. b) Calcular o número n de meses para que a dívida quadriplique e para que ela seja multiplicada por x.
  37. 37. 3) A intensidade sonora é medida de uma unidade chamada decibel. Para medi-la, primeiro associa-se uma intensidade a um som muito fraco, que seria o menor valor audível pelo ser humano. Se um som tem intensidade i, o valor, em decibéis, desse som é dado pela fórmula . Quantos decibéis terá um som cuja intensidade equivale a ?

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